Сечения многогранников Призмы. Устно 1. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1 B1C1 D1 , проходящее через середины ребер BB1 , CC1 , A1 B1 . Найдите его площадь. D1 C1 A1 B1 D C A B Решение. D1 C1 A1 B1 D C A B 2 2 2. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1 B1C1 D1 , проходящее через вершину B и середины ребер AA1 ,CC1 . Найдите его площадь. S сеч D1 A1 C1 B1 D A Решение. C B D1 C1 A1 B1 D C A B d1 d 2 Почему можно использовать эту формулу? Объясните. 2 d1 2 ; d 2 3 , почему? S сеч 6 2 3. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1 B1C1 D1 , проходящее через вершины A1 , B и середину ребра CC1 . Найдите его площадь. S сеч D1 A1 C1 B1 D A C B Решение. D1 A1 M C1 B1 D A N C B Объясните, почему искомое сечение A1MNB - равнобедренная трапеция? Как найти площадь равнобедренной трапеции? 1 Объясните, почему ответ 1 . 8 Операционно-познавательная часть. Знакомство с критериями. Содержание критерия Обоснованно получен верный ответ Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обоснованно Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Максимальный балл Баллы 2 1 0 2 1. ( МИОО 2013 г.) В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 стороны основания равны 6, боковые ребра равны 4. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, B и середину ребра A1C1 . C1 M N A1 B1 C A H B Решение. M - середина ребра A1C1 , N - середина ребра B1C1 . MNA1 B1AB . AMNB - искомое сечение, равнобедренная трапеция. AB 6, MN 3 . AM 4 2 32 5 . 2 91 3 Высота трапеции MH 5 . 2 2 2 S AMNB MN AB 9 91 9 91 MH . 2 2 2 4 2. Точка E – середина ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1. Найти площадь сечения куба плоскостью C1DE, если ребра куба равны 2. Решение. D1 M A1 P C1 B1 E C D A B Искомое сечение – равнобедренная трапеция EMC1D. Объясните почему? E 2 M 5 5 D C1 2 2 2 2 1 3 2 2 1 3 9 S сеч 3 2 4,5 . 2 2 2 3. (В.А. Смирнов) Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , проходящее через вершины A, C, D1 . Найдите его площадь. h 5 E1 D1 F1 C1 A1 B1 E D F C A Решение. B E1 D1 F1 C1 A1 B1 E D F C A B ACD1 F1 - искомое сечение. Объясните почему? ACD1 F1 - прямоугольник. Объясните почему? Sсеч 6 . 4. (ЕГЭ, сибирь, 2013) В правильной четырехугольной призме ABCDA1 B1C1 D1 сторона основания равна 20, боковое ребро AA1 7 . Точка M принадлежит ребру A1 D1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины D1 . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D, M . D1 C1 A1 B1 D C A B Решение. M D1 C1 N A1 B1 D A C B MNBD DMNB - равнобедренная трапеция. Почему? 3 BD 20 2 , MN BD , MN 12 2 5 BN 7 2 82 113 2 h 113 4 2 9 1 S сеч 20 2 12 2 9 16 2 9 144 2 2 5. Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые, проходящее через вершины A, C и A2 . Найдите его площадь. D2 1 C2 2 1 B2 A2 2 A1 D A D1 B1 C1 C B 2 Решение. D2 1 C2 2 A2 S=3 2 1 B2 2 A1 D A 2 D1 B1 C1 C B Домашнее задание. 1. Изобразите сечение единичного куба ABCDA1 B1C1 D1 , проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC . Найдите его площадь. D1 A1 C1 B1 D A Решение. C B D1 C1 A1 B1 K D C L N A B M P Ответ: 7 17 24 2. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки A,B1 и середину ребра CC1 проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если S сеч 36 . Решение. D1 A1 C1 K B1 P D C N A B Пусть сторона куба x . Тогда S пол 6x 2 . Сечение – равнобедренная трапеция AB1KN/ x 2 N K 5x 2 A h 5 B1 2x 4 x 2 5 2 1 2 3 x x x 4 8 2 2 1 3 2 3 S сеч x x 36 ; x 2 32 2 2 2 2 S пол 6 32 192 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 известны ребра AB 8 , AD 7 , AA1 5 . Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1:4, считая от вершины D . