Задачи к практическим занятиям по теме: «Основы

Задачи к практическим занятиям по теме: «Основы комбинаторики».
Задача № 1. Курьер должен развезти пиццу по шести адресам. Сколько
маршрутов он может выбрать?
Решение. Так как пиццу нужно развезти по всем шести адресам и один
маршрут может отличаться от другого только порядком следования пунктов
назначения, то мы имеем дело с перестановками из 6 элементов. Поэтому
число маршрутов (N) равно числу перестановок из шести элементов, т.е.
N  P6  6! 1 2  3  4  5  6  720 .
Ответ: 720 маршрутов.
Задача № 2. Используя четные цифры 0;2;4;6;8, сосчитайте все возможные
трехзначные числа, в которых цифры не повторяются.
Решение. При решении этой задачи удобно и рационально использовать
комбинаторное правило умножения, а именно:
1). Так как нужно составлять трёхзначные числа, то нужно выбирать и
первую, и вторую, и третью цифры, а, значит, число способов их выбора надо
перемножать.
2). Так как на первое место можно поставить любую четную цифру кроме 0,
то число способов выбора первой цифры равно 4 (2;4;6;8).
3). Так как цифры в числе повторяться не могут, то вторую цифру также
будем выбирать четырьмя способами (три, из оставшихся после выбора
первой цифры, и 0).
4). Для выбора последней, третьей, цифры остается 3 способа (так как две из
пяти данных цифр уже заняты).
Таким образом, трехзначных чисел, удовлетворяющих указанным в условии
требованиям, будет: 4  4  3  16  3  48 .
Ответ: 48 чисел.
Задача № 3. Сколькими способами можно выбрать старосту, его заместителя
и ответственного за дежурство из тридцати двух учащихся класса?
Решение. Так как из общего числа учащихся необходимо осуществить
выборку трех участников, а кроме того, внутри этой тройки ещё нужно
распределить обязанности (провести ранжирование), то число способов
такой выборки (N) равно числу размещений из тридцати двух элементов
множества по три: N  A323  32  31  30  992  30  29760 .
Ответ: 29760 способов.
Задача № 4. В группе девять студентов хорошо владеют иностранными
языками. Сколькими способами можно выбрать из них четверых для работы
волонтерами на Сочинской олимпиаде?
Решение. Так как из девяти студентов нужно выбрать четверых, и порядок
выбора не важен, то, значит, число таких способов (N) определяется как
число сочетаний из 9 по 4: N  C94 
Ответ: 126 способов.
9!
9! 6  7  8  9


 63  2  126 .
4!(9  4)! 4!5!
2  3 4
Задача № 5. Сколько среди всех перестановок букв слова «цифра», таких,
которые: а) начинаются с «ц»;
б) начинаются с «ф», а оканчиваются на «р»?
Решение. Так как в слове «цифра» всего 5 букв, то:
в задаче а) перестановочными являются только четыре буквы, т.к. «ц» уже
зафиксировали на первом месте, значит, число перестановок: P4  4! 24 ;
в задаче б) зафиксированы две буквы а, значит, перестановочными являются
оставшиеся три буквы из общего количества, это означает, что число
перестановок равно P3  3! 6 .
Ответ: а). 24 перестановки; б). 6 перестановок.
Задача № 6. Делится ли число 50! на числа: а). 400; б). 98; в). 510?
Решение. По определению факториала числа – это произведение
последовательных натуральных чисел от 1 до числа, стоящего под знаком
факториала (!), то есть: n! 1  2  3  ...  (n  1)  n , причем, каждый следующий
факториал
содержит
в
себе
предыдущий
(например:
и раскладывается на последовательные
4! 1 2  3  4  2!3  4  3!4  24 ),
натуральные множители. Значит, если в числе 50! содержатся все
множители, содержащиеся в данных нам числах, то, следовательно, 50!
разделится на эти числа, а если нет, то и не разделится:
а). т.к. 400  4 100  4  4  25  2  4  50 , то 50! делится на 400;
б). т.к. 98  2  39 , то 50! делится на 98;
в). т.к. 510  5110 , а в числе 50! множителя 51 нет, то число 50! не разделится
на 510.
Ответ: а). да; б). да; в). нет.
Задача № 7. Ученик задумал двузначное число. Какова вероятность, что оно
является квадратом некоторого числа?
Решение. 1). P( A) 
m
, где событие A – ученик задумал двухзначное число,
n
являющееся квадратом некоторого числа; m – исходы, благоприятствующие
данному событию A , а n – общее число всех равновозможных случайных
исходов.
2). n – это количество всех двузначных чисел, т.е., n  90 , а m – это
количество двузначных чисел, являющихся полными квадратами, значит,
m  6 (16; 25; 36; 49; 81).
3). Итак, P( A) 
6
1

