Задача 6.

Задача 1 (из проектной работы). Найти значения выражения при х=2 и построить
отрезок, длина которого равна числовому значению этого выражения. Цель: построить
отрезок.
х 3
х 3

х  х 3
х  х 3
Решение.(8-9 кл.) В знаменателе (в части х  3 ) следует применить формулу:
А В 
А  А2  В 2

2
А  А2  В 2
.
2
Подставляя х=2 (в х  3 ), и, используя эту формулу, получим:
2 3 
т. е.
2 43
2 43

2
2
2 3 
3
1
3 1


,
2
2
2
аналогично имеем:
2 3 
3
1
3 1


.
2
2
2
Следовательно,
2 3
2  2 3

2 3
2  2 3

2 3 2 3 
2 3
2 3


 2  


3 1
3 1
3

3
3

3


2
2
2
2
6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3
6
 2   2.
93
6
Как построить отрезок ОС= 2 и чему равно приближенное значение
 2
2?
Рис. 1
1) Треугольник – равнобедренный и прямоугольный.
2) Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
12+12=2, гипотенуза равна 2 .
3) Учитывая масштаб на рисунке, 2  1,4 .
1
Задача 2. В треугольнике АВС известны стороны: ВС = а, СА = b и АВ = с. Найти
отрезки сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью
(построение выполнить с помощью циркуля и линейки).
Но для чего мы рассматриваем эту задачу?
Замечание. Рассмотрим несколько задач на вписанные и описанные окружности, которые
обладают целым рядом похожих свойств.
Суть некоторого сходства хорошо иллюстрируют задачи 2 и 3. Задача №3 – это
один эпизод из «жизни» вписанных и описанных окружностей. Построив правильные
чертежи, решим задачу №2 (и затем №3).
Отрезки двух сторон, имеющие общую точку – вершину треугольника, попарно
равны (рис. 2); обозначая их соответственно через х, у, z, получим систему уравнений:
у + z = а,
1
1
{z + х = b, из которой найдем х  b  c  a   p  a, у  a  c  b   p  b,
2
2
х + y = c,
1
z  a  b  c   p  c, где p – полупериметр треугольника.
2
Полученные формулы следует отнести к категории «рабочих»: во многих
конкурсных, олимпиадных задачах, в ЕГЭ они оказываются полезными, и поэтому стоит
помнить об этом (применять их).
Рис. 2
Рис. 3
Задача 3. В треугольнике АВС известны углы А, В и С. Найти углы, образованные
радиусами описанной окружности, идущими в вершины треугольника, со сторонами,
сходящимися в этих вершинах. Аналогичным образом можно решить 4-ую задачу (как и
2-ую, см. построение – рис. 3).
Решение. Углы, прилежащие к одной стороне треугольника, попарно равны.
Обозначая их через х, у, z, получим систему уравнений:
1

х  В  С  А   А,
2
2
х  у  С
1


 у  z  A , из которой у   А  С  В    В,
2
2
z  x  B

1

z   A  B  C    C.
2
2
В отличие от предыдущего случая (в задаче №3), возможны отрицательные значения
углов.
Задача 4. Окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC
равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны AB и продолжения
основания BC в точке N. M – середина BC.
Доказать: а) AN=OM, б) найти OM; если стороны треугольника 13, 13, 24.
2
Решение и построение. 1сп. построения – начать с окружности и построения лучей BN и
BT
(касательных к окружности); строим равнобедренный треугольник с учётом данных.
2сп. – можно сначала построить равнобедренный треугольник, затем вневписанную
окружность. (Учащиеся предпочли 2сп.)
Учитывая все особенности условия задачи и получения результата, строим чертёж.
( Учит нас этому, учитель учителей, доцент Дятлов В.Н.)
Рис.6
1) ∆ABC– равнобедренный, т. е. ∠𝐵 = 𝛼 − ∠𝐶; ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝜋 − 2𝛼
∠𝐶𝐴𝑇 = 2𝛼; ∠𝑇𝐴𝑂 = ∠𝑂𝐴𝐶 = 𝛼. Значит, ∠𝐵 = 𝛼 = ∠𝑇𝐴𝑂. AO∥ MN; MAON –
прямоугольник.
2) Найдём длины AT и AL. AT= у и AL = у (как отрезки касательных, проведённых
из точки А).CL=CN=x (как отрезки касательных, проведённых из точки С).Составим
систему:
13 + у = 24 + х
{
; х=1; у=12.
х + у = 13
3) Найдём MO=AN, AM=5, MN=12+x, MN=13, MO=√25 + 169. MO=AN=√194.
Ответ: √194.
Задача 5.
Дан круг. Геометрическим построением разделить его на три концентрические
фигуры – круг поменьше и два концентрических кольца – так, чтобы площади всех трех
фигур были равны между собой.
Построение и решение:
1) Построим на радиусе АВ данного круга круг, разделим отрезок АВ на три равных
отрезка точками C и D (см. рис.7), через точки C и D проведем перпендикуляры к АВ до
пересечения с построенной полуокружностью соответственно в точках E и F.
2) Отрезки FB и ЕВ – радиусы искомых окружностей, разделяющих данный круг на
попарно равновеликие концентрические кольца.
Докажем это.
Доказательство:
R
2
1) Sкр.= π R2, где R=АВ. DB= ; АD= R .
Рис.7
3
3
R 2
 R – среднее пропорциональное; FD=
2) FD=
3 3
R 2
.
3
3) По теореме Пифагора найдем ВF – гипотенузу ΔВDF.
R 2 2R 2
3R 2 R 3



.
ВF=
9
9
9
3
4) Площадь круга, концентрического данному,
3
πR 2
, что и требовалось.
3
5) Найдем ВЕ – гипотенузу ΔЕСВ.
ВЕ2=ВС2+ЕС2
R 2
2
ВС=АD= R; ЕС=FD=
.
3
3
4 2 2 2
6 2
2 2
2
R  R 
R 
R R
ВЕ=
.
9
9
9
3
3
с радиусом BF, равна
S круга, концентрического данному, с радиусом ВЕ, равна
6) Площадь каждого из колец равна
2π 2
R , как и требовалось.
3
πR 2
.
3
Задача 6.
Построить прямоугольный треугольник по медианам, проведенным к катетам.
Построение:
1) На ma = АЕ, как на диаметре, построим полуокружность. См. рис. 8.
1
2) Продолжим ma так, чтобы ED= ma. 3) Проведем дугу окружности с центром в (∙)D и
3
2
радиусом mb. 4) С – это точка пересечения дуги и полуокружности и является
3
вершиной прямого угла искомого треугольника. Рис.8
Задача-проблема. На окружности даны три точки, которые являются точками
пересечения медианы, высоты и биссектрисы одного и того же угла, вписанного
треугольника.
Проблема: восстановить треугольник.
Построение: 1) Соединим N и О. (Рис.9) 2) Проводим МВ параллельно NO. 3) Соединим
B и P 4) Проводим АС перпендикулярно NO.
4
Доказательство.
1) AN=NC. 2) AK=KC. 3) MB параллельно NO, т.е. MB перпендикулярно АС.
5