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C,W , A1 . D1 C1 A1 B1 D C A B Решение. D1 C1 A1 B1 K W D A C B A1 K 82 12 65 ; WC 65 KC A1W 7 2 4 2 65 4. Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые, проходящее через вершины A, B и C1 . Найдите его площадь. D1 4 A3 A1 D3 1 C1 C3 B3 4 A 3 B1 D 2 C C2 D2 1 A2 B2 1 B Решение. D1 A1 S=10 2 4 4 A3 D3 1 B1 D 2 A B2 2 1 C1 C3 B3 D2 A 3 C C2 1 B Пирамиды. Устно 1.В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L соответственно, в отношении 2:1, считая от вершины B (см. рисунок) Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL . Ответ выразите в градусах. Ответ: 90 S C A L K B 2.Изобразите сечение единичного тетраэдра ABCD , проходящее через середины ребер AD, BD и BC . Найдите его площадь. D C A B Решение. D M N C A P L B Объясните, почему MNLP - прямоугольник? S сеч 0,25 3. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются вершины S , B, D правильной четырехугольной пирамиды SABCD с ребрами, равными 1. S D C A B Решение. S D C A B SDB - искомое сечение. 2 DB 2 , h 2 1 2 S сеч 2 0,5 2 2 4. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD , проходящее через вершины A, B и середину ребра SC . Все ребра пирамиды равны 1. Найдите его площадь. S D A Решение. C B S M N D C A B ABMN - искомое сечение, так как MNCDAB . ABMN - равнобедренная трапеция. 1 AB 1, MN . 2 2 3 AM ; h 2 3 1 2 11 2 4 4 . 1 1 11 3 11 S сеч 1 2 2 4 16 Операционно-познавательная часть. 1. (ЕГЭ 2013 г.) В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD . Решение. M E G P D F A O C B Пусть точка E - середина ребра MA . Отрезок CE пересекает плоскость MBD в точке P . В треугольнике MAC точка P является точкой пересечения медиан, следовательно, MP : PO 2 :1 . Отрезок FG параллелен BD и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MB , G ребру MD ). CE FG Четырехугольник CFEG - искомое сечение. CE FG . S CFEG . 2 CE - медиана треугольника MAC . 2 AC 2 2MC 2 MA 2 CE 2 2 2 6 2 2 12 2 12 2 2 72 144 CE 6 2 2 2 2 2 FG BD , FG 6 2 4 2 . 3 3 6 2 4 2 S CFEG 24 . 2 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4. Решение. S D C P A K M B Искомое сечение – треугольник SKM . 1 1 KM AC 4 2 2 2 . 2 2 Проведем в треугольнике SKM высоту 1 KP KM 2 . 2 SP , где P - середина KM . Значит, Из прямоугольного треугольника SKA находим SK SA2 AK 2 25 4 21 . Из прямоугольного треугольника SPK находим SP SK 2 KP 2 21 2 19 . 1 1 Тогда S SKM KM SP 2 2 19 38 . 2 2 3. В правильной треугольной пирамиде DАВС с вершиной D высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон АВ и АС параллельно прямой DА. D P K N A C M B Решение. Почему MKPN - искомое сечение? 1. AB=9 9 2. MN 2 3. MK 3 27 4. S сеч Объясните каждый этап решения. 2 Домашнее задание. 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S известны ребра AB 1, SD 2. Точка M - середина ребра SC . Найдите площадь сечения этой 15 2 . 32 2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8. Ответ: 2 29 . 3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB 36 0 . На ребре SC взята точка M так, что AM - биссектриса угла SAC . Найти площадь сечения пирамиды, проходящей через точки A, M , B . пирамиды, проходящего через точки M , A, D. Ответ: Подсказка: сечение – равносторонний треугольник. Ответ: 16 3 . Тела вращения. Устно 1. В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень воды при этом достиг высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 3 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в кубических сантиметрах. ( V S осн h ; S осн 150 ) Vдет 150 3 450 . 2.Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 20. (60) 3. Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. (4) 4.