 0,066...  0,07 .
90 15
Ответ: ≈0,07.
Задача № 8. Какова вероятность, что при бросании игрального кубика
выпадет: а). 2 очка; б). более 3 очков?
Решение. При подбрасывании одного кубика возможны шесть элементарных
различных исходов, при этом:
а). 2 очка содержатся только на одной стороне кубика, значит:
n  6; m  1; P( A) 
1
 0,17 ;
6
б). более 3 очков – это 4, 5 или 6 очков, то есть, благоприятствующих
3
6
1
2
исходов – 3 из общего числа – 6, а значит: n  6; m  3; P( A)    0,5 .
Ответ: а). ≈0,17; б). 0,5.
Задача № 9. В квадрат со стороной 6 см вписан круг. Какова вероятность
того, что выбранная наугад точка квадрата принадлежит кругу? (   3 ).
Решение. В задаче используется понятие геометрической вероятности, т.е.
P ( A) 
mes g
, где mes g и mes G – это соответственно меры областей: g mes G
благоприятствующей событию A и G – области всех возможных исходов
испытания. Так как мерой плоскости является площадь, то
P( A) 
S кр
S кв
a  6, R 

R 2
a
2

39 3
  0,75 .
66 4
Здесь
S кв  a 2  36 ,
так как, по условию,
1
a  3 , значит, Sкр    R 2  3  9  27 .
2
Ответ: 0,75.
Задачи к практическим занятиям по теме: «Основные понятия теории
вероятностей».
Задание 1. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность указанного
события:
1) Модуль разности числа очков равен 2;
2) Модуль разности числа очков больше 1;
3) Число очков хотя бы на одном кубике четно;
4) Меньшее число очков больше 4.
Задание 2. 1) Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых
из колоды в 36 карт, будет ровно два туза.
2) В ящике 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу извлекаются 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них будет ровно 2 белых шара.
3) Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Найти
вероятность того, что среди них окажется, по крайней мере, одна кость с
шестью очками.
4) Студент в состоянии удовлетворительно ответить.
Задание 3. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на
отрезке [0, 1]. Найти вероятность указанного события.
1) Координата первой точки меньше координаты второй точки.
2) Координата второй точки более чем в два раза превосходит координату
первой точки.
3) Разность координат первой и второй точек больше 0,5.
4) сумма координат точек меньше 1,5.
Задание 4. 1) Студент знает 20 из 40 вопросов программы. Экзаменационный
билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент в
выбранном им билете знает. а) точно два вопроса. б) хотя бы один вопрос.
2) В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад достают 3 шара. Найти
вероятность того, что а) точно два шара белых; б) хотя бы один из шаров
черный.
3) Среди 50 лотерейных билетов есть 7 выигрышных. Найти вероятность
того, что среди трех купленных билетов а) точно два выигрышных; б) хотя
бы один выигрышный.
4) В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу
извлекает три детали. Найти вероятность того, что а) точно две детали
окрашены; б) хотя бы один из деталей окрашена.
Задание 5. 1) В первой урне 14 белых шаров, во второй урне 5 белых и 11
черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, цвет
которого не известен. Затем из наугад выбранной урны достали один шар.
Какова вероятность того, что этот шар черный?
2) В первой урне 4 белых и 6 черных шаров. Во второй урне 8 белых и 2
черных шара, в третьей – 10 черных шаров. Из наугад выбранной урны
достали 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
3) В урне 5 черных и 13 белых шаров. В урну добавили два шара, цвет
которых неизвестен. Затем из урны наугад достали один шар. Какова
вероятность того, что этот шар белый?
4) В пирамиде 10 винтовок, 4 из которых, снабжены оптическим прицелом.
Вероятность попадания из винтовки с оптическим прицелом – 0,8, без
оптического прицела – 0,6. Какова вероятность попадания из наугад взятой
винтовки?
Задание 6. 1) В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны 6 раз достают
наугад шар, каждый раз возвращая его обратно. Найти вероятность того, что
белый шар появится: а) хотя бы один раз; б) меньше 3 раз.
2) Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток
не превысит установленной нормы, равна 0,7. Найти вероятность того, что в
ближайшие 5 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение: а)
точно 3 суток; б) по крайней мере, 3 суток.
3) Точку 7 раз наугад бросают на отрезок АВ длиной 10 см. Найти
вероятность того, что точка попадет на отрезок МК (М – середина АВ, К –
середина АМ): а) точно 5 раз; б) по крайней мере, 5 раз.
4) Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что число очков
большее четырех, появится: а) хотя бы один раз; б) точно 2 раза.
Задачи к практическим занятиям по теме: «Элементы математической
статистики. Числовые характеристики вариационного ряда».
Задача №1. В таблице приведены расходы семьи на питание в течение
недели.
День
Расходы (в р.)
Пн
210
Вт
200
Ср
190
Чт
220
Пт
190
Сб
245
Вс
250
а) Каков средний расход в день (среднее арифметическое) на питание?
б) Чему равен размах этого ряда данных?
Решение. а). Среднее арифметическое:
X 
210  200  190  220  190  245  250 1505

