Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.» А.Г. Мордкович и др. -М.: «Мнемозина», 2000 г. Часть I учебно-практическое пособие СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык................................................................4 § 1. Числовые и алгебраические выражения ....................................... 4 § 2. Что такое математический язык .................................................. 18 § 3. Что такое математическая модель ............................................... 20 ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства.........................29 § 4. Что такое степень с натуральным показателем.......................... 29 § 5. Таблица основных степеней......................................................... 33 § 6. Свойства степеней с натуральными показателями .................... 37 § 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями.............................................................. 43 § 8. Степень с нулевым показателем .................................................. 46 ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами..........49 § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена..................... 49 § 10. Сложение и вычитание одночленов .......................................... 52 § 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень ................................. 62 § 12. Деление одночлена на одночлен................................................ 68 ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами 71 § 13. Основные понятия....................................................................... 71 § 14. Сложение и вычитание многочленов ........................................ 76 § 15. Умножение многочлена на одночлен........................................ 81 § 16. Умножение многочлена на многочлен...................................... 91 § 17. Формулы сокращенного умножения ......................................... 98 § 18. Деление многочлена на одночлен............................................ 111 ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители.........116 § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно..................................................... 116 § 20. Вынесение общего множителя за скобки ............................... 119 § 21. Способ групировки ................................................................... 123 § 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения............................... 127 § 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов.................................. 138 § 24. Сокращение алгебраических дробей....................................... 143 www.5balls.ru § 25. Тождества .................................................................................. 156 www.5balls.ru ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык § 1. Числовые и алгебраические выражения №1 а) 3,5 +4,5=8; б) 3,5+(−4,5)= –1; в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8. №2 а) 3,5–4,5=−1; б) 3,5−(−4,5)=8; в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1. №3 а) 15+7,5=22,5; б) 36,6−5Ошибка!=36Ошибка!−5Ошибка!=Ошибка!= Ошибка!; в) 13,7·3,5=Ошибка! г) 7Ошибка! №4 а) 1,5 · 3 = 4,5; в) 1,5 · (−3) = −4,5; б) −1,5 · 3 = −4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5. №5 а) 1,5 : 3 = 0,5; в) 1,5 : (−3)= −0,5; б) −1,5 : 3 = −0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5. №6 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка! www.5balls.ru 1) Ошибка!; 1 15 10 45 + 10 55 1 2) 15 + 3 = + = = = 18 ; 3 1 3 3 3 3 г) Ошибка! 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) 5 + 10 = 15. №7 1 3 1 5 а) (4 + 3 ) : 113 = 1 ; 15 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 1 3 1 5 б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!. №8 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) 3 + 3 = 6 ; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; www.5balls.ru г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!. №9 а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125; 1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125; б) Ошибка! Ошибка!; в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625; г) Ошибка! = 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500. № 10 а) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) 2,5 · 16 = 40; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 2) 6 – 2,4 = 3,6; в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; г) Ошибка!; 1) 24 + 5,6 = 29,6; 1) Ошибка!; 2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; 2) Ошибка!. № 11 а) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) 3,25 – 1,25 = 2; в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96; г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!. № 12 а) Ошибка! б) Ошибка! в) Ошибка! г) Ошибка! № 13 а) 2 – 4,5 = –2,5; www.5balls.ru б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5; в)Ошибка!; г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5. № 14 а) Переместительный закон сложения. б) Переместительный закон умножения. в) Сочетательный закон сложения. г) Распределительный закон сложения относительно умножения. № 15 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка! 3) 4 + 2 = 6; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3)17 ·1 7 = 289. в) Ошибка!Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! 4 9 1 5 = 18 − 8 = 166 41 830 − 369 461 11 − = = = 10 . 9 5 45 45 15 № 16 а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2; б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8; в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9; г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8. № 17 а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6 б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) = = ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345; в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4; г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3. № 18 а) Ошибка! б) Ошибка! www.5balls.ru в) Ошибка! г) 6 1 1 · 4,8 + 6 · 5,2 = 6,2 · (4,8 + 5,2) = 6,2 · 10 = 62. 5 5 № 19 а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах; б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках; в) X · 1000 : 60 = X · Ошибка! – Ошибка! г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч. № 20 а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 21 а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0; в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17. № 22 а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168; б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12; в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42; г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39. № 23 A B 2A–2B 1 1 0 2 3 –2 3 2 2 Ош Ош Ош Оши Оши Оши 1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0; 2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2; 3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2; 4) Ошибка!; 5) Ошибка!; 6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2; 8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0. www.5balls.ru –3 –2 –2 –2 –3 2 –1 –1 0 № 24 A B 2AB–1 1 1 1 2 3 11 3 2 11 Оши Оши Оши Оши Оши Оши –3 –2 11 –2 –3 11 –1 –1 1 1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11; 3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11; 4) Ошибка!; 5) Ошибка!; 6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11; 8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1. № 25 a+b = 10, c = 7. а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24; б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 26 а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12; б) Если c – d = 0, то d – c = 0. № 27 Ошибка! – ? а) a = 1, b = 2; Ошибка!; б) a = 3, b = 1; Ошибка!; в) a = 1,4, b = 1; Ошибка! a + b =1,4 + 1 = 2,4; г) a = –3, b = 1; Ошибка!a + b = –3 + 1 = –2. № 28 а) x=2, y=3; Ошибка!; б) x=1,5, y=Ошибка!; Ошибка!; в) x = –2, y = 0; Ошибка! г) x = 1,3, y = –0,5; Ошибка!. № 29 а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23; б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2; в) x = Ошибка!, y = Ошибка!; 5x – 3y = 5 · Ошибка! – 3 · Ошибка! = 62 – 29 = 33; www.5balls.ru г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8. № 30 а) a = 20, b = 12; Ошибка!Ошибка!; б) a = 2,4, b = 0,8; Ошибка!Ошибка!; в) a = 10,8, b=6; Ошибка!Ошибка!; г) a = 12, b=5,6; Ошибка!Ошибка!. № 31 а) x = 8, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121; (x+y)2 = 112 = 121; б) x = 7,6, y = 1,4; x2 + 2xy + y2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 = = 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; (x+y)2 = 92 = 81; в) x = 10, y = 2,6; x2 + 2xy + y2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 = = 100 + 52 + 6,76 = 158,76; (x+y)2 = 12,62 = 158,76; г) x = 1,5, y = 3; x2 + 2xy + y2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 = = 2,25 + 9 + 9 = 20,25; (x+y)2 = 4,52 = 20,25. № 32 а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1; Ошибка!; б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1; Ошибка!; в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1; Ошибка!; г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8; Ошибка! № 33 а) x – любое число; б) а – не равно нулю; в) y – любое число; г) b – не равно нулю. № 34 а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2); www.5balls.ru в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13). № 35 а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6. № 36 а) 5x = 150; б) 6x = –54; 0,25; x = 150 : 5; x = –54 : 6; 0,5); x = 30; x = –9; в) –0,7x = 343; г) –0,5x = – x = 343 : –0,7; x = –0,25 : (– x = –490; x = 0,5. № 37 а) 7x + 9 = 100; б) 1,4x – 0,8 = 7; в) Ошибка!; г) 17,5x – 0,5 = 34,5; 7x = 100 – 9; 1,4x = 7 + 0,8; Ошибка!; 17,5x = 34,5 + 0,5; x = 91 : 7; x = 7,8 : 1,4; Ошибка!; x = 35 : 17,5; x = 13; x = Ошибка!; x = 1; x = 2. № 38 а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9; x = 26 : (–13); x = 2; в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; –0,3x = 72; x = –240; б) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 6; г) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; y = 60. № 39 а) u = –1,5, v = 2,4; (–1,5 + 2,4)2 = 0,92 = 0,81 ; –1,52 + 2,42 = 2,25 + 5,76 = 8,01 ; б) u = 3,1, v = –0,8; Ошибка!; в) u = 14, v = 1,4; (14 + 1,4)2 = 15,42 = 237,16 ; 142 + 1,42 = 196 + 1,96 = 197,96 ; г) u = –1,2, v = –2,8; (–1,2 + (–2,8))2 = –42 = 16 ; –1,22 + –2,82 = 1,44 + 7,84 = 9,28 . www.5balls.ru № 40 а) 3x – 2 = 10; 3x = 12; x = 12 : 3; x = 4; № 41 а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2; б) 4y –1 = 3y + 5; 4y – 3y = 5 + 1; y = 6. б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p – 28p = –132 –3; –27p = –135; p = 5. № 42 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 =Ошибка!. № 43 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = Ошибка!; г) Ошибка!. № 44 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) Ошибка!; б) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) 2,62 – 0,3 = 2,32; в) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; www.5balls.ru 4) Ошибка! г) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24. № 45 а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ; б) Ошибка!; в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5. № 46 а) Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!; г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 . № 47 A B C A2 + 2 BC + 7 A2 + 3 B 2 + C ( A + B)( B + C ) ( A + B)2 B( A + B + C ) ABC ( A + 3B )CA2 A2 B 2 + 2C –3 2 7 –2 4 –3 –1 6 5 0 3 –2 1 5 4 3 –2 1 6 0 8 Ош Ош Ош Ош Ош Ош Оши –9 Ош Ош Ош Ош –1 Оши –3 2 –5 –6 Ош 3 –42 Ош Ош Ош Ош Ош Ош Оши № 48 а) Ошибка!; 1) Ошибка!; 2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0; б) Ошибка! – дробь не равна нулю; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; www.5balls.ru 3) Ошибка!; 4) 3 – 0,5 = 2,5; Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю. № 49 а) 3,5 · 1,24 – дробь не имеет смысла; 3 10 + 1,6 : · 0,4 − 0,4 5 1) Ошибка!; 2) 0,24 – 0,4 = –0,16; 3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла; б) Ошибка! – дробь смысла не имеет; 1) Ошибка!; 2) Ошибка!; 3) Ошибка!; 4) Ошибка!; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет. № 50 а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее; б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее. № 51 а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100; в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100. № 52 1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0; 2) 4 : 4 –4 + 4 = 1; 3) 4 : 4 + 4 : 4 = 2; 4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4; 6) (4 · 4 + 4) : 4 7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7; 9) 4 · 4 – 4 – 4 = =5; 8; 10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10. www.5balls.ru § 2. Что такое математический язык № 53 а) a + b; б) с – d; в) x · y; г) t : v. № 54 а) (z + x) : 2; б) (p – q) : 2; в) x2 ; г) y3 . № 55 а) x + a · b; б) y – a : b; в) a · (b + c); г) z : (x – y). № 56 а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2. № 57 а) (a + b)2 ; б) (x – y)3 ; в) t2 – w2 ; г) c3 + d3 . № 58 а) Ошибка!; б)Ошибка!; в)Ошибка!; г) Ошибка!. № 59 а) Сумма чисел x и 2; б) Разность чисел c и d; в) Произведение чисел 8 и z; г) Частное от деления числа p на q. № 60 а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y; в) Сумма кубов чисел z и t; г) Разность кубов чисел m и n. № 61 а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v; в) Куб суммы чисел p и q; г) Куб разности чисел f и q. № 62 а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2; б) Отношение разности чисел a и b к числу 2; в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности; г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению. www.5balls.ru № 63 а) a + b = b + a; б)ab = ba; в) a + (b + c) = (a + b) + c; г) a + (b – c) = (a + b) – c. № 64 а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе слагаемое. б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое. в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а. г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. № 65 а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль. б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получается ноль. в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деления единицы на это же самое число а, получается еденица. № 66 а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y. б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b. в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q. г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r. № 67 а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2. б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2. в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3. г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4. № 68 а) (a + b) · c = a · c + b · c; б) x · (y – z) = x · y – x · z; www.5balls.ru в) a – (b +c) = (a – b) – c; № 69 а) Ошибка!; в) Ошибка!; г) a – (b – c) = (a – b) + c б) Ошибка!; г) Ошибка! № 70 а) Ошибка! б) Ошибка! в) Если Ошибка! г) Если a c δ χ α β = , то = и = . b d β α χ δ § 3. Что такое математическая модель № 71 а) x · y = 9; б) a : b = 2; в) b = c; г) 2 · p = 3 · q. № 72 а) a – 18 = b; б) b + 39 = c; в) x : y = 6; г) a : b = Ошибка!. № 73 а) a + b = 43; б) m – n = 214; в) a + b + 6 = ab; г) p – q – 17 = p : q. № 74 а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d; г) a + b = 2 · (c – d). № 75 t – v = 3. № 76 3 · x = 2 · y. № 77 5 · b = 6 · a. № 78 x + 25 > 3 · x – 15. № 79 0,5 · a < 0,5 · a + b. www.5balls.ru № 80 x – 5,8 = y + 14,2. № 81 x + 3,7 = 1,5 x – 5,36. № 82 Ошибка!. № 83 5a + 3b = m. № 84 (x + 7) · 3 – 4,7 = x. № 85 (x – 8) · 2 = y + 8. № 86 x + 4 · x + x + 50 = 470. № 87 c + 4,8 = 1,4 · c – 5,2. № 88 d + 15 = 4 · d + 3. № 89 Ошибка!. № 90 а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на другой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии. б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза дороже яблок. в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один килограмм помидоров d рублей. г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково. www.5balls.ru № 91 а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два одинаковых числа. б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к первому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах стало поровну. г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою коллекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше, чем у Васи в коллекции. № 92 а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах число человек станет равное. б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спортсмен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее. в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты. г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Мандаринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну. № 93 а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго. б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом Ошибка!второго числа равна первому числу. в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умножить на 3 и вычесть из него 4, то его Ошибка! часть будет равна первому числу. www.5balls.ru № 94 а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y. б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих чисел равна 3. в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12. № 95 Пусть x км/ч – скорость велосипедиста. Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста. 5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36; x = 12 км/ч – скорость велосипедиста. 18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста. 5 · 12 = 60 км – расстояние между городами. Ответ: 12, 30, 60. № 96 Пусть x квартир в первом доме. Тогда (x + 86) квартир во втором доме. x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме. 353 + 86 = 439 – квартир во втором доме. Ответ: 353; 439. № 97 Пусть x трехкомнатных квартир в доме. Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме, (x – 5) – однокомнатных квартир в доме. x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210; x = 70 – трехкомнатных квартир. 70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир. 70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир. Ответ: 65. www.5balls.ru № 98 Пусть x мест в малом зале. Тогда 3 · x мест в большом зале. 3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале. 115 · 3 = 345 – мест в большом зале. Ответ: 345. № 99 Пусть x книг на второй полке. Тогда 2 · x книг на второй полке. 2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. Ответ: 32. № 100 Пусть x деталей изготовил ученик за один день. Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день. (x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156; x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день. 3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день. Ответ: 117, 39. № 101 Пусть x деталей изготовили на первом станке. Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке. x + x +10 = 346; 2 · x = 336; x = 168 – деталей изготовили на первом станке. 168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке. Ответ: 168; 178. № 102 Пусть x тонн зерна собрали с первого участка. Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка. 1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6; x = 18 тонн зерна собрали с первого участка. 1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка. Ответ: 18; 21,6. www.5balls.ru № 103 Пусть x – это число. Тогда имеем : x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5; Ответ: 5. № 104 Пусть x лет дочке. Тогда (x + 25) – лет маме, x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме; № 105 Пусть x яблонь на первом участке. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то (x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором. x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21; x = 22 – на первом участке. 84 – 22 = 62 – на втором. Ответ: 22; 62. № 106 а) a + b = 7 · a · b; в) Ошибка!; б) x = 3 · y + 1; г) a = 12 · b + 5. № 107 а) N = 10 · a + b; в) a · 1000 + b · 10; б) M = 100 · a + 10 · b + c; г) 100 · r + 7. № 108 Пусть t часов был в пути первый теплоход. Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход. 22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78; www.5balls.ru t = 384 : 48; t = 8 часов был в пути первый теплоход. 8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход. Ответ: 8; 5. № 109 Пусть x книг на первой полке. Тогда 2 · x – книг на первой полке. 2 · x – 5 – книг на третей полке. x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. 32 – 5 = 27 – книг на третей полке. Ответ: 36; 18; 31. № 110 Пусть x – рабочих во втором цехе. Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе. 1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе. x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200; x = 50 – рабочих во втором цехе. 1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе. 75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе. Ответ: 75; 50; 185. № 111 Пусть x см. – AB. Тогда 2 · x см. – BC. (x + 4) см. – AC. x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB. 2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС. Ответ: 10; 20; 14. № 112 Пусть x учеников учится в старших классах. Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах. 6 · x учеников учится в средних классах. www.5balls.ru x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900; x = 90 – учеников учится в старших классах. 3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах. 6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах. Ответ: 270; 540; 90. № 113 Пусть x учеников всего. Тогда Ошибка! – учеников изучает математику. Ошибка!. Ошибка!. Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 28 – учеников всего. Ответ: 28. № 114 Пусть x – дней отработали. Тогда (30 – x) – дней не работали. 48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; 60 · x = 360; x = 6 дней отработали. Ответ: 6. № 115 Пусть x – учеников всего. Если придет Ошибка! учеников, то x + x + Ошибка!= 100; 2 · x + Ошибка!; Ошибка!; 11 · x = 396; x = 36 – учеников всего. Ответ: 36. № 116 Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп. Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп. 12 · x + (120 – x) · 9 = 1200; www.5balls.ru 12 · x + 1080 – 9 · x = 1200; 3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин. Ответ: 40; 80. www.5balls.ru ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства § 4. Что такое степень с натуральным показателем )5. № 117 а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76; в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4 № 118 а) x8; б) y5; в) z6; г) q3. № 119 2 3 4 7 8 2 а) (–4)5; б) − ; в) (–2,5)3; г) − 5 . № 120 а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6. № 121 а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6. № 122 а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6. № 123 1 2 2 1 9 3 а) 135 · 53; б) 0,72 · − ; в) (– 0,45 )2 · 73; г) · 0,12. № 124 3 5 2 1 3 3 а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · ; в) ( 7,95 )2 · 133; г) − 2 · ( 17,8 2 ). № 125 а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3; б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2. www.5balls.ru № 126 а) 4pq · 4pq; a b 2 a b в) (z – x) · (z – x) · (z – x); 2 б) − · − ; г) Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! · Ошибка!. № 127 а) 2; б) 4; в) 32; г) 16. № 128 а) 27; б) 0; в) –8; г) 1. № 129 а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125. № 130 а) 1; б) 81; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 131 а) 35 = 405; 3 4 б) (– 0,5)4 = 0,0625; 3 1 7 в) = Ошибка!; 2 8 7 2 г) 1 = = Ошибка!. № 132 а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г) Ошибка! см2. № 133 а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г) Ошибка! м3. № 134 1 2 3 1 5 4 а) (– 3)5 = – 405; б) Ошибка!; в) (–0,4)2 = 0,16; г) = Ошибка!. № 135 а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0. № 136 а) – 72 = – 49; в) (– 0,5)3 = – 0,125; б) (– 1)4 = 1; г) – 82 = – 64. www.5balls.ru № 137 1 4 3 2 3 2 3 = Ошибка!; 10 а) − = Ошибка!; б) − 3 в) − − = Ошибка!; г) – (– 0,1)4 = – 0,0001. № 138 в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56; а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; 5 б) (– 2) · 3 = – 32 · 3 = – 96; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1. № 139 2 3 а) Ошибка!2 · Ошибка! = Ошибка!; б) 34 · − 3 = 81 · Ошибка! = 3 · (– 8) = – 24; 3 5 2 в) 1 : Ошибка!3 = 1 : Ошибка! = – 27; г) · Ошибка! № 140 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 141 1 5 2 2 11 = Ошибка!; 5 а) 2 = 1 3 3 3 10 = Ошибка!; 3 б) − 3 = − 2 3 4 5 3 4 в) − 1 = − = Ошибка!; 1 4 2 2 21 = Ошибка!. 