S - Состав кафедры ИТ и ПИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «ЧЕЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
«УТВЕРЖДЕНО»
Декан физико-матем.факультета
Доцент Э.М. Джамбетов
______________________
«_____»__________201__г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по дисциплине
« КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
Составитель:
доцент Абдурзаков М.М.
1
Грозный - 2011г.
УМК рекомендован на заседании кафедры информатики, « __ » января 2011г.
Зав. кафедрой информатики,
________________________ /Хатаева Р.С./
Составитель: ___________________________________ доцент М.М. Абдурзаков
2
СОДЕРЖАНИЕ
Программно-планирующий блок. Рабочая программа
1.1 Пояснительная записка.
Требования ГОС ВПО к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы подготовки специалиста………………………..………4
1.2. Цель и задачи………………………………………………………………………..5
1.3. Место дисциплины в структуре ООП…………………………………………….5
1.4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины ……………………...5
2. Тематический план
2.1. Объём дисциплины и виды учебной работы………………………………...…….6
2.2. Распределение учебного времени по разделам и темам ……………………….…9
3. Содержание дисциплины
3.1. Содержание лекций ………………………………………………………………....6
3.2. Содержание лабораторных занятий…………….. ………… …………………......7
3.3. Содержание самостоятельной работы студентов.………………………………..8
3.4. Вопросы для промежуточного и итогового контроля …………………..……….10
3.5. Критерий оценки знаний…………………………………………………………..11
3.6. Список основной и дополнительной литературы………………………………..12
Учебно-методический блок
4.1. Теоретическая часть………………………………………………………………….13
4.2. Лабораторный практикум. Тематика заданий……………………………………...53
4.3. Методические рекомендации для преподавателей..…………………………… ...68
4.4. Методические рекомендации для студентов……………………………………... 68
4.5. Глоссарий ……………………………………………………………………………70
Блок наглядно-дидактического материала
Лекции-презентации
3
I. Программно-планирующий блок. Рабочая программа
1.1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая учебная программа дисциплины «Компьютерное моделирование в профессиональной
деятельности» соответствует требованиям Федерального государственного образовательного
стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению 100700
«Коммерция» профиль подготовки «Коммерция торговое дело».
Целью изучения дисциплины «Компьютерное моделирование в профессиональной
деятельности» является формирование профессионально важных компетенций студента для
будущей профессиональной деятельности в рамках и средствами изучаемой дисциплины. Для
достижения поставленной цели решаются следующие задачи: (1) сформировать у студентов
представления об основных понятиях и фактах теории; (2) развить навыки использования методов
теории изучаемого курса для решения профессиональных задач; (3) воспитать профессионально
значимые личностные качества; (4) сформировать представление о важности учебной
дисциплины для осуществления будущей профессиональной деятельности.
Курс по выбору студентов «Математическое моделирование и численные методы»
изучается в рамках профессионального цикла Б.3.В. Дисциплина базируется на изученных ранее
курсах алгебры, математического анализа, теории функций действительного и комплексного
переменного. Для успешного усвоения учебного курса студент должен обладать общеучебными
компетенциями, знать основы указанных математических дисциплин, уметь дифференцировать и
интегрировать функции одного и нескольких аргументов, владеть практикой решения задач,
связанных с исследованием функций, вычислением производных и интегралов. Развитые при
изучении учебного курса компетенции востребованы как при непосредственном осуществлении
будущей профессиональной деятельности, в частности, при организации исследовательской
деятельности учащихся и преподавании элективных курсов в области математики, так и при
продолжении обучения в магистратуре.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций,
регламентируемых ФГОС-3:
: умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь
(ОК-2); использования основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-10); владением основными методами, способами и
средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером
как средством управления информацией (ОК-12); способностью работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
. Студент должен владеть: профессиональным языком предметной области знания;
основными методами решений финансовых задач; навыками применения специализированных
программных средств для решения таких задач; навыками организации исследовательской
деятельности учащихся с применением соответствующих разделов финансовой математики.
4
1.2.Цели и задачи дисциплины
Целью дисциплины «Компьютерное моделирование в профессиональной деятельности» является
ознакомление с классификацией математических моделей и методов, применяемых в экономике
для оптимизации процессов и принятия управленческих решений, обоснованно выбрать
математический метод для решения поставленной задачи.
1.3.Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла. Для изучения курса
требуется знания: информатики и программирования, теории информационных экономических
систем.
В свою очередь данный курс, помимо самостоятельного значения, является завершающим
учебный процесс.
1.4. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
использования основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-10); владением основными методами, способами и
средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером
как средством управления информацией (ОК-12); способностью работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК-13);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
Знать:
1. основные понятия, методы и приемы математического анализа, теории вероятностей и
математической статистики, информатики, компьютерных технологий.
Уметь:
2. использовать в профессиональной деятельности математические методы; возможности
вычислительной техники и программного обеспечения; создавать базы данных; использовать
ресурсы Интернет.
Владеть:
3. методами математического анализа; средствами компьютерной графики (ввод, вывод,
отображение, преобразование и редактирование графических объектов на персональной
электронно-вычислительной машине (ПЭВМ)); основными методами работы на ПЭВМ с
прикладными программными средствами; навыками составления статистических отчетов;
навыками работы в компьютерной сети Интернет.
2. Общая трудоемкость дисциплины составляет 108 часов, 3 зачетных единицы.
Вид промежуточной аттестации: зачет
Основные разделы дисциплины:
1. Общие принципы построения модели.
2. Технические и программные средства реализации информационных процессов.
3. Модели решения функциональных и вычислительных задач.
4. Меры риска.
5. Измерение отношения к риску.
6. Страхование от риска.
7. Системы массового обслуживания.
5
2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
В том числе:
Контрольная работа
Вопросы для СРС
Вид промежуточной аттестации
Общая трудоемкость дисциплины
Всего
часов/з.е.
36/2
3
36/2
18/1
18/1
72/1
18/1
18/1
72/1
54\1
зач.
Час.
Зач. ед.
108
3
3. Содержание дисциплины
3.1. Содержание разделов дисциплины
№
п/п
1
2
3
Наименование раздела
дисциплины
Общие принципы
построения модели
Технические и
программные средства
реализации
информационных
процессов
Модели решения
функциональных и
вычислительных задач.
4
Меры риска
5
Измерение отношения к
риску
6
Страхование от риска
Содержание раздела
Общие вопросы моделирования. Классификация
моделей. Этапы построения модели. Виды моделей.
Организация информационных процессов в
вычислительных устройствах. Обобщенная структурная
схема персональных ЭВМ. Персональные ЭВМ. Внешние и
внутренние запоминающие устройства ЭВМ. Устройства в/в.
Программное обеспечение ЭВМ. Системное, прикладное ПО
и системы программирования.
Оцифровка. Квантование. Обработка ошибок измерений.
Аппроксимация. Аппроксимирующая функция. Локальная
интерполяция. Глобальная интерполяция. Аппроксимация
линейной функции.
Риск. Отношение предпочтения. Мера риска.
Функционал. Примеры мер риска.
Типичные приложения теории риска. Портфельный
анализ.
Страхование. Проблема принятия решения.
Страхование от риска.
6
7
Системы массового
обслуживания
Основы теории массового обслуживания. Понятие
случайного процесса. Марковский случайный процесс.
Потоки событий. Уравнения Колмогорова для вероятностей
состояний. Финальные вероятности состояний. Задачи теории
массового обслуживания. Классификация систем массового
обслуживания. Математические модели простейших систем
массового обслуживания.
3.2. Лабораторный практикум
№
п/п
№ раздела
дисциплин
ы
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
Наименование лабораторных работ
3-й семестр
Определение целей моделирования. Построение
математических моделей. Вычислительный
эксперимент.
Представление данных в ЭВМ. Системы счисления.
Операционные системы. Прикладные программы
общего и специального назначения. Среды
программирования. Языки программирования.
Преобразования аналогового сигнала в дискретный.
Интерполяция сплайнами в MathCad. Построение
интерполяционного полином. Построение линейной
аппроксимирующей функции. Аппроксимация
квадратичной функцией и другими функциями.
Вычисление значения мер риска на распределениях
случайных величин. Уточнить определения квантиля
распределения так, чтобы оно годилось для разрывных
функций распределения. Используя проведенные
вычисления, предложить тип экстремума, который
нужно применять с каждой из этих мер риска в задаче
оптимизации портфеля.
Доказать, что (9) является частным случаем (8),
получающимся при задании функции g в виде (10).
Показать, что если мера риска μ является монотонной
относительно порядка ≤, то порожденное μ отношение
предпочтения _μ согласовано [4] с порядком ≤.
Типичные приложения теории риска. Портфельный
анализ
Страхование. Проблема принятия решения.
Страхование от риска.
7
Трудоемк
ость (18
час./1з.е.)
2
2
2
3
3
3
7
7
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Финальные вероятности состояний. Задачи теории
массового обслуживания. Математические модели
простейших систем массового обслуживания.
Моделирование очередей в системах массового
обслуживания.
3
3.3. Организация самостоятельной работы студентов (СРС) по дисциплине
Вопросы для самостоятельного изучения (3-й семестр) – 72ч./2з.е.
1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных
параметров и их конкретные числовые значения.
2. Если моделирование будет производится в безразмерных переменных
(решение - на усмотрение студента и преподавателя), то произвести
обезразмеривание и найти набор значений безразмерных параметров.
3. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования,
обращая особое внимание на формы представления результатов.
4. Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений
модели, найти или разработать программу интегрирования с заданной точностью.
5. Произвести отладку и тестирование полной программы.
6. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
7. Качественно проанализировать результаты моделирования.
8. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

титульный лист (название работы, исполнитель, группа и т.д.);

постановку задачи и описание модели;

результаты тестирования программы;

результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

качественный анализ результатов.
8
Распределение нагрузки дисциплины по видам работ
На 3-й семестр
НАИМЕНОВАНИЕ ВИДА РАБОТ
1
1 Аудиторные занятия:
– Лекции, номер
– Лабораторные занятия, номер
2 Формы текущей аттестации:
– Практическое задание (ПЗ)
– Защита лабораторной работы (ЗР)
3 Формы рубежной аттестации
I аттестация - тест
II аттестация - тест
4 Самостоятельная работа:
- вопросы
5 Форма итогового контроля зачет
1
1
2
3
1
2
2
4
5
2
3
2
6
7
2
3
2
З
Р
8
Номер недели
9
10
11
3
4
3
3
ЗР
ЗР
5
4
12
13
4
5
5
14
15
5
6
6
ЗР
16
17
18
6
7
7
7
ЗР
ЗР
тест
тест
1-3
3-4
4-6
6-8
зачет
9
10
3.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебнометодическое обеспечение самостоятельной работы студентов
Вопросы к первой аттестации
Тема 1.
1. Общие вопросы моделирования.
2. Классификация моделей.
3. Этапы построения модели.
4. Виды моделей
Тема 2.
1. Организация информационных процессов в вычислительных устройствах.
2. Обобщенная структурная схема персональных ЭВМ.
3. Персональные ЭВМ.
4. Внешние и внутренние запоминающие устройства ЭВМ. Устройства в/в.
5. Программное обеспечение ЭВМ.
6. Системное, прикладное ПО и системы программирования.
Тема 3.
1. Оцифровка.
2. Квантование.
3. Обработка ошибок измерений.
4. Аппроксимация. Аппроксимирующая функция.
5. Локальная интерполяция.
6. Глобальная интерполяция.
7. Аппроксимация линейной функции
Вопросы ко второй аттестации
Тема 4.
1. Риск.
2. Отношение предпочтения.
3. Мера риска.
4. Функционал. Примеры мер риска.
Тема 5.
1. Типичные приложения теории риска.
2. Портфельный анализ
Тема 6.
1. Страхование.
2. Проблема принятия решения.
3. Страхование от риска.
Тема 7.
1. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
2. Финальные вероятности состояний.
3. Задачи теории массового обслуживания.
4. Математические модели простейших систем массового обслуживания.
5. Моделирование очередей в системах массового обслуживания
11
Вопросы к зачету
1. Общие вопросы моделирования.
2. Классификация моделей.
3. Этапы построения модели.
4. Виды моделей
5. Организация информационных процессов в вычислительных устройствах.
6. Обобщенная структурная схема персональных ЭВМ.
7. Персональные ЭВМ.
8. Внешние и внутренние запоминающие устройства ЭВМ. Устройства в/в.
9. Программное обеспечение ЭВМ.
10. Системное, прикладное ПО и системы программирования.
11. Оцифровка.
12. Квантование.
13. Обработка ошибок измерений.
14. Аппроксимация. Аппроксимирующая функция.
15. Локальная интерполяция.
16. Глобальная интерполяция.
17. Аппроксимация линейной функции
18. Риск.
19. Отношение предпочтения.
20. Мера риска.
21. Функционал. Примеры мер риска.
22. Типичные приложения теории риска.
23. Портфельный анализ
24. Страхование.
25. Проблема принятия решения.
26. Страхование от риска.
27. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
28. Финальные вероятности состояний.
29. Задачи теории массового обслуживания.
30. Математические модели простейших систем массового обслуживания.
31. Моделирование очередей в системах массового обслуживания
3.5. Критерий оценки знаний
Проводятся три аттестации студентов на 8-й, 16-й неделях и в сессионный период.
Максимальное количество баллов
1-я аттестация - 30 баллов
2-я аттестация - 30 баллов
3-я аттестация
премиальные баллы – 10 баллов
(экзамен/зачет) - 30 баллов
_______________________
Итого
- 100 баллов
12
3.6 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература
1. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в
математическом моделировании. – М., 1999.
2. Инженерная и компьютерная графика: Учебник для вузов /Под ред Э.Т.Романычевой. –
М., 1996.
3. Математические методы решения физических задач: Учебное пособие /Под
ред.
В.В.Харитонова. – М.,1991.
4. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. – М., 1994.
5. Прусаков Г.М. Математические модели и методы в расчетах на ЭВМ. – М., 1993.
6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы.
Примеры. – М., 1997.
7. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере. – М., 1998.
8. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. – М., 1990.
б) дополнительная литература
1. Буч Г, Рамбо Дж, Джекобсон А. UML. Руководство пользователя. – М., 2000.
2. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях. – М.,
1990.
3. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. –
М., 1997.
4. Кузин З.С., Власова Е.З. Решение систем линейных уравнений методами
факторизации: Учебное пособие. – СПб., 2000.
5.Шикин А.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. –
М., 2000
Материально-техническое обеспечение дисциплины
1.
2.
3.
4.
Электронный конспект лекций
Тесты для компьютерного тестирования
Компьютерный класс
Проектор+экран для чтения лекций
13
II. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК
ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОД НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
Методологическая основа моделирования. Все то, на что направлена
человеческая деятельность, называется объектом (лат. objection - предмет).
Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки
информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и
взаимодействуют между собой и внешней средой.
В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т. е. определенные
предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных,
наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть
проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и
проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет
аналогия.
Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов,
причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо
отметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия
объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от
уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого
исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с
проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.
Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны
обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам;
такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие
проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими
словами, модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала,
обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Модель
Материальная
Геометрические
Физиические
Идеальная
Предметноматематические
Мысленные
Логикоматематические
Компьютерная модель – это программная реализация математической модели,
дополненная различными служебными программами (например, рисующими и
изменяющими графические образы во времени). Компьютерная модель имеет две
составляющие – программную и аппаратную. Программная составляющая так же является
абстрактной знаковой моделью. Это лишь другая форма абстрактной модели, которая,
однако, может интерпретироваться не только математиками и программистами, но и
техническим устройством – процессором компьютера.
Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения
информации о свойствах объекта-оригинала путем изучения объекта-модели.
14
Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта
моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его
моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и
исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
В настоящее время при анализе и синтезе сложных (больших) систем получил развитие
системный подход, который отличается от классического (или индуктивного - путем перехода
от частного к общему и синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент,
разрабатываемых раздельно) подхода. В отличие от этого системный подход предполагает
последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель,
причем исследуемый объект выделяется из окружающей среды.
Понятие системы и элемента системы. Специалисты по проектированию и
эксплуатации сложных систем имеют дело с системами управления различных уровней,
обладающими общим свойством - стремлением достичь некоторой цели. Эту особенность
учтем в следующих определениях системы.
Система S — целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой
природы.
Внешняя среда Е — множество существующих вне системы элементов любой природы,
оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием.
Понятие модели. Модель – представление объекта, системы или понятия, в некоторой
форме, отличного от их реального существования.
Моделирование – во-первых, построение модели, во-вторых, изучение модели, в-третьих,
анализ системы на основе данной модели.
При системном подходе к моделированию систем необходимо прежде всего четко
определить цель моделирования. Применительно к вопросам моделирования цель возникает из
требуемых задач моделирования, что позволяет подойти к выбору критерия и оценить, какие
элементы войдут в создаваемую модель М. Поэтому необходимо иметь критерий отбора
отдельных элементов в создаваемую модель.
Цели моделирования:
1) оценка – оценить действительные характеристики проектируемой или существующей
системы, определить насколько система предлагаемой структуры будут соответствовать
предъявляемым требованиям.
2) сравнение – произвести сравнение конкурирующих систем одного
функционального назначения или сопоставить несколько вариантов построения одной и
той же системы.
3) прогноз – оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании
рабочих условий.
4) анализ чувствительности – выявить из большого числа факторов, действующих
на систему тем, которое в большей степени влияют на ее поведение и определяют ее
показатели эффективности.
5) оптимизация – найти или установить такое сочетание действующих факторов и
их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в
целом.
1-4 задачи анализа, 5 - задача синтеза.
Подходы к исследованию систем. Важным для системного подхода является
определение структуры системы — совокупности связей между элементами системы,
отражающих их взаимодействие.
При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы S и
связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о
структуре системы. Последняя в зависимости от цели исследования может быть описана на
15
разных уровнях рассмотрения. Наиболее общее описание структуры — это топологическое
описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и
хорошо формализуемое на базе теории графов.
Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные
функции, т. е. алгоритмы поведения системы, и реализуется функциональный подход,
оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается
свойство, приводящее к достижению цели.
Простой подход к изучению взаимосвязей между отдельными частями модели
предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами
объекта. Такой классический подход может быть использован при создании достаточно
простых моделей. Процесс синтеза модели М на основе классического (индуктивного)
подхода представлен на рис. 1.1, а. Реальный объект, подлежащий моделированию,
разбивается на отдельные подсистемы, т. е. выбираются исходные данные Д для
моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные стороны процесса
моделирования. По отдельной совокупности исходных данных Д ставится цель моделирования
отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некоторая
компонента К будущей модели. Совокупность компонент объединяется в модель М.
Рис. 1.1. Процесс синтеза модели на основе классического (а) и системного (б) подходов
Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает
суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает
свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классический
подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых
возможно разделение и взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон
функционирования реального объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность
решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при
реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две
отличительные стороны классического подхода: наблюдается движение от частного к общему,
создаваемая модель (система) образуется путем суммирования отдельных ее компонент и не
учитывается возникновение нового системного эффекта.
Процесс синтеза модели М на базе системного подхода условно представлен на рис.
1.1, б. На основе исходных данных Д, которые известны из анализа внешней системы, тех
ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее
реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Т к
модели системы S. На базе этих требований формируются ориентировочно некоторые
подсистемы П, элементы Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза — выбор В
составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.
Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и
некоторая последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии
проектирования: макропроектирование и микропроектирование.
На стадии макропроектирования на основе данных о реальной системе S и
внешней среде Е строится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для
16
построения модели системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить
адекватность модели М реальной системы S.
Стадия микропроектирования в значительной степени зависит от конкретного типа
выбранной модели. В случае имитационной модели необходимо обеспечить создание
информационного, математического, технического и программного обеспечений систем
моделирования.
Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо
руководствоваться рядом принципов системного подхода:
1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям
создания модели;
2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и других
характеристик;
3) правильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моделирования;
4) целостность отдельных обособленных стадий построения модели.
КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
Классификация видов моделирования систем S приведена на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Классификация видов моделирования систем
Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых
предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое
моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае
анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т. е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для
описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое
моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование
служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно
непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а
дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить
наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.
В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить
мысленное и реальное моделирование.
Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования
объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени,
либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на
17
базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации
микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное
моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и
математического.
При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных
объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы,
протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем
закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном
объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на
причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта.
Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно
для построения формальных моделей.
Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных
уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для
достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии
последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только
одну сторону функционирования объекта.
Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает
макетирование. Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие
в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может
предшествовать проведению других видов моделирования. Если ввести условное
обозначение отдельных понятий, т. е. знаки, а также определенные операции между
этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков
отображать набор понятий — составлять отдельные цепочки из слов и предложений.
Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в
отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.
В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний
образуется из набора входящих понятий, причем этот набор должен быть
фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем
имеются принципиальные различия. Тезаурус — словарь, в котором каждому слову
может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному
слову могут соответствовать несколько понятий.
Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс
создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные
свойства его отношений с помощью определенной системы знаков или символов.
Математическое моделирование. Под математическим моделированием будем
понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого
математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой
модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.
Вид математической моли зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.
Для аналитического моделирования характерно то, что процессы
функционирования элементов системы записываются в виде некоторых
функциональных соотношений (алгебраических, интегродиференциальных, конечно разностных и т.п.) или логических условий.
Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения
о состоянии процесса в определенные моменты времени, дающие возможность
оценить характеристики системы S.
18
ЛЕКЦИЯ 2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
Основные этапы построения математической модели:
1. составляется описание функционирования системы в целом;
2. составляется перечень подсистем и элементов с описанием их функционирования,
характеристик и начальных условий, а также взаимодействия между собой;
3. определяется перечень воздействующих на систему внешних факторов и их
характеристик;
4. выбираются показатели эффективности системы, т.е. такие числовые характеристики
системы, которые определяют степень соответствия системы ее назначению;
5. составляется формальная математическая модель системы;
6. составляется машинная математическая модель, пригодная для исследования системы
