Магия больших чисел

Магия больших чисел
Человека окружает громадное количество фактов и явлений, которые в силу своей огромности
кажутся далекими и недоступными пониманию, но при правильной интертрепации становятся
близкими, почти родственными…
Вот, кстати о родственниках. У каждого человека на Земле имеются двое родителей, две
бабушки и два дедушки, четыре прабабушки и четыре прадедушки… Продолжая этот ряд,
зададимся вопросом – сколько предков (называемых уже пращурами) должен был иметь
человек 100 лет назад? а 200 лет назад? А 300 лет назад? Пусть среднее время смены поколений
– 20 лет. Тогда за сто лет проходит пять поколений, и число предков – 32 (по 16 бабушек и
дедушек). За двести лет число поколений составит 10, а предков – 1024. За четыреста лет число
предполагаемых предков составит 1 миллион, а за 600 – миллиард. Такого количества людей в
1400 году на Земле не было, не говоря уже о территории Европы. Простой вывод из этого – все
мы являемся родственниками.
Современные компьютеры достигли потрясающих скоростей быстродействия. Настольный
персональный компьютер уже может работать на тактовой частоте 1 мегагерц, что означает
миллион элементарных операций в секунду. Поэтому некоторым кажется, что в этом мире все
можно просчитать, достаточно только взять компьютер помощнее. Однако вот вам простая (по
условиям) задача о развозке грузов, называемая задачей коммивояжера. Пусть у хозяев
виртуального интернетовского магазина есть несколько адресов, по которым надо отвести
заказанные товары. Как сделать это с наименьшими затратами на бензин, то есть – кратчайшим
путем? Сначала надо рассчитать кратчайшие расстояния между каждой парой адресов, причем в
двух направлениях (ведь существуют улицы с односторонним движением). Эта задача сама по
себе интересная и требует применения методов теории графов ( не баронов, не герцогов, а
именно графов). Но самое сложное наступает именно на этапе выяснения, в каком порядке надо
объезжать эти адреса. Можно было бы, понадеявшись на мощь современной вычислительной
техники, просто составить все возможные порядки объезда, вычислить для каждого общую
длину маршрута и выбрать минимальную. Однако число таких перестановок определяется
специальной функцией. Она называется факториалом и для числа N равна произведению
первых N целых чисел. Так вот, для 20 адресов количество вариантов равно
2432902008176640000, и обсчитывание этих вариантов заняло бы 77146 лет даже на самом
крутом персональнике. Поэтому ученые давно придумали специальные алгоритмы для
уменьшения количества вычислений и ускорения их. Так что высказывание «сила есть – ума не
надо» в вычислительной математике не применимо.
Большие числа возникают при обработке и хранении изображений. Почему цифровые
фотокамеры еще не стали массовым продуктом? Они не обеспечивают качества изображения,
равного фотопленке и фотобумаге. Элементарной частичкой изображения на пленке или
фотобумаге являются мельчайшие частицы серебра (в черно-белых) или другого вещества.
Именно они имеют соответствующий цвет, а наши глаза собирают эти точки в изображение с
плавными переходами оттенков. Размер этих частиц такой, что на одном сантиметре их
укладывается примерно 1000. А матрицы лучших современных цифровых фотокамер
обеспечивают разрешение примерно в два раза хуже ( при этом стоимость их составляет пока
сотни долларов). Размер стандартной фотографии 9х13, выраженной в этих точках, равен
9000х13000. То есть, для того, чтобы сохранить в электронном виде информацию об этой
фотографии без потери качества, надо сохранить информацию о цвете 117000000 точек. И тут
возникает другая проблема – как эту информацию хранить. В компьютере цвет каждого
элемента изображения описывается тремя числами – степенями интенсивности трех основных
цветов (красного, зеленого, синего). На каждое число нужна одна элементарная ячейка памяти –
байт. Стандартный размер кадра фотокамеры – 25х36 мм., или 2500х3600 (=9000000) точек.