4 г) 5 = № 142 а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12. № 143 а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31. www.5balls.ru № 144 а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m. № 145 а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n. № 146 а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – m y) . № 147 Пусть S – площадь одной стороны. Тогда 6 · S – полная поверхность. S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность. Ответ: 294 см2. № 148 Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3. Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем. P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев. Ответ: 36 м2. № 149 Пусть S – площадь пола. S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски. Ответ: 3,2 килограмма. № 150 Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба. S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3; Ответ: 0,064 м3. № 151 а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210; б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210; в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210; г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420. www.5balls.ru № 152 а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200; б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244. № 153 1 9 2 а) · 27+(0,1)4 · 5000 = Ошибка!; 1 8 2 б) 100 : 52 – · 128 = 100 : 25 – Ошибка!. № 154 2 3 3 2 3 3 8 3 3 5 3 3 а) 2 – 1 = – = Ошибка!; 1 4 4 2 1 = − 16 б) − 1 + 2 4 2 5 33 – = Ошибка!. 4 16 № 155 а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19; б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33; в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3; г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47. № 156 а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72; б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 = = 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52; в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 = = 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52; г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 = = 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72. № 157 а) 22 · 23 и 22 + 3; 1) 22 · 23 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25; 2) 22 + 3 = 25. Ответ: числа равны. в) 71 · 72 и 71 + 2; 71 · 72 = 7 · 7 · 7 = 73; 71 + 2 = 73. б) 32 · 31 и 32 + 1; 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33; 2) 32 + 1 = 33. Ответ: числа равны. г) 41 · 43 и 41 + 3; 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44; 2) 41 + 3 = 44. www.5balls.ru Ответ: числа равны. Ответ: числа равны. § 5. Таблица основных степеней № 158 N 3n 5n 7n 1 3 5 7 2 9 25 49 3 27 125 343 4 81 625 2401 5 243 3125 16807 6 729 15625 11764 9 № 159 а) 16 = 42; б) 2 4 2 25 5 2 = ; в) 0,81 = (0,9) ; г) = 49 7 64 8 2 2 . № 160 а) 125 = 53; б) 3 3 1 1 343 7 3 = ; в) – 0,216 = (– 0,6) ; г) = − . 64 4 512 8 № 161 а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1. № 162 а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0. № 163 а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2; б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0; в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0; г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1. № 164 а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0; б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2; в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2; г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1. № 165 а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000. № 166 а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n. www.5balls.ru № 167 1 4 2 а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) − = Ошибка!. № 168 а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5; 2 3 4 2 9 2 б) − – = Ошибка!; в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035; 1 6 2 1 3 3 г) − – − = Ошибка!. № 169 а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0. № 170 а) x2 + y2 ≥ 0; в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0; б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0. № 171 а) 2 r = 512; r=9 Ответ: 9 в) 7 m = 343; m=3 Ответ: 3 б) 5 m = 625; m=4 Ответ: 4 г) 3 r = 729 r=6 Ответ: 6 № 172 а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 = = 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284; б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005; в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101; г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408. № 173 а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 = = 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5; б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 = = 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9; в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 = www.5balls.ru = 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3; г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 = = 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102. № 174 а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1. При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1. При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0. При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100. – а2 = – 102 = – 100. б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1. При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0. При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1. При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000. – b5 = – 105 = – 100000. в) c2 + (– c)3 + c4. При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1. При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0. При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100. При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3. г) d4 – d2 + d + 1. При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0. При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1. При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2. При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911. № 175 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 176 а) 322 > 0; б) (– 54)2 > 0; в) 32 и 23; г) и ; 1) 32 = 9; 2) 23 = 8. 1) = Ошибка!; 2) = 1 3 3 1 3 3 Ошибка!. www.5balls.ru 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 3 Ответ: 32 > 23. Ответ: > . № 177 а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3; в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2; 3 5 4 3 5 4 1 5 б) − = ; 2 1 5 4 г) − > . № 178 1 7 а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2; 1 3 3 7 2 в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2; 3 3 2 г) (− )3 < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2. 4 5 б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2; № 179 а) 2 n = 1024; 3 r =81; n =10; n + r = 10 + 4 = 14. Ответ: 14. № 180 а) 22x = 128; 256; 2x = 7; x = 3,5. Ответ: 3,5. б) 7 n = 49; 5 r = 625. r = 4; n = 2; r = 4; n + r = 2 + 4 = 6. Ответ: 6. б) 3 x – 3 = 243; в) 5 x : 2 = 125; г) 2 2 – 3x x – 3 = 5; x = 8. Ответ: 8. x : 2 = 3; x = 6. Ответ: 6. 2 – 3x = 8; x = –2. Ответ: –2. § 6. Свойства степеней с натуральными показателями № 181 а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34. № 182 а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1. www.5balls.ru = n15. r67; № 183 а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67. 13 8 13 + 8 + 1 22 =m ; г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = в) m · m · m = m № 184 а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 = в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q . 49 № 185 а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5; б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15; в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23; г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9. № 186 а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13; б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15. № 187 а) x7 · x18; в) x24 · x; б) x9 · x16; г) x · x24. № 188 б) ∗ · r14 = r10; а) r3 · ∗ = r11; r43; г) ∗ · r21 · r11 = r40; 11 – 3 = 8; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; r3 · r8 = r11; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43; в) r13 · ∗ · r18 = 40 – 21 – 11 = 8; r8 · r21 · r11 = r40. № 189 а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; 26 – 12 – 3 = 11; 11 = 5 + 6; r12 · r5 · r3 · r6 = r26; б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; 51 – 44 – 1 = 6; 6 = 3 + 3; r44 · r3 · r · r3 = r51; в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48; 48 – 7 – 9 – 13 = 19; 19 = 9 + 10; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72; 72 – 1 – 14 – 20 = 37; 37 = 17 + 20; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72. www.5balls.ru № 190 а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243; в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729. № 191 б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28; а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; 6 9 6+9 15 =2 ; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 в) 64 · 512 = 2 · 2 = 2 9 =2 . № 192 а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57; в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57;г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514. № 193 а) a = (– 13)9 · (– 13)8; 9 + 8 = 17 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) а = (– 28)2 · (– 28)6; 2 + 6 = 8 – четное. Ответ: положительное. № 194 а) x · 73 = 75; x = 7 5 : 7 3; x = 72; x = 49. Ответ: 49. б) 122 · x = 123; x = 123 : 122; x = 121; x =12. Ответ: 12. № 195 а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; в) z13 : z = z13 – 1 = z12; б) a = (– 17)17 · (– 17)71; 17 + 71 = 88 – четное. Ответ: положительное. г) а = (– 43)41 · (– 43)14; 41 + 14 = 55 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) 46 · x = 48; x = 48 : 46; x = 42; x =16. Ответ: 16. г) x · 56 = 59; x = 59 : 56; x = 53; x = 125. Ответ: 125. б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m. № 196 б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; 1 29 = b = b; в) c3 : c : c = c3 – 1 – 1 = c1 = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24. № 197 а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b); б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2; www.5balls.ru в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3; г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n). № 198 а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12; в) (– 324)3 : (– 324)2 = (– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127 : 0,75126 = 0,75127 – 26 = 0,751; № 199 а) Ошибка! = 73 = 343; б) Ошибка! = 0,62 = 0,36; в) Ошибка! = (– 0,2)4 = 0,0016; г) 1 1 3 4 1 1 3 3 1 1 3 = 1 = Ошибка!. № 200 18 1 3 а) 1 1 3 = 1 6 1 7 1 7 б) − 2 18−17 17 1 3 : 1 : − 2 4 =Ошибка!; 1 7 6− 4 = − 2 15 7 = − 2 = Ошибка! = Ошибка!; 2 9 23 15 7 8 г) − 1 2 9 21 2 9 : 3 в) 3 14 7 8 : −1 № 201 а) x5 : x2 = x3; в) x49 : x36 = x13; 23− 21 = 3 15−14 7 8 = −1 2 29 = Ошибка!; 9 = 1 7 8 = − 1 = Ошибка!. б) x18 : x7 = x11; г) x104 : x5 = x99. № 202 а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51; в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73. www.5balls.ru № 203 а) 128 n : 12856 = 12842; n – 56 = 42; n = 98; Ответ: 98. б) 2163 : 216 n = 216; 3 – n =1; n = 2; Ответ: 2. в) 395 n : 395 = 3959; n – 1 = 9; n = 10; Ответ: 10. г) 5484 : 548 n = 5483; 4 – n = 3; n = 1; Ответ: 1. № 204 а) x : 25 = 23; x = 2 3 · 2 5; x = 28; x = 256. Ответ: 256. б) 36 : x = 34; x = 36 : 34; x = 32; x = 9. Ответ: 9. в) 78 : x = 74; x = 7 8 : 74 x = 7 4; x = 2401. Ответ: 2401. г) x : 52 = 5; x = 5 · 52; x = 53; x = 125. Ответ: 125. № 205 а) Ошибка! = 73 + 12 – 14 = 71 = 7; б) Ошибка! = 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000; в) Ошибка! = 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г) Ошибка!. № 206 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; 3 2 5 1 1 1 · 4 1 3 3 3 1 = = = . г) 1 1 3 81 3 3 № 207 а) Ошибка!; в) Ошибка!; б) Ошибка!; г) Ошибка!. № 208 а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84; б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130. www.5balls.ru № 209 а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10. № 210 а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3. № 211 а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729; в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024. № 212 а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14; в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24. № 213 а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12; б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55. № 214 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 215 а) y3; б) y6; в) y10; г) y20. № 216 а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62; б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52; в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84; г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90. № 217 а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 2 =p ; в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22; г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22. www.5balls.ru № 218 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 219 а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n. № 220 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. § 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями № 221 а) (2a)4 = 24 · a4; в) ( 6n )3 = 63 · n3; б) ( 3b )5 = 35 · b5; г) ( 8n )2 = 82 · n2. № 222 а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; 2 2 б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5. 2 в) (– 7c) = (– 7) · c ; № 223 а) ( mn )6 = m6 · n6; б) ( ab )4 = a4 · b4; в) ( pq )3 = p3 · q3; г) ( cd )10 = c10 · d10. № 224 а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; в) (– rs )3 = (– r)3 · s3; б) (– am )8 = (– a)8 · m8; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12. № 225 а) ( xy3 )2 = x2 · y6; 3 6 18 54 б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12; 18 108 в) ( p cd ) = p · c · d ; г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56. № 226 а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20; б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18. № 227 а) 36a2 = (6a)2; б) 49b2 = (7b)2; www.5balls.ru г) 64d2 = (8d)2. в) 81c2 = (9c)2; № 228 а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; в) m5 · n5 · s5 = (mns)5; б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2. № 229 а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4; б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3; в) 81 · m2 · p2 · q2 = (9mpq)2; г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5. № 230 а) a2 · b10 = (ab5)2; 2 4 24 б) x8 · y12 = (x4y6)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2. 2 12 2 в) x · y · z = (xy z ) ; № 231 а) x4 · y6 = (x2y3)2; в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2; б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2. № 232 а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000; 7 7 7 7 2 2 3 2 3 7 7 б) · 1,5 = · = · = 1 = 1 ; 3 3 2 3 2 в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729; 3 г) 3 3 3 3 3 35 · 6 · 2 35 · 12 1 35 6 2 1 = = = · · = 24 7 5 24 · 7 · 5 24 · 35 2 8 . № 233 12 а) a b = a12 b12 17 ; б) c d = c17 d 17 4 ; в) a4 a − = 4 b b ;г) 5 c5 c − = − 5 . d d № 234 2 6 а) 26 · a 6 64a 6 2a = 6 6 = 3 ·b 729b6 3b в) c5 c5 c = 5 5 = 2 ·d 32d 5 2d ; б) 7x 7 2 · x 2 49 x 2 = = 82 · y 2 64 y 2 8y г) 33 · m3 27 m3 3m − =− 3 3 =− 5 ·n 125n3 5n б) 10 25 = 2 = 1024 = 1 399 ; 52 625 625 54 5 ; 3 ; № 235 2 а) 10 35 = 3 = 59049 72 2401 74 2 ; www.5balls.ru . 4 в) 8 8 − b2 =b = b 8 84 4096 2 ; г) 6 ( −3)3 = 3 = 729 (−7) 2 7 4 2401 № 236 8 38 а) 3 = 8 5 5 в) m3 m = 8 2 ; 7 = 9 11 11 г) c4 c = 16 2 3 ; 79 б) 9 ; 4 . № 237 а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4. № 238 а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1; в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000. № 239 3 3 3 3 а) 5 7 125 17 5 7 5 =4 − · − = − · − = = 7 3 3 27 27 7 3 б) 7 − 8 в) 5 12 5 12 · = · = 26 = 64 ; 6 5 6 5 г) 3 8 3 8 · = · = 24 = 16 . 4 3 4 3 10 10 8 · − 7 6 4 10 7 8 = − · − 8 7 6 4 № 240 а) Ошибка!; в) Ошибка!; № 241 а) Ошибка!; в) Ошибка!; = 110 = 1 ; 6 4 б) Ошибка!; г) Ошибка!. б) Ошибка!; г) Ошибка!. № 242 а) Ошибка!; б) Ошибка!; www.5balls.ru ; . в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 243 а) Ошибка! = 5; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; б) Ошибка! = 104; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 5. Ответ: x = 5. x = 104. Ответ: x = 104. в) Ошибка!; г) Ошибка!. Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 1347. Ошибка!; Ошибка!; Ошибка! ; x = 349. Ответ: x = 1347. Ответ: x = 349. § 8. Степень с нулевым показателем № 244 R Найдите 2 3 а) R = 3; 2 3 2 3 R б) R = 0; 2 3 R в) R = 1; 2 3 R г) R = 5; . R 3 = 2 3 = 2 =1; 3 = 2 3 = 2 3 = Ошибка!; 0 1 = Ошибка!; 5 = Ошибка!;. № 245 а) a = 1; a5 = 15 = 1 ; в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ; б) a = 0; a5 = 05 = 0 ; г) a = 10; a5 = 105 = 100000 . № 246 2 а) 1 1 < 3 3 0 ; Ошибка!; www.5balls.ru 2 б) 1 1 − < 4 4 0 ; Ошибка!; в) (– 2)3 < (– 2)0 ; – 8 < 1; г) 50 < 54 . 1 < 625. № 247 0 3 3 > − 4 4 а) - 23 < – 20 ; б) –8 < – 1; Ошибка!; 2 2 ; в) 1 − < (−2)0 ; 2 г) – 55 < – 50 . Ошибка!; – 3125 < – 1. № 248 а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500; 2 3 0 б) 4 1 32 + 9 41 2 1 7 = + · = + · 1 = 9 8 72 72 3 2 8 ; в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193; г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375. № 249 а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1; б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1; в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1; г) d15 · d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1. № 250 а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1; 5 3 8 5 + 3 −8 0 б) p p p p · : = 2 2 2 2 4 3 2 p = = 1; 2 3 в) (r + l) : (r + l) · (r + l) : (r + l) = (r + г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1. l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1; № 251 2 0 2 2 0 5 25 5 5 5 5 : − · = : − · 1 = − = −1 ; 2 4 2 2 2 2 а) б) 3 5 1 1 1 1 · − : = 3 9 3 3 3 3+ 2 − 5 0 1 2 1 5 1 1 · − : = − = − = 1 ; 3 3 3 3 в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25; www.5balls.ru 2 г) 0 3 2 2 8 2 16 2 2 : · = : ·1 = 27 3 81 3 3 3 . № 252 а) Ошибка! Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка! – (120)3 – 1 1 2 2 + 43 · 0,1 = Ошибка! – 13 – 3 2 2 + 64 · 0.1 = = 0,75 – 1 – Ошибка!+ 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9; г) ((– 8)0)5 – 62 · Ошибка! – 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10. www.5balls.ru ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена № 253 а) 3xy – одночлен; б) Ошибка!a2bc3 – одночлен; 3 – коэффициент; xy – буквенная часть; в) – 0,3c5d9 – одночлен; – 0,3 – коэффициент; c5d9 – буквенная часть; Ошибка! – коэффициент; a2bc3 – буквенная часть; г) (– 2)3u nz nw n – одночлен; (– 2)3 – коэффициент; u nz nw n – буквенная часть. № 254 а) 0 – одночлен; 0 – коэффициент. в) – 0,6 – одночлен; – 0,6 – коэффициент. б) y – одночлен; y – буквенная часть; г) z n – одночлен; z n – буквенная часть. № 255 а) x – y – не одночлен; б) Ошибка! – не одночлен; в) 2(c2 + d2) – не одночлен; г) Ошибка! – не одночлен. № 256 а) Ошибка! – не одночлен; г) Ошибка! – не одночлен; в) Ошибка! – одночлен; Ошибка! – коэффициент; б) – 12m3n2 – одночлен; – 12 – коэффициент; m3n2 – буквенная часть; cd – буквенная часть. № 257 а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4; в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b. № 258 а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10. № 259 а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0; при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7; б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36; при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900; в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4; г) p = 1, q = 2; Ошибка!pq3 = Ошибка! · 1 · 23 = Ошибка! · 8 = 3. № 260 а) 3m4 · m = 3m5; 3 – коэффициент; m5 – буквенная часть; б) 5x · 10y2 = 50xy2; www.5balls.ru 4. 50 – коэффициент; xy2 – буквенная часть; в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25; 42 – коэффициент; y25 – буквенная часть; г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8; 28 – коэффициент; z3t8 – буквенная часть. № 261 а) 7a · 3b · 4c = 84abc; 84 – коэффициент; abc – буквенная часть; б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5; 120 – коэффициент; qp2r5 – буквенная часть; в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5; – 64 – коэффициент; u4v3w5 – буквенная часть; г) Ошибка!c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10; – 1 – коэффициент; c12d18s10 – буквенная часть. № 262 а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2; a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4; б) Ошибка!s3t4r6; s = 1, t = 2, r = – 1; Ошибка!s3t4r6 = Ошибка!· 13 · 24 · (– 1)6 = Ошибка! · 16 · 1 = Ошибка!. № 263 4. а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2; 832 – коэффициент, a2b2 – буквенная часть. б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4; 400 – коэффициент, p2q4 – буквенная часть; в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9; 1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть; г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11; 64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть. № 264 а) 0,45a2bc5 · Ошибка!a7b6c = Ошибка!a9b7c6 = 0,5a9b7c6; 0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть, б) 0,4b3x4y · Ошибка!bx3y7 = Ошибка!b4x7y8 = Ошибка!b4x7y8; Ошибка! – коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть; в) – 6p4n3Ошибка!= 2p6n5; 2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть; г) – 3a2b4Ошибка!= Ошибка!a5b8; Ошибка! – коэффициент, a5b8 – буквенная часть. № 265 а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7; 34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть; б) 12p3q2r10Ошибка!= p4q8r15; 1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть; в) – 2x3c5d3Ошибка!= – 2x4c11d4; www.5balls.ru 4. 2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть; г) – 99a ms nt nОшибка!= 3am + ns n + r t n + m; 3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть. № 266 а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b; 2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2; 3. 1,2a2 · 5b = 6a2b; 4. 7a2b · 12ab = 84a3b. У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q; 2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q; 3. 0,7 · 12p3 = 8,4p3; 4. 4,3p23q = 12,9p2q. У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть. в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4; 2. 0,25t4 · 4s = st4; 3. 2,5t · 8st5 = 20st6; 4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4. У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3; 2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2; 3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2; 4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3. У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть. § 10. Сложение и вычитание одночленов № 267 б) 19x2 и 35x2 подобные; г) mn и 5mn подобные. а) 3a и 4a подобные; в) 3y3 и 3y3 подобные; № 268 а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные; б) Ошибка!x3y4z и Ошибка!x3y4z подобные; в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные; г) Ошибка!r3s2t5 и Ошибка!r3s2t5 подобные. № 269 а) 7a2 и 3a3 не подобные; б) 6x2 и 15x5 не подобные; в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные; г) Ошибка!y2z и Ошибка!yz2 не подобные. № 270 а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6; б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9; в) c3d12z5 и 3c3d12z5; г) Ошибка!m2n8p14 и m2n8p14. № 271 а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные; б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные; в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные; www.5balls.ru г) Ошибка!m11n15; Ошибка!m11n15 подобные. № 272 а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7; б) Ошибка!m · m3 · m5 = Ошибка!m ; 9 г) Ошибка!m13 · m7 · 0,5 = m20. в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9; Одночлены под пунктами б) и в) подобны. № 273 а) 3x + 5x = 8x; б) 6y + 7y = 13y; в) 3p + 5p + p = 9p; г) 7q + 9q + 4q = 20q. № 274 а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c; в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; б) Ошибка!m; г) Ошибка!. № 275 а) 13x2 + 20x2 = 33x2; в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3; б) Ошибка!; г) Ошибка!. № 276 а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4; б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8; в) m4 – m4 = 0; г) 2x8 – x8 = x8. № 277 а) 20y – 12y – y – 2y = 5y; в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2; б) Ошибка!; г)Ошибка!. № 278 а) 5x2y + 6x2y = 11x2y; в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; б) Ошибка!c3d + Ошибка!c3d = c3d; г) Ошибка!m3n4 Ошибка!m n = Ошибка!m n . 