на ЭВМ.
Требования к математической модели:
Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером
поставленной задачи:
"Хорошая" модель должна быть:
1. целенаправленной;
2. простой и понятной пользователю;
3. достаточной с точки зрения возможностей решения поставленной задачи;
4. удобной в обращении и управлении;
5. надежной в смысле защиты от абсурдных ответов;
6. допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она
при взаимодействии с пользователями может становиться более сложной.
Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какоголибо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.
Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна
обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на
показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать
достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества
альтернативных вариантов
В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических
систем всегда лежит эксперимент - реальный или логический. Суть реального
эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В
ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с
помощью его математической или содержательной (словесной) модели, изоморфной
объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств.
Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее
выходе, исследователь получает возможность установить и записать математически
существующую между ними связь в виде уравнения, связывающего для каждого
интервала времени значения входных и выходных воздействий и потому называемого
уравнением «вход-выход». Кроме того, для адекватного отражения связи между входом и
выходом системы в системотехнике вводится понятие «состояние». По своему смыслу
состояние z(τ) представляет собой совокупность существенных свойств (характеристик)
19
системы, знание которых в настоящем (в момент времени τ) позволяет определить ее
поведение в будущем (в моменты времени t > τ). Благодаря этому понятию, уравнение
“вход-выход”-состояние принимает вид:
YT = A(T, z(τ), XT), (2.1)
где XT, YT - входной и выходной процесс на интервале времени T;
A(*)- оператор выходов.
Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и
начальным состоянием и не зависит от того, каким образом система была переведена в это
состояние. Отсюда ясно, что уравнение (2.1) ограничивает класс рассматриваемых систем
только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того,
как они функционировали в прошлом.
Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать
условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения
состояния:
z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (2.2)
где
B(*) - оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) от пары (z(τ), Xτt),
которая задана на интервале  t, и называемый оператором перехода.
Уравнения (2.1) и (2.2) имеют достаточно логичное обобщение и на многомерный
случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторный вид:
X  X , Y  Y ,Z  Z
Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать
прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T
(множество времени) по заданному вектору начального состояния Z ( ) записанном в
векторном виде входному процессу X (T). Согласно изложенному выше, для решения
этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y
процессов, а также множество возможных состояний системы Z и операторы выхода A и
перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой
кортеж
MF = <T, X, Y, Z, A, B>. (2.3)
Если все компоненты в (2.3) известны, модель функционирования полностью
определена и может быть использована для описания и изучения свойственных системе
процессов функционирования. Множества и операторы, составляющие общесистемную
модель (2.3), могут обладать различными свойствами, совокупность которых позволяет
конкретизировать характер функционирования системы:
N – непрерывность;
L – линейность;
C – стационарность;
P – стохастичность (вероятность).
Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модель
конкретизируется до системной модели.
Системные свойства:
1). Если интервал функционирования системы Т = [  , ] представляет отрезок оси
действительных чисел, заданный началом  и концом  , то система функционирует в
непрерывном времени. Если, кроме того непрерывны операторы А и В, то система наз.
непрерывной.
2). С т.зр. реакции на внешнее воздействие объекты подразделяют на линейные и
нелинейные. Линейными наз. такой объект, реакция которого на совместное воздействие
2-х любых внешних возмущений равно сумме реакций на каждое из этих воздействий,
приложенных к системе порознь.
20
F 0 ( x1 (t )  x2 (t ))  F 0 ( x1 (t ))  F 0 ( x2 (t )) - принцип суперпозиции,
F 0 (0)=0 (начальное состояние системы),
где F 0 - оператор объекта, устанавливает связь входа и выхода.
Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции.
3). Поскольку стационарная система при фиксированном начальном состоянии Z(t0)
одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся только сдвигом по времени,
входные воздействия, то наложение интервала t0, t на оси времени не оказывает влияния
на процесс функционирования системы. Модель М для стационарных систем не содержит
в явном виде интервал функционирования Т.
4)
Если в модели М операторы А и В каждой паре (X, V, Z(t0)) (вход, состояние)
ставят в соответствие единственные значения Y и Z, описываемая этой моделью система
называется детерминированной. Для стохастической (вероятностной) системы Y и Z,
случайные величины, заданные законами распределения.
Общесистемная и системные модели функционирования (в дальнейшем термин
«модель функционирования» для краткости может заменяться термином «модель» с
сохранением исходного смысла) обладают исключительно высокой степенью общности.
Они, безусловно, необходимы для теоретических исследований и полезны, так как
выявляют общие закономерности, присущие весьма широкому классу систем. Но в
повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так
называемые конструктивные модели - гораздо менее общие, но позволяющие
производить конкретные вычисления. Конструктивные модели в сущности
представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних
переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям
других переменных. Однако между системными и конструктивными моделями нет
противоречия. По мере накопления знаний о системе, уточнения и конкретизации ее
свойств и характеристик системная модель естественным образом преобразуется в
конструктивную. Следовательно, конструктивная модель может и должна закономерно
вырастать из более общей системной модели. Такой - истинно системотехнический
подход – представляется более обоснованным, чем априорное задание конструктивной
модели исследователем, использующим для этого лишь свою интуицию и субъективные
представления о возможностях тех или иных математических схем.
Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели
функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической
цепочки преобразований «общесистемная модель  системная модель 
конструктивная модель  машинная модель».
Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно
начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3), определения их
содержательного смысла и областей изменения. Согласно модели (2.3), необходимо
определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы;
множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений;
множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.
Классификация системных моделей
21
M
Да
MN НетN
MN Да
LC НетL
MN
L
MNL Да
НетC
C
MNL
C
MNL
C
MNL
C
MNLC Да
НетP
P
MNLC
P
...
MN
MN
LC
MN
L
MNL
C
MNL
C
MNL
C
MNL
C
MNLC
P
MNLC
P
…
MNLCP - легко мат.описание
MNLCP - нет адекватного
мат.описания
(трудно)
Инверсия (N) – данное
свойство не
выполняется,
например нет
свойства
непрерывности
MNLC
MNLC
P
P
Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности
устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому классу
систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели,
пригодные для инженерных расчетов.
КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних
переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других
переменных.
КМ – может и должна вырастать из большой общей системной модели путем
конкретизации ее свойств.
При построении моделей функционирования систем применяют следующие
подходы:
1) непрерывно-детерминированный подход (дифференцированные уравнения);
2) дискретно-детерминированный (конечные автоматы);
3) дискретно-стохастический подход (вероятностные автоматы);
4) непрерывно-стохастический подход (системы СМО)
5) обобщенный / универсальный подход (агрегитивные системы)
ЛЕКЦИЯ 3.
Преобразования аналогового сигнала в дискретный. Интерполяция сплайнами в
MathCad. Построение интерполяционного полином. Построение линейной
аппроксимирующей функции. Аппроксимация квадратичной функцией и другими
функциями.
Первым этапом получения информации является процесс измерения интересующих нас
величин (примеры). Если наблюдаемая (измеряемая) величина распределена в
пространстве (и/или во времени - примеры), то еще до начала измерений необходимо
решить вопрос: сколько делать измерений по каждой координате, с каким шагом, с какой
точностью измерять. Все эти вопросы рассматриваются в теории измерений, но и в
информатике имеется похожая задача, которая возникает при оцифровке некоторых
данных, заданных графически (или аналитически). Фундаментальное решение этой
22
задаче сформулировано в теореме Шеннона-Котельникова. Предварительно рассмотрим
пример оцифровки некоторой величины (сигнала), распределенной по одной координате.
1. Оцифровка
Сигнал, несущий информацию о некоторой измеряемой величине называется аналоговым, если он
представлен в виде другой подобной ей величины (например, измеряемая величина высота представляется в
виде отклонения стрелки прибора)
Сигнал, несущий информацию о некоторой измеряемой величине называется цифровым, если он
представлен в виде последовательности чисел (или одного числа), отображающей значения наблюдаемой
величины (например, та же высота, представленная в цифровом приборе)
Преобразование аналогового сигнала в цифровой сигнал называется оцифровкой
Пример
Рисунок 1. Пример аналогового сигнала
Во-первых, аналоговый сигнал (Рисунок 1) преобразуется в сигнал разделённый по времени,
посредством периодической выборки (Рисунок 2). Временной интервал между двумя выборками называется
периодом выборки, а его обратная величина называется частотой дискретизации. Согласно теореме о
дискретном представлении (теорема Шеннона-Котельникова), частота дискретизации должна быть,
по крайней мере, в два раза больше наивысшей частоты сигнала. В противном случае такой сигнал
не может быть однозначно восстановлен из выборки.
Рисунок 2. Временная дискретизация сигнала
Квантованием называется определение цифровых значений, соответствующих аналоговым выборкам,
взятым на частоте дискретизации. Аналоговый сигнал квантуется путём приписывания аналоговой величине
ближайшего «допустимого» цифрового значения (Рисунок 3). Количество цифровых значений называется
разрешением и всегда ограничивается. Например, 256 значений для 8-битного цифрового сигнала или 10
значений в этом примере. Поэтому квантование аналоговых сигналов всегда приводит к потере
информации. Эта ошибка квантования» обратно пропорциональна разрешению цифрового сигнала. Она
также обратно пропорциональна динамическому диапазону сигнала, т.е. интервалу между минимальным и
максимальным значениями (3 и 8 в этом примере).
23
Рисунок 3. Квантованный сигнал
На рисунке 4 показаны цифровые значения, которые соответствуют аналоговому сигналу. Эти значения
сняты с выхода АЦП.
Рисунок 4. Цифровой сигнал
Итак, все необходимые величины измерены, данные оцифрованы и введены в компьютер.
Прежде чем начинать анализ данных и извлекать из них ценную информацию предстоит
выявить и обработать погрешности, внесенные на этапе измерения и оцифровки.
24
2. Обработка ошибок измерений
Все измерительные приборы имеют некоторый класс точности, значит, все данные
измеряются с некоторой погрешностью, которая при передаче может усиливаться
случайным образом из-за помех. Кроме того, возможны просто грубые ошибки при
проведении измерений в силу разных обстоятельств (примеры). А в некоторых значениях
координат искомую величину просто невозможно измерить (пример).
Снижение этих погрешностей при обработке информации выполняется с помощью
методов интерполяции и аппроксимации.
(Дать определения и пояснить рисунками)
Фундаментальной математическую основу для решения задач в этой области дает
теорема Вейерштрасса, которая гласит, что любую непрерывную функцию на заданном
интервале всегда можно аппроксимировать полиномом некоторой степени, причем, чем
выше степень полинома, тем меньше будет погрешность аппроксимации. Еще одна
фундаментальная теорема в этой области гласит, что построения полинома n-ой степени
требуется не менее n+1 заданных точек (пар координат)
Аппроксимацией (приближением) функции
называется нахождение такой функции
(аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии
близости функций
и
могут быть различные.
В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию
называют точечной или дискретной.
В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек
(отрезке), аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Примером такой
аппроксимации может служить разложение функции в ряд Тейлора, то есть замена
некоторой функции степенным многочленом.
Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в
широком смысле).
Пусть задан дискретный набор точек
, называемых узлами интерполяции,
причем среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции в этих точках.
Требуется построить функцию
, проходящую через все заданные узлы. Таким
образом, критерием близости функции является
.
В качестве функции
обычно выбирается полином, который называют
интерполяционным полиномом.
В том случае, когда полином един для всей области интерполяции, говорят, что
интерполяция глобальная.
В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной
или локальной интерполяции.
Найдя интерполяционный полином, мы можем вычислить значения функции
между
узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение
функции
даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).
Следует иметь в виду, что точность экстраполяции обычно очень невелика особенно при
удалении от заданного интервала.
25
Локальная интерполяция
Простейшим случаем локальной интерполяции является линейная интерполяция, когда
в качестве интерполяционной функции выбирается полином первой степени, то есть
узловые точки соединяются прямой линией (показать пример)
При линейной интерполяции используется полином 1-ой степени, стало быть для его
построения необходимо знать 2 точки (узла интерполяции)
(показать расчетные формулы)
Линейная интерполяция самая простая и имеет самую большую погрешность. На
практике чаще используется интерполяция полиномом более высокого порядка, например,
квадратичная интерполяция
(показать примеры и формулы).
В настоящее время среди методов локальной интерполяции наибольшее распространение
получила интерполяция сплайнами (от английского слова spline – гибкая линейка). При
этом строится интерполяционный полином третьей степени, проходящий через все
заданные узлы и имеющий непрерывные первую и вторую производные. На каждом
интервале
интерполирующая функция является полиномом третьей степени
и удовлетворяет условиям
.
Если всего n узлов, то интервалов –
. Значит, требуется определить
неизвестных коэффициентов полиномов. Условие дает нам n уравнений. Условие
непрерывности функции и ее первых двух производных во внутренних узлах интервала
дает дополнительно
уравнений
Всего имеем
различных уравнений. Два недостающих уравнения можно получить,
задавая условия на краях интервала. В частности, можно потребовать нулевой кривизны
функции на краях интервала, то есть
.
Задавая различные условия на концах интервала, можно получить разные сплайны.
Рассмотрим пример интерполяции синуса с помощью сплайнов (примеры выполнены в
пакете MathCad). Обратите внимание, что результаты интерполяции различными типами
кубических сплайнов практически не отличаются во внутренних точках интервала и
совпадают с точными значениями функции. Вблизи краев интервала отличие становится
более заметным, а при экстраполяции за пределы заданного интервала различные типы
сплайнов дают существенно разные результаты. Для большей наглядности представим
результаты на графиках
26
27
Убедимся в том, что первые и вторые производные сплайна непрерывны
28
Но производные более высоких порядков уже не являются непрерывными
Глобальная интерполяция
При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди
узлов {xi,yi} нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не
будет превышать n.
Запишем систему уравнений для определения коэффициентов полинома
Определим матрицу коэффициентов системы уравнений
Решим систему уравнений матричным методом
Определим интерполяционный полином
Представим результаты на графике
Вычислим значения интерполяционного полинома в заданных точках и сравним их с
точными значениями
29
Коэффициенты интерполяционного полинома следующие:
Внимание! Из-за накопления вычислительной погрешности (ошибок округления) при
большом числе узлов (n>10) возможно резкое ухудшение результатов интерполяции.
Кроме того, для целого ряда функций глобальная интерполяция полиномом вообще не
дает удовлетворительного результата. Рассмотрим в качестве примера две таких функции.
Для этих функций точность интерполяции с ростом числа узлов не увеличивается, а
уменьшается. Первым примером является функция
.
Построим для нее интерполяционный полином на интервале [–1;1], используя 9 точек.
Представим результаты на графике.
30
Второй пример – функция
.
Найдем интерполяционный полином, используя заданные выше точки.
Убедитесь самостоятельно, что при увеличении числа узлов интерполяции, результаты
интерполирования вблизи концов интервала ухудшаются.
На практике для инженерных расчетов наиболее удобно использовать интерполяционную
формулу Лагранжа. Она не требует предварительного вычисления коэффициентов
полинома, а позволяет сразу вычислять искомое значение функции Y(X) по N заданным
точкам {Xi, Yi}. В модельной задаче ответы (Y точное) заранее известны, для того, чтобы
Вы могли рассчитать погрешность интерполяции и по ней сделать вывод.
31
N
N
i 1
j 1
j i
Y ( x)   Y ( xi ) * 
 