В сосуд, имеющий форму конуса, налили 30 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху? (210) Операционно-познавательная часть 1. Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α. Решение. O1 A B O C O2 O1 A r1 ; O2C r2 r12 7 ; r2 2 5 . O1 B ? Заметим, что OO2 OA , а OC OB . Тогда по теореме Пифагора в OO1 A, OO1 B, OO2C получаем O1 B 2 OB 2 OO1 OC 2 (OO2 r1 ) r2 r1 2 2 2 2 2 Sсеч O1 B 2 r2 r1 5 7 12 2. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара Решение. OO1 2 2 O1 2 O 2 A r r O1 A2 0,84 r 2 O1 A2 0,84r 2 O1 A2 r 2 4 0,84r 2 r 2 4 0,16r 2 4 r 2 25 r 5 3. Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. Решение. B H O A OA 8, AB 14 Значит, AH 7 . Тогда OH 82 7 2 15 . C h H O По условию, OC 15 . OH 15 . Тогда HC 152 15 15 16 4 15 15 4 15 h 15 15 ; h - искомое расстояние. 4 4. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5 , а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды). Найдите площадь этой сферы 5. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от нее. Решение. O 10 10 6 A B H Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси – прямоугольник. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB . OA OB 10, OH 6 AB 2 AH 2 OA 2 OH 2 16 . S сеч 16 5 80 6.В прямом круговом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда CD , равная 6 3 , перпендикулярна диаметру AB . Найти площадь сечения цилиндра плоскостью CDA1 , если AA1 образующая цилиндра. Решение. Если осевое сечение квадрат, значит AA1 12 и диаметр окружности основания цилиндра AB равен 12. R AO OC 6 . D H A O C CH 3 3 OH 6 2 3 3 Тогда AH 3 2 36 27 3 A1 H 12 2 32 3 17 1 S CDA1 CD A1 H 9 51 2 Домашнее задание. B 1.Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса. Площадь сечения равна 25 3 . Найдите 8 угол между плоскостью основания и плоскостью сечения. Ответ: arccos . 5 3 2. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13. Площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, равна 72. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра. Ответ: 5 3. Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9 . Найдите площадь поверхности шара. Ответ: 20 . Самостоятельная работа 1. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Через точки A, B1 и точку K ребра CC1 такую, что CK : KC1 2 :1проведена секущая плоскость. Найдите площадь полной поверхности куба, если площадь сечения равна 54. 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S все ребра равны 1. Точка M - середина ребра SC. Найдите площадь сечения этой пирамиды, 3 11 проходящего через точки M , A и D . Ответ: 16 3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 10, а сторона основания равна 12. Ответ: 3 55 . 4. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 стороны основания равны 6, боковые ребра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и 9 91 середину ребра A1C1 . Найдите его площадь. Ответ: 4 5. Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если длина бокового ребра равна 4, а угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани равен 600. (тренировочный вариант 31) 6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1C1 D1 AB BC 10 2 , AA1 2 7 . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью 7 . Найдите площадь сечения. Ответ: 112 ABC угол arctg 3 7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 все ребра равны 2.Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, D и C1 . Ответ: 3 7 . 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если все ребра пирамиды 2 равны 8. Ответ: 2 . 3 9. Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие. Найдите расстояние от плоскости сечения до 5 119 центра основания конуса. Ответ: . 13 10.