3 4 3 4 № 279 а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3; б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3; в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq; г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n. № 280 а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0; б) – 12x3yz – (– 36x3yz) = 24x3yz; в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4; г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz. № 281 а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2; 3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2; б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2; 3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2; 2. cd2 + 5cd2 = 6cd2; 4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2; 2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2; 4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2. www.5balls.ru + № 282 а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy; б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x; в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab; г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2. № 283 а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b; б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2; в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3; г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0. № 284 а) 5x + 4x = 9; 9x = 9; x = 1. Ответ: x = 1. x x x в) 19 – 3 + 4 = 80; 0 б) 11x – 4x = 14; 7x = 14; x = 2. Ответ: x = 2. г) 20x – 13x – 12x = 6; 20x = 8 ; 5x = 6; x = 4. x = Ошибка!. Ответ: x = 4. Ответ: x = Ошибка!. № 285 а) Ошибка!; Ошибка! Ошибка! x=–1 Ответ: x = – 1. б) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 1. Ответ: x = 1. в) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!. Ответ: x = 10. г) Ошибка!; Ошибка!; x = 24 . Ответ x = 24. № 286 а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x; в) Ошибка!; 0,71x + 0,29x = 10 + 13; Ошибка!; Ошибка!; x = 23. www.5balls.ru Ответ: 23. x = 1,68. Ответ: 1,68. б) Ошибка!; г) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка! ; x = 27. Ошибка!; Ошибка!; x = 2,64. Ответ: 27. Ответ: 2,64. № 287 а) 1,2 + Ошибка! = Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 18. Ответ: x = 18. б) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 27. Ответ: 27. в) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 1,68. Ответ: 1,68. г) Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 2,64. Ответ: 2,64. № 288 Пусть x – страниц в книге; Ошибка!x + 240 = x; Ошибка!; x = 400 – страниц в книге. Отвтет : 400. № 289 Пусть x м. – длина дистанции; Ошибка! · x + 3125 = x; Ошибка!; x = 5000 м. – длина дистанции. Ответ: 5000 м. № 290 3,2 · Ошибка!; 3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита. Ответ: 1,2 т. www.5balls.ru № 291 Пусть х т. – масса одного мотора. Тогда Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 14 т. – масса первого мотора; Ошибка!. Ответ: 14; 38. № 292 Пусть x – первое число. Тогда Ошибка! Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; x = 120 – первое число; Ошибка!; Ошибка!. Ответ: 120; 64; 312. № 293 Пусть х – неизвестное число; Ошибка!; Ошибка!; х = 42. Ответ: 42. № 294 Пусть х – неизвестное число; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; х = 60 – это неизвестное число. Ответ: 60. № 295 Пусть х – второе число. Тогда 2,5 · х – первое число; 2,5 + 1,5 = х + 8,4; 1,5 · х = 6,9; х = 4,6 – второе число; 2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число. Ответ: 4,6; 11,5. № 296 Пусть х – второе число. www.5balls.ru Тогда 1,5 · х – первое число; 2 · 1,5 · х = Ошибка!; Ошибка!; Ошибка!; х = 9 – второе число; 1,5 · 9 = 13,5 – первое число. Ответ: 9; 13,5 № 297 2 3 2 2 3 4 2 3 2 2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2; а) 42b c d + 54b c d + 48b c d + 12b c d 8m2c3d2 б) 1, 2 3 4 2 3 2 2 3 2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2 + 54b c d + 48b c d + 12b c d . № 298 2 2 n + а) Ошибка!a b c Ошибка! a2b2cn + Ошибка!a2b2cn = Ошибка! 2 2 n+ 2 2 n+ 2 2 n= a b c Ошибка!a b c Ошибка! a b c = a2b2cn ; Ошибка! n n n+ n n n + 0,01 n n n + n n n = 3,1 n n n + б) 3,09x y z Ошибка! x y z x y z Ошибка! x y z x y z + 0,1 n n n + 0,05 n n n = 3,25 n n n. x y z x y z x y z № 299 3 3 3 3 3 3 3 а) – 1,4a – (– 0,09a ) + (– 1,5a ) + 2a = – 1,31a + 0,5a = – 0,81a ; 4 4 4 4 4 4 б) 3,9x + (– 2,7x ) – (– 0,8x ) + (– 2x ) = 1,2x – 1,2x = 0. № 300 а) – Ошибка! + Ошибка!– Ошибка!– Ошибка! = – Ошибка! – Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = – Ошибка!c; б) – Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!= – Ошибка!+ Ошибка!– Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!. № 301 а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy; б) 2 2 1,2a b + 8,8a b = 8a2b + 3,2aba 2 2 + 6,8aab + 8,8baa = 2 1,2a b + 2 3,2a b + 2 6,8a b + + 12a b = 20a b; Ошибка!xy2x + Ошибка!xyxy + Ошибка!xy2x = Ошибка!x2y2 + Ошибка!x2y2 + Ошибка!x2y2 = x2y2; 3 8 2 5 3 7 2 г) 1Ошибка!mn r + Ошибка!n r nr m + Ошибка!mr n nr = Ошибка! 3 8 3 8 mn r + Ошибка!mn r + 3 8 3 8.. + Ошибка!mn r = 2Ошибка!mn r в) № 302 2 2 2 2 2 а) 12a b – 3aba – 4baa = 12a b – 3a b – 4a b = 5a b; 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 б) 31c d – 12cdc d – 3cdccd = 31c d – 12c d – 3c d = 16c d ; 2 3 2 2 3 3 4 3 4 4 4 4 в) 21xyx y x – 8x y xyxy – 2xy x y – 3x y y = 21x y – 8x y – www.5balls.ru 4 4 4 4 n n n–1 n 4 4 – 2x y – 3x y = 8x y ; г) 5z q – 3z q z–q n–1 zqz n–1 n n n n n n n n =5z q – 3z q – z q = z q . № 303 а) Ошибка!abca + Ошибка!b(– a)ca – Ошибка!acba + Ошибка!(– b)aca = Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc – Ошибка!a2bc = – Ошибка!a2bc; 2 б) 3nmr · 4n – Ошибка!nm · Ошибка!· nr + Ошибка!n m · Ошибка!r = = 2 2 2 2 = 12n mr – n mr – n mr = 10n mr. № 304 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 (16x y – 13x y ) + (23x y + 10x y ) = 3x y + 33x y = 36x y . № 305 3 4 3 2 3 2 3 2 (43a b + (– 27a b )) + (34a b – 20a b ) = 3 4 3 2 3 2 3 4 3 2 = 43a b – 27a b + 14a b = 43a b – 13a b . № 306 4 4 4 4 (2,38n p + (– 1,48n p)) + (4,72n p – (– 1,28n p)) = 4 4 4 = 0,9n p + 6n p = 6,9n p. № 307 3 4 3 4 3 4 3 4 (2,57r n – (– 1,43r n )) – ( – 8,39r n + 5,39r n ) = 3 4 3 4 3 4 = 4r n – (– 3r n ) = 7r n . № 308 2 4 2 4 + 5 2 4 + 7 2 4 + 10 2 4; а) 25a b = 3a b 3 9 a b 3 9 3 9 б) 43x y = 50x y – 7x y ; 8 10 в) 79c d 8 10 = 85 c d n n n a b 8 10 – 10c d n n n a b 8 10 + 4c d ; n n n n n n n n n г) 99p q z = 100p q z + 10p q z – 15p q z + 4p q z . № 309 Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов. Ошибка!= Ошибка!x + 70; Ошибка!x – Ошибка!x = 70; Ошибка!x = 70; x = 84 кг – апельсинов; 3 ·84 = 256 – бананов. Ответ: 84; 256. № 310 Пусть x км – длина пути, тогда Ошибка!x км – в первый день, Ошибка!(x – Ошибка!x) км – во второй день. Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 25 = x; Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) – x = – 25; www.5balls.ru Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x = – 25; – Ошибка!x = – 25; x = 55. Ответ: 55 км. № 311 Пусть x – количество кирпича в начале дня, тогда Ошибка!x – отправили на первую стройку, Ошибка!(x – Ошибка!x) – на вторую стройку. Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда Ошибка!y =120, y = 160. Ошибка!x + Ошибка!(x – Ошибка!x) + 120 = x – 160; Ошибка!x + Ошибка!x + 280 = x; Ошибка!x – Ошибка!x – Ошибка!x = 280; Ошибка!x = 280; x = 600. Ответ: 600. № 312 Пусть x – некоторое число. (x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x; 0,85x + 0,085x + 13 = x; x – 0,85x – 0,085x = 13; 0,065x = 13; x = 200. Ответ: 200. № 313 Пусть x – задуманное число. (x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x; 1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x; Ошибка!x – Ошибка!· Ошибка!x + 186 = x; Ошибка!x – Ошибка!x + 186 = x; Ошибка!x – Ошибка!x = 186; Ошибка!x = 186; x = 1250. Ответ: 1250. № 314 Пусть x – учеников 7-х классов; 0,3(Ошибка!x + Ошибка!x) = 21; 0,3 · Ошибка!x = 21; 0,25x = 21; x = 84. Ответ: 84. § 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень № 315 а) 2x · 3y = 6xy б) 7a · 5b = 35ab; www.5balls.ru в) 31c · 3d = 93cd; г) 15z · 3t = 45zt. № 316 а) 7a · 2b · 3c = 42abc; 2 2 2 2 3 2 2 3 б) 10x · 2y · 3z = 60x y z ; в) 10m · 5n · 2q = 100mnq; 3 2 2 3 г) 17p · 2q · 0,5s = 17p q s . № 317 2 2 3 7 а) 7x · 5x · 6x = 210x ; 2 3 4 2 3 4 б) Ошибка!a · Ошибка!b · Ошибка!c = Ошибка!a b c ; 2 3 8 3 4 9 в) 71x y z · 2xyz = 142x y z ; 2 23 3 3 54 г) 54c d f · cd f = 54c d f . № 318 а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3; 2 3 2 б) 41c d · (–4cd) = 164c d ; 3 2 2 5 3 в) – 17x y · (– 2x y ) = 34x y ; 2 2 3 2 3n4p4. г) – 13m n p · (– 2mn p) = 26m № 319 2 3 3 5 4 а) 0,2c d · 5,4c d = 1,08c d ; 2 3 3 4; б) 2Ошибка!m p · 5Ошибка!mp = 12m p 3 2 5 в) – b · 0,5b = – 0,5b ; 2 2 г) 8x · (– Ошибка!y) = – Ошибка!x y. № 320 2 3 2 3 5 2 а) 0,6x y z · 0,8xy z = 0,48x y z ; 2 3 3 4 б) 6Ошибка!n q · 7Ошибка!nq = 46n q ; 3 4 7 в) 0,75d · (– d ) = – 0,75d ; 2 2 3 3 г) – Ошибка!x y · Ошибка!xy = – Ошибка!x y . № 321 3 4 8 4 12 а) 5,1p q · (– 2pq ) = – 10,2p q ; 3 4 7 б) – 27z · ( Ошибка!z ) = – 1,62z ; 3 2 2 3 4 в) – 7,81abc · 2ab c = – 15,62a b c ; 2 2 3 3 5 г) Ошибка!xy · (– 0,1x y ) = 0,075x y . № 322 2 2 4 2 а) (3a c) = 3a c ; 24 б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка! 3 4 12 4; x4y8 ; в) (– 0,2c d) = 0,0016c d 5 5 5 5 г) (– Ошибка!abc) = – Ошибка!a b c . www.5balls.ru № 323 3 30 а) (– 6x y ) = 1; 24 4 8 б) (– Ошибка!xy ) = Ошибка!x y ; 2 45 10 20 в) (– 10x y ) = – 100000x y ; 3 24 4 12 8 г) – (– 2ax y ) = – 16a x y . № 324 2 3 8 2 7 а) 56x y z = 28xy z · 2xyz; 2 3 4 2 2 3 б) 102m n p = 51m np · 2n p ; 9 14 43 в) 0,21c d f 5 3 40 = 0,3c d f 7 9 12 г) Ошибка!r s t 4 11 3 · 0,7c d f ; 3 84 4 8 = Ошибка!r s t · 2r st . № 325 3 4 3 5 а) – 6x y · 4x y ; 4 5 3 б) 2xy · (– 3x y ) · 4xy ; 2 2 3 4 в) x y · (– x y ) · (2xy) · 12xy ; 3 3 2 2 г) 24xy · x y · (– y ) · xy · xy . № 326 а) 3b · 3b2 = 9b3; 2 4 3 5 5 б) 8a b · (– a b) = – 8a b ; 3 4 4 5 7 9 в) – 4a b · (– 4a b ) = 16a b ; 8 12 г) – 17a b 9 13 · (– 2ab) = 34a b . № 327 3 62 6 12 а) (6x y ) = 36x y ; 34 4 12 б) (– 2ab ) = 16a b ; 3 5 15 5 в) (– m n) = – m n ; 2 33 6 3 9 г) (– 3a bc ) = – 27a b c . № 328 4 22 а) 81a = (9a ) ; 6 32 б) 36b = (6b ) ; в) 144c 12 4 62 = (12c ) ; 22 г) 169d = (13d ) . № 329 6 23 9 33 а) 0,008b = (0,2b ) ; б) 0,027b = (0,3b ) ; в) 0,001y 24 83 = (0,1y ) ; 6 23 г) – Ошибка!a = (– Ошибка!a ) . www.5balls.ru № 330 3 2 3 2 а) 20a · (5a) = 20a · 25a = 500a 5 34 2 6 5 12 6 12 б) – 0,4x · (2x ) = – 0,4x · 16x 6 5; в) (– c3) · 12c = c · 12c = 12c ; 23 3 17 = – 6,4x ; 3 6 3 6 7 г) (4ac ) · (0,5a c) = 64a c · (0,5a c) = 32a c . № 331 6 34 2 24 12 а) (3x y ) · (– Ошибка!xy ) = 81x y 2 33 42 · (– Ошибка!xy 6 9 2) 25 14 =–x y ; 8 14 9 24 4 26 7. б) ( Ошибка!x y ) · (– 9x ) = Ошибка!x y · 81x = 24x y ; 22 3 4 3 7 в) (3a ) · (– 6a ) = 9a · (– 6a ) = – 54a ; 2 3 6 4 2 3 г) ( Ошибка!x y ) · (2x y) = Ошибка!x y · 16x y = 2x y № 332 6 7 а) (0,2b ) · 5b = b ; 7 40 7 б) Ошибка!p · (– 1Ошибка!p ) = Ошибка!p ; 32 6 6 6 12 в) (– c ) · 12c = c · 12c = 12c ; 23 5 6 5 г) (3Ошибка!a ) · 81a = Ошибка!a · 81 · a =3000a 11 № 333 2 2 2 3 2 4 4 6 а) Ошибка!a b c · 5ab c · Ошибка!ac = Ошибка!· 5 · Ошибка!a b c 4 4 6 =a b c ; б) Ошибка!x5y4z3 · (– 8xy3z) = – x6y7z4; в) 3,5xz3 · (– 3Ошибка!x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5; 3 2 2 2 4 7 4 7 г) 2cd · (– Ошибка!cd ) · (–2c d ) = 2 · Ошибка!· (–2)c d = 2c d . № 334 2 2 4 4 а) ab · (– a b) ·(– ab ) = a b ; 2 2 2 5 4 б) x y · xy · (– x y ) = – x y ; 2 5 8 4 11 10 в) mn · (– m n ) · (– m n ) = m n ; 3 4 2 2 6 7 г) (– p q ) · (– pq) · (– 2p q ) = – 2p q . № 335 3 2 4 3 а) 1Ошибка!cd · (– Ошибка!c d ) = – c d ; 2 3 7 7 8 б) – Ошибка!a b c · (– 1Ошибка!ab c ) 3 10 15 a3b10c15; a b c = Ошибка! 3 4 = Ошибка! · Ошибка! 7 в) 0,75d · (–d ) = – 0,75d ; 2 3 6 3 4 7 3 4 7.. г) – 14xyz · (– 2Ошибка!x y z ) = 14 · Ошибка!x y z = 39Ошибка!x y z № 336 3 44 12 16 а) (0,2a b ) = 0,0016a b ; 2 5 83 б) (1Ошибка!x y z ) Ошибка!x 6 15 24; = ( Ошибка!x2y5z8)3 y z www.5balls.ru = Ошибка!x6y15z24 = 1 8 7 62 16 14 12 в) ( – 0,3b c d ) = 0,09b c d ; 3 3 30 г) (– Ошибка!a x y ) = 1. № 337 2 3 92 4 6 18 а) (– 0,5a b c ) = 0,25a b c ; 2 5 8 2 5 8 б) (1Ошибка!x y z ) = 1Ошибка!x y z ; 8 5 98 64 40 72 в) (– 2a b c ) = 256a b c ; г) (– Ошибка! x2y3z8)3= – Ошибка!x6y9z24. № 338 2 3 50 а) (–a b c ) = 1; 2 2 84 б) (– 1Ошибка!p q z ) Ошибка!p = (– 8 8 32 q z ; 3 2 92 Ошибка!p2q2z8)4 Ошибка!p8q8z32 = = 1 6 4 18; в) (– 1,6m n p ) = 2,56m n p 9 15 12 2 г) (– 2Ошибка!r s t ) = (– Ошибка!r 18 30 24 Ошибка!r9s15t12)2 = Ошибка!r18s30t24 = 6 s t . № 339 3 4 6 3 5 9 а) 9a b c ; б) 12a b c ; в) 5xy z ; г)4xy z . 3 9 3 6 № 340 3 49 3 5 9 а) 6c b f ; 2 10 100 в) 2p q r б) 12a b c ; 9 54 324 ; г) 4a b c . № 341 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. № 342 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. № 343 2 2 23 4 2 3 6 7 8 а) (10a y) · (3ay ) = 100a y · 27a y = 2700a y ; 33 52 3 9 б) (– Ошибка!xy ) · (4y ) = – Ошибка!x y · 16y 6 23 2 4 18 6 64 6 4 8 4 в) – (3x y ) · (– x y) = – 27x y · x y = – 27x y ; 4 24 г) (– 5ab ) · (0,3a b) = 25a b 10 26 10 24 4 3 19 = – 2x y ; 28 28 · 0.0081a b = 0,2025a b . № 344 3 42 7 6 8 7 6 15 а) (– 4a b ) · 0,25b = 16a b · 0,25b = 4a b ; 40 5 5 5 б) (– Ошибка!pq ) · (– 27pq ) = 1 · (– 27pq ) = – 27pq ; 2 2 3 4 4 2 2 3 4 5 5 6 в) (0,4a bc) · (– 1,5ab c ) = 0,16a b c · (– 1,5ab c ) = – 0,24a b c ; г) ( 16 4.. 4 3 Ошибка!m 4 n) · (–32m n) = 12 3 Ошибка!m m n www.5balls.ru 4 n · (– 32m n) = – Ошибка! № 345 3 2 2 6 4 2 7 5 3 а) (– 4,5a b y) · (– 2aby) = 20,25a b y · (– 2aby) = – 40,5a b y ; 3 3 2 3 9 3 2 5 10 3 б) (– 3bc d) · (– Ошибка!b cx) = – 27b c d · (– Ошибка!b cx) = b c d x; 3 2 2 3 4 6 4 2 3 4 7 7 6; в) (– 0,8p x z) · (– 2,5px z ) = 0,64p x z · (– 2,5px z ) = –1,6p x z 23 7 г) (– 3Ошибка!a ) · 81a = (– 13 Ошибка!a2)3 · 81a7 = – Ошибка!a6 · 81a7 = – 3000a . № 346 3 22 а) (– 6a x ) · (– 12 10 Ошибка!a2x2)3 = 36a6x4 · (– Ошибка!a6x6) = – 1Ошибка! a x ; 3 25 б) (– 4m n ) · (– 22 38; Ошибка!mn4)7 15 10 = – 1024m n · (– Ошибка!m7n28) = Ошибка!m n 2 42 5 32 4 8 10 6 14 14 в) (– Ошибка!a c ) · (– 3a c ) = Ошибка!a c · 9a c = Ошибка!a c ; 7 42 6 0 14 8 г) (– Ошибка!a b ) · (– Ошибка!a b) = Ошибка!a b · 1 = 2 Ошибка!a14b8. № 347 2 3 3 2 5 а) (2bc) · (ac) = 4a b c ; 3 2 2 3 4 2 б) (– 3p) · (x y) = – 27p x y ; 4 3 3 4 13 3 422 13 5 4 в) (2cd) · (d n) = 16c d n ; 5 г) (bn) · (9b t ) = 81b n t . § 12. Деление одночлена на одночлен № 348 3 2 а) a : a = a; б) y 20 8 :y 18 3 2 =y ; 5 в) x : x = x ; г) z 54 :z 50 4 =z . № 349 а) Ошибка!x : 3 = Ошибка!x; = y; б) Ошибка!y : Ошибка! Ошибка! в) Ошибка!a : Ошибка!= – Ошибка!a; г) – Ошибка!b : Ошибка!= 1Ошибка!b. № 350 а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; г) – 9b : (– b) = 9. www.5balls.ru № 351 3 2 а) 6x : x = 6x; 2 2 б) – 27y : (– 9y ) = 3; 8 8 в) – 15z : z = – 15; 4 3 г) – 90p : (– 5p) = 18p . № 352 а) – 19a : (– 19a) = 1; б) – 45b : (– 15b) = 3; в) – 100cd : 20cd = – 5; г) 18dy : 6dy = 3. № 353 а) 16abc : 8a = 2bc; б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r; в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz. № 354 а) 4,8axy : 1,6xy = 3a; б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac; в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4Ошибка!x. № 355 а) 18a 12 б) 24b 10 4 8 7 4 2 3 5 : 6a = 3a ; в) 12a y : 6a y = 2a y; : 6b г) 6b x : 3b x = 2b x. 10 5 3 = 4; № 356 3 2 6 2 5 а) 44a b c : 11a bc = 4abc; 4 4 2 4 3 б) 198x y z : 2x y z = 99yz; 8 9 4 2 7 8 4 17 6 2 15 6 2 3; в) 144m n r : 12m n r = 12m n r г) 258p q r : 3p q r 2 2 2 = 86p q r . № 357 а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно. № 358 а) нет; б) да; в) да; г) нет. № 359 5 6 7 2 4 3 2 6 а) 30x y z : 6x y z = 5x y z ; 8 11 31 б) 75a b c 11 6 16 в) p m q 3 4 10 : 5a b c 3 2 7 5 7 21 = 15a b c ; 8 4 9 :p m q =p m q ; www.5balls.ru 3 2 2 2 3 10 г) d n z 5 2 5 : dnz = dn z . № 360 2 23 2 6 6 2 2 4 4 а) (5a b ) : (5ab) = 125a b : 25a b = 5a b ; 3 34 4 32 10 14 0 12 12 б) (10x y ) : (2x y ) = 10000x y 10 14 в) ( 49z t ) : (7zt) = 49z t 2 3 4 8 12 4 8 6 4 6 : 4x y = 2500x y ; 10 14 : 1 = 49z t ; 7 11 3 г) (– x y z) : xyz = x y z : xyz = x y z . № 361 2 2 2 8 8 2 2 6 6 а) (2m n )4 : (4mn) = 16m n : 16m n = m n ; 3 4 0 3 4 3 4 б) 55p q : (5pq) = 55p q : 1 = 55p q ; 2 3 45 6 10 15 20 в) (– x y z ) : (– xyz) = x y z 3 3 2 3 9 3 6 6 6 4 9 14 :x y z =x y z ; 2 2 3 7 г) (– 5ac d) : (5cd) = – 125a c d : 25c d = – 5a c d. № 362 4 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!cy ; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 3ab; 9 5 в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!x c ; 3 3.. г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6Ошибка!a b www.5balls.ru ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами § 13. Основные понятия № 366 а) 3a + 4b – многочлен; б) 5x2 – 3y2 – многочлен; в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен. № 367 а) 5x2 – 6x2 + Ошибка! – не многочлен; б) Ошибка! – не многочлен; в) Ошибка!+ 12z2 – Ошибка! – многочлен; г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен. № 368 а) 3x2 + 5y + Ошибка! – не многочлен; б)Ошибка!– Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка! – многочлен; в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен; г) Ошибка!+ Ошибка!+ Ошибка!– Ошибка! – многочлен. № 369 а) 5a + 8a2 – 2,5ab; б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab; в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2; г) 5a – 4ab + Ошибка!. № 370 а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2; в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2 г) 12xy – 3x2y + Ошибка! – 0,2xy. № 371 а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3; в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3; Ошибка!dn = Ошибка!dn. б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5; г) Ошибка!dn – Ошибка!dn + № 372 а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy; б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2; в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11; 71 www.5balls.ru г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z. № 373 а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2; б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3; в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2; г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n. № 374 а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3; б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0; в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs; г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn. № 375 а) 4p3 · 2p + 3p2 · 4p + 2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3 = = 12p4 + 4p3; б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 = = 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5; в) x · Ошибка!x + Ошибка!x + 0,8x – x · Ошибка!x – x = Ошибка!x2 + Ошибка!x + Ошибка!x – Ошибка!x2 – x = = Ошибка!x2+ Ошибка!x; г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = Ошибка!a2 + Ошибка!a 0,6a2 + 0,1a2 = = Ошибка!a + Ошибка!a2. № 376 а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy = = 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy; б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p = = x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p; в) 7x · a · x + a · 2a · x + x · 9x · a – 8a · x · a = = 7x2 · a + 2a2x + 9x2a – 8a2x = 10x2a – 6a2x; г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s. № 377 а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4; б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1; в) Ошибка!a + Ошибка!a2 – Ошибка!a2 + Ошибка! – Ошибка!a = – Ошибка!a2 – Ошибка!a + Ошибка!; г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1. 72 www.5balls.ru № 378 а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab; при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 = = – 2 + 6 + 8 + 6 = 18; б) Ошибка!x – Ошибка!y3 + 0,3x – x + Ошибка!y2 = – 0,2x + Ошибка!y2; при x = 5; y = Ошибка!; – 0,2 · 5 + Ошибка! · Ошибка! = – 1 + Ошибка! = – Ошибка!; в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2; при m = – Ошибка!; y = Ошибка!; Ошибка! – 4 · Ошибка! · Ошибка! – 3 · Ошибка!