Следовательно, для хранения одного кадра фотопленки нужно 27 мегабайт памяти. Емкость CDROM составляет 650 мегабайт, и на него можно записать 24 кадра. Сравнивая размеры CDROM и кассеты с пленкой, мы можем увидеть, что выигрыша не получается. Поэтому было
придумано множество форматов хранения графической информации в сжатом виде. Сжатие
графической информации возможно потому, что достаточно большие части изображения имеют
одинаковый цвет. Вместо того, чтобы записывать Nx3 байта для описания N точек одинакового
цвета, можно записать 3 байта описания цвета и поставить множитель, говорящий , что эти
точки одинакового цвета. Это позволяет сжать информацию во много раз. В среднем на
стандартный CD-ROM можно записать содержание 10 фотопленок.
А какие числа крутятся в сфере финансов! Совсем недавно на деньгах России стояли
шестизначные числа – 100000 рублей, 500000 рублей. После поездки в Турцию я выучил
таблицу умножения на 618000 – таков тогда был курс доллара в турецких лирах. Интересно
было бы выразить валовой национальный продукт США в лирах итальянских – какой был бы
порядок этого числа?
Однако вот что интересно – в мире нет признанной всеми системы наименований больших и
сверхбольших чисел. В словарях нет названий для чисел, имеющих порядок больше 63 (такое
число называется вигинтиллион), кроме центиллиона (2 303). Свою систему именований
предлагал Архимед. С ее помощью он мог именовать числа вплоть до 10 80000000000000000, которое
он называл «последним числом». Одним из путей упорядочения и систематизации названий
чисел могло стать предложение Д.Кнута давать названия числам вида 10**2N по числу N, а
промежуточные числа выражать через степени меньшего порядка. Такая система реализуема,
хотя и не абсолютна удобна. И не надо думать, что она является математической абстракцией.
Существует тесная связь между ней и криптографией - теорией кодирования, шифрования и
передачи информации.
Самая близкая к науке и точным числам область искусства – научная фантастика. У
замечательного французского фантаста Фрэнсиса Карсака есть роман о том, как нашим
потомкам пришлось переместить родную планету в другую солнечную систему, потому что
Солнце должно было стать Новой, то есть взорваться. Прелестный и грандиозный замысел вполне в духе научно-технической революции! Однако на пути реализации этого свершения
встала проблема недостатка времени. Ученые использовали для первоначальных расчетов
значение одной константы, взятое с ошибкой в 18-ом знаке после запятой. Поэтому они
ошиблись в сроке взрыва на несколько месяцев, и последние дни путешествия Земли в
Солнечной системе проходили уже в непосредственно перед взрывом, что поддерживало
интригу романа на должном уровне. Конечно, это фантастика, но маленькие ошибки могут
приводить к большим последствиям. Последние две советские экспедиции на Марс закончились
потерей космических аппаратов. Может быть, из-за неисправности приборов внутри них, но
может просто из-за того, что на таком расстоянии маленькая ошибка привела к неисправимому
отклонению от курса?
Как известно, дробная часть числа  бесконечна и непериодична. Поэтому для вычислений
используют приближенные значения . Древние заменяли его числом 10 (3.162…). Я со
студенческих времен помню значение 3.1415926 – оно хорошо ложилось в мнемоническую
схему «три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть». Попробуем теперь вспомнить
формулу для площади поверхности Земли – 4**R2, где R равно 6371.032 км. То есть
510069587.084 км2. Но если мы примем  равным 3.1415927, площадь составит 510069603.320
км2. Куда девать 16 квадратных километров земли? Предлагаю отдать их мне в личное
пользование! Только выделите их в районе Дмитрова.
И напоследок один пример, показывающий обратную сторону больших чисел – малость
человека в мире. Представим себе специальную хронологию, в которой одной секунде
соответствует 500 реальных земных лет. Тогда вся история вселенной, начиная с Большого
взрыва, уместится в 1 год. В этом масштабе первые люди появились на Земле в 22 часа 30 минут
31 декабря, а нам до Нового Года – 40 минут. Так что - с наступающим Вас и наилучшие
пожелания!