Программа экзамена по высшей математике

Программа экзамена по высшей математике
спец. «Радиотехника» (4 семестр)
Элементы ТФКП.
1.Комплексные числа и операции над ними.
2.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и
показательная форма записи комплексного числа.
3.Свойства модуля и аргумента комплексного числа.
4.Корни -ой степени из комплексного числа. Формула для извлечения
корней.
5.Комплексная экспонента и комплексный логарифм. Основные свойства
экспоненты и логарифма в комплексной области.
6.Комплексная степень комплексного числа и комплексный логарифм по
комплексному основанию.
7.Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удаленная точка. Сфера
Римана и стереографическая проекция.
8.Окрестности точек в и в
. Окрестности бесконечно
удаленной точки.
9.Внутренние, граничные и предельные точки подмножеств расширенной
комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и предел
последовательности.
10.Основные свойства пределов последовательностей. Комплексная
экспонента как предел последовательности. Понятие области в
.
11. Функции комплексной переменной и способы их задания. Примеры
функций: линейная функция и ее свойства, дробно-линейная функция,
степенная функция и многочлены, экспонента и логарифм.
12. Предел функции в точке и свойства пределов функции. Непрерывность
функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций на
замкнутых ограниченных множествах.
13. Производная функции комплексной переменной. –дифференцируемость
функции и
- дифференцируемость. Условия Коши-Римана.
14.Основные правила дифференцирования функций комплексной
переменной.
15.Голоморфность функции в точке. Примеры голоморфных функций.
Голоморфность аналитической функции в точке. Понятие об особых точках
функций. Голоморфность функции в бесконечно удаленной точке.
16. Понятие гармонической функции. Гармоничность вещественной и
мнимой частей голоморфной в области функции. Сопряженные
гармонические функции и существование сопряженной гармонической
функции в односвязной области.
17. Однолистность функции на множестве и конформность отображения в
точке. Конформность отображения в области. Признак конформности
отображения в точке и геометрический смысл производной.
18. Первообразная для функции в области. Теорема единственности
первообразной в области. Примеры первообразных.
19. Определение интеграла вдоль контура от функции комплексной
переменной. Основные элементарные свойства интеграла.
20.Интегральная теорема Коши и теорема Коши о составном контуре.
21.Интегральная формула Коши. Теорема о среднем для голоморфных
функций и принцип максимума модуля.
22.Ряды Лорана, множества их сходимости и область сходимости ряда
Лорана. Голоморфность суммы ряда Лорана в кольце сходимости.
23.Теорема Лорана и единственность разложения функции в ряд Лорана.
Связь рядов Лорана и рядов Фурье.
24.Изолированные особые точки функций и классификация точек.
25.Тип особой точки и характер разложения функции в ряд Лорана.
26.Принцип изолированности нулей голоморфной функции, порядок нулй и
полюсов функции.
27.Определение и свойства вычетов функции в точке. Вычет в бесконечности
и его свойства.
28. Теорема Коши о вычетах и теорема о полной сумме вычетов.
29. Применение вычетов к вычислению интегралов: несобственные
интегралы от рациональных функций и интегралы Фурье. Лемма Жордана.
Элементы теории вероятностей.
1. Случайные явления и события. Понятие о математической модели
опыта со случайными исходами.
2. Пространство элементарных исходов. Примеры построения
пространств элементарных исходов для опытов со случайными
исходами.
3. Случайные события как подмножества пространства элементарных
исходов и операции над ними. Алгебра случайных событий . Примеры
построения алгебр случайных событий.
4. Вероятность на алгебре случайных событий и аксиоматическое
определение вероятности по Колмогорову. Аксиомы вероятности и
примеры построения вероятностных пространств.
5. Простейшие следствия из аксиом вероятности.
6. Классическое определение вероятности и примеры вероятностных
моделей на классическое определение.
7. Геометрическое определение вероятности и примеры использования
геометрической вероятности. Парадокс Бертрана.
8. Связь различных случайных событий. Условная вероятность и
вероятность произведения событий. Свойства условной вероятности.
Статистически независимые события. Примеры независимых событий
в теории схем.
9. Формула полной вероятности и формула Байеса, их применение в
построении вероятностных моделей.
10.Схема независимых повторных испытаний и формула Бернулли для
числа успехов.
11.Асимптотические формулы в схеме Бернулли: формула Пуассона,
локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
12.Определение и примеры случайных величин. Функция распределения
случайной величины и ее основные свойства.
13.Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность
распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.
14.Основные примеры распределений случайных величин: биномиальное
распределение, распределение Пуассона, равномерное и нормальное
распределения, показательное распределение.
15.Совместное распределение нескольких случайных величин и понятие
независимости случайных величин.
16.Числовые характеристики случайных величин. Математическое
ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Примеры
вычисления числовых характеристик для основных распределений.
17.Свойства математического ожидания и дисперсии.
18.Закон больших чисел . Неравенство Чебышева
Литература.
1.Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы ТФКП.
2.Краснов М.Л.,Кисилев А.И.,Макаренко Г.И. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление.
3. Привалов И.И. Введение в ТФКП.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. ч.2.
5.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. т.2.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. т.1.