 215
7
7
.
б). Размах: xmax  xmin  250  190  60 .
Ответ: 215, 60.
Задача №2. Десять детей из младшей группы спортивной школы по
плаванию участвовали в соревнованиях в 50-метровом бассейне. В их списке,
составленном по алфавиту, записаны следующие результаты:
54с., 31с., 29с., 28с., 56с., 30с., 43с., 33с., 38с., 36с.
Найдите медиану ряда и размах.
Решение. Запишем данные в порядке возрастания: 28с., 29с., 30с., 31с., 33с.,
36с., 38с., 43с., 54с., 56с.
Т. о., Me  33 .
Размах: xmax  xmin  56  28  28 .
Ответ: 33, 28.
Задача №3. В течение четверти Таня получила следующие отметки по
физике: одна «2», четыре «3», шесть «4» и три «5». Найдите среднее
арифметическое и моду этого ряда.
Решение.
X 
1  2  4  3  6  4  3  5 53

 3.8
1 4  6  3
14
.
Среднее арифметическое:
Мода: Mo  4 , т.к. «4» имеет наибольшую частоту появления.
53
 3 .8
Ответ: 14
; 4.
Задача №4. На диаграмме показаны результаты выпускного экзамена по
математике (оценка и процент получивших ее учеников). Найдите средний
балл этого экзамена.
Решение.
X
5  20  4  50  3  30
 3.9 Ответ: 3.9.
100
Задача №5. В таблице приведены данные о возрастном составе участников
школьного хора.
Возраст 7
8
9
10
11
12
13
14
15
Число
3
6
5
1
2
3
2
2
1
детей
Определите среднее арифметическое, моду и медиану этого ряда.
Решение.
X 
7  3  8  6  9  5  10  1  11  2  12  3  13  2  14  2  15  1
 10.04
3  6  5 1 2  3  2  2 1
Mo  8 Me  11
Ответ: 10.04; 8; 11.
Задача №6. Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 1, и она попадает в
некоторую точку M. Какова вероятность того, что расстояние от точки M до
ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25?
Решение.
P
S
0,5
s 12  0.5 2

 0.75
S
12
0,25
Ответ: 0.75.
s
1
Задача №7. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова
вероятность того, что попавший в окно мяч, радиус которого 5 см, пролетит
через решетку? Решение.
Изобразим одну клетку решетки:
S
P
10см
s
20см
5см
s 10 2