(x  x j )
( xi  x j )
Yточное  Y расчетн
YТочное
Фрагмент программы расчета по формуле Лагранжа для глобальной интерполяции
S=0
For i = 1 To N
p=1
For j = 1 To N
If j <> i And j <> Nz Then p = p * ((X(Nz) - X(j)) / (X(i) - X(j)))
Next j
If i <> Nz Then S = S + Y(i) * p
Next i
Y(Nz) = S
Где N – это общее количество точек в ряде, Nz – номер дефектной точки
Фрагмент программы расчета для локальной интерполяции (в т.ч. сплайнами)
S=0
For i = Nz - Nleft To Nz + Nright
p=1
For j = Nz - Nleft To Nz + Nright
If j <> i And j <> Nz Then p = p * ((X(Nz) - X(j)) / (X(i) - X(j)))
Next j
If i <> Nz Then S = S + Y(i) * p
Next i
Y(Nz) = S
Где Nleft, Nright – количество точек (узлов интерполяции) слева и справа от расчетной (дефектной) точки,
участвующих в ее восстановлении
(показать пример ЭКСТРАПОЛЯЦИИ и ее отличие от интерполяции)
Аппроксимация
Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных
является
метод
наименьших
квадратов.
Метод
позволяет
использовать
аппроксимирующие функции произвольного вида и относится к группе глобальных
методов. Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация
прямой линией (полиномом первой степени). Этот вариант метода наименьших квадратов
носит также название линейной регрессии.
Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности
суммы квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных
точек:
32
Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все
заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих
погрешности.
Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может быть
произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например,
физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического
эксперимента. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная
регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация
линейной комбинацией произвольных функций.
Кроме того, часто возможно путем замены переменных свести задачу к линейной
(провести линеаризацию). Например, пусть аппроксимирующая функция ищется в виде
. Прологарифмируем это выражение и введем обозначения
,
.
Тогда в новых обозначениях задача сводится к отысканию коэффициентов линейной
функции
.
Аппроксимация линейной функцией
Задан ряд экспериментальных данных, состоящий из пар чисел (Xi, Yi), i =1,…,N. Где Xi
– независимая координата, заданная обычно с некоторым (постоянным) шагом, Yi –
результат измерения некоторой величины (высоты рельефа местности, глубины верхней
границы нефтяного пласта и т.п.).
Требуется по этим данным построить линейную аппроксимирующую функцию вида
f ( X )  aX  b ,
такую, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от расчетных в
заданных точках была минимальна.
Неизвестными параметрами в этой задаче являются коэффициенты
a b
аппроксимирующей функции.
Решение
Запишем указанный выше функционал для заданной аппроксимирующей функции:
N
N
i 1
i 1
Ф   ( f ( X i ) Yi ) 2   (aX i  b  Yi ) 2  min
Из математического анализа известно, что минимум функционала достигается при
равенстве нулю всех его частных производных по независимым переменным. Таким
образом, запишем условие минимума нашего функционала:
Ф
0
a
Ф
0
b
Или, после подстановки и взятия частной производной:
N
 2(aX
i 1
i
 b  Yi ) X i  0
i
 b  Yi )1  0
N
 2(aX
i 1
Таким образом, получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными (a
b), из которой с помощью преобразований получаем:
33
N
a
b
N
N
N *  X i * Yi   X i *  Yi
i 1
i 1
i 1
N
N
i 1
i 1
N *  ( X i ) 2  ( X i ) 2
1
N
N
 (Y
i 1
i
 a* Xi)
Далее, задавая значения Xi с некоторым шагом, вычисляем по найденным коэффициентам
f(Xi) и строим график:
Как видно из графика, точность прогноза с помощью линейной аппроксимации
относительно невысока, поэтому ее используют хотя и часто, но только для
предварительных оценок и выявления тенденций изменения экспериментальных данных.
Для повышения точности расчета используют более сложные аппроксимирующие
функции, например, полиномы второго и выше порядка.
(Далее рассказать о постановке и выполнении лабораторной работы по
аппроксимации)
(Для студентов элитного отделения дать задание по квадратичной аппроксимации)
Аппроксимация квадратичной функцией и другими функциями
Для повышения точности расчета используют более сложные аппроксимирующие
функции, например, полиномы второго порядка:
34
Порядок решения таких задач полностью аналогичен рассмотренному выше, только
меняется вид выражений. Например, рассмотрим аппроксимацию квадратичной
функцией.
Задан ряд экспериментальных данных, состоящий из пар чисел (Xi, Yi), i =1,…,N
Требуется по этим данным построить квадратичную аппроксимирующую функцию вида
f ( X )  aX 2  bX  c
Неизвестными параметрами в этой задаче являются коэффициенты
a b с
аппроксимирующей функции.
Решение (метод МНК)
Запишем указанный выше функционал для заданной аппроксимирующей функции:
N
N
i 1
i 1
Ф   ( f ( X i ) Yi ) 2   (aX i2  bX i  c  Yi ) 2  min
Из математического анализа известно, что минимум функционала достигается при
равенстве нулю всех его частных производных по независимым переменным. Таким
образом, запишем условие минимума нашего функционала:
Ф
0
a
Ф
0
b
Ф
0
с
Подставляем выражение функционала Ф и вычисляя производные получим систему из
трех уравнений для трех неизвестных, из которой можно записать выражения для
искомых коэффициентов (a b c):
35
N
 2(aX
i 1
2
i
 bX i  c  Yi ) X i2  0
2
i
 bX i  c  Yi ) X i  0
2
i
bX i  c  Yi )1  0
N
 2(aX
i 1
N
 2(aX
i 1
Аналогично строятся аппроксимирующие функции и более сложного вида.
ЛЕКЦИЯ 4
Риск. Отношение предпочтения. Мера риска. Функционал. Примеры мер риска.
Проблема принятия решения
Пусть S – множество всевозможных состояний окружающей среды, D – множество
всевозможных решений, R – множество результатов. Если принято решение d ∈ D, а среда
находится в состоянии s ∈ S, то решение приводит к результату r ∈ R, который
вычисляется по формуле r = G(s, d), то есть, является значением отображения G : S × D →
R. На множестве результатов R, как правило, задан некоторый естественный порядок или
отношение предпочтения _, так что для любой пары результатов r1, r2 ∈ R можно сказать,
какой из них лучше: r1 _ r2 или r2 _ r1, или же они одинаково предпочтительны: r1 _ r2 и
r2 _ r1. Если бы любое наше решение d ∈ D приводило к вполне определенному
результату r = eG(d) ∈ R, то, сравнивая между собой результаты eG(d1), eG(d2), мы могли
бы тем самым сравнивать и решения d1, d2, выбирая лучшее из них. Поскольку, кроме
собственно решения, на результат влияет и неопределенное состояние среды, проблема
принятия решения усложняется. Пусть S снабжено _ – алгеброй A и вероятностной мерой
PS так, что тройка (S,A,PS) образует вероятностное пространство, являющееся моделью
неопределенности окружающей среды. Пусть, кроме того, R также снабжено _ – алгеброй
B, так что пара (R, B) образует измеримое пространство. Будем считать, что при любом
фиксированном d ∈ D отображение Gd : S → R, задаваемое формулой Gd(s) = G(s, d), s ∈
S, является измеримым относительно пары _ – алгебр A, B (этого всегда можно добиться
выбором достаточно богатой _ – алгебры A). При этом Gd задает на (S,A,PS) случайный
элемент, который порождает на (R, B) вероятностное распределение Pd: Pd(B) = PS(G−1
d (B)), B ∈ B.
Для дальнейшего построения теории не важно, как появляются распределения Pd на (R,
B), поэтому будем просто считать, что задано семейство распределений PD = {Pd, d ∈ D},
и в дальнейшем не будем рассматривать в явном виде S. Видно, что каждое решение d
приводит не к какому-то определенному результату r ∈ R, а к некоторому распределению
на R. Поэтому для сравнения решений недостаточно порядка (предпочтения) на R.
Необходимо задать порядок на множестве распределений.
Риск
Обозначим P совокупность всевозможных вероятностныхПроблема принятия решения
Пусть S – множество всевозможных состояний окружающей среды, D – множество
всевозможных решений, R – множество результатов. Если принято решение d ∈ D, а среда
находится в состоянии s ∈ S, то решение приводит к результату r ∈ R, который
вычисляется по формуле r = G(s, d), то есть, является значением отображения G : S × D →
R. На множестве результатов R, как правило, задан некоторый естественный порядок или
36
отношение предпочтения _, так что для любой пары результатов r1, r2 ∈ R можно сказать,
какой из них лучше: r1 _ r2 или r2 _ r1, или же они одинаково предпочтительны: r1 _ r2 и
r2 _ r1. Если бы любое наше решение d ∈ D приводило к вполне определенному
результату r = eG(d) ∈ R, то, сравнивая между собой результаты eG(d1), eG(d2), мы могли
бы тем самым сравнивать и решения d1, d2, выбирая лучшее из них. Поскольку, кроме
собственно решения, на результат влияет и неопределенное состояние среды, проблема
принятия решения усложняется. Пусть S снабжено _ – алгеброй A и вероятностной мерой
PS так, что тройка (S,A,PS) образует вероятностное пространство, являющееся моделью
неопределенности окружающей среды. Пусть, кроме того, R также снабжено _ – алгеброй
B, так что пара (R, B) образует измеримое пространство. Будем считать, что при любом
фиксированном d ∈ D отображение Gd : S → R, задаваемое формулой Gd(s) = G(s, d), s ∈
S, является измеримым относительно пары _ – алгебр A, B (этого всегда можно добиться
выбором достаточно богатой _ – алгебры A). При этом Gd задает на (S,A,PS) случайный
элемент, который порождает на (R, B) вероятностное распределение Pd: Pd(B) = PS(G−1
d (B)), B ∈ B.
Для дальнейшего построения теории не важно, как появляются распределения Pd на (R,
B), поэтому будем просто считать, что задано семейство распределений PD = {Pd, d ∈ D},
и в дальнейшем не будем рассматривать в явном виде S.
Видно, что каждое решение d приводит не к какому-то определенному результату r ∈ R, а
к некоторому распределению на R. Поэтому для сравнения решений недостаточно
порядка (предпочтения) на R. Необходимо задать порядок на множестве распределений.
Обозначим P совокупность всевозможных вероятностных распределений на (R, B).
Основные понятия теории риска
Определение 2.1 Риском называется любое распределение P ∈ P. Если множество
результатов лежит в множестве вещественных чисел: R ⊆ R, то рисками являются
распределения случайных величин, которые можно отождествлять с функциями
распределения на вещественной прямой [2]. Другими примерами рисков могут служить
распределения случайных векторов в Rn, случайных процессов [2], случайных множеств
[3].
Ясно, что совокупность распределений PD, порождаемых решениями, лежит в P. Для
сравнения различных решений достаточно научиться сравнивать распределения из P
(риски). Для этого оказывается более естественным использовать не отношение порядка, а
отношение предпочтения, поскольку существенно различные риски могут оказаться
"одинаковыми"с точки зрения их качества в задаче принятия решения.
Отношение предпочтения
Напомним понятие предпочтения [4].
Определение: Говорят, что на множестве R задано отношение предпочтения _, если это
отношение обладает свойствами
а) полноты: для произвольной пары r1, r2 ∈ R выполняется либо r1 _ r2, либо r2 _ r1, либо
справедливы оба этих соотношения;
б) транзитивности: если r1 _ r2 и r2 _ r3, то r1 _ r3. Элементы r1, r2 ∈ R, для которых верно
r1 _ r2, r2 _ r1, объявляются эквивлентными: r1 ∼ r2. Нетрудно проверить, что заданное
таким образом отношение в действительности является отношением эквивалентности, то
есть обладает свойствами симметричности, рефлексивности и транзитивности [4].
Вводится также отношение строгого предпочтения ≺, определяемого следующим
образом:
r1 ≺ r2 ⇐⇒ r1 _ r2, r2 6_ r1.
Часто удобно использовать также имеющие очевидный смысл обозначения _ и ≻.
37
Мера риска
Одним из способов задания отношения предпочтения на множестве рисков P является
введение меры риска: функционала на P.
Определение 2.3 Мерой риска называется функционал μ : P → R. (1)
Как только определен функционал вида (1), порожденное им отношение предпочтения _μ
может быть задано одним из следующих способов:
P1 _μ P2 ⇐⇒ μ(P1) ≤ μ(P2) (2)
или
P1 _μ P2 ⇐⇒ μ(P1) ≥ μ(P2) (3)
Применение произвольного функционала μ в задачах принятия решений скорее всего,
конечно, приведет к плачевным результатам. "Хорошая"мера риска должна отражать
отношение предпочтения индивидуума (или организации), в интересах которого
принимается решение. В частности, она должна быть монотонной относительно
естественных порядков на множестве рисков P [4]. Эти проблемы будут подробно
освещены в последующих лекциях, здесь же приведем некоторые примеры мер риска для
вещественных распределений.
Примеры мер риска
Пусть R ⊆ R, тогда P представляет собой совокупность функций распределения на R.
Древнейшей мерой риска является, по-видимому, математическое ожидание "(F) =Z 1−1
x dF(x), F ∈ P. (4)
Эта мера риска, по существу, используется до сих пор, когда решения принимаются на
основании средних значений, то есть, неопределенность игнорируется. Если
неопределенность состояний среды значительна, такой способ принятия решений
приводит к большим, иногда катастрофическим, ошибкам. Другим примером может
служить дисперсия распределения _(F) =Z 1−1(x − "(F))2 dF(x), F ∈ P. (5)
Эта мера риска позволяет уже по существу учитывать неопределенность; на ее основе
были построены теории Марковица [5], а также развившая ее CAPM (Capital Asset Pricing
Model) Шарпа. Можно ввести также смесь " и _(F) = _(F) − _"(F), F ∈ P, (6)
где _ – взвешивающий параметр.
В современных приложениях активно используется мера ожидаемой полезности
_(F) =Z 1−1U(x) dF(x), F ∈ P, (7)
где U – некоторая вещественная функция.
Недавно была предложена перспективная мера возмущенной вероятности [6], [7]
_(F) =Z 0−1[g(1 − F(x)) − 1] dx +Z 10
g(1 − F(x)) dx, F ∈ P, (8) где g : [0, 1] → [0, 1] – функция, обладающая свойствами g(0) = 0,
g(1) = 1.
В приложениях активно используется мера риска _, называемая VaR (Value at Risk),
которая представляет собой квантиль распределения заданного уровня _:_(F) = F−1(_). (9)
Основные понятия теории риска
Эта мера риска является частным случаем (8), и получается из последней при выборе
g(v) =0, v < 1 − _
1, v ≥ 1 − _.
Отметим, что меры риска " и _ жестко фиксированы, меры и _ обладают некоторой
гибкостью: в них можно выбрать значение параметров _ и _, а меры риска _и _ обладают
уже значительным запасом гибкости, что позволяет настраивать эти меры риска на
определенного инвестора.
38
ЛЕКЦИЯ 5
Типичные приложения теории риска. Портфельный анализ
Типичные приложения теории риска
Рассмотрим теперь некоторые типичные приложения теории риска.
Портфельный анализ
Пусть X = (X1, . . . ,Xn) – случайный n-мерный вектор, компоненты которого описывают
доход, получаемый от размещения единичного капитала в некоторые инвестиционные
инструменты. Задача портфельного анализа заключается в определении наилучшего (в
смысле заданного отношения предпочтения) способа распределения единичного капитала
между этими инструментами. В предположении линейного характера зависимости дохода
от размера инвестированного капитала, доход от составленного портфеля можно записать
в виде
Y = y1X1 + . . . + ynXn,
где y = (y1, . . . , yn) – вектор долей единичного капитала, вложенного в соответствующие
компоненты X.
Описанную ситуацию можно формализовать в виде задачи принятия решения следующим
образом. Множество состояний среды S совпадает с Rn (или некоторой его частью) –
совокупностью всевозможных значений вектора X. Структура вероятностного
ространства на нем задается борелевской _-алгеброй и распределением случайного
вектора X. Множество решений D имеет вид D = {y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn| y1 ≥ 0, . . . , yn ≥
0; Xni=1yi = 1},
то есть является стандартным симплексом Rn. Множество результатов R лежит в
R,каждый риск есть функция распределения FY случайной величины Y – дохода
портфеля. Отношение предпочтения на P задается с помощью какой-либо меры риска, а
принятие решения есть выбор точки стандартного симплекса D, обеспечивающей
экстремальное значение этой меры риска. Поскольку распределение Y зависит от выбора
вектора y ∈ D, значение меры риска на этом распределении также оказывается функцией
этого вектора долей: μ(FY ) = f(y), поэтому задача оптимизации портфеля записывается в
виде f(y) −→ max y2D( miny2D).
ЛЕКЦИЯ 6
Страхование. Проблема принятия решения. Страхование от риска.
Страхование
Типичной задачей в страховании является расчет размера страховой премии при заданном
распределении FY будущего страхового убытка Y . Решение этой задачи также сводится к
выбору некоторой меры риска μ с тем, чтобы вычисление размера страховой премии P
производилось по формуле P = μ(FY ). (12)
Подбор подходящей меры риска μ для решения этой задачи до сих пор является
предметом оживленных дискуссий [6], [8]; в последующих лекциях эта проблема будет
рассматриваться подробнее.
Упражнения1.
Доказать, что (2), (3) в действительности задают отношения предпочтения в смысле
определения 2.2.
Упражнение 2. Для a ∈ R обозначим Wa случайную величину, вырожденную в точке a:
P{Wa = a} = 1, а для a, b ∈ R, a < b, p ∈ [0, 1] обозначим B(a, b, p) бернулллиевскую
случайную величину P{B(a, b, p) = a} = 1 − p, P{B(a, b, p) = b} = p.
Вычислить значения мер риска ", _, , _, _ и _ на распределениях этих случайных величин.
Уточнить определения квантиля распределения (9) так, чтобы оно годилось для
разрывных функций распределения. Используя проведенные вычисления, предложить тип
39
экстремума, который нужно применять с каждой из этих мер риска в задаче оптимизации
портфеля .
Упражнение 3. Доказать, что (9) является частным случаем (8), получающимся при
задании функции g в виде (10).
Упражнение 4. Показать, что если мера риска μ является монотонной относительно
порядка ≤, то порожденное μ отношение предпочтения _μ согласовано [4] с порядком ≤..
ЛЕКЦИЯ 7
Системы массового обслуживания
Основы теории массового обслуживания
Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории
вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и
математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные
математические модели). Напомним, что:
Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта
(системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и
будущем.
Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных
факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно,
оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условиях
неопределенности.
Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют
«стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие
в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции),
вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть
получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной»,
«доброкачественной».
Понятие случайного процесса
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще
привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например,
процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как
часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).
Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на
интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать
процесс как детерминированный, неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких
устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие,
отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс,
если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного
состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.
Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков).
Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс,
протекающий в этой системе, случаен.
40
2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по
определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки
экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.
Марковский случайный процесс
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если
для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в
будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от
того, когда и как система пришла в это состояние.
Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии
S0. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем
и все, что
было при t < t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать
(предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t0? В точности – нет, но какие-то
вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например,
вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии
S1 или останется в состоянии S0 и т.д.
Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою.
Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов.
К моменту времени t0 количество сохранившихся ( не сбитых) самолетов
соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени
численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит
от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от
того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0
самолеты.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются.
Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно
пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские
модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские
системы массового обслуживания, но математический аппарат, их
описывающий, гораздо сложнее).
В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные
процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его
возможные состояния S1, S2, … можно заранее определить, и переход системы
из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты
возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а
неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.
Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием и
непрерывным временем.
Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков,
каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя
(отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже
продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие
состояния системы:
S0 - оба станка исправны;
41
S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;
S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;
S3 - оба станка ремонтируются.
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически
мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или
окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно
пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа –
состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в
Рис.1. Граф состояний системы
состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.1.
Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т.к.
предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга.
Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы
пренебрегаем.
Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих
одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие
примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине
и т.д.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t
– рис. 2.
Рис.2. Изображение потока событий на оси времени
Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна
реализация потока.
Интенсивность потока событий ( ) – это среднее число событий,
приходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
42
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные
характеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность
стационарного потока постоянна. Поток
событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят
закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу
времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух
непересекающихся участков времени
и
(см. рис.2) число событий,
попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на
другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток,
появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и
вызваны каждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются
поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток
событий
называется
простейшим
(или
стационарным
пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2)
ординарен, 3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он
играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального
распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении
достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков
(сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к
простейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними
событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное)
распределение с плотностью
где - параметр показательного закона.
Для случайной величины T, имеющей показательное распределение,
математическое ожидание
есть величина, обратная параметру, а среднее
квадратичное отклонение
равно математическому ожиданию
Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные
вероятности состояний
Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и
непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из
состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий
(потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все
потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие,
то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.
Итак, на систему, находящуюся в состоянии , действует простейший поток
событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит
«перескок» системы из состояния в состояние
(на графе состояний по
стрелке
).
43
Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют
интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной
дуге (стрелке).
- интенсивность потока событий, переводящий систему из
состояния в . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера
размеченный граф приведен на рис.3.
Рис.3. Размеченный граф состояний системы
На этом рисунке
- интенсивности потока отказов;
- интенсивности
потока восстановлений.
Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того,
ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е. ремонтом каждого станка
занят отдельный специалист.
Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее переводит поток
отказов первого станка. Его интенсивность равна
где
- среднее время безотказной работы первого станка.
Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний ремонтов»
первого станка. Его интенсивность равна
где
- среднее время ремонта первого станка.
Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих
систему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный граф
состояний системы, строится математическая модель данного процесса.
Пусть рассматриваемая система S имеет - возможных состояний
. Вероятность - го состояния
- это вероятность того, что в момент
времени система будет находиться в состоянии . Очевидно, что для любого
момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:
Для нахождения всех вероятностей состояний
как функций времени
составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в
которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило
составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем
его приводить, объясним понятие финальной вероятности состояния.
44
Что будет происходить с вероятностями состояний при
? Будут ли
стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют
и не зависят от начального состояния системы, то они называются
финальными вероятностями состояний.
где - конечное число состояний системы.
Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины
(функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что
– это по – существу среднее
Финальная вероятность состояния
относительное время пребывания системы в этом состоянии.
Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные
вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в
предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в
состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.
Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом
уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного
состояния , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих
из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений
интенсивностей всех потоков, входящих в - е состояние, на вероятности тех
состояний, из которых эти потоки исходят.
Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего
примера:
Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
,
казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют
свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до
произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным
условием
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений
можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).
Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей потоков равны:
.
Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное
условие:
45
.
Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40 % времени
будет проводить в состоянии S0 (оба станка исправны), 20 % - в состоянии S1
(первый станок ремонтируется, второй работает), 27 % - в состоянии S2 (второй
станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S3 (оба станка
ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить
среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.
Пусть система S в состоянии S0 (полностью исправна) приносит в единицу
времени доход 8 условных единиц, в состоянии S1 – доход 3 условные единицы,
в состоянии S2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода.
Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени
будет равен
условных единиц.
Станок 1 ремонтируется долю времени, равную
.
Станок 2 ремонтируется долю времени, равную
.
Возникает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время
ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в
определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с
ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить
систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
Задачи теории массового обслуживания
Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции,
ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие
технологические системы, системы управления гибких производственных
систем и т.д.
Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц,
которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные
тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО
предназначена для обслуживания какого – то потока заявок (требований),
поступающих в какие – то случайные моменты времени.
Обслуживание заявки продолжается какое – то, вообще говоря, случайное
время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.
Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому,
что в какие – то периоды времени на входе СМО скапливается излишне
большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают
СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с
недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и
непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты
появления каких - то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания,
момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
46
Предмет теории массового обслуживания – построение математических
моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их
производительность, правила работы, характер потока заявок) с
интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО.
Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок.
Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу
времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди;
среднее время ожидания обслуживания и т.д.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой
работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему из состояния в
состояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса очень
усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических
зависимостей. На практике не Марковские процессы с приближением
приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат
описывает Марковские процессы.
Классификация систем массового обслуживания
Первое деление (по наличию очередей):
1. СМО с отказами;
2. СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты,
получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты,
не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того,
как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения
могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины
обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
 СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время
обслуживания ограничено);
 СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки
обслуживаются вне очереди и т.д.
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком
состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят.
Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени
требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков
зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными
разновидностями, но этого достаточно.
Математические модели простейших систем массового обслуживания
Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового
обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные».
Математические модели этих систем применимы и успешно используются в
практических расчетах.
47
Одноканальная СМО с отказами
Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает
простейший поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет
интенсивность . Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и
вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.
Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях: S0 – канал
свободен; S1 – канал занят. Переход из S0 в S1 связан с появлением заявки и
немедленным началом ее обслуживания. Переход из S1 в S0 осуществляется, как
только очередное обслуживание завершится (рис.4).
Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других
СМО будут даваться без выводов и доказательств.
(среднее число
заявок,
Абсолютная
пропускная
способность
обслуживаемых в единицу времени):
где
– интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему
промежутку времени между поступающими заявками - );
– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему
времени обслуживания
)
Относительная пропускная способность (средняя доля заявок,
обслуживаемых системой):
Вероятность отказа
необслуженной):
(вероятность того, что заявка покинет СМО
Очевидны следующие соотношения:
и
.
Пример. Технологическая система состоит из одного станка. На станок
поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа
.
Среднее время изготовления одной детали равно
. Если при
поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь)
направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную
48
пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению
детали.
Решение.
Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.
.
Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие
станки.
N – канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из
практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским
математиком Эрлангом.
Дано: в системе имеется n – каналов, на которые поступает поток заявок с
интенсивностью
. Поток обслуживаний имеет интенсивность
. Заявка,
заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.
Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО;
вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ;
среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам,
среднее число занятых каналов).
Решение. Состояние системы S (СМО) нумеруется по максимальному числу
заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):
 S0 – в СМО нет ни одной заявки;
 S1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные
свободны);
 S2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные
свободны);
 ...
 Sn – в СМО находится n – заявок (все n – каналов заняты).
Граф состояний СМО представлен на рис. 5
Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами
Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S0 в состояние
S1 систему переводит поток заявок с интенсивностью (как только приходит
заявка, система переходит из S0 в S1). Если система находилась в состоянии S1 и
пришла еще одна заявка, то она переходит в состояние S2 и т.д.
49
Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система
находится в состоянии S1 (работает один канал). Он производит
обслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состояния S1 в
состояние S0 нагружена интенсивностью . Пусть теперь система находится в
состоянии S2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S1, нужно, чтобы
закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность
их потоков равна
и т.д.
Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО
определяются следующим образом.
Абсолютная пропускная способность:
где n – количество каналов СМО;
– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы
свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S0);
Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»
Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6
Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для
схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для
общую формулу (без
доказательства):
Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся
следующим образом.
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S1, когда один канал
занят:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии S2, т.е. когда два канала
заняты:
Вероятность того, что СМО находится в состоянии Sn, т.е. когда все каналы
заняты.
50
Теперь для n – канальной СМО с отказами
При этом
Относительная пропускная способность:
Напомним, что это средняя доля заявок, обслуживаемых системой. При этом
;
.
Вероятность отказа:
Напомним, что это вероятность того, что заявка покинет СМО
необслуженной. Очевидно, что
.
Среднее число занятых каналов (среднее число заявок, обслуживаемых
одновременно):
При этом
.
Пример. Имеется технологическая система (участок), состоящая из трех
одинаковых станков. В систему поступают для обработки детали в среднем
через 0,5 часа ( ). Среднее время изготовления одной детали
. Если
при поступлении заявки на изготовление детали все станки заняты, то деталь
направляется на другой участок таких же станков. Найти финальные
вероятности состояний системы и характеристики (показатели эффективности)
данной СМО.
,
т.е. в среднем две заявки на обработку деталей в час.
51
.
Граф состояний системы представлен на рис.7
Рис.7Граф состояний для рассматриваемого примера
Возможные состояния системы:
S0 – в СМО (на участке) нет ни одной заявки;
S1 – в СМО (на участке) одна заявка;
S2 – в СМО (на участке) две заявки;
S3 – в СМО (на участке) три заявки (заняты все три станка).
Вероятность того, что все станки свободны:
Вероятность того, что один станок занят:
Вероятность того, что два станка заняты:
Вероятность того, что все три станка заняты:
Т.е. в среднем в этой системе обрабатывается 1,82 дет/ч (примерно 91 %
направляемых деталей), при этом примерно 9 % деталей направляется для
обработки на другие участки. Одновременно в среднем работает в основном
52
один станок (
). Но из–за случайных характеристик потока заявок иногда
работают одновременно все три станка (
), отсюда 9 % отказов.
Возможные постановки задач оптимизации n – канальных СМО с
отказами
1. Определить оптимальное число каналов, обеспечивающее минимум
затрат на систему, при условии достижения требуемого уровня ее
безотказной работы.
Пример. Пусть
на СМО) запишется:
Решение:
. Целевая функция (затраты
, где
. Найти:
.
или
.
По другому можно записать:
.
Последнее равенство начинает выполняться при
, т.к.
;
;
;
.
2. Определить оптимальное число каналов, обеспечивающее
максимум прибыли от эксплуатации СМО в единицу времени.
Содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую–то
сумму. Чем больше каналов, тем больше затраты на эксплуатацию СМО. Вместе
с тем, чем больше каналов (при и
), тем больше доля обслуживаемых
заявок. А каждая обслуженная заявка дает определенный (пусть постоянный)
доход в единицу времени. При увеличении числа каналов растут доходы D, но
растут и расходы на эксплуатацию СМО – R. Чтобы решить эту задачу,
необходимо найти оптимальное число каналов
, обеспечивающее максимум
целевой функции
, т.е. нужно максимизировать прибыль в
единицу времени.
53
4.2.
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Лабораторная работа №1
Движение тел в среде с учетом трения
Второй закон Ньютона. В рассматриваемых ниже физических задачах
фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с
которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их
несколько — то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратно

 F
пропорционально его массе: a  .
m
Чтобы исследовать ситуации, когда сила или масса не являются величинами
постоянными, необходимо записать этот закон в более общей математической форме.
Допустим, что сила или масса (или и то, и другое) непостоянны
и заданным

образом зависят от времени, скорости движения или перемещения: F (t , v , s) и m(t , v, s).
Достаточно наличия хотя бы одной из указанных зависимостей, чтобы ускорение было
величиной переменной. В этом случае приведенная выше формула определяет его
значение в тот момент времени, которому соответствуют сила и масса. Реальный интерес


представляет временная зависимость перемещения s ( t ) и скорости v ( t ) . Поскольку
ускорение есть приращение скорости, а скорость — приращение перемещения, то


dv
ds


a (t ) 
, v (t ) 
,
(1.1)
dt
dt
а сам второй закон Ньютона приобретает вид
  

d 2 s F (t , v , s )

(1.2)
 
dt 2 m(t , v , s )
или, что то же самое,
  


ds 
dv F (t , v , s )
 v (t ),

(1.3)
  .
dt
dt m(t , v , s )
Еще раз подчеркнем, что совсем необязательно чтобы сила и/или масса зависели
каждая от трех указанных переменных. Чаще всего в конкретных задачах присутствует в
явном виде одна из указанных зависимостей.
Произведем дискретизацию по времени простейшим возможным способом. Если в
некоторый момент времени t0 величина s имеет значение s0, а величина v — значение
v0, то в некоторый последующий момент времени
t1= t0 +t будем иметь:

F







v (t1 )  v (t 0 )  a (t 0 )  t  v (t 0 )  0  t ,
s(t1 )  s (t 0 )  v (t 0 )  t .
(1.4)
m0
Здесь индекс «0» означает величины в начальный момент времени.


При вычислениях значений v и s в последующие моменты времени можно


поступать аналогично (7.4). Так, если известны значения v i и si в момент ti, то


 Fi

 
vi 1  vi 
 t , si 1  si  vi  t .
(1.5)
mi
Вопрос о выборе конкретного значения t весьма непрост и определяется
следующими соображениями. При компьютерном моделировании можно получить
решение задачи о движении тела на некотором конечном отрезке времени [t0, T]. Чем
больше величина t, тем:
54
а) меньше вычислений требуется для того, чтобы пройти весь заданный временной
интервал;


б) меньшая точность в передаче значений непрерывных функций s ( t ) и v ( t ) их


дискретными представлениями — наборами чисел si и v i .
Вопрос о точности результатов является в описываемом моделировании одним из
центральных. Он распадается на два: как оценить эту точность и можно ли, уменьшая t,
достигать все большей точности?
Остановимся вначале на первом. Формулы (1.4), (1.5) представляют собой
применение метода Эйлера для приближенного решения системы дифференциальных
уравнений (1.3). Наиболее приемлемой при использовании этого и родственного ему
методов (например, Рунге-Кутта) является эмпирическая оценка точности. Для этого
отрезок [t0, T] проходится с некоторым шагом t, а затем с существенно меньшим
(например, в два раза) шагом. Сравнение результатов в точках t 1 , t 2 ,  , T позволяет
составить представление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то
следует повторить процесс с еще меньшим шагом.
Однако, уменьшение шага t не всегда ведет к улучшению результатов
моделирования. Одна из причин заключается в том, что чем меньше шаг, тем больше
арифметических действий, ведущих к увеличению глобальной погрешности округления.
Другая причина глубже и связана со способом дискретизации — перехода от описания
реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простейшим формулам
(1.4), (1.5). Обе причины могут привести к неустойчивости решения, т.е. получению
результатов, не имеющих реально ничего общего с истинными. Обычно неустойчивость
становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага t.
Более
эффективными
при
моделировании
процессов,
описываемых
дифференциальными уравнениями, являются методы Рунге-Кутта более высокого порядка
аппроксимации, чем метод Эйлера, неявные методы, методы типа «предиктор-корректор»,
отличающиеся повышенной устойчивостью, и другие, описанные в специальной
литературе.
Сила сопротивления. В ряде представленных ниже задач необходимо знать, от
чего зависит сила сопротивления при движении в среде. При реальных физических
движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер
движения.
Соответствующие закономерности носят эмпирический характер и отнюдь не
имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. При
относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости
и имеет место соотношение
Fсопр= k 1 v ,
(1.6)
где k1 определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика
k1  6 r — так называемая формула Стокса, где  — динамическая вязкость среды, r
— радиус шарика. Так, для воздуха при t  20o С и давлении 1 атм   0,0182
  1,002
Нс
м
2
, глицерина   1480
Нс
м2
Нс
м2
, для воды
.
При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональной
квадрату скорости:
Fсопр  k2 v 2 .
(1.7)
Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления формально также
сохранится, но если k 2 v 2  k1v , то вкладом k1v можно пренебречь. О величине k2
известно следующее: она пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по
55
отношению к потоку, плотности среды среды и зависит от формы тела. Обычно
представляют
1
(1.8)
k2  cSсреды ,
2
где c — безразмерный коэффициент лобового сопротивления (рисунок 1.1.).
Диск
c=1,11
Полусфера
c=0,55
Шар
c=0,4
«Каплевидное»
тело
c=0,045
Рис. 1.1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел,
поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму
При достижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за
обтекаемым телом вихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела,
значение с в несколько раз уменьшается; для шара оно становится приблизительно
равным 0,1.
Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела —
уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы
тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя силу,
скорость и перемещение на ось, направленную вертикально вниз, получаем из (1.3):
d h
 d t  v ,
(1.9)
 d v mg  k v  k v 2
1
2


 d t
m
В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления
пренебречь (если она заведомо много меньше другой).
Частичное тестирование моделирующей программы можно провести для движения
без трения. Аналитическое решение в этом случае общеизвестно.
Входные параметры модели:
* начальная высота тела;
* начальная скорость тела;
* величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2.
56
Взлет ракеты. Построим простейшую модель вертикального взлета ракеты,
приняв гипотезу, что ее масса уменьшается во время взлета по линейному закону:
m0   t , если m(t )  mкон
(1.10)
m(t )  
если m(t )  mкон
 mкон ,
Силу тяги двигателя будем считать постоянной на всем участке взлета.
Однако при самом простом моделировании данного процесса необходимо принять
во внимание, что плотность воздуха , входящая в коэффициент k2, убывает по мере
подъема ракеты по закону  = 0 . 10h, где h  высота,   5,6 . 105 м1 — иначе модель
будет совершенно неадекватна реальности. Таким образом, модель будет описываться
системой двух дифференциальных уравнений для функций v(t) и h(t):
 dh
 dt  v ,
(1.11)
 dv Fтяги  m(t ) c 10   h sv 2 (t )
0


,
 dt
m(t )
Входные параметры модели:
 m0  начальная масса ракеты, заправленной топливом;
 mкон  остаточная масса после полного выгорания топлива;
   расход топлива;
 величины, определяющие k2  коэффициент сопротивления воздуха (линейной
составляющей силы сопротивления можно заведомо пренебречь);
 Fтяги  сила тяги двигателя (принять постоянной).
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные
уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием скорости и
перемещения на горизонтальную и вертикальную оси координат:
 dvx
k 1  k 2 v x2  v y2


vx ,
m
 dt
 dvy
k 1  k 2 v x2  v y2


vy ,
(1.12)
 dt
m
 dx
 dt  vx ,
 dy

 vy .
 dt
Входные параметры модели:
 m  масса тела;
 v  величина начальной скорости;
   угол начального наклона вектора скорости к горизонту;
* величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2.
Контрольные вопросы
1. Каковы альтернативные формы записи второго закона Ньютона?
2. Как связаны сила трения при движении тела в среде со скоростью движения при
относительно небольших (дозвуковых) скоростях?
3. Как (качественно) меняется сила трения со скоростью при околозвуковых
скоростях движения?
4. При каких значениях скорости становятся равными линейная и квадратичная
составляющие силы сопротивления при падении шарика диаметром 5 см
а) в воде?
57
б) керосине?
в) в глицерине?
Вариант 1.
Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой
высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту
приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?
Вариант 2.
Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта,
чтобы скорость приземления была безопасной?
Вариант 3.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в
различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения.
Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей
силы сопротивления можно было пренебрегать.
Вариант 4.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в
различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения.
Скорость движения должна быть достаточно велика, чтобы линейной составляющей силы
сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).
Лабораторная работа №2
Моделирование движения небесных тел и заряженных частиц
Движение небесных тел. Рассмотрим модель движения космического тела
(планеты, кометы, спутника) под действием силы всемирного тяготения в гравитационном
поле, создаваемом телом с многократно большей массой.
Входные параметры модели:
 масса «большого» тела;
 начальные координаты «малого» тела, движение которого изучается;
 начальная скорость «малого» тела.
В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу,
дифференциальные уравнения модели имеют вид
 dx
 dt  vx ,
 dy
  vy ,
 dt
x
(1.13)
 dv x
,
 dt  GM
2
2 3
(x  y )

dv
y
y



GM
.
 dt
(x2  y2 )3

Они получаются из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения. G =
6,67. 1011 м3/кг с2  гравитационная постоянная.
Движение заряженных частиц. Рассмотрим модель движения заряженной
частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой
фиксировано.
Входные параметры модели:
 q и Q  соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц;
 m  масса движущейся частицы;
 начальные координаты движущейся частицы;
 начальная скорость движущейся частицы.
58
В системе координат, начало которой
дифференциальные уравнения модели имеют вид
 dx
 dt
 dy

 dt
 dvx
 dt

 dvy
 dt

привязано
к
«большому»
телу,
 vx ,
 vy ,
Qq

4 0 m
(x2
1
Qq



4 0 m
(x2

1

x
y )
y
2 3
 y2 )3
,
(1.14)
.
Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона.  0 = 0,85 . 1012 ф/м
 электрическая постоянная. Знак “” в двух последних уравнениях соответствует
разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на “+”.
Взаимные движения разноименно заряженных частиц и движения двух небесных
тел качественно очень схожи (это становится совершенно очевидно после
обезразмеривания уравнений (1.13) и (1.14)).
Контрольные вопросы
1. Как формулируется закон всемирного тяготения?
2. Как формулируется закон Кулона?
Варианты
Вариант 1.
Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на
расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1,50.1011 м  расстояние от
Земли до Солнца) скорость v=10 км/с и направлена под углом  = 30о к оси «кометаСолнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если да, то сколько длится для нее
период полета?
Вариант 2.
В условиях предыдущей задачи подобрать то значение угла , при котором
траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v фиксирована).
Вариант 3.
В условиях задачи из варианта 1 подобрать то значение скорости v, при котором
траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (угол  фиксирован).
Вариант 4.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера,
определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Лабораторная работа №3
Колебательные процессы
Рассмотрим модель движения математического маятника при произвольном (не
малом) начальном угле отклонения.

