Работа 1.

Работа 1.
Задача 1. Сформулируйте определение предела или одностороннего предела функции по Коши
и на языке «ε-δ». Проиллюстрируйте определение схематическим рисунком.
lim 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→10
Задача 2. Докажите предел функции. Найдите δ(ε). Сделайте рисунок.
1
= +∞
𝑥→1+0 (𝑥 − 1)2
lim
Задача 3. Вычислите предел функции.
𝑥4 − 1
lim
𝑥→1 𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 2
Задача 4. Вычислите предел функции.
lim
𝑥→−8
√1 − 𝑥 − 3
3
2 + √𝑥
Задача 5. Вычислите предел функции.
1 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥→0
sin2 𝑥
lim
Задача 6. Вычислите предел функции.
√𝑥 2 − 𝑥 + 1 − 1
lim
𝑥→1
𝑙𝑛𝑥
Задача 7. Вычислите предел функции.
𝑥
lim[1 − ln(1 +
𝑥→0
3
3
√𝑥)]sin4 √𝑥
Задача 8. Установите, являются ли функции f1(x) и f2(x) бесконечно малыми или
бесконечно большими при x→x0. Выделите главные части функций f1(x) и f2(x).
Определите порядок функций относительно x. Сравните функции.
𝑓1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 2 + 3𝑥) , 𝑓2(𝑥) = 1 − √3𝑥 + 1 , x0=0
Задача 9. Установите, является ли функция f(x) бесконечно малой или бесконечно
большой при x→x0. Выделите ее главную часть.
𝑓(𝑥) = √1 + 𝑥 2 + 3𝑥 − 1,
𝑥0 = 0
Задача 10. Установите, является ли функция f(x) бесконечно малой или бесконечно
большой при x→x0. Выделите ее главную часть.
5𝑥
𝑓(𝑥) = 2cos2 𝑥−1 − 2−5𝑥 ,
𝑥0 =
𝜋
2
Задача 11. Установите, является ли функция f(x) бесконечно малой или бесконечно
большой при x→x0. Выделите ее главную часть.
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + √𝑥𝑠𝑖𝑛 ,
𝑥
𝑥0 = ∞
Задача 12. Исследуйте функцию f(x) на непрерывность. Установите тип точек разрыва
и изобразите график функции в окрестности точек разрыва.
3, 𝑥 < −3
|𝑥|
𝑓(𝑥) = { , − 3 < 𝑥 ≤ 3
ln(𝑥 − 3) , 𝑥 > 3
Задача 13. Исследуйте функцию f(x) на непрерывность. Установите тип точек разрыва
и изобразите график функции в окрестности точек разрыва.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
𝑥+3
Работа 2.
Задача 1. Вычислите производную.
(𝑥 3 − 3𝑥)√𝑥 2 − 2𝑥 4
𝑦=
4𝑥 + 5
Задача 2. Вычислите производную.
𝑦=
1
1 + 2𝑥
𝑙𝑛
+ 𝑐𝑡𝑔(1 − 𝑥 4 )
𝑙𝑛4 1 − 2𝑥
Задача 3. Вычислите производную.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥−2
(𝑥 − 1)√2
Задача 4. Вычислите производную.
𝑦 = 3cos
2 2𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥 + 𝑡𝑔3𝑥
Задача 5. Вычислите производную.
1
𝑦 = (𝑠𝑖𝑛√𝑥)𝑒 𝑥
Задача 6. Вычислите производную.
𝑦=
𝑙𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑒 2𝑥+1 )
√4 − 𝑥 2
5
1 + √(𝑥 − 2)2
+
4𝑥 − 3
Задача 7. Вычислите производную.
2
𝑒 − cos 𝑥 √1 + 3𝑥
1
𝑦=
+ 2
3
𝑐𝑡𝑔 2𝑥
ln 𝑥
Задача 8. Вычислите производную.
𝑦=
sin2 𝑥
𝑥
+
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 cos6 𝑥
Задача 9. Вычислите производную.
𝑦=
1 + 2𝑥
2
ln(2𝑥 + 2 )
log 3 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑥
Задача 10. Вычислите вторую производную заданной функции.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 2
𝑑𝑦
Задача 11. Вычислите 𝑑𝑥 и
{
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
если функция y(x) задана параметрияески.
𝑥 = 𝑡 2 + 2𝑡
𝑦 = 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑡
,
Задача 12. Вычислите y и y
,,
для функции у(х) , заданной неявно.
𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑦 + 𝑦 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑥
Задача 13. Вычислите приближенное значение функции в заданной точке х.
𝑦=
1
√2𝑥 + 1
, 𝑥 = 1.58
Задача 14. Вычислите предел функции.
lim
𝑥→2
𝑥
2
𝑥
2 arcsin( )−𝜋
2
arccos( )
Задача 15. Проведите полное исследование заданной функции и постройте ее график.
𝑦=
3𝑥 2 − 10
√4𝑥 2 − 1
Задача 16. Проведите полное исследование заданной функции и постройте ее график.
𝑦=
𝑥+1
𝑥(𝑥 + 2)
Задача 17. Исследуйте поведение функции в точке х0 используя производные высших
порядков.
𝑦 = 4(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)2 − 2 cos(𝑥 − 3), 𝑥0 = 3
Задача 18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.
𝑦 = 𝑥 + 2√𝑥 при 𝑥 𝜖 [0; 4]