Глава III. Квадратные уравнения + bx + c = 0 - 4ac ax

Глава III. Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a не равно 0. Квадратное
уравнение с вещественными коэффициентами a, b, c может иметь от 0 до 2 вещественных
корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 - 4ac:
1.
при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле:
2.
при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или
совпадающих корнях), кратности 2:
3.
при D < 0 вещественных корней нет.
Мнемонические правила
Другие записи решений
Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное
выражение:
где k = b / 2.
Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то
есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.
Приведённое квадратное уравнение
Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен
единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
Теорема Виета: Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна
коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному
члену q:
x1 + x2 = -p
x1 . x2 = q
В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0):
x1 + x2 = -b/a
x1 . x2 = c/a
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный
член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не
пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение
методом разложения его левой части на множители.
П р и м е р 1 : Решить уравнение 2x2 - 5x = 0. Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0,
либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2,5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2 . 5
П р и м е р 2 : Решить уравнение 3x2 - 27 = 0. Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни
данного уравнения - 3 и - 3 .
Биквадратным называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, где a =0
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 =
y,
придем к квадратному уравнению ay2 + by + c = 0.
П р и м е р 3 : Решить уравнение x4 + 4x2 - 21 = 0.
Пусть x2 = y, получим квадратное уравнение y2+ 4y - 21 = 0, откуда находим y1 =-7, y2 = 3.
Теперь задача сводится к решению уравнений x2 = -7, x2 = 3.
Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим x1=−
3
и
x2=
3
которые являются корнями заданного биквадратного уравнения
Итак, коротко о квадратном уравнении:
Примерная контрольная работа.
1. Решите уравнения:
а)
;
б)
;
в)
г)
2.
Длина прямоугольника на 5 см больше ширины, а его площадь равна 36 см2. Найдите
стороны прямоугольника.
3. Определите значения y, при которых верно равенство:
4. Один из корней данного уравнения равен 4. Найдите второй корень и число a:
5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны
-5 и 8
Понятие дробного рационального выражения
Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий
сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными,
а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с
буквенными переменными.
Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения
- это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями.
Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми
выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым.
Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными
выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.
Примеры дробных рациональных выражений
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Схема решения дробного рационального уравнения
1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий
знаменатель.
Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут
переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы
умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых
общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет
бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.
Рассмотрим пример:
Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей.
Получим x*(x-5).
Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Упростим полученное уравнение. Получим:
x^2+3*x + x-5 – x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных
способов, получаем корни x=-2 и x=5.
Теперь производим проверку полученных решений:
Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не
обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного
дробного рационального уравнения.
При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число
не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет
деление на нуль.
Ответ: х=-2.