F
нат
F
mg
59
Рис.1.4. Математический маятник
Поскольку нить подвеса считается нерастяжимой, то у маятника одна степень
свободы. Удобно принять за нее угол между нитью подвеса и вертикалью.
Уравнения движения имеют вид:
d 2
g
sin( ) .
2  
dt
l
(1.15)
В случае малых колебаний (колебаний с малой амплитудой) оно превращается в
так называемое уравнение малых колебаний, отличающееся от полного заменой в правой
части sin() на  . Задача о малых колебаниях имеет простое аналитическое решение
 = A cos( t + ),
(1.16)
где A  амплитуда колебаний,   частота,   начальная фаза. A и  можно
выразить через начальные условия  угол 0 и скорость v0:
v 02
v0
tg ( )  
.
A  0 
2 ,
l 0
(l )
2
Частота колебаний  =
T
2

(1.17)
l
; отметим, что она, равно как и период колебаний
g
, в приближении малых колебаний не зависит от начальной амплитуды.
Малые колебания маятника  пример так называемого гармонического движения,
описываемого простой тригонометрической функцией (см. (1.16)).
Для численного эксперимента удобно представить уравнение колебаний в форме
системы двух уравнений первого порядка:
 d
 dt  x ,
 dx
g

  sin( ) .
l
 dt
(1.18)
Входные параметры модели:
l — длина нити подвеса;
 0 — начальное отклонение маятника;
х0 — начальная угловая скорость.
Колебания маятника с трением в точке подвеса описывается следующим
уравнением:
d 2
d
  2 sin( )
2  2
dt
dt
g
,   коэффициент трения.
l
Уравнение (7.19а) равносильно системе уравнений
где, как и выше,  
60
(1.19а)
 d
 dt  x ,
 dx

 2 x   2 sin( ) .
 dt
(1.19б)
Трение приводит, в частности, к тому, что в зависимости от соотношения  и 
появляются разные режимы движения: затухающие колебания и затухание без колебаний.
Одна из задач исследования  найти на фазовой плоскости (,) зависимость линии,
разделяющей два режима, от начального отклонения маятника.
Входные параметры модели:
 — частота собственных малых колебаний маятника;
 0 — начальное отклонение маятника;
х0 — начальная угловая скорость;
 — коэффициент трения.
Вынужденные колебания маятника описываются уравнением
d 2
d
  2 sin( )  f cos( t ) ,
2  2
dt
dt
(1.20а)
где f  амплитуда,   частота вынуждающей силы.
Уравнение (7.20а) равносильно системе уравнений
 d
 dt  x ,
 dx
  2 x   2 sin( )  f cos(  t ) .
 dt
(1.20б)
При    наступает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При
 =  эта амплитуда в приближении малых колебаний формально бесконечна, однако
само приближение при этом не работает. Исследовать резонанс в отсутствии трения,
пользуясь базовым уравнением колебаний.
Вынужденные колебания проходят через два этапа  переходный процесс и
стационарные колебания с частотой вынуждающей силы. При    переходный процесс
сопровождается биениями  особым видом пульсирующих колебаний. Исследовать
зависимость амплитуды биений от различных параметров системы.
Входные параметры модели:
 — частота собственных малых колебаний маятника;
 0 — начальное отклонение маятника;
х0 — начальная угловая скорость;
 — коэффициент трения.
f — амплитуда вынуждающей силы;
 — частота вынуждающей силы.
При периодическом изменении длины нити подвеса уравнений колебаний
принимает вид
d 2
d
  20 (1   cos( t )) sin( )
(1.21а)
2  2 
dt
dt
61
где   частота колебаний длины нити подвеса.
Уравнение (1.21а) равносильно системе уравнений
 d
 dt  x ,
 dx
  2 x   02 (1   cos(  t ) ) sin( )
 dt
(1.21б)
Одно из принципиальных явлений, связанных с этими колебаниями  появление
так называемого параметрического резонанса при некоторых соотношениях частот  и 0:
  0 / 2,   0,   3 0/ 2, . . .
Входные параметры модели:
 0 — частота собственных малых колебаний маятника;
 0 — начальное отклонение маятника;
х0 — начальная угловая скорость;
 — коэффициент трения.
 — амплитуда модуляции;
 — частота модуляции.
Лабораторная работа №4
Задача о заряде и разряде конденсатора (задача решается в Excel)
Электрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Известны величина
ЭДС и сопротивление цепи заряда. По прошествии некоторого времени конденсатор
отключается от источника ЭДС и подключается к резистору с известным сопротивлением.
В течение некоторого времени наблюдается разряд конденсатора. Требуется определить
изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при заряде и разряде.
Решение: обозначим ЭДС источника как Е, а напряжение на конденсаторе -Uk.
Напряжение на конденсаторе при заряде подсчитывается по формуле Uk=E(1-e-t/RC). Пусть
ЭДС равна 1В, тогда расчет можно производить по упрощенной формуле Uk=1-e-t/RC.
Зададим конкретное время для процесса заряда конденсатора, например 3с.
Соответственно, расчет по приведенной выше формуле проведем для значений времени от
0 до 3с с шагом 0,3с. Пусть по прошествии этого времени делается переключение
конденсатора на разряд. Поэтому с момента времени 3,3с будем пользоваться формулой
для разряда конденсатора Uk=Uc*e-t/RC, где Uc- напряжение, до которого зарядился
конденсатор.
Чтобы для разряда счет времени начался с 0, будем вычитать все последующие
значения времени из значения 3,3с.
Ток, протекающий через конденсатор при заряде, рассчитаем по формуле Ik=(EUk)/R. Напомним, что Е мы положили равным 1В.
Ток разряда конденсатора находится по формуле Ik=Uk/R.
62
Таким образом, таблица должна быть составлена из двух таблиц: таблицы расчета
токов и напряжений при заряде и разряде конденсатора.
При построении графика для напряжений и токов в формуле для тока можно
сделать умножение на масштабный коэффициент 900 000, так как числовые значения тока
во много раз меньше значений напряжения.
Формулы, по которым выполняются вычисления, приведены в таблице 1.
Напряжение Uc, до которого зарядился конденсатор, получено в ячейке В15. Оно
является исходным для разряда, поэтому повторяется в ячейке В16. Величина ЭДС
(ячейка Е3) при вычислениях может быть введена любая. Здесь для простоты выбрана
единица (1В).
Лабораторная работа №5
Моделирование колебаний маятника.
Груз на невесомом жестком подвесе длиной 5м на высоте 30м, колеблется с
большой амплитудой. Как зависит период колебаний от величины максимального угла
отклонения?
Решение: При больших амплитудах период колебаний T=2‫ח‬/ω=2√(g/l). Однако
замена sinφ на φ недопустима. Точность решения зависит от величины шага изменения
времени, и может быть сделана сколь угодно большой. Величина φ ранжируется от 0 до 60
с шагом 5,затем угол отклонения убывает на ту же величину до 0. Время вычислений
задается от 0 до 2,3 с. с шагом 0,1 с. вычисления производятся по следующим формулам:
Амплитуда: A=dt*h*sin φ,
Угловая скорость: ω=ω0+Adt,
Координата Х: x=l*sin φ,
Координата Y: y=l*cos φ.
Лабораторная работа №6
Моделирование движения частиц в магнитном поле, если вектор скорости не
перпендикулярен (задача решается в Derive).
Такие же частицы, как и в предыдущей задаче, влетают в такое же магнитное поле,
но под разными углами к силовым линиям. начертите траектории.
Решение: Разложить вектор скорости на два составляющих вектора: вектор V1 ,
перпендикулярный вектору В, и вектор V2 , параллельный В. движение со скоростью V1
сведется к решению предыдущей задачи, а движение со скоростью V2 будет
равномерным, так как поле индукцией В не действует на этот составляющий вектор
63
скорости. Добавляется равномерное смещение по оси x: x=x0+V0t. Вместо окружности в
плоскости y,z, как в предыдущей задаче. Получится спираль, вытянутая вдоль оси x.
V1=V*cos(α),
V2=V*sin(α),
R=m*V2/(q*B)
Лабораторная работа №7
Решение дифференциальных уравнений(задача решается в
MathCad)
Найти
функцию
у(х),
удовлетворяющую
дифференциальному
уравнению(dy/dx)+y=x*cos х и имеющую значение 0 при х = 0 . Анализ. Это простое
дифференциальное уравнение допускает точное аналитическое решение, однако в данном
упражнении предполагается использование стандартной функции программы MathCad,
осуществляющей численное решение данного уравнения. Результат вычислений можно
после этого сравнить с точным решением.
1.
Запустите программу MathCad.
2.
Задайте начальное значение функции как элемент вектора у, размерность кот
соответствует числу решаемых уравнений (в данном случае единице): уо-'=0
3. Создайте функцию Т(х,у), которая вычисляет значение производной при заданных
значениях независимой переменной и неизвестной функции:
4. Определите начальное (точка 0) и конечное значение отрезка интегрирования.
а:=0, Ъ:=12к.
5. Укажите число шагов интегрирования.
К: =20.
6. Вычислите численное решение уравнения при помощи функции rkfixed.
Z := rkfixed 6>,aAM.
Результат вычислений - матрица Z с двумя столбцами, первый из которых содержит
значения независимой переменной, а второй - соответствующие значения функции.
7.
Постройте график полученного решения.
8. Определите аналитическое решение данного уравнения при тех же начальных
условиях.
9. Нанесите аналитическую кривую на тот же график и сравните поведение численного и точного решения.
10. Измените число шагов, на которые делится отрезок интегрирования, и исследуйте,
64
как изменяется результат расчета при уменьшении и увеличении этого параметра.
Мы научились численно решать диф.уравнения первого порядка с помощью программы
MathCad. Использованный метод без изменений переносится на системы, содержащие два
или большее число дифференциальных уравнений. Увеличение величины шага
интегрирования ускоряет получение результата, но снижает его точность. При слишком
большой величине шага результат расчетов может вообще не соответствовать реальному.
Лабораторная работа №8
Задача о заряде и разряде конденсатора(задача решается в Excel)
Электрический конденсатор заряжается от источника ЭДС. Известны величина ЭДС и
сопротивление цепи заряда. По прошествии некоторого времени конденсатор
отключается от источника ЭДС и подключается к резистору с известным
сопротивлением. В течение некоторого времени наблюдается разряд конденсатора.
Требуется определить изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при заряде
и разряде.
Решение: обозначим ЭДС источника как Е, а напряжение на конденсаторе -Uk.
Напряжение на конденсаторе при заряде подсчитывается по формуле Uk=E(1-e-t/RC). Пусть
ЭДС равна 1В, тогда расчет можно производить по упрощенной формуле Uk=1-e-t/RC.
Зададим конкретное время для процесса заряда конденсатора, например 3с.
Соответственно, расчет по приведенной выше формуле проведем для значений времени от
0 до 3с с шагом 0,3с. Пусть по прошествии этого времени делается переключение
конденсатора на разряд. Поэтому с момента времени 3,3с будем пользоваться формулой
для разряда конденсатора Uk=Uc*e-t/RC, где Uc- напряжение, до которого зарядился
конденсатор.
Чтобы для разряда счет времени начался с 0, будем вычитать все последующие
значения времени из значения 3,3с.
Ток, протекающий через конденсатор при заряде, рассчитаем по формуле Ik=(EUk)/R. Напомним, что Е мы положили равным 1В.
Ток разряда конденсатора находится по формуле Ik=Uk/R.
Таким образом, таблица должна быть составлена из двух таблиц: таблицы расчета
токов и напряжений при заряде и разряде конденсатора.
При построении графика для напряжений и токов в формуле для тока можно
сделать умножение на масштабный коэффициент 900 000, так как числовые значения тока
во много раз меньше значений напряжения.
Формулы, по которым выполняются вычисления, приведены в таблице 1.
Напряжение Uc, до которого зарядился конденсатор, получено в ячейке В15. Оно
является исходным для разряда, поэтому повторяется в ячейке В16. Величина ЭДС
65
(ячейка Е3) при вычислениях может быть введена любая. Здесь для простоты выбрана
единица (1В).
Таблица 1.
сопротивление резистора
Емкость конденсатора
ЭДС (Е)
1 000 000
0,000001
1
Uc
время
Ir
(1-B5)/$E$1*900000
0 1-EXP(-A5/($E$2*$E$1)))
A5+$F$3
EXP(($A$16-A16)/($E$1*$E$2))*$B$15
В таблице 2 приведены результаты расчета.
1
0,8
0,6
Uc
Ir
0,4
0,2
Лабораторная работа №9
Моделирование колебаний маятника.
66
19
17
15
13
11
9
0
7
0,9
0,666736
0,49393
0,365913
0,271075
0,200817
0,148769
0,110211
0,081646
0,060485
0,044808
0,855192
0,633542
0,469339
0,347695
0,257579
0,190819
0,141362
0,104724
0,077581
5
0
0,259182
0,451188
0,59343
0,698806
0,77687
0,834701
0,877544
0,909282
0,932794
0,950213
0,950213
0,703935
0,521488
0,386328
0,286199
0,212021
0,157069
0,11636
0,086201
3
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
2,1
2,4
2,7
3
3,3
3,6
3,9
4,2
4,5
4,8
5,1
5,4
5,7
Ir
1
Uc
время
0,3
Груз на невесомом жестком подвесе длиной 5м на высоте 30м, колеблется
с большой амплитудой. Как зависит период колебаний от величины
максимального угла отклонения?
Решение: При больших амплитудах период колебаний T=2‫ח‬/ω=2√(g/l). Однако
замена sinφ на φ недопустима. Точность решения зависит от величины шага изменения
времени, и может быть сделана сколь угодно большой. Величина φ ранжируется от 0 до 60
с шагом 5,затем угол отклонения убывает на ту же величину до 0. Время вычислений
задается от 0 до 2,3 с. с шагом 0,1 с. вычисления производятся по следующим формулам:
Амплитуда: A=dt*h*sin φ,
Угловая скорость: ω=ω0+Adt,
Координата Х: x=l*sin φ,
Координата Y: y=l*cos φ.
Формулы, по которым производятся вычисления приведены в таблице 1.
Таблица 1.
высота подвеса
длина подвеса
изменение времени
t
0
A6+$G$3
30
5
0,1
5
угол откл амплитуда
угловая ск.
X
Y
0 A6*$G$1*sin(B6) 0+C6*A6
$G$2*sin(B6) $G$2*cos(B6)
B6+$G$4
$D$6+C7*A7
Полученные данные и график показаны в таб.2
67
высота подвеса
длина подвеса
изменение времени
30
5
0,1
5
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
угол откл амплитуда
0
0
5
-2,876772824
10
-3,264126665
15
5,852590561
20
10,95534301
25
-1,985276251
30
-17,78456923
35
-8,991836059
40
17,88271585
45
22,97439516
50
-7,871245611
55
-32,99192072
60
-10,97318236
55
-38,99045176
50
-11,01974386
45
38,2906586
40
35,7654317
35
-21,83731614
30
-53,3537077
25
-7,544049756
20
54,77671504
15
40,96813393
10
-35,90539332
5
-66,16577495
0
0
угловая ск.
X
0
-0,287677282
-0,652825333
1,755777168
4,382137203
-0,992638126
-10,67074154
-6,294285242
14,30617268
20,67695565
-7,871245611
-36,29111279
-13,16781883
-50,68758729
-15,4276414
57,43598791
57,22469072
-37,12343745
-96,03667386
-14,33369454
109,5534301
86,03308125
-78,9918653
-152,1812824
0
0
-4,79462137
-2,72010555
3,2514392
4,56472625
-0,66175875
-4,94015812
-2,14091335
3,7255658
4,25451762
-1,31187427
-4,99877587
-1,52405311
-4,99877587
-1,31187427
4,25451762
3,7255658
-2,14091335
-4,94015812
-0,66175875
4,56472625
3,2514392
-2,72010555
-4,79462137
0
Y
5
1,418310927
-4,19535765
-3,79843956
2,040410309
4,956014059
0,771257249
-4,51846103
-3,33469031
2,626609944
4,824830142
0,110633781
-4,7620649
0,110633781
4,824830142
2,626609944
-3,33469031
-4,51846103
0,771257249
4,956014059
2,040410309
-3,79843956
-4,19535765
1,418310927
5
150
100
50
t
угол откл
25
22
19
16
13
10
7
4
1
0
-50
амплитуда
угловая ск.
X
-100
Y
-150
-200
Таблица 2.
Лабораторная работа №10
Дифракция на щели(задача решается в Derive)
Решение: Введем следующие обозначения: I 0  I -интенсивность в центре экрана.
L:=4m
I 0 :1
ширина щели
b:=0.1mm
:0.55106 m
длина волны.
Угол дифракции  ( x ):
 bsin