 0.25
S 20 2
Ответ: 0.25.
Задачи к практическим занятиям
стохастического материала.
по
всем
изученным
темам
Задача №1. У Портоса есть сапоги со шпорами и без, 4 разные шляпы и 3
разных плаща.
Сколько у него вариантов одеться по-разному?
Решение. Сапоги Портос может выбрать двумя способами. Вслед за этим,
независимо от выбора сапог, он может выбрать шляпу 4-мя способами.
Далее, независимо от предыдущих выборов Портос может выбрать плащ 3мя способами.
Т. о., применимо правило произведения.
Итак, количество вариантов: 2*4*3=24. Ответ: 24.
Задача №2. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 0, 2,
4, 6?
Решение. Т.к. выбор каждой последующей цифры не зависит от выбора
предыдущих, и при этом первую цифру можно выбрать тремя способами (2,
4 или 6), а остальные – четырьмя, то по правилу произведения количество
вариантов: 3*4*4=48.
Ответ: 48.
Задача №3. В конференции участвовало 30 человек. Каждый с каждым
обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?
Решение. Т.к. каждый человек потратил 29 карточек, то всего понадобилось:
29*30=870 карточек.
Ответ: 870.
Задача №4. В классе 25 человек. Сколькими способами можно двух из них
делегировать на школьную конференцию?
Решение. Т.к. порядок выбора не имеет значения и при этом в классе не
может быть двух одинаковых людей, то количество способов равно числу
C
сочетаний без повторений:
2
25

25!
 300
24!2!
. Ответ: 300.
Задача №5. В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять
уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура.
Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
Решение. Т.к. порядок следования предметов важен и все предметы разные,
то количество способов равно числу перестановок из 5 элементов:
P
 5! 120
. Ответ: 120.
Задача №6. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять
уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура.
Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если
русский язык и литература должны стоять рядом?
Решение. Условно будем считать русский язык и литературу одним
предметом. Тогда используя перестановки без повторений (т.к. порядок
следования предметов важен и все предметы разные), получим, что
5
количество способов равно P4  4! 24 . Однако внутри пары «русский языклитература» возможны два варианта расположения предметов: «русский
язык-литература» и «литература-русский язык». Поэтому полученное ранее
значение (24) нужно еще умножить на 2: 24  2  48 .
Ответ: 48.
Задача №7. Монету подбрасывают 10 раз и каждый раз записывают, что
выпало. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может
получиться?
Решение. Т.к. порядок расположения важен и при этом элементы
последовательности могут повторяться, то количество последовательностей
~ 10
равно числу размещений с повторениями из 2 элементов по 10: A2  2  1024
Ответ: 1024.
Задача №8. Сколькими способами группу из 10 человек можно разбить на
две группы, содержащие 2 и 8 человек?
Решение. Если из 10 человек выбрать группу в 2 человека, то группа в 8
человек получится автоматически. Т.к. порядок выбора не имеет значения и в
группе не может быть одинаковых людей, то количество способов равно
C
числу сочетаний без повторений из 10 по 2:
2
10