· Ошибка!; г) 6p2q – 5pq2 + 5p3 + 2pq2 – 8p3 – 3p2q = 3p2q – 3pq2 – 3p3. № 379 а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x; 15x = 1; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y; 10y = 1; y = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) 3z4 – z2 + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7; z = – Ошибка!; z = –1Ошибка!. Ответ: – 1,4 г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19; –3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6. Ответ: 6. № 380 3a + 11; a = 5x + 4; 11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23. № 381 14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2; 14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2. № 382 а) c · Ошибка!c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c · Ошибка!c + c · c · c = = Ошибка!c2 – 0,1c5 – c3 + 2c5 – Ошибка!c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 + Ошибка!c2 – Ошибка!c2 = 73 www.5balls.ru = 1,9c5 + Ошибка!c2; б) Ошибка!m · m – m · Ошибка!m · m + 0,5m + m · m · 1/8m – 1/3m2 + Ошибка!m = = Ошибка!m2 – Ошибка!m3 + 0,5m + Ошибка!m3 + Ошибка!m = = Ошибка!m3 – Ошибка!m3 – Ошибка!m3 + Ошибка!m3 + Ошибка!m2 + m = – Ошибка!m3 + 1 2 m + m; 9 в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa= = a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2; г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3= = 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y. № 383 а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m = = 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27; б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 = = 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3; в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a = = 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2; г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 – – 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2. № 384 а) 5a – 13 + 8a – 7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b – 15 + 10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2; в) 12a – 23 + 2a – 3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4. № 385 а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c; б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5; в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax; г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay. № 386 а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5; 7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9; б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a; 13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17. № 387 Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a; а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30; 74 www.5balls.ru б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4; в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6; г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20. № 388 Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8; а) a + b + c = 3x2 + 4x + 8 + 1,2 – 2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 = = 13,5x2 – 6,5x + 31; б) a – b + c = 3x2 + 4x + 8 – 1,2 + 2x2 + 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8 = = 17,5x2 + 7,5x + 28,6; в) b – a – c = 1,2 – 2x2 – 7x – 3x2 – 4x – 8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8 = = – 17,5x2 – 7,5x – 28,6; г) c– b – a =12,x2 – 3,5x + 21,8 – 1,2 + 2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8 = = 11,5x2 – 0,5x + 12,6. № 389 Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3, m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3; а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + + (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3; б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 + + 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3; в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 + + 13a2b + 4ab2 – 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 = = – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3; г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 – – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3. § 14. Сложение и вычитание многочленов № 390 Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7; P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2; б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a; P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6; в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a; P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7; г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a; P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3. № 391 Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если : 75 www.5balls.ru а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7; P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12; б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10; P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14; в) P1(x) = 4x5 +2x + 1; P2(x) = x5 + x – 2; P(x) = 4x5 +2x + 1 + x5 + x – 2 = 5x5 + 3x – 1; г) P1(x) = x11 + x6 – 3; P2(x) = 2x11 + 3x6 + 1; P(x) = x11 + x6 – 3 + 2x11 + 3x6 + 1 = 3x11 + 4x6 – 2. № 392 Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b) а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b; P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a; б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2; P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2; в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3; P(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3 = = 26a3 – 10a2b +3b3; г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) = = 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3; P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4 – – 17a3b + 9. № 393 Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если: а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3; P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14; б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13; P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26; в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11; P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4; г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15; P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30. № 394 Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если: а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d; P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d; б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2; P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2; в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c; P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4; г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2; 76 www.5balls.ru P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2. № 395 а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x); 5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x; 12x – 11x = – 7 + 7; x = 0. Ответ: 0. б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x); 4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x; 4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3; – 2x = 28; x = – 14. Ответ: –14. в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8; 7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8; 8x = – 8 – 6 + 8 – 7; x = – Ошибка!; x = – 1Ошибка!. Ответ: – 1Ошибка!. г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x; 2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x; 10x + 7x = 12 – 12; 17x = 0; x = 0. Ответ: 0. № 396 а) Ошибка!y – Ошибка!= 0,55; Ошибка!y – Ошибка!y + 1,25 = 0,55; – Ошибка!y = 0,55 – 1,25; – Ошибка!y = – 0,7; y = 8,4. Ответ: 8,4. б) Ошибка!x – Ошибка!= – 0,4; Ошибка!x – Ошибка!x + 2,4 = – 0,4; Ошибка!x = – 0,4 – 2,4; Ошибка!x = – 2,8; x = – 67,2. Ответ: – 67,2. в) Ошибка!x – (0,25x – 3) = 1,2; 0,75x – 0,25x + 3 = 1,2; 0,5x = – 1,8; 77 www.5balls.ru x = – 3,6. Ответ: – 3,6. г) Ошибка!x – (2,5x – 3) = 1,8; 0,5x – 2,5x +3 = 1,8; – 2x = – 1,2; x = 0,6. Ответ: 0,6. № 397 а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3; в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3. № 398 P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a; P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2; а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5; б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1; в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a – – 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2; г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 – – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1. № 399 P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3; P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2; а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2; б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2; в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2; г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2. № 400 а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5; 78 www.5balls.ru x = 5 – 2; x = 3. Ответ: 3. б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2; 3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2; 3y = 6; y =2. Ответ: 2. в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2; x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2; x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11; 6x = 9; x = 1,5. Ответ: 1,5. г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19; 5y = 36; y =7,2. Ответ: 7,2. № 401 Второй столбец 4x + 1 0 – 4mn – 2c2d – 3cd2 + 8 а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1; б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0; в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn; г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8. № 402 а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) = = 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) = = 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1; б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) = = a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 = = a2 – 5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax = = – 2,5a2 + x2 + 0,7ax; в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) = = 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 = = 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0; 79 www.5balls.ru г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) = = y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 = = y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az = = – 3,2y3 + 6z2 + 10az. § 15. Умножение многочлена на одночлен № 403 а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x; б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3; в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y; г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4. № 404 а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3; б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7; в) – p5q8 (p3 + 3pq – q4) = – p8q8 – 3p6q9 + p5q12; г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17. № 405 а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy; б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab; в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2; г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6. № 406 а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x; б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2; в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2; г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c. № 407 а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x; При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1. Ответ: 0,1. б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3; При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27. Ответ: – 27. в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15; При p = Ошибка!; 8p + 15 = 8 · Ошибка!+ 15 = 17. Ответ: 17. 80 www.5balls.ru г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4; При d = 2Ошибка!; 23d + 4 = 23 · Ошибка! + 4 = 54. Ответ: 54. № 408 а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2); 3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4; 17x – 2x = – 4 + 9; 15x = 5; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5); 10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15; – 20 – 10x + 33x = – 10; 3x = – 10; x = – 3Ошибка!. Ответ: – 3Ошибка!. в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2); 2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4; 16x – 2x = – 4; 14x = – 4; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка! г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2); 15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4; 15x – x = 3 –4 + 10; 14x = 9; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка! № 409 а) Ошибка!= 1; 2x + 1 = 1; 2x = 4; x = 2. Ответ: =2. б) Ошибка!= Ошибка!; 11 – 3x = 2; 3x = 9; x = 3. Ответ: 3. в) Ошибка!= Ошибка!; 81 www.5balls.ru 3x + 7 = 6x + 4; – 3x = – 3; x = 1. Ответ: 1. г) Ошибка! = 5x + Ошибка!; 7x – 3 = 30x + 3; 23x = – 6; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. № 410 а) Ошибка! + Ошибка! = 2; 7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70; 14x + 7 + 15x + 5 = 70; 29x = 58; x = 2. Ответ: 2. б) Ошибка! – Ошибка! = 2; 10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140; 80x – 30 – 21x – 7 =140; 59x = 177; x = 3. Ответ: 3. в) 2x – Ошибка! = Ошибка!; 2x · 3 = 2x + 3 + x – 6; 6x = 3x – 3; 3x = – 3; x = – 1. Ответ: – 1. г) Ошибка! – Ошибка! = 2. 7(x+14) – 5(6x + 1) =70; 7x + 98 – 30x – 5 =70; – 23x = – 23; x = 1. Ответ: 1. № 411 а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0; x = 5 – 4; x = 1. Ответ: 1. б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0; 6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0; 15,5x = 31; x = 2. Ответ: 2. в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x; 12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x; –76x + 26x = 10 – 26x; –50x = 10; x = – Ошибка!. Ответ: – 1,2. г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18; 82 www.5balls.ru 8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40; –29x = 58; x = –2. Ответ: – 2. № 412 Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом. Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом. 12t = 14(t – 0,5); 12t = 14t – 7; 2t = 7; t = 3,5 ч. Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км. Ответ: 42 км. № 413 Пусть V Ошибка! – скорость лодки. Тогда (V + 3) Ошибка! – скорость лодки по течению; (V – 3) Ошибка! – скорость лодки против течения; 6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126; 6v + 18 + 4v – 12 = 126; 10v + 6 = 126; 10v = 120; V = 12 Ошибка! – скорость лодки. Ответ: 12 Ошибка!. № 414 Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь. Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь. 10(t + 1) = 15t; 10t + 10 = 15t; 5t = 10; t = 2 ч. Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км. Ответ: 30 км. № 415 Пусть V Ошибка! – скорость катера. Тогда (V + 2) Ошибка! – скорость катера по течению; (V – 2) Ошибка! – скорость катера против течения; 4(V + 2) + 3(V – 2) = 93; 4v + 8 + 3v – 6 = 93; 7v + 2 = 93; 7v = 91; v = 13 Ошибка!. 83 www.5balls.ru Ответ: 13 Ошибка! № 416 а) 14a · Ошибка! + 25a2 · Ошибка! = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) = = 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a; б) 24b3 · Ошибка! + 26b2 · Ошибка! = = 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) = = 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2; в) 3r2 · Ошибка! + 5r · Ошибка! = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) = = 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2; г) 8a · Ошибка! – 9a2 · Ошибка! = = 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a – – 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a. № 417 а) 18a2 · Ошибка! – 2a · Ошибка! + a4 – 3a3 + a2 = = 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 – – 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2; б) 12x · Ошибка! – 27y · Ошибка! – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) – y2 – y = = 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y; в) 33c3 · Ошибка! – 10c · Ошибка! + c4 – 3c = = 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c = = 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c; г) 28p2 · Ошибка! – 3p · Ошибка! + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 12p4 + 195p3 – 12p2. № 418 a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27; а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) = = 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49; б) 7x(3x2 + 4x – 8) – 12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 = = 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 = = 96x3 + 73x2 – 473x – 13; в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 = = 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 = = 31x3 + 289x2 – 629x – 44; г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17= = 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 – – 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17. 84 www.5balls.ru № 419 x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1, r = 5a3, L = 12a2, m = 4a а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) = = 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8; б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a = = 36a4 – 96a2 + 156a; в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 + + 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a; г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 = = 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 = = 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14. № 420 x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9. Тождественно равно 9. № 421 2 3 6x(x – 3) – 9( x 2 – 2x +4) = 6x2 – 18x – 6x2 + 18x – 36 = – 36. Тождественно равно – 36. № 422 а)Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= x – 1; 2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1); 4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6; 5x – 6x = – 6 + 4; x = – 2; x = 2. Ответ: 2. б) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка! = 4 – x; 4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x); 4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x; 20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1; 38x = 114; x = 3. Ответ: 3. в) Ошибка! + Ошибка! + Ошибка!= 3x – 2; 2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12; 10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1. Ответ: =1. г) x2 – 5x + 3 – Ошибка! = Ошибка!; 3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1; 3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1; 85 www.5balls.ru –10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15; x =1Ошибка!. Ответ: 1Ошибка! № 423 а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12; 2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12; 4x = 2x – x2 + 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: 6. б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x); 2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2; 18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2; –3x = 0; x = 0. Ответ: 0. в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3); 4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x; 4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0; 55x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)) ; 12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2; 12x – 4x + 10x – 3x = 5; 15x = 5; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 424 Пусть t ч. – время затраченное пешеходом. Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом. 4t + 12(t – 0,25) = 17; 4t + 12t – 3 = 17; 16t = 20; t = 1Ошибка! ч. 1Ошибка! · 4 = 5 км – прошел пешеход. (1Ошибка! – Ошибка!) · 12 = 12 км – проехал велосипедист. Ответ: 5; 12. № 425 Пусть х км – прошел в первый день. 86 www.5balls.ru Тогда (х – 5) км – во второй день; Ошибка!(х + (х – 5)) – в третий день. Ошибка!(2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 + Ошибка!(2x – 5) = 110; Ошибка!(2x – 5) = 110; 2x – 5 = 77; 2x = 82; x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день; Ошибка!(2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день. Ответ: 41; 36; 33. № 426 Пусть х Ошибка! – скорость первого самолета. Тогда 1,5х Ошибка! – скорость второго самолета. 0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000; x = 800 Ошибка! – скорость первого самолета. 1,5 · 800 = 1200 Ошибка! – скорость второго самолета. Ответ: 800 Ошибка!; 1200 Ошибка!. № 427 Пусть х Ошибка! – скорсть велосипедиста. Тогда 4х Ошибка! – скорость автомобиля. Ошибка!x + Ошибка! · 4x = 30 – 10; 2x = 20; x = 10 Ошибка! – скорость велосипедиста. 4 · 10 = 40 Ошибка! – скорость автомобиля. Ответ: 10 Ошибка!. № 428 Пусть х га – убрал за день первый фермер. Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер. 8x = 10(x – 2,5) + 2; 8x = 10x – 25 + 2; 2x = 23; x = 11Ошибка! га – убрал первый фермер за день. 11Ошибка! – 2Ошибка! = 9 га – убрал за день второй фермер. Ответ: 11Ошибка! га; 9 га. № 429 Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа. Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер. 6x + 8(x + 8) = 232; 6x + 8x + 64 = 232; 14x = 168; x = 12 – деталей изготовил ученик. 87 www.5balls.ru Ответ: 12 деталей. № 430 Пусть х жителей в первом поселке. Тогда 2х жителей живет во втором поселке. (2х – 400) жителей живет в третем поселке. x + 2x + (2x – 400) = 6000; 5x = 6400; x = 1280 – жителей в первом поселке. 2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке. 2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке. Ответ: 1280; 2560; 2160. № 431 Пусть х рабочих – во втором цехе. Тогда 1,5х рабочих в первом цехе. (х – 200) рабочих в третем цехе. 1,5x + x – 200 = 800; 2,5x = 1000; x = 400 – рабочих во вторм цехе. Ответ: 400 рабочих. № 432 Пусть х деталей изготовил третий цех. Тогда 3х деталей изготовил вторй цех. (3х + х) деталей изготовил первый цех. x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648; x = 331 деталей изготовил третий цех. 3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех. 4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех. Ответ: 1324; 993; 331. № 433 Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и пешехода. Тогда Ошибка!V = 10 – 2; V = 10 Ошибка! – разность между скоростями. 2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними. Ответ: 20 км. № 434 Пусть V = (Vв – Vп) Ошибка! – разность скорости велосипедиста и пешехода. 88 www.5balls.ru Тогда Ошибка!V = 7 – 1; Ошибка!V = 6; V = 8 Ошибка! – разность скоростей. 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. § 16. Умножение многочлена на многочлен № 435 а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1; б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24; в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = = b2 + 6b – 40; г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45. № 436 а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x = = –x2 + 14x – 45; б) (y – 10)(–y – 6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60 = = – y2 + 4y – 60; в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = = b2 + 6b – 40; г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b. № 437 а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24; б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12; в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12; г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 = = –75d2 – 270d – 243. № 438 а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n; б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3; в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30; г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3. № 439 а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a; б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2; в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4; г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9. 89 www.5balls.ru № 440 а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) = = 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5; б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x; в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2; г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y. № 441 а) (3m3 + 5)(3m2 – 10) = 3m3 (3m2 – 10) + 5(3m2 – 10) = =9m5 + 15m2 – 30m3 – 50; б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3; в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2; г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20. № 442 а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 = = a3 + a2 – 5a – 6; б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 = = 5b3 – 26b2 + 10b – 1; в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n = = m2 – n2 + m + n; г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = = c2 – 4d2 – c + 2d. № 443 а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) = = x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3; б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) = = n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3; в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) = = a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x; г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) = = c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3. № 444 а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) + + 3b(4a2 – 6ab + b2) = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 = = 8a3 + 27b3; б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2) = = 5x(25x2 + 10xy + 4y2) + 2y(25x2 + 10xy + 4y2) = = 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3; 90 www.5balls.ru в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 + + 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5; г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 + + 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4. № 445 а) (a – 1)(a – 2) – (a – 5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a = = 17 + 8 = 27; б) (a – 3)(a + 4) – (a + 2)(a + 5) = a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10 = = –6a – 24 = 1 – 24 = – 23; в) (a – 7)(a + 4) – (a + 3)(a – 10) = a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30 = = 4a + 2 = –0,6 + 2 = 1,4; г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12 = = 10 – 12 = –2. № 446 а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2; 5x + 5 = 0; x = – 1. Ответ: –1. б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0; –4x – 10 = 0; x = – 2,5. Ответ: – 2,5. в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31; 17x = 34; x = 2. Ответ: 2. г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13; 16x = 16; x = 1. Ответ: 1. № 447 а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21; 19x = 16; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 91 www.5balls.ru б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2; 6x =4; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3; 20x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9; 10x = 14; x = 1Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!. № 448 Пусть х м. – длина прямоугольника. Тогда (х – 20) м. – его ширина. (x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12; x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12; –4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47; 47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника. Ответ: 47; 27. № 449 Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел. Тогда (x + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. (х + 3) – четвертое число. (x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58; 4x = 52; x = 13; 13 + 1 = 14 – второе число. 13 + 2 = 15 – третее число. 13 + 3 = 16 – третее число. Ответ: 13; 14; 15; 16. № 450 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда Ошибка!см. – ширина прямоугольника. (x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32; (x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32; 14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32; 92 www.5balls.ru 16x = 272; x = 17 см. – длина прямоугольника. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2. Ответ: 221 см2. № 451 Пусть х – меньшее число. Тогда (х + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. x2 + 65 = (a + 1)(a +2); x2 + 65 = x2 + 3a + 2; 3x = 63; x = 21 – первое число. 