x
L .
При дифракции в параллельных лучах от одной щели распределение интенсивности света
по экрану выражается формулой: I ( x ): I 0
sin(  ( x )) 2
.
2
 ( x)
Зададим ранжированную переменную: x:=-80mm, -79.1 mm, 80 mm.
68
Для построения графика поверхности распределения интенсивности падающего на
экран света зададим размеры матрицы координат: N:=51 и введем ранжированные
переменные: i:=0..N
j:=0..N. Максимальный размер картинки, наблюдаемой на экране:
Xm:=160 mm.
Тогда:
Xm Xm
xi :
i 
,
N
2
y j :
Xm
 j и выразим через них  и интенсивность
N
падающего на экран света по формулам:
i, j :

x
 bsin i

4.3.
L
I i, j : I 0
sin( i, j ) 2
(i, j ) 2
.
Методические рекомендации для преподавателей
Курс «Компьютерное моделирование в профессиональной деятельности» состоит из трех
основных блоков: теоретическая часть, практическая часть и контроль. Теоретическая
часть содержит главным образом лекционный материал на 1 семестр обучения.
Практическая часть состоит из лабораторных работ. Блок контроля рассчитан на проверку
уровня усвоения и теоретического материала и умений практической работы. Скажем
блок контроль ведет проверку по трем фронтам: это тест, состоящий вопросов по всем
темам, содержащимся в теоретической части; это список вопросов на зачет и список
проектных заданий, рассчитанных на самостоятельное выполнение. Рекомендуется
производить проверку усвоения знаний и умений по все этим трем фронтам для более
адекватного выявления оценки, которую по курсу «Компьютерное моделирование в
профессиональной деятельности» студент заслужил.
4.4.
Методические рекомендации для студентов
Особенность большинства работ данного раздела - отсутствие полных инструкций
о ходе выполнения работы и возможность для студента проявить значительную
самостоятельность, уточнить (с помощью преподавателя или самостоятельно) постановку
задачи, выбрать метод реализации модели, форму представления результатов и т.д. Это
придает работам исследовательский характер.
Работы рассчитаны на самостоятельную разработку программ, их отладку и
тестирование. Выбор программного средства - в руках преподавателей и студентов. Им
может быть электронная таблица (если Вы желаете избежать классического
программирования), язык Паскаль с его графическими возможностями, программные
средства, ориентированные на реализацию математических расчетов (пакеты
"Mathematica", "MathCad" и им подобные), языки визуального программирования,
позволяющие создавать современный пользовательский интерфейс, и т.д. Наилучшее
решение - использование каждым студентом в ходе реализации практикума нескольких
программных средств.
Выполнение работ данного раздела опирается на математический аппарат,
входящий в стандартный курс "Численные методы". Задачей студента является выбор
адекватного метода (здесь вполне уместно использование библиотеки стандартных
69
математических программ) и получение достоверного результата с контролем его
точности.
Первостепенную важность при выполнении работ по моделированию имеет форма
представления результатов. До начала выполнения каждой работы необходимо
спроектировать (возможно, с помощью преподавателя) интерфейс пользователя
моделирующей программы. Идеальным является наличие нескольких видов отображения
результатов моделирования: численного, табличного, графического, динамического,
звукового сопровождения и т.д. Некоторые требования по форме представления
результатов указаны в инструкциях к работам. Эти требования могут быть дополнены и
конкретизированы преподавателями, проводящими занятия, остальное - на усмотрение
студентов.
В приведенной ниже таблице указана примерная трудоемкость каждой работы.
Оценка исходит из того, что студенты:
·
предварительно подготовились к выполнению работы, освоили соответствующий
теоретический материал;
·
имеют практически завершенную математическую модель процесса;
·
достаточно свободно владеют математическими методами, необходимыми для
выполнения данной работы;
·
имеют устойчивые навыки программирования и/или использования необходимых
для выполнения данной работы программных средств.
70
4.5.
ГЛОССАРИЙ
Валидация модели — процесс логического доказательства соответствия модели объекту
путём вывода из её соотношений наперёд известных закономерностей, присущих объекту.
Верификация модели — процесс проверки соответствия результатов моделирования
эмпирическим данным об объекте, сопровождающийся анализом и объяснением причин
наблюдаемых расхождений.
Входная переменная — переменная, значение которой присваивается перед началом
вычислительного эксперимента и остаётся неизменным вплоть до его завершения.
Выходная переменная — переменная, значение которой в момент начала
вычислительного эксперимента не определено, а по завершении используется в целях
интерпретации либо в качестве исходных данных другой модели.
Вычислительный эксперимент — этап решения практической задачи с помощью
имитационной модели, состоящий в её решении (процедурном выполнении) при заданных
значениях переменных, имитирующих заданные условия функционирования
моделируемого объекта.
Динамическое программирование — раздел математического программирования,
изучающий методы поиска оптимального пути на сетях.
Имитационная модель — математическая модель, не содержащая соотношений,
выражающих цель её эксплуатации и ориентированная на постановку компьютерных
экспериментов, цель которых, как правило, не вполне известна разработчику.
Интерфейс модели — совокупность тех входных и выходных переменных модели, через
которые она взаимодействует с другими моделями в процессе её эксплуатации.
Коллекция моделей — множество моделей, соответствующих одному и тому же объекту
и имеющих один и тот же интерфейс, но различающихся степенью детальности,
требуемыми затратами вычислительных ресурсов, границами выполнения основного
предположения имитационного моделирования, потребностью в информации для
параметрической идентификации и т.д. В зависимости от цели компьютерного
эксперимента перед его началом выбирают подходящие экземпляры из коллекций
моделей, используемых в данном эксперименте.
Макроэкономическая модель — экономико-математическая модель, в которой субъекты
принятия экономических решений представлены агрегированно, а различия между ними
не отражены.
Математическое программирование — раздел математики, изучающий методы поиска
экстремумов на множествах, заданных системами уравнений или неравенств.
Матрица Гессе — квадратная матрица, соответствующая функции вида f(x) = 0 в
 2 f ( x)
.
заданной точке x*, где x = (xj) — вектор переменных, состоящая из компонентов
xi x j
Матрица Якоби — матрица, соответствующая решению системы уравнений вида f(x)=0,
где x = (xj) — вектор переменных, f(x) = (fi(x)) — вектор-функцияˆ, по следующим
правилам: строки соответствуют уравнениям, столбцы — переменным, компоненты
f (x)
матрицы равны i .
x j
Микроэкономическая модель — экономико-математическая модель, явно отражающая
субъектов принятия экономических решений.
Невязка — минимальная величина, на которую нужно изменить одну из сторон равенства
(или неравенства) при заданных значениях его переменных, чтобы обратить его в
истинное утверждение.
71
Основное предположение имитационного моделирования — непроверяемое
предположение, на котором основывается методология имитационного моделирования. В
соответствии с ним при выполнении ряда условий:
 если некоторая модель достаточно точно описывает некоторое
представительное подмножество возможных состояний объекта;
 можно указать некоторые границы значений переменных, в которых заключено
данное подмножество;
 нет оснований считать, что связи между переменными в этих границах могут
различаться,
предполагается, что имитационная модель описывает все возможные состояния объекта в
этих границах.
Отладка имитационной модели — процесс выявления ошибок, возникших на этапе
программирования имитационной модели.
Параметр — числовая величина, остающаяся неизменной в конкретном варианте модели.
Параметрическая идентификация — процесс определения значений параметров
математической модели, наилучшим (в том или ином смысле) образом согласующихся с
имеющимися эмпирическими данными.
Переменная состояния — переменная имитационной модели, значение которой в начале
компьютерного эксперимента не определено и которая не используется по его
завершении.
Поток данных — понятие, содержание которого определяется ролью конкретных
переменных модели (входные, выходные либо переменные состояния) в конкретном
компьютерном эксперименте.
Символьная
переменная —
переменная,
значение
которой
является
последовательностью символов, не интерпретируемых как число.
Субмодель — понятие, применяемое к модели, используемой в качестве составляющего
элемента более сложной модели.
Теоретическая модель — математическая модель, представляющая моделируемый
объект в общем виде, без конкретизации числовых значений переменных. Используется
для теоретического исследования свойств моделирования объекта путём доказательства
утверждений о свойствах объекта, вытекающих из соотношений модели и постулируемых
требований к ним.
Управляемая переменная — переменная управляемой подсистемы кибернетической
системы, находящаяся в зависимости от некоторых переменных управляющей
подсистемы, реализующей заданную цель управления.
Факторная модель — математическая модель, ставящая исследуемую переменную или
множество переменных в зависимость от переменных, отражающих, как предполагается,
факторы исследуемого явления.
Формализм — формальная система, используемая в качестве средства представления
знаний. Формализм предоставляет лингвистические (языковые) и процедурные средства
для представления знаний.
Формальная система (символьная система, знаковая система) — система, определяемая
алфавитом, синтаксисом (правилами построения формул из символов алфавита),
аксиоматикой (множеством формул, считающихся теоремами a priori) и правилами вывода
новых теорем.
Формально-логическая модель — математическая модель, описывающая связи между
символьными переменными с помощью изобразительных средств исчисления предикатов.
Числовая модель — математическая модель, всем параметрам и переменным которой
присвоены числовые значения. Используется для исследования количественных связей
между явлениями, отображаемыми моделью.
Числовая переменная — переменная, принимающая значения из множества
действительных чисел или некоторого его подмножества.
72
Экзогенная переменная — а) переменная имитационной модели, значение которой
задаётся исследователем; б) независимая переменная эконометрической модели.
Эксплуатация модели — процесс использования математической модели в практической
деятельности (например, в процессе изучения объекта моделирования или в обосновании
управленческих решений).
Эмпирическая модель — числовая модель, при разработке которой использованы
данные, собранные в результате наблюдения исследуемого объекта (в экономике – данные
бухгалтерского учёта, статистической отчётности, выборочных или сплошных
обследований).
Эндогенная переменная — а) переменная имитационной модели, значение которой
определяется в процессе вычислительного эксперимента; б) зависимая переменная
эконометрической модели.
73