10
10!
 45
2!8!
.
Ответ: 45.
Задача №9. Спортсмен сделал 40 выстрелов и попал по мишени 32 раза.
Определить относительную частоту попадания спортсмена по мишени.
Для решения этой задачи необходимо знать, что относительная частота
любого случайного события вычисляется как дробь
n
, где N – общее число
N
проведенных экспериментов, n – число экспериментов, в которых данное
событие произошло.
Решение.
Всего спортсмен сделал 40 выстре6лов – это общее число проведенных
экспериментов (N). Событие А: «спортсмен попал по мишени» произошло 32
раза, т.е. n  32 . отсюда относительная частота события А равна
32 4
  0,8 .
40 5
Ответ: 0,8.
Задача №10. В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей
за прошлый год.
Марка
A
Продано штук 130
B
800
C
420
D
100
E
300
Автомобили марок A, B, C – отечественные, D и E – иностранные. Оцените
вероятность того, что произвольный покупатель выберет автомобиль
иностранной марки (вероятность выразить в процентах).
Для решения данной задачи воспользуемся формулой классического
определения вероятности: P ( A) 
m
, где P(A) – это обозначение вероятности
n
наступления случайного события А, n – число всех возможных исходов
эксперимента, m – число исходов благоприятных для события А.
Решение. А: «покупатель выберет автомобиль иностранной марки». Событие
А происходит, когда произвольный покупатель выбирает машины марок D
или E, значит число исходов благоприятных для события А, т.е.
m  100  300  400 . Число всех возможных исходов в этом эксперименте равно
числу
машин
отечественных
и
иностранных
марок,
т.е.
n  130  800  420 100  300  1750 . Теперь, зная m и n найдем вероятность
появления случайного события А: P( A) 
400
100%  23% .
1750
Ответ: 23%.
Задача №11. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов
приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 50 000 рождений можно
ожидать появления близнецов?
Решение. В этой задаче нам дана вероятность (Р(А) = 0,012) и число
всех возможных исходов эксперимента (n = 50 000). Число рождений
близнецов из 50 000, т.е. m найдем из формулы классической вероятности.
Решение. P( A)  0, 012 , n  50000 .
Выразим из классического определения вероятности P( A) 
m
количество
n
благоприятных исходов, т.е. m  P( A)  n
Подставляя вместо Р(А) и n числовые значения, получим:
m  0.012  50000  600 . Ответ: 600.
Задача №12. По статистике на каждую 1000 лампочек приходится 2
бракованных. Какова вероятность купить не бракованную лампочку?
Решение. Чтобы избежать ошибок при решении задачи такого типа,
важно обращать внимание учеников на то, что дано, и что требуется найти. В
нашей задаче дано число бракованных лампочек, а требуется найти
вероятность купить не бракованную лампочку. Эту задачу можно решить
двумя способами.
I способ. Событие А: «купить годную лампочку», если общее число лампочек
n  1000 , а количество не бракованных лампочек
m  1000  2  998 , тогда
согласно классическому определению вероятности имеем: P( A) 
998
 0,998
1000
Ответ: 0,998.
II способ. Найдем вероятность наступления события В: «купить бракованную
лампочку», используя классическое определение ( n  1000 , m  2 ):
P( B) 
2
 0, 002 .
1000
Так как события А: «купить годную лампочку» и В: «купить бракованную
лампочку» - противоположные, а сумма вероятностей противоположных
событий равна 1, т.е. P( A)  P( B)  1 , то P( A)  1  P( B)  1  0, 002  0,998 .
Ответ: 0,998.
Задача №13. Имеется 80 лотерейных билетов, из них 20 выигрышные.
Какова вероятность проигрыша?
Эта задача аналогична предыдущей. Решим ее I способом.
m
, где событие А: «взять проигрышный билет», тогда общее
n
число исходов испытания равно n  80, а число исходов благоприятных
Решение. P( A) 
событию А равно m  80  20  60 .
Согласно классическому определению вероятности имеем: P 
60 3
  0.75 .
80 4
Ответ: 0,75.
Задача №14. Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна
буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
Решение. Событие А: «случайно выбранная буква в слове СОБЫТИЕ –
гласная ». Всего в слове СОБЫТИЕ 7 букв (причем различных) – это и есть n
– общее число исходов, из которых 4 - гласные. Значит число исходов
благоприятных для события А «выбранная случайным образом буква –
гласная», равно 4 ( m  4 ), а число всех возможных исходов в этом
эксперименте, как упоминалось выше, равно числу букв в слове СОБЫТИЕ,
т.е. n  7 . Теперь, зная m и n найдем вероятность наступления события А
согласно классическому определению: P( À) 
4
 0,571 . Ответ: 0,571 .
7
Задача №15. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. На класс дали один
билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что
в цирк пойдет девочка?
Эта задача отличается от предыдущих лишь тем, что в ней четко не дано
число всех возможных исходов, но оно легко находится. Эта задача так же
подчиняется классической вероятности.
Решение. А: «в цирк пойдет девочка», m  20 – число девочек в классе, т.е.
число исходов благоприятных для А; число всех возможных исходов в этом
эксперименте равно количеству всех учеников класса, т.е. n  10  20  30 . Зная
m и n, найдем P(A):
P ( À) 
20 2
  0, 667. Ответ: 0,667.
30 3
Задача №16. Буквы слова СОБЫТИЕ перемешивают и случайным образом
выкладывают в один ряд. Какова вероятность того, что снова получится это
же слово?
Решение. Для решения этой задачи помимо вероятностных знаний, также
необходимы и комбинаторные.
Так как слово СОБЫТИЕ получится только в одном из вариантов, то число
благоприятных исходов – m  1; n – количество «слов», которые можно
получить из слова СОБЫТИЕ перестановкой букв, причем порядок
следования букв в слове важен, и все буквы слова различны. Таким образом,
для подсчета n имеем дело с комбинаторной выборкой – перестановки без
повторений из n элементов n  P7  7! 5040 . Итак, P( A) 
1
1
. Ответ:
.
5040
5040
Задания для 2 части:
Задача №1. Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что в сумме
выпадет 5 очков?
Решение. Для лучшего понимания задач такого типа, нужно чтобы учащиеся
перебрали все возможные суммы, которые могут получиться при
суммировании выпавших очков на двух кубиках. Например, это можно
сделать так:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Событие А: «сумма очков на двух кубиках равна 5».
Не трудно подсчитать, что число всех возможных исходов в этом
эксперименте равно 36 (6  6), благоприятными для события А являются
исходы: (1;4), (2;3), (3;2) и (4;1), т.е. m  4 . (запись (1;4) означает, что на
первом кубике выпало 1 очко, а на втором – 4). Тогда, согласно
классическому определению вероятности, имеем: P( À) 
4 1
  0,111.
36 9
Ответ: 0,111.
Задача №2. Подбрасывают два кубика. Какова вероятность, что на них
выпадут разные числа?
Решение. Решение этой задачи аналогично предыдущей. Наглядно ее можно
представить так:
6
(1;1)
(1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
(2;1)
(2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
(3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
(4;1)
(4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
(5;1)
(5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
(6;1)
(6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
Эту задачу можно решить несколькими способами. Вот, например один из
них: в таблице (6*6) другим цветом выделены неблагоприятные исходы:
(1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5) и (6;6) – всего шесть. Так как число всех
возможных исходов в этом эксперименте равно 6  6=36 (n), из них 6 – не
благоприятные, то число исходов, удовлетворяющих событию равно
36 –
6 = 30 (m). Согласно классическому определению вероятности имеем:
P
30 5
  0,83. Ответ: 0,83.
36 6
Задача №3. Буквы слова КУБИК перемешивают и случайным образом
выкладывают в ряд. С какой вероятностью снова получится это же самое
слово?
Решение. Для решения этой задачи помимо вероятностных знаний, также как
и в задаче 8 части 1, необходимы и комбинаторные.
Так как в слове КУБИК 5 букв, из которых две буквы К, то оно может
получится двумя способами, наглядно это можно представить так: КУБИК и
КУБИК, то число благоприятных исходов – m  2 ; n – количество «слов»,
которые можно получить из слова КУБИК перестановкой имеющихся в нем
5 букв, причем порядок следования букв в слове важен. Таким образом,
n  P5  5!  120 . Итак, P( A) 
2
1

 0, 02 . Ответ: 0,02.
120 60
Задача №4. В урне 10 шаров белого и черного цвета. Вероятность, что среди
двух одновременно вынутых из нее шаров оба будут черные равна 115 .
Сколько в урне белых шаров.
Решение. Событие А: «оба шара черные». По условию P ( A)  115 .
Обозначим неизвестное количество белых шаров через x, тогда количество
черных шаров (10 – x). Событие А разобьем на два: А1: «вынут I черный шар»
и А2: «вынут II черный шар», тогда используя формулу классической
вероятности имеем: P( A1 ) 
10  x
9 x
, P( A2 ) 
, так как два шара вынуты
10
9
одновременно, то согласно комбинаторному правилу умножения имеем
x 2  19 x  84
(10  x)(9  x) 1 x 2  19 x  90 1
 ,
  0,
 0 , x 2  19 x  84  0 ,
90
15
90
15
90
x1  12 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. шаров всего 10, x2  7 –
P( A) 
количество шаров белого цвета в урне. Ответ: 7.