21 + 1 = 22 – второе число. 21 + 2 = 23 – третее число. Ответ: 21; 22; 23. № 452 а) a(3a2 – 4)(3a2 + 4) = (3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a = = 9a5 – 16a; б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) = = (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625; в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) = = a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81; г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) = = (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256. № 453 а) (3,5p – 1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 = = 12,25p2 – 1,44; б) (1,7s + 0,3t2)(0,3t2 – 1,7s) = 0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2 = = 0,09t4 – 2,89s2; в) (2,4m2 – 0,8n2)(0,8n2 + 2,4m2) = = 5,76m4 – 1,92m2n2 + 1,92m2n2 – 0,64n4 = 5,76m4 – 0,64n4; г) (1,3x3 – 1,8y2)(1,8y2 + 1,3x3) = = 1,69x6 – 2,34y2x3 + 2,34y2x3 – 3,24y4 = 1,69x6 – 3,24y4. № 454 а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 = = a4 – a2 + 2a – 1; б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 + + 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1; 93 www.5balls.ru в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) = = – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4; г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b + + 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2. № 455 а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1; б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) = = 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5; в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = = x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4; г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 + + 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5. № 456 Пусть х см. – длина первого прямоугольника. Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника; (х – 5) см. – длина второго прямоугольника; (61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника; (x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2; 9x = 450; x = 50 см. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого; 550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника. Ответ: 550 см2; 670 см2. № 457 Пусть х см. – длина прямоугольника. Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника. (x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x); 130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824; x = 76 см. – длина прямоугольника; 120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника. Ответ: 44 см.; 76 см. № 458 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число. x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36; 94 www.5balls.ru x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число; 12 + 6 = 18 – третее число. Ответ: 12; 15; 18. № 459 Пусть х – первое число. Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число. x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288; 24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число; 6 + 24 = 18 – третее число. Ответ: 6; 12; 18. № 460 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число; (х + х + 3) – четвертое число. x(x + 3) = (x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2; x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2; 8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2; x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число; 1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число. Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4. § 17. Формулы сокращенного умножения № 461 а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2; б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2; в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2; г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2. № 462 а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1; б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4; в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25; 95 www.5balls.ru г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64. № 463 а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2; б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2; в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2; г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2. № 464 а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2; б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9; в) (–n + 8) 2 = 64 – 16n + n2; г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100. № 465 а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1; б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4; в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9; г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36. № 466 а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2; б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2; в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2; г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2. № 467 а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2; б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2; в) (– 3m + 4n) 2 = 16n2 – 24mn + 9m2; г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2. № 468 а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2; б) Ошибка! = 9n2 + Ошибка!mn + Ошибка!; в) Ошибка! = 36a2 – 2a + Ошибка!; г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2. № 469 а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36; в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64. № 470 а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2; 96 www.5balls.ru в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2; г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2. № 471 а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4; б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6; в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4; г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6. № 472 а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2; б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2; в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4; г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6. № 473 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!a2 – 5ab + Ошибка!b2 = = 5Ошибка!a2 – 5ab 1Ошибка!; б) Ошибка!0,81x2 + 2Ошибка!xy + Ошибка!y2 = = 0,81x2 + 2Ошибка!xy + 2Ошибка!; в) Ошибка!1,44x2 + 10xy + Ошибка!y2 = = 1,44x + 10xy + 17Ошибка!; г) Ошибка! 625 2 b – 5ab + 5,29a2 = 529 = 1Ошибка!b2 – 5ab + 5,29a2. № 474 а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241; б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481; г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761. № 475 а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441; б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961; в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721; г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281. № 476 а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764; б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844; в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724; г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024. 97 www.5balls.ru № 477 а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596; б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776; в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736; г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356. № 478 а) Ошибка! = 144 + 2 + Ошибка! = 146Ошибка!; б) Ошибка! = 49 + 4 + Ошибка! = 53Ошибка!; в) Ошибка! = 169 + 6 + Ошибка! = 175Ошибка!; г) Ошибка! = 49 + 3 + Ошибка! = 52Ошибка!. № 479 а) Ошибка! = 169 – 2 + Ошибка! = 167Ошибка!; б) Ошибка! = 225 – 4 + Ошибка! = 221Ошибка!; в) Ошибка! = 1600 – 2 + Ошибка! = 1598Ошибка!; г) Ошибка! = 256 – 6 + Ошибка! = 250Ошибка!. № 480 а) (a – b)(a + b) = a2 – b2; в) (m – n)(m + n) = m2 – n2; б) (c – d)(c + d) = c2 – d2; г) (p – q)(p + q) = p2 – q2. № 481 а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1; б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4; 2 в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1. № 482 а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1; б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1. № 483 а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2; б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2; в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1; г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4. № 484 а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2; б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2 в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c2 – 121d2; 98 www.5balls.ru г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2. № 485 а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4; б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4; в) (10p3 – 7q)(10p3 + 7q) = 100p6 – 49q2; г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2. № 486 а) (4x2 – 2y2)(4x2 + 2y2) = 16x4 – 4y4; б) (10a3 + 5b2)(10a3 – 5b2) = 100a6 – 25b4; в) (3n4 – m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8; г) (10m8 + 8n8)(10m8 – 8n8) = 100m16 – 64n16. № 487 а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899; б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999; в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099; г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999. № 488 а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596; б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396; в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596; г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396. № 489 а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499; б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396; в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891; г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399. № 490 а) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! – Ошибка! = = 100 – Ошибка! + Ошибка! – Ошибка! = 100 – Ошибка! – Ошибка! = 100 – Ошибка! = = 100 – 1Ошибка! = 98Ошибка! = 98Ошибка!; б) 10Ошибка! · 9Ошибка! = Ошибка! = 81 – Ошибка! = 80 Ошибка!; в) 99Ошибка! · 100Ошибка! = Ошибка! = 10000 – Ошибка! = 9999 Ошибка!; г) 7Ошибка! · 8,2 = 7Ошибка! · 8Ошибка! = Ошибка! = 64 – Ошибка! = 63Ошибка! = 63,96. 99 www.5balls.ru № 491 а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1; б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8; в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27; г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64. № 492 а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3; б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3; в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3; г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3. № 493 а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2; б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3; в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2; г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3. № 494 а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2; б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2; в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2; г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn. № 495 а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16; б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9; в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27; г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4. № 496 а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2; б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2; в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2; г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 = = 49m2 – 200n2. № 497 а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8; б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x; в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c; г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2. 100 www.5balls.ru № 498 а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac; б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48; в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24; г) (m + 3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 = = 2m2 + 6mn. № 499 а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625; б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4; в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16; г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8. № 500 (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0. № 501 а) (a + 3) 2 – (a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13 = = –3,5 · 6 + 13 = –8; б) (x – 3) 2 – (x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x = = 18 + 0,1 · 6 = 18,6; в) (m + 3) 2 – (m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100 = = 100 – 3 = 97; г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21. № 502 а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 + + 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a = = 182 – 192 = 324 – 192 = 132; б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 + + 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0; в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 – – 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324; г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m – – 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49. № 503 а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x; 8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x; 6x = – 9; x = –Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. 101 www.5balls.ru б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x); x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2; –2x = –14; x = 7. Ответ: 7. в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1; 36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1; –8x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ; 8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2; 8x = –4; x = – Ошибка!. Ответ: – Ошибка!. № 504 а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2; x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2; 20x = 34; x = 1Ошибка!. Ответ: 1,7. б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1; 9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1; 48x = 2; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. в) x(x – 1) – (x – 5) 2; x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0; 9x = 25; x = Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!. г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1; 32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1; –8x = –24; x = 3. Ответ: 3. № 505 а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0; 9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0; 12x = 5; 102 www.5balls.ru x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2); x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2; 21x = 21; x = 1. Ответ: 1. в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11; 4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11; –20x = 2; x = – Ошибка!. Ответ: –0,1. г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0; 16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0; 2x = 9; x = Ошибка!. Ответ: 4,5. № 506 а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2; x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2; 24x = 19 30x = –71; x = Ошибка!. Ответ: Ошибка!. б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x); 3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2; x = – Ошибка!. Ответ: – 2Ошибка!. в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49; 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49; 12x = 26; x = Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!. г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17; 9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17; 6x = 12; x = 2. Ответ: 2. № 507 а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6; б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2; 103 www.5balls.ru в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8; г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2. № 508 а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4; б) Ошибка!= Ошибка!n6 + 3mn516m2n4; в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8; г) Ошибка!= 36a4 – 4a3b + Ошибка!a2b2. № 509 а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26; б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n; в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n); г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2. № 510 а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8; б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27; в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27; г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1. № 511 а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4; б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16; в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296; г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49. № 512 а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b); б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4; в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4; г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8. № 513 а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 + + 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18; б) (4a3 + 5) 2 + (4a3 – 1) 2 – 2(4a3 + 5)(4a3 – 1) = = (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36; в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 = = c3 – 4pc2; г) m(2m – 1) 2 – 2(m + 1)(m2 –m + 1) = 4m3 – 4m2 + m – 2m3 – 2 = = 2m3 – 4m2 + m – 2. 104 www.5balls.ru № 514 а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = = (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16; б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1. № 515 а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2; ∗12 = 25x2, значит ∗1 = 5x; ∗2 = (6a5) 2 = 36a10; ∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x; б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6; ∗12 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3; ∗2 = (10m5) 2 = 100m10; ∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3; в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y; ∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y; ∗3 = (4x7) 2 = 16x14; г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6; ∗12 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3; ∗2 = (8a3) 2 = 64a6; ∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3. № 516 а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3; ∗3 = (4d4) 2 = 16d8; 2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d; ∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2; б) (∗1 – 8a4) 2 = 81a6b2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b; ∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b; ∗3 =(8a4) 2 = 64a8; в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8; (∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4; ∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4; ∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6; г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4; (∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2; ∗2 = (8q4t3) 2 = 64q8t6; ∗3 = 2 · 8q4t3 · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5. 105 www.5balls.ru № 517 а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2; б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6; в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4; г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6. № 518 а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2; б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2; в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!; г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4. № 519 а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4; б) Ошибка!Ошибка!= 49p12 – Ошибка!q4; в) Ошибка!Ошибка!= 3Ошибка!x14 – 64y4z10; г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4. № 520 а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3 = = 27x3 = – 27 · Ошибка! = – 64; б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 = = 17 – 1 = 16; в) 127 + (5c – 3)(25c2 + 15c + 9) = 127 + 125c – 27 = 125c + 100 = = 100 – 125 · 1,2 = – 50; г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8. № 521 а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 = = 216 – 216 = 0; б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0. № 522 (32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) = = Ошибка!= = Ошибка! = 0,2(332 – 232). § 18. Деление многочлена на одночлен № 523 а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5; б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2; 106 www.5balls.ru в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2; г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y. № 524 а) (a – ab) : a = 1 – b; б) (x – xy) : (– x) = y – 1; в) (– m – mn) : m = – 1 – n; г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d. № 525 а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b; б) (m3 – m2n) : m2 = m – n; в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d; г) (p4 – p3q) : p3 = p – q. № 526 а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3; б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7; в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2; г)Ошибка!: mn = – Ошибка! + Ошибка!x2. № 527 а) (3x2y – 4xy2) : 5xy = Ошибка!x – Ошибка!y = 0,6x – 0,8y; б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4; в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b; г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4. № 528 а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24; б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = Ошибка!. № 529 а) x, x2, 1; б) x, 2x, 7x; в) ab, 5ab, a2b2; г) mn, m2n2, 5mn. № 530 а) нет; б) нет; в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3; г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3. 107 www.5balls.ru № 531 а) Ошибка!= 3a3b + 15ab3; б) Ошибка!= 3ax3 – 9a3x; в) Ошибка!= 6n2p – 2np2 + 5np3; г) Ошибка!= 3k3n – 4k2n2 – 5kn3. № 532 а) (7a2 + 10a3b) : a4 = Ошибка!= Ошибка! + 10Ошибка!; б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 + Ошибка!; в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 =Ошибка! – 9 · Ошибка!; г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2. № 533 а) kL, kL; б) pq, p2q2; в) cd, c2d2; г) xy, x2y2. № 534 а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4; в) z, m, zm, z2m, z3m; б) xy, x2y2, xy2, x2y, x; г) k, L, kL, kL2, kL3. № 535 а) xy; в) y2, 3, 142xyz, 15x; б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy; г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z. № 536 а) Ошибка! = 3a2 – Ошибка! + Ошибка!b2; ∗ = 5a2 · 7ab = 35a3b2. Ответ: Ошибка! = 3a2 – 7ab + Ошибка!b2. б) Ошибка!= 3a2 – ∗2 + ∗3; ∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 = Ошибка!= 4ab; ∗3 = Ошибка! = Ошибка!. Ответ: 75a 3b3 − 100a 2b 4 + 75ab 2 25ab 3 = 3а2 – 4ab + в) Ошибка! = 7a2 – 8ax3; ∗2 = Ошибка! = 3a2x; ∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x. Ответ: Ошибка! = 7a2 – 8ax3. г) Ошибка! = 3cd2 – ∗2; ∗1 = Ошибка! = 19c3d; ∗2 = Ошибка!= Ошибка! = 2d. Ответ: Ошибка! = 3cd2 – 2d. 108 www.5balls.ru 3 . b № 537 а) Ошибка! = ∗2 – ∗3 + 12a2x; ∗1 =Ошибка!= 6a2x; ∗2 = Ошибка!= Ошибка!x3; ∗3 = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!ax2; б) Ошибка! = 3k2 – ∗3 – 14p2; ∗2 =Ошибка! =10kp3; ∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5; ∗3 = Ошибка! = Ошибка! =17,5kp; в) Ошибка! =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8; ∗2 =Ошибка!= 15c2d2; ∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10; ∗3 = Ошибка!= Ошибка!= 3c8d; г) Ошибка!= 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x; ∗3 = Ошибка!= 14a3x4; ∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7; ∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6. № 538 а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель; 30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет; г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель; 3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель. № 539 а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2; б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2; в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2; г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2. 109 www.5balls.ru ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно № 540 а) x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2; б) y( y – 8) = 0; y = 0; y = 8; в) z(z + 1,6) = 0; z = 0; z = – 1,6; г) t Ошибка!= 0; t = 0; t = Ошибка!. № 541 а) (x + 1)(x + 4) = 0; x = – 1; x = – 4. Ответ: – 1; – 4. в) (y + 2)(y – 6) = 0; y = – 2; y = 6. Ответ: – 2; 6. б) (c – 12)(c + 25) = 0; c = 12; c = – 25. Ответ: 12; – 25. г) (d – 7)(d + 1,4) = 0. d = 7; d = – 1,4. Ответ: 7; – 1,4. № 542 а) (2x + 3)(3x – 6) = 0; 2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0; 2x = – 3; 3x = 6; x = – 1,5; x = 2. Ответ: – 1,5; 2. в) (4a – 8)(6a – 12) = 0; 4a – 8 =0; 6a – 12 = 0; 4a = 8; 6a = 12; a = 2; a = 2. Ответ: 2. б) (11b + 44)(13b + 26) = 0; 11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0; 11b = – 44; 13b = – 26; b = – 4; b = – 2. Ответ: – 4; – 2. г) (25c – 125)(54c – 108) =0; 25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0; 25c = 125; 54c = 108; c = 5; c = 2. Ответ: 5; 2. 110 www.5balls.ru № 543 а) m(m + 1)(m + 2) = 0; m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0; m = – 1; m = – 2. Ответ: – 1; – 2. в) p(p + 13)(p – 17) = 0; p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0; p = – 13; p = 17. Ответ: – 13; 17. б) n(n – 3)(n – 8) = 0; n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0; n = 3; n = 8. Ответ: 3; 8. г) q(q – 21)(q – 105) = 0; q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0; q = 21; q = 105. Ответ: 21; 105. № 544 а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0; 4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0; 4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34; x = – 3; x = – 2; x = – 2. Ответ: – 3; – 2. б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0; 9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0; y = – 2; y = 4; y =2. Ответ: – 2; 4; 2. в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0; 23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0; z = 2; z = – 2; z = – 8. Ответ: 2; – 2; – 8. г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0; 4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0; t = Ошибка!; t = Ошибка!; t = Ошибка!= 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!; Ошибка!; 1Ошибка!. № 545 а) x2 – x = 0; x(x – 1) =0; x = 0; x = 1. Ответ: 0; 1. в) 3x2 – 7x = 0; x(3x – 7) = 0; x = 0; x = 2Ошибка!. Ответ: 0; 2Ошибка!. № 546 а) x2 – 16 = 0; (x – 4)(x + 4) = 0; б) 2x2 + 4x = 0; 2x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2. Ответ: 0; – 2. г) x2 =4x; x(x – 4) = 0; x = 0; x= 4. Ответ: 0; 4. б) y2 – 25 = 0; y – 5)(y + 5) = 0; 111 www.5balls.ru x = 4; x = – 4. Ответ: 4; – 4. в) z2 – 36 = 0; (z – 6)(z + 6) = 0; z = 6; z = – 6. Ответ: 6; – 6. y = 5; y = – 5. Ответ: 5; – 5. г) t2 – 100 = 0; (t – 10)(t + 10) = 0; t = 10; t = – 10. Ответ: 10; – 10. № 547 а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960; б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060; в) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 1 · 11Ошибка! = 11 Ошибка!; г) Ошибка!– Ошибка!= Ошибка!Ошибка!= 4 · 11 = 44. № 548 а) 0,25a2 – 9 = 0; (0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0; 0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0; a = 6; a = – 6. Ответ: 6; – 6. в) 4x2 – 144 = 0; (2x – 12)(2x + 12) = 0; 2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0; x = 6; x = – 6. Ответ: 6; – 6. б) 0,04b2 – 4 = 0; (0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0; 0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0; b = 10; b = – 10. Ответ: 10, – 10. г) 0,25y2 – 25 = 0; (0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0; 0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10. № 549 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 77; в) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 72; г) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! =Ошибка! = 150. № 550 а)Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1 Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! № 551 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 0,78; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 6,6; 112 www.5balls.ru в) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 1,6; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 4,5 · 52 = 234. § 20. Вынесение общего множителя за скобки № 552 а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z. № 553 а) (3x + 3y) = 3(x + y); б) (5a – 5b) = 5(a – b); в) 7a + 7y = 7(a + y); г) 8x – 8a = 8(x – a). № 554 а) 3x + 6y = 3(x + 2y); б) 5a – 15b = 5(a – 3b); в) 7a + 14y = 7(a + 2y); г) 8x – 32a = 8(x – 4a). № 555 а) 8x + 28y = 4(x + 3y); б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b); в) 21a + 28y = 7(3a + 4y); г) 24x – 32a = 8(3x – 4a). № 556 а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y); б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b); в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y); г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a). № 557 а) Ошибка!x + Ошибка!y = Ошибка!(x + 4y); б) Ошибка!a – Ошибка!b = Ошибка!(a – Ошибка!b); в) Ошибка!a + Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!x – Ошибка!y = Ошибка!Ошибка!. № 558 а) 3Ошибка!x + 3Ошибка!y = Ошибка!x + Ошибка!y =Ошибка! (16x + 17y); б) 4Ошибка!a – 1Ошибка!b = Ошибка!a – Ошибка!b = Ошибка! (4a – b). 113 www.5balls.ru № 559 а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1); б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2); в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3); г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4). № 560 а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); в) 2m6 – 4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3); б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3). № 561 а) ab – a2b = ab(1 – a); б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1); в) x2y – xy2 = xy(x – y); г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n). № 562 а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3); б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x); в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2); г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2). № 563 а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2); б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c); в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5); г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2). № 564 а) 3x(a + b) + y(a +b) = (a +b)(3x + y); б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1); в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d); г) 5p(r – s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q). № 565 а) 15c(a + b) + 8(b + a) = (15c + 8)(a + b); б) n(2a + 1) + m(1 +2a) = (n +m)(2a + 1); в) 4a(x + y) – 9b(y + x) = (4a – 9b)(x +y); г) 11p(c +8d) – 9(8d + c) = (11p – 9)(8d + c). № 566 а) a(b – c) + 3(c – b) = (a – 3)(b – c); б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n); 114 www.5balls.ru в) 4(p – q) – a(q – p) = (4 + a)(p – q); г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y). № 567 а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a); б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14); в) 8c(m + n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d) = = (m + n)(8mc + 8cn + 8); г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q). № 568 а) x2 – 3x = 0; x(x – 3) = 0; x = 0; x = 3. Ответ: 0; 3. б) y2 – 5y = 0; y(y – 5) = 0; y = 0; y = 5. Ответ: 0; 5. в) a2 + 10a = 0; a(a + 10) = 0; a = 0; a = – 10. Ответ: 0; – 10. № 569 а) 0,45p2 + 18p = 0; Ошибка!p(p + 40) = 0; Ошибка!p = 0; p + 40 = 0; p =0; p = – 40. Ответ: 0; – 40. в) 4q2 + 3q = 0; q(4q + 3) = 0; q = 0; q = – Ошибка!. Ответ: 0; – Ошибка!. г) b2 + 20b = 0; b(b + 20) = 0; b = 0; b = – 20. Ответ: 0; – 20. б) 9m2 + 0,27m = 0; 0,27mОшибка!= 0; 0,27m = 0; Ошибка!m + 1 = 0; m = 0; m = – 0,03. Ответ: 0; – 0,03. г) 7x2 + 2x = 0; x(7x + 2) = 0; x = 0; x = – Ошибка!. Ответ: 0; – Ошибка!. № 570 а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800; б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04; в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700; г) 0,93 – 0,81 · 0,29 = 0,81 · 0,9 – 0,81 · 2,9 = 0,81(0,9 – 2,9) = = 0,81 · (– 2) = – 1,62. 115 www.5balls.ru № 571 а) a(2a – b)(a + b) – 3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) = = – a(a + b)(a + 4b); б) 5x2(3x – 8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) = = 5x(3x – 8)(7x – 16); в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) = = (4c – 1)(3 – 8c); г) 6d2(2d – 5)2 – 12d2(2d – 5)(d + 5) = =6d2(2d – 5)(2d – 5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5). № 572 а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 = = 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756; б) 2,49 · 1,63 – 2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63) = = 1,63 · 2 = 3,26; в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 = = 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2; г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 = = 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1. № 573 а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18; б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43; в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30; г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72. № 574 а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4; б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59; в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90; г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14. § 21. Способ групировки № 575 а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a); 2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x). Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x. б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b); 5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x). Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax. в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b); 116 www.5balls.ru mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b). Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2. г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2); –5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1). Ответ: 4x – 8, x2 – 2x. № 576 а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z); 2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z). Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz. б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1; 3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b). Ответ: таких двучленов нет. в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a); 5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2). Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6. г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m); a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2). Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm. № 577 а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n); б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1); в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3); г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3). № 578 а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6); б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x); в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n); г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b). № 579 а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c); б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2); в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2); г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3). № 580 а) 16ab2 + 5b2c + 10c3 + 32ac2 = 16a(b2 + 2c2) + 5c(b2 + 2c2) = = (16a + 5c)(b2 + 2c2); б) 18a2 + 27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b) = = (9a + 7c)(2a + 3b); 117 www.5balls.ru в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = = (10n – 7a)(2n + 5); г) 2x2yz – 15yz – 3xz2 + 10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = = (xz + 5y)(2xy – 3z). № 581 ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3); а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0. № 582 2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1); а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0; б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092; в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52; г) Ошибка!(– 0,5 + 1) = 7Ошибка! · 0,5 = Ошибка! · Ошибка! = 3 Ошибка!. № 583 5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7); а) (0,2 + 1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5 – 0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11; в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0. № 584 а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) = = (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c); б) 16xy2 – 5y2z – 10z3 + 32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2) = = (16x – 5z)(y2 + 2z2); в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = = (5x – 2)(6x – 5c); г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) = = (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k). № 585 а) ax2 – ay – bx2 + cy + by – cx2 = a(x2 – y) – b(x2 – y) – c(x2 – y) = = (x2 – y)(a – b – c); б) xy2 – by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a) + y2 – a = = (y2 – a)(x – b + 1); в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c); г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 = = ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2). 118 www.5balls.ru № 586 21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4); а) (– 1 + 2)Ошибка!= 1 · Ошибка!= – Ошибка! = – 8Ошибка!; б) Ошибка!(4 – 4) = 0; в) Ошибка!Ошибка!= Ошибка!· (4 – 4) = 0; г) (– 2 + 3) Ошибка!= 1 · (– 14 – 4) = – 18. № 587 а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = = 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60; б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) = = 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250; в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 = = 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 = = 29,8 + 28,325 = 58,125; г) 3Ошибка!· 4Ошибка!+ 4,2 · Ошибка!+ 3Ошибка!· 2Ошибка!+ 2,8 · Ошибка! = Ошибка!(2,8 + 4,2) + 3Ошибка!Ошибка!= = 3Ошибка!· 7 + 3Ошибка!· 7 = 7 · 4 = 28. № 588 а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 = = 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 = = (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100; в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 = = 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360; г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 = = 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200. № 589 а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2); б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3); в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1); г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3). № 590 а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1); б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = = (b – 1)(b + 10); в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4); г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = = (z – 20)(z + 2). 119 www.5balls.ru № 591 а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a + b)= = (a – 9b)(a + b); б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 = = a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b); в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 = = x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y); г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 = = x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y). № 592 а) x2 – 3x + 2 = 0; x2 – x – 2x + 2 =0; x(x – 2) – (x – 2) =0; (x – 1)(x – 2) =0; x = 1; x = 2. Ответ: 1; 2. в) x2 – 6x + 8 =0; x2 – 2x – 4x + 8 =0; (x – 2)(x – 4) = 0; x = 2; x = 4. Ответ: 2; 4. б) x2 + 8x + 15 = 0; x2 + 3x + 5x + 15 = 0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0; (x + 3)(x + 5) = 0; x = – 3; x = – 5. Ответ: – 3; – 5. г) x2 – 3x – 4 = 0; x2 + x – 4x – 4 = 0; (x – 4)(x + 1) = 0; x = 4; x = – 1. Ответ: 4; – 1. № 593 а) 2x2 – 5x + 2 = 0; 2x2 – 4x – x + 2 = 0; 2x(x – 2) – (x – 2) = 0; (2x – 1)(x – 2) = 0; x = Ошибка!; x = 2. Ответ: Ошибка!; 2. в) 4x2 + 5x – 6 =0; 4x2 + 8x – 3x – 6 = 0; 4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; (4x – 3)(x + 2) = 0; x = Ошибка!; x = – 2. Ответ: Ошибка!; – 2. б) 3x2 + 10x + 3 = 0; 3x2 + 9x + x + 3 = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0; x = – Ошибка!; x = – 3. Ответ: – Ошибка!; – 3. г) 3x2 – x – 2 = 0; 3x2 – 3x + 2x – 2 = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0; x = – Ошибка!; x = 1. Ответ: – Ошибка!; 1. 120 www.5balls.ru § 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения № 594 а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2; 25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2; б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2; 49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2; в) Ошибка!p2s4t2 = Ошибка!; Ошибка!m4n12 = Ошибка!; Ошибка!a2b12 = Ошибка!; Ошибка!x4y8z16 = Ошибка!; г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2; 0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2. № 595 а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a); б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b); в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c); г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d). № 596 а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b); б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d); в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n); г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q). № 597 а) 59x2 – 121a2 = (7x – 11a)(7x + 11a); б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q); в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n); г) 144y2 – 81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r). № 598 а) x2y2 – 1 = (xy)2 – 12 = (xy – 1)(xy + 1); б) c2d2 – 4 = (cd)2 – 22 = (cd – 2)(cd + 2); в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10). № 599 а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc); б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9); в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20); г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd). 121 www.5balls.ru № 600 а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m); б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq); в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an); г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq). № 601 а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c); б) 25p10 – Ошибка!q12 = (5p5)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!; в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8); г) 4b16 – Ошибка!d4 = (2b8)2 – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!. № 602 а) x2 – 49 = 0; (x – 7)(x + 7) = 0; x – 7 = 0; x + 7 = 0; x = 7; x = – 7. Ответ: 7; – 7. в) z2 – 625 = 0; (z – 25)(z + 25) = 0; z – 25 = 0; z + 25 = 0; z = 25; z = – 25. Ответ: 25; – 25. б) y2 – 100 = 0; (y – 10)(y + 10) = 0; y – 10 = 0; y + 10 = 0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10. г) t2 – 1 = 0; ( t – 1)(t + 1) = 0; t – 1 = 0; t + 1 = 0; t = 1; t = – 1. Ответ: 1; – 1. № 603 а) 4x2 – 1 = 0; (2x – 1)(2x + 1) = 0; 2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0; x = Ошибка!; x = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. в) 26a2 – 25 = 0; (6a – 5)(6a + 5) = 0; 6a = 5; 6a = – 5; a = 1,2; a = – 1,2. Ответ: 1,2; – 1,2. б) 25y2 – 49 = 0; (5y – 7)(5y + 7) = 0; 5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0; y = Ошибка!; y = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. г) 144z2 – 1 = 0; (12z – 1)(12z + 1) = 0; 12z = 1; 12z = – 1; z = Ошибка!; z = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. № 604 а) a + b; a2 – ab + b2; б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4 в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2; г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4. 122 www.5balls.ru № 605 а) k –L; k2 + kL + L2; б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4; в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2; г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4. № 606 а) a3b3 = (ab)3, x6y9 = (x2y3)3, 8m3n9 = (2mn3)3, 125k9t27 = (5k3t9)3; б) Ошибка!p9 = Ошибка!, Ошибка!s18 = Ошибка!; Ошибка!m12 = Ошибка!, Ошибка!a24 = Ошибка! в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3, 0,216m3n18 = (0,6mn6)3, г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3, 8m6n3p12 = (2m2np4)3, 0,125x9y3 = (0,5x3y)3, 0,008p9q12 = (0,2p3q4)3; 216a12b36c24 = (6a4b12c8)3, 0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3. № 607 а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4); б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9); в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16); г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25). № 608 а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2); б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2); в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2); г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2). № 609 а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1); б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4); в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25); г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100). № 610 а) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a2b2 + ab + 1); б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2); в) m3n3 – 27 = (mn – 3)(m2n2 + 3mn + 9); г) p3q3 + 64 = (pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16). 123 www.5balls.ru № 611 а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2; в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2; г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2. № 612 а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2; б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2; в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2; г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2. № 613 а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2; б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2; в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2; г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2. № 614 а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2; б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2; в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2; г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2. № 615 а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2; б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2; в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2. № 616 а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное; б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное; в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное; г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное. № 617 а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900; б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196; в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100; г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100. 124 www.5balls.ru № 618 а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600; б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720; в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000; г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000. № 619 а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6); б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4); в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20); г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3). № 620 а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m); б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a); в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n); г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2). № 621 а) (a + 4)2 – (b + 2)2 = (a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) = = (a – b + 2)(a + b + 6); б) (x – 5)2 – (y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) = = (x – y – 13)(x + y +3); в) (m + 10)2 – (n – 12)2 = (m + 10 – n + 12)(m + 10 + n – 12) = = (m – n + 22)(m + n – 2); г) (c – 1)2 – (d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) = =(c – d + 22)(c + d – 24). № 622 а) (3x + 1)2 – (4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) = = – (x + 2)(7x + 4); б) (6y – 7)2 – (9y + 4)2 = (6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4) = = (– 3y – 11)(15y – 3); в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) = = (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2); г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7) = = (5t – 2)(21t – 16). № 623 б) Ошибка!b2 – Ошибка!= 0; а) Ошибка!a2 – Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!a = Ошибка!; Ошибка!a = – Ошибка!; Ошибка!b = Ошибка!; Ошибка!b = – Ошибка!; 125 www.5balls.ru a = Ошибка!; b = 1Ошибка!; a = – Ошибка!. b = – 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!; – Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!. в) Ошибка!c2 – Ошибка! = 0; г) Ошибка!d2 – Ошибка! = 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!Ошибка!= 0; Ошибка!c = Ошибка!; Ошибка!c = – Ошибка!; Ошибка!d = Ошибка!; Ошибка!d = – Ошибка!; c = 1Ошибка!; c = – 1Ошибка!. d = 2Ошибка!; d = – 2Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; – 1Ошибка!. Ответ: 2Ошибка!; – 2Ошибка!. № 624 б) (4 – 11y)2 – 1= 0; а) (2x – 5)2 – 36 =0; (2x – 41)(2x + 31) = 0; (3 – 11y)(5 – 11y) = 0; 2x = 41; 2x = – 31; 11y = 3; 11y = 5; x = 20Ошибка!; x = – 15Ошибка!. y = Ошибка!; y = Ошибка!. Ответ: 20Ошибка!; – 15Ошибка!. Ответ: Ошибка!; Ошибка!. г) (4t – 3)2 – 25t2 = 0; в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0; (2z – 3)(14z – 3) = 0; (– t – 3)(9t – 3) = 0; 2z = 3; 14z = 3; – t = 3; 9t = 3; z = 1Ошибка!; z = Ошибка!. t = – 3; t = Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!. Ответ: – 3; Ошибка!. № 625 а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0; (– a – 2)(3a + 4) = 0; a = – 2; 3a = – 4; a = – 1Ошибка!. Ответ: – 2; – 1Ошибка!. в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0; (4c + 18)(6c – 2) = 0; 4c = – 18; 6c = 2; c = – 4Ошибка!; c = 3. Ответ: – 4Ошибка!; 3. б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0; (2b – 3)(4b – 1) = 0; 2b = 3; 4b = 1; b = 1Ошибка!; b = Ошибка!. Ответ: 1Ошибка!; Ошибка!. г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0; (– 2d + 12)(16d – 38) = 0; 2d = 12; 16d = 38; d = 6; d =2Ошибка!. Ответ: 6; 2Ошибка!. № 626 а) Ошибка!a3 – Ошибка!b3 = Ошибка!Ошибка!; б) Ошибка!c3 + Ошибка!d3 = Ошибка!Ошибка!; 126 www.5balls.ru в) Ошибка!x3 – Ошибка!y3 = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!m3 + Ошибка!n3 = Ошибка!Ошибка!. № 627 а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4); б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6); в) Ошибка! – x6 = Ошибка!– (x2)3 =Ошибка!Ошибка!; г) – Ошибка! – x6 = – Ошибка!= Ошибка!Ошибка!. № 628 а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2); б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6); в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8); г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12). № 629 а) Ошибка!a6 – b9 = Ошибка!– (b3)3 = Ошибка!Ошибка!; 2 3 3 б) Ошибка!a3 + x9 = a + (x3)3 = Ошибка!Ошибка!; в) Ошибка!x3 + y6 = Ошибка!+ (y2)3 = Ошибка!Ошибка!; г) Ошибка!m3 – Ошибка!n6 = Ошибка!– Ошибка!= = Ошибка!Ошибка!. № 630 а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) = = (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21); б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) = = (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) = = 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7); в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) = = (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 + + 15a + 12 + 9) = = (5a + 1)(25a2 + 55a + 37). № 631 а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) = = 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43); б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) = = (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) = = 3(q + 4)(9q2 + 42q + 124); в) 8x3 – (5x – 3)3 = (2x – 5x + 3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x – 3)2) = = – 3(x – 1)(4x2 + 10x2 – 6x + 25x2 – 30x + 9) = 127 www.5balls.ru = – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3); г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) = = (3x + 11y)(9x2 + 12xy + 4y3 – 27xy – 18y2 + 81y2) = = (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2). № 632 а) Ошибка!a2 – 2ab + Ошибка!b2 = Ошибка!– 2ab + Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка!a6b2 + a4b4 + Ошибка!a2b6 = a2b2Ошибка!= = a2b2Ошибка!; в) b8 + a2b4 + Ошибка!a4 =(b4)2 + a2b4 + Ошибка!= Ошибка!; г) 0,01x4 + y2 – 0,2x2y = (0,1x2)2 – 0,2x2y + y2 = (0,1x2 – y)2. № 633 а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) = = 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение делится на 25; б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) = = 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение делится на 60; в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) = = 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение делится на 40; г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) = = 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение делится на 75. № 634 а) (532 + 222 – 472 – 162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) = = (532 – 472 + 222 – 162) : (65 – 59)2 = = ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 = = (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23; б) Ошибка!+ 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 = 592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000; в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) = = (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) = = 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 = Ошибка!; г) Ошибка! – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 = = 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225. 128 www.5balls.ru № 635 а)Ошибка!: (152,52 – 27,52) = =Ошибка!: : ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) = = (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1; б) (36,52 – 27,52) : Ошибка!= = ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) Ошибка!= = (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1; в) Ошибка!: (133,52 – 58,52) = = Ошибка! · (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1; г) (94,52 – 30,52) : Ошибка!= (69 + 29)(692 − 69 · 29 + 292 ) 69 · 29 = = (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5) 98 = 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5. № 636 а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab; б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2; (b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100; в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2; (4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a; г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2; (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4. № 637 а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2; (∗2 – 10)2 = ∗22 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1 = 100, ∗2 = b; б) ∗1 – 42pq + 49q2 = (3p – ∗2)2; (3p – ∗2)2 = 9p2 – 2 · ∗2 · 3p + ∗22; ∗1 = 9p2, ∗2 = 7q; в) 25a2 + ∗1 + Ошибка!b2 = (∗2 + Ошибка!b)2; (∗2 + Ошибка!b)2 = ∗22 + ∗2b + Ошибка!b2; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab; г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2; (0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22; ∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc. № 638 а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2; (4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗22; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b; б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2; 129 www.5balls.ru (15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗22; ∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy; в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2; (8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗22; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y; г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2; (10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗22; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab. № 639 а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2; (∗2 + 20)2 = ∗22 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m; б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2; (7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗32; ∗1 = 49p2, ∗3 = Ошибка! = 5q, ∗2 = 25q2; в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2; ∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = Ошибка!= 3a, ∗1 = ∗22 = 9a2; г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2; ∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt. § 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов № 640 а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1); б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y); в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2); г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1). № 641 а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9); б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10); в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a); г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12). № 642 а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5); б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n); в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a); г) Ошибка!p2q – q3 = qОшибка! = qОшибка!Ошибка!. № 643 а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2; 130 www.5balls.ru б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2; в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2; г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2. № 644 а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2; б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2; в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2; г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2. № 645 а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4); б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81); в) y8 – 1 = (y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1) = = (y – 1)(y + 1)(y2 + 1)(y4 + 1); г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2). № 646 а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2); б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2); в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2); г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2). № 647 а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y); б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2; в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2); г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2). № 648 а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) = = (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19); б) (c – 1)3 + 27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) = = (c + 2)(c2 – 5c + 12); в) (a – 12)3 – 125 = (a – 12 – 5)(a2 – 24a + 144 + 5a – 60 + 25) = = (a – 17)(a2 – 19a + 109); г) (b + 4)3 + 64 = (b + 4 + 4)(b2 + 8b + 16 + 4b + 16 + 16) = = (b + 8)(b2 + 12b + 48). № 649 а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2; б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2; в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2; 131 www.5balls.ru г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n). № 650 а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c); б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y); в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n); г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q). № 651 а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d); б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b); в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d); г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5). № 652 а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m); б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b); в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 = = (m – 4 – n)(m – 4 + n); г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p). № 653 а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 = = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = = (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2; б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = = (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2; в) c2 + 2c – d2 + 2d =c2 – d2 + 2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d) = = (c+d)(c – d + 2); г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) = = (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1). № 654 а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2; б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2. № 655 а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 = = (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2); б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 = = (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2). 132 www.5balls.ru № 656 а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 = = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y); б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 = = (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q). № 657 а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) = = (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4); б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) = = (b + 1)(b2 – 7b + 1). № 658 а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4); б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4); в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 = = (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) = = (b – 1)(b + 1)(b2 + 5); г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1). № 659 а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 = = (2a – 5b)(2a – b); б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 = = (3c – 7d)(3c – d); в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 = = (5a – 2b)(5a + 6b); г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 = = (3m – 8k)(3m – 2k). № 660 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5); б) x4 + 7x2 + 12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) = = (x2 + 4)(x2 + 3); в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1) г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 = = (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2). № 661 а) x2 + 5xy + 6y2 = x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y) = = (x + 3y)(x + 2y); б) 4m2 – 5mn + n2 = 4m2 – 4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m) = 133 www.5balls.ru = (m – n)(4m – n); в) p2 – pq – 2q2 = p2 + pq – 2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) = = (p + q)(p – 2q); г) a2 + 7ab + 6b2 = a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) = = (a + b)(a + 6b). № 662 а) x3 – x = 0; x(x2 – 1) = 0; x(x – 1)(x +1) = 0; x = 0, x = 1, x = –1. Ответ: 0; 1; –1. в) c3 + c2 = 0; c2(c + 1) = 0; c = 0, c = –1. Ответ: 0; –1. б) 16y – y3 = 0; y(16 – y2) = 0; y(4 – y)(4 + y) = 0; y = 0, y = 4, y = –4. Ответ: 0; 4; –4. г) d3 + d = 0; d(d2 + 1) = 0; d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d. Ответ: 0. № 663 а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0; x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0; (x2 – 4)(x + 1) = 0; (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0; x = 2, x = –2, x = –1. Ответ: 2; –2; –1. в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0; 9(z + 1) – z2(z + 1) = 0; (9 – z2)(z + 1) = 0; (3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0; z = 3, z = –3, z = –1. Ответ: 3; –3; –1. б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0; y2(y + 2) – 4(y + 2); (y2 – 4)(y + 2) = 0; (y – 2)(y + 2)2 = 0; y = 2, y = – 2. Ответ: 2; –2. г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0; p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0; (p2 – 4)(p – 1) = 0; (p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0; p = 2, p = –2, p = 1. Ответ: 2; –2; 1. № 664 x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2; а) x1x22 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14; б) (x1 = x2)2 = 72 = 49; в) x12 + x22 = x12 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = = 49 – 4 = 45; г) (x13 + x23) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22) = = (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301. № 665 x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3 а) x14 + x24 = x14 + 2x12x22 + x14 – 2x12x22 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = 134 www.5balls.ru = ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x22 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 = = 961 – 18 = 943; б) (x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37; в) x13x22 + x12x23 = x12x22(x1 + x2) = 9 · 5 = 45; г) x12x24 + x14x22 = x12x22(x12 + x22) = = x12x22(x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) = x12x22((x1 + x2)2 – 2x1x2) = = 9 · (25 + 6) = 279. § 24. Сокращение алгебраических дробей № 666 а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2; в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y; б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2; г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2. № 667 а) Ошибка! = y; б) Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = – Ошибка!; г) Ошибка! = n15. № 668 а) Ошибка! = z8 z1 · t4 t3 · Ошибка! = z7· t · w19; б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = – Ошибка! · Ошибка!· Ошибка!= – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!. № 669 а) Ошибка! = Ошибка! · b = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!. № 670 а) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!c; в) Ошибка! = Ошибка! · ab · Ошибка! = Ошибка! · ab = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! · Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!. 135 www.5balls.ru № 671 а) 5( x − y ) 5 x− y 1 =− ⋅ =− ; 15( y − x) 15 x − y 3 б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 672 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 673 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 674 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 675 а) Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! · Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка!; в) 3m − 6n 3(m − 2n) 3 m − 2n 1 1 = · ( −1) = − ; = = · 12n − 6m 6(n − 2m) 6 2n − m 2 2 г) Ошибка!. № 676 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 677 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. 136 www.5balls.ru № 678 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 679 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка! = 5y + 1; г) 4t 2 − 2t + 1 3 8t + 1 = 4t 2 − 2t + 1 2 (2t + 1)(4t − 2t + 1) = 1 4t 2 − 2t + 1 1 . · 2 = 2t + 1 4t − 2t + 1 2t + 1 № 680 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 681 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 682 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 683 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 684 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. 137 www.5balls.ru № 685 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 686 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 687 а) Ошибка!; б) Ошибка!; в) Ошибка!; г) Ошибка!. № 688 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!. № 689 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!. № 690 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = – Ошибка!; б)Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= x 3 – y3; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!. № 691 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= Ошибка! = 36; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 30; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 8; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= 0. 138 www.5balls.ru № 692 а) Ошибка!= Ошибка!= x + 6 = 108; б) Ошибка!= Ошибка!= y – 7 = – 11; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= – 9. № 693 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1; б) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!= –Ошибка!= 2; в) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = Ошибка! = Ошибка! = 1,25; г) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка! = – Ошибка! = – 1,875. № 694 а) Ошибка!= Ошибка!= a + 3 = 18; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!= 2Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = 1. № 695 а) Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!. № 696 а) Ошибка!= Ошибка! = – Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= – Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!. № 697 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!. № 698 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; 139 www.5balls.ru б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!. № 699 а) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!. № 700 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка! = = Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка! = Ошибка!; г) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!. № 701 а) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!= x – y; г) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = Ошибка!. № 702 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = = Ошибка!; 140 www.5balls.ru г) Ошибка!= Ошибка!= = Ошибка!= Ошибка!. № 703 а)Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!; б) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = 10; г) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 94,5. № 704 а) Ошибка!= Ошибка!= = 47 + 33= 80; б) Ошибка!= Ошибка! = = 23 – 11=12; в) Ошибка!= Ошибка! = = 27 – 13=14; г) Ошибка!= Ошибка!= 87 + 43=130. № 705 а) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!; б) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= = Ошибка!= 1,5; в) Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 25; г) Ошибка!= Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= = 0,15. № 706 а) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!= – 4; б) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= = Ошибка!= Ошибка!; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!: Ошибка!= Ошибка! = 1,125; г) Ошибка!= Ошибка! =Ошибка!= Ошибка!= Ошибка!= 2. § 25. Тождества № 707 а) да; б) да; в) да; г) да. 141 www.5balls.ru № 708 а) да; б) да; в) да; г) да. № 709 а) да; б) да; в) да; г) да. № 710 а) переместительный закон сложения; б) сочетательный закон сложения; в) переместительный закон умножения; г) распределительный закон сложения относительно умножения. № 711 а) переместительный и сочетательный законы умножения; б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0; в) переместительные законы сложения и умножения; г) 1. сочетательный закон умножения, 2. распределительный закон сложения относительно умножения. № 712 а) x – y = – y + x = – (y – x); б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2; в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a); г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2. № 713 а) 10a – (– (5a + 20)) = 10a – (– 5(a + 4)) = 10a + 5(a + 4) = = 5(2a + a + 4) = 5(3a + 4); б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3); в) 12y – (25 – (6y – 11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y – 36 + 6y = = 18y – 36 = 18(y – 2); г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = = 21 + 9c = 3(3c + 7). № 714 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5); б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5); в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 = = b2 – 5b + 24; 142 www.5balls.ru г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28. № 715 а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 = = a2 – 2a – 3 – 1= a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = = (a – 3)(a + 1) – 1; б) 16 – (x + 3)(x + 2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 = = 4 – (x2 + 5x – 6) = 4 – (x2 – x + 6x – 6) = = 4 – (x(x – 1) + 6(x – 1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1); в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = = (y2 + 4y – 32) – 2 = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 = = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2; г) (z – 11)(z + 10) + 10 = z2 – z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 = = z2 – 5z + 4z – 20 – 80 = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = = (z – 5)(z + 4) – 80. № 716 а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab; г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2. № 717 2x – 1 + 3x + 1 – 5x = 5x – 5x = 5x – 3x – 2x = 5x – 3x – 1 – 2x + 1 = = 5x – (3x + 1) – (2x – 1). № 718 а) Ошибка!= Ошибка! = x2 + 2x, видно, что равенство превращается в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; б) Ошибка! = Ошибка!; Ошибка! = Ошибка!= Ошибка! = Ошибка!, видно, что равенство превращается в тождество при 6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; в) Ошибка!= Ошибка! = Ошибка! = = Ошибка!= Ошибка!; Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3. При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3). г) Ошибка! = Ошибка!; Ошибка! = Ошибка!= Ошибка!, Видно, что равенство равенство превращается в тождество при 143 www.5balls.ru 2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3. № 719 а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = = x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2; б) (a – b)(a + b) – (a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = = a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0; в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab; г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab = = m2 –x (a + b)m + ab. № 720 а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18; (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = = 2(a + b) = 18. № 721 (b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) = = (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) + + 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 + + b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0. № 722 а) (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0; б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = = 2y · 6x = 12xy = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 = = (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2; в) (x – 3y)(x + 3y) + (3y – c)(3y + c) + (c – x)(c + x) = = x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4). № 723 а) (a – 1)3 – 4(a – 1) = (a – 1)((a – 1)2 – 4) = (a – 1)(a – 1 – 2) = = (a – 1)(a – 3)(a + 1); б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2; в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1); г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) = = (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c). 144 www.5balls.ru Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. — 3-е изд., доработ.» А.Г. Мордкович и др. М.: «Мнемозина», 2000 г. Часть II учебно-практическое пособие 2 www.5balls.ru СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 6. Линейная функция..................................................4 § 26. Координатная прямая.................................................................... 4 § 27. Координатная плоскость............................................................. 14 § 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график...... 33 § 29. Линейная функция и ее график .................................................. 47 § 30. Прямая пропорциональность и ее график ................................. 73 § 31. Взаимное расположение графиков линейных функций............. 83 ГЛАВА 7. Функция y = x2 ........................................................86 § 32. Функция y = x2 и ее график ......................................................... 86 § 33. Графическое решение уравнений .............................................. 96 § 34. Что означает в математике запись y = f(x)............................... 103 ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными ...................117 § 35. Основные понятия ..................................................................... 117 § 36. Метод подстановки ................................................................... 128 § 37. Метод алгебраического сложения ........................................... 138 § 38. Системы двух линейных уравнений с двумя перемеными как математические модели реальных ситуаций ...... 149 3 www.5balls.ru ГЛАВА 6. Линейная функция § 26. Координатная прямая № 724 а) C B D A -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 б) N O -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 R в) E 3 4 1 2 1 2 L 6 3 4 5 6 7 2 3 X 5 6 7 X Z 3 4 K 1 7 M S -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 5 P Q -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 г) 1 2 X F 4 5 6 7 8 9 X № 725 а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5. № 726 а) 8; б) 4; в) 4; г) 1. № 727 a) C > D; б) D C -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 № 728 а) X < Y; б) 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9 X 6 7 8 9 X Y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 www.5balls.ru 5 № 729 а) B < A < C; б) B A C -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X № 730 а) 3 X Открытый луч с началом в точке 3; х > 3; б) -5 X Открытый луч с концом в точке –5; х < –5; в) -2 X Открытый луч с началом в точке –2; х > –2; г) 0 X Открытый луч с концом в точке 0; х < 0. № 731 а) 1 X Луч с началом в точке 1; х > 1; б) 4 X -2 X Луч с концом в точке 4; х < 4; в) Луч с концом в точке –2; х < –2; г) -1 X Луч с началом в точке –14 х > –1. 5 www.5balls.ru № 732 а) 5 3 X Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5; б) -5 1 X Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1; в) 6 4 X Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6; 4 ≤ Х ≤ 6; г) 0 1 X Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; 0 < Х < 1. № 733 а) 6 8 X Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8. (Точка 8 не включается); 6 ≤ Х < 8; б) -2 4 X Полунтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4; –2 < Х ≤ 4; в) -3 –1 X Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1; (Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1; г) 5 7 X Полунтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7; 5 < Х ≤ 7. 6 www.5balls.ru № 734 а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5; б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7; в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3; г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4. № 735 а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2; б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1; в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8; г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4. № 736 а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5), 3 < y < 5; б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5; [3, 5], 3 ≤ y ≤ 5; в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0; (–1, 0), –1 < y < 0; г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10; [9, 10], 9 ≤ y ≤ 10. № 737 а) Полунтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1; б) Полунтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6; (–7, 6], –7 < p ≤ 6; в) Полунтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1; г) Полунтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5], 3 < p ≤ 5. № 738 а) (5, +∞); 5 X х > 5; б) [1, +∞); 1 X х ≥ 1; 7 www.5balls.ru в) (1, 3); 1 3 X 1 < Х < 3; г) [6, 10); 6 10 X 6 < Х ≤ 10. № 739 а) [–2, 0]; –2 0 X 7 X –5 ≤ Х ≤ 1; б) (–∞, 7); х < 7; в) [4, 9); 4 9 X 4 ≤ Х < 9; г) (–∞, 12]; 12 X х ≤ 12. № 740 а) Открытый луч с началом в точке 3; (3, +∞); 3 X б) Луч с началом в точке 3; [3, + ∞); 3 8 www.5balls.ru X в) Открытый луч с концом в точке 3; (–∞, 3); 3 X г) Луч с концом в точке 3; ( –∞, 3]. 3 X № 741 а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4; (2, 4); 2 4 X б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (точка 5 не включается); [3, 5); 3 5 X в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7; [0, 7]; 0 7 X г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8; (5, 8]. 5 8 X № 742 а) Луч с началом в точке 2; [2, + ∞); 2 X б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5; (–2, –5); –2 –5 X 9 www.5balls.ru в) Открытый луч с концом в точке 0; (–∞, 0); 0 X г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8; (точка 5 не включается); [4, 8). 4 8 X № 743 а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3; [1, 3]; 1 3 X б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7; (6, 7]; 6 7 X в) Луч с концом в точке 1; ( –∞, 1]; 1 X г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2; (–6, –2). –6 –2 № 744 а) да; б) нет; в) да; г) нет. № 745 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 746 а) да; б) да; в) нет; г) да. № 747 а) да; б) да; в) да; г) нет. 10 www.5balls.ru X № 748 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 749 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 750 а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3. № 751 а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9. № 752 а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4; в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3. № 753 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 754 а) 3; б) 1; в) 6; г) 9. № 755 а) 1; б) 0; в) 0; г) 4. № 756 а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2. № 757 а) 5; б) 1; в) 10; г) 6. № 758 Да приналежит. Эти числа : 4,99; 4,999. № 759 а) Задание определено не корректно, потомучто нет наименьшего целого числа принадлежащего промежутку (–∞, 4]; б) Задание определено не корректно, потомучто нет целого числа принадлежащего промежутку (5, 6). № 760 а) r = Ошибка! = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5; б) r = Ошибка! = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0; в) r = Ошибка! = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6; г) r = Ошибка! = Ошибка! = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4. 11 www.5balls.ru № 761 а) r = Ошибка! = Ошибка! = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5; б) r = Ошибка! = Ошибка! = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2; в) r = Ошибка! = Ошибка! = –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5; г) r = Ошибка!: 2 = Ошибка! : 2 = Ошибка!, a = Ошибка! – Ошибка! = Ошибка! = 2. № 762 а) –А –B B -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A 5 6 7 X 7 X 7 X 7 X б) А B -B -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -A 5 6 в) -А B -B -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A 5 6 г) B A,-A -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 B 1 2 3 4 5 6 № 763 Таких точек имееися две С и D. Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3; D = – 4 – 7 = –11. № 764 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M; a) N M L б) 12 www.5balls.ru L M N LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит, 3ML = 10,5; ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7; а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5; б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5. Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M; a) M L N N L M б) LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5; MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21; а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5; б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5. Итого получается что задача имеет четыре решения. № 765 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K; a) P K M б) M K P PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит, 4MK = 8; MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6; а) M = K + MK = –1 + 2 = 1; P = K – PK = –1 – 6 = –7; б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5. Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K; a) K M P б) P M K 13 www.5balls.ru PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK; 2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12; а) M = K + MK = –1 + 4 = 3; P = K + KP = –1 + 12 = 11; б) M = K – MK = –1 – 4 = –5; P = K – KP = –1 – 12 = –13. Итого получается что задача имеет четыре решения. § 27. Координатная плоскость № 766 а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5. № 767 а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем; б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом; в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом; г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом. № 768 а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9. № 769 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 770 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 771 а) 3; б) 2; в) 3; г) 2. № 772 а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2); б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5); в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1); г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2). № 773 а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0); в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2); б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0); г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0). № 774 а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4); б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3); 14 www.5balls.ru в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3); г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4). № 775 а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5); б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2); в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0); г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4). № 776 а) x = 3; Y 1 0 1 X 1 X б) y = 3; Y 1 0 в) y = 1; 15 www.5balls.ru Y 1 0 1 X 1 X г) x = 8. Y 1 0 № 777 а) x = –2; Y 1 0 1 б) x = – 4; 16 www.5balls.ru X Y 1 0 1 X в) y = –5; Y 1 0 1 X г) x = –1. Y 1 0 1 X № 778 17 www.5balls.ru а) x = 0,5; Y 1 0 1 X 1 X б) y = –1,5; Y 1 0 в) y = 3,5; Y 1 0 1 г) x = – 6,5. 18 www.5balls.ru X Y 1 0 1 X № 779 а) ордината; б) абцисcа. № 780 а) на прямой х = 5; в) на прямой х = 9; б) на прямой х = – 7; г) на прямой х = – 1. № 781 а) на прямой y = – 3; б) на прямой y = – 12; в) на прямой y = 8; г) на прямой y = 4. № 782 D(б) Y A(a) 2 0 1 С(в) X D(г) № 783 19 www.5balls.ru Y M L 2 0 1 X S R № 784 Y 1 P 0 1 E X F № 785 а) Y A B 2 0 1 б) 20 www.5balls.ru X Y C 2 0 1 X B в) Y 1 0 N 1 X M г) Y 1 0 1 Q X P № 786 21 www.5balls.ru а) Y L K 1 0 1 X б) Y E 1 0 1 X M в) Y 1 0 1 г) 22 www.5balls.ru X Y X 2 0 1 X 1 X Y № 787 а) Y C B 2 0 A б) Y K 2 0 M 1 X N в) 23 www.5balls.ru Y P 1 0 1 X E D г) Y S 2 0 1 L X P № 788 а) Y F E 1 0 G 1 H б) 24 www.5balls.ru X Y E F 1 0 1 H X G в) F Y G 1 E 0 1 X H г) Y F 0 E G 1 1 H X № 789 25 www.5balls.ru а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4); б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4); в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0); г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4). № 790 Y B C 2 3 1 A 0 1 D X 1 Координаты вершин третего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2) № 791 а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0; x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения являются прямые x = 2 и х = – 2; б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0 y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения являются прямые y = 2 и y = – 2; в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0; x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 – являются прямые x = 0 и х = 5; г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0; y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 + являются прямые y = 0 и y = –2. x2 = 4 y2 = 4 5x = 0 2y = 0 № 792 а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0); б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0); (4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2); (0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3); в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1); (2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0); г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4); (–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1); (2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1). № 793 26 www.5balls.ru Y C L B 1 0 A K 1 X F T E L(–3, 0) K(3, 0) № 794 A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5. Квадрат ABCD может располагаться следующим образом : 1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда С(3 + 5, –4), следовательно, C(8, –4); D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1). 2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда С(3 – 5, –4), следовательно, C(–2, –4); D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1). Других случаев расположения вершин быть не может, потому что вершины квадрата нумеруются по часовой или против часовой стрелки. Задача имеет два решения. № 795 B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2). Так как вершины А и С являются противоположными, другого расположения вершин B и D быть не может, следовательно задача имеет два решения. № 796 Из того что АВ паралельна оси оординат следует, что абцисса точки В равна абциссе точки А. Из того что начало координат лежит внутри квадрата следует, что начало координат лежит внутри квадрата и оордината и оордината точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3); С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3). 27 www.5balls.ru № 797 (4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4). № 798 а) б) Y Y 1 1 0 0 1 1 X X № 799 а) Y 1 0 1 28 www.5balls.ru X б) Y 1 0 1 X № 800 а) Y 2 0 2 X 29 www.5balls.ru б) Y 1 0 1 30 www.5balls.ru X № 801 а) Y 1 0 1 X 1 X б) Y 1 0 31 www.5balls.ru № 802 а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0; (y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2; Y 1 0 1 X 1 X 1 X б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0; x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0; x = 0 или y = 2 или y = –2; Y 1 0 в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0; Y 1 0 32 www.5balls.ru г) 4 + xy + 2(x + y) = 0; 4 + x(y + 2) + 2y = 0; 2(y + 2) + x(y + 2) = 0; (x + 2)(y + 2) = 0; x = –2 или y = –2. Y 1 0 1 X § 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график № 803 а) да; б) да; в) да; г) да. № 804 а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто задействована только одна переменная; б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто задействована только одна переменная; в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени; г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя переменными, потомучто в нем есть одночлен второй степени. № 805 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 806 а) да; б) нет; в) нет; г) да. № 807 а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5). 33 www.5balls.ru № 808 а)Ошибка!; (3; –1); б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1). № 809 а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто. б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине курток не останется. в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет. г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 человек, то на фирме никого работать не останется. № 810 M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0. № 811 2Ошибка! + 5Ошибка! – 8 = 8 – 8 = 0 – верно, значит, точка Ошибка! является решением уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x. Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5). № 812 а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x; в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = – Ошибка!. № 813 а) 3x + 2y – 6 = 0; 34 б) 5x – 7y – 14 = 0; www.5balls.ru 2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3. в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. Ответ: – 3. 7y = –14; y = –2. Ответ: –2. г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15. № 814 а) 8x + 6y – 11 = 0; 8 + 6y – 11 = 0; 6y = 3; y = Ошибка!. Ответ: Ошибка! в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3 г) 3x + 2y + 30 = 0; –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3. № 815 а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8. в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7. № 816 а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7. в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12. б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19. г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y = Ошибка!. Ответ: 30,5. б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5. г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4. № 817 35 www.5balls.ru а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0 4x = 40 x = 10 Ответ: 10 в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0 5x = 20 x=4 Ответ: 4 б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0 23x = – 23 x = –1 Ответ: –1 г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0 2x = –13 x = –6,5 Ответ: –6,5 № 818 а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = – Ошибка!. Ответ: –1Ошибка!. в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = – Ошибка!. Ответ: –3,5. б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1. г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = – Ошибка!. Ответ: –2Ошибка!. № 819 а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1. № 820 а) x + y – 4 = 0; y = 4 – x; X Y 0 4 4 0 б) 2x – y + 5 = 0; y = 2x – 5; X Y 0 –5 36 www.5balls.ru 2 –1 5 4 3 2 1 y 8 4 x -8 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 в) x + 2y – 3=0; y = Ошибка!; г) –x – y + 6 = 0; y = 6 – x. -8 0 -4 4 8 -4 X Y 1 1 3 0 X Y 3 3 x 1 2 3 4 5 6 0 6 y 3 y 2 y 3 1 x x -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 -6 -3 -3 X Y 0 5 3 0 3 6 -3 -2 № 821 а) 5x + 3y – 15 = 0; y = Ошибка!; 0 -6 б) 7x – 4y + 28 = 0; y = Ошибка!; X Y 0 7 –4 0 37 www.5balls.ru 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 y 7 –3 0 1 2 3 4 5 -4 0 -2 2 4 -7 -14 г) 8x – 3y – 24 = 0; y = Ошибка!. 0 –6 6 x x в) 6x + 3y + 18 = 0; 2x + y + 6 = 0; y = –6 – 2x; X Y y 14 X Y 3 0 0 –8 y 8 y 4 3 x x -6 -3 0 3 6 -6 -3 0 -3 -4 -6 -8 № 822 а) 7t + 9s + 63 = 0; s = Ошибка!; t –9 0 s 0 –7 б) 3t – 4s – 12 = 0; s = Ошибка!; t 4 0 s 0 –3 38 www.5balls.ru 3 6 14 s 6 s 3 7 t -18 -9 0 9 18 t -8 -4 0 -7 -3 -14 -6 в) 5t – 2s = 10; s = Ошибка!; t 2 0 s 0 5 10 4 г) 4t + 9s + 36 = 0; s =Ошибка!. t –9 0 s 0 –4 s 8 s 4 5 t t -4 -2 0 8 2 4 -18 -9 0 -5 -4 -10 -8 9 18 № 823 а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются; б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются. № 824 а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2. 39 www.5balls.ru Ответ: (1; 2) б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y = Ошибка! и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. Ошибка! = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2. Ответ: (3; –2). № 825 а) 3a + 8b = 24; 3a = 24 – 8b; a = Ошибка!; в) 12m – 3n = 48; 4m – n = 16; m =Ошибка!; 3a + 8b = 24; 8b = 24 – 3a; b = Ошибка!; 12m – 3n = 48; 4m – n = 16; n = 4m – 16; № 826 а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t – 2z + 6 = 0; 3t = 2z – 6; 2z = 3t + 6; t =Ошибка!; z =Ошибка!; в) 11u + 2v + 22 = 0; 11u = – 22 – 2v; u = – Ошибка!; г) 25r – 4w – 100 = 0; 25r = 4w + 100; r =Ошибка!; б) 6с + 5d = 30; 6c = 30 – 5d; c =Ошибка!; г) 7x – 8y = 56; 7x = 56 + 8y; x =Ошибка!; 6с + 5d = 30; 5d = 30 – 6c; d = Ошибка!; 7x – 8y = 56; 8y = 7x – 56; y = Ошибка!. б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s + 9t – 63 = 0; 7s = 63 – 9t; 9t = 63 – 7s; s =Ошибка!; t = Ошибка!; 11u + 2v + 22 = 0; 2v = – 22 – 11u; v = – Ошибка!; 25r – 4w – 100 = 0; 4w = 25r – 100; w = Ошибка!. № 827 а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y. Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел, нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5). б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0; 5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4). № 828 ax+5y–40=0. а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а = 3. 40 www.5balls.ru б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5. Ответ: a = 5. в) Ошибка! Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ Ошибка!+ 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: Ошибка! = 40; a=120. Ответ: a = 120. г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0. Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14. № 829 а) b – 35 = 0; b = 35; в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3; б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2; г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5. № 830 а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12; в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; г) –c = 0. c = 0. № 831 а) 12 – 2m = 0; m = 6; в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m = Ошибка!; г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1. № 832 Пусть х – первое число. Тогда (5 – х) – второе число. x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x = 3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. 41 www.5balls.ru № 833 Пусть х – первое число. Тогда (7 – х) – второе число. 2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число. Ответ: 1; 6. № 834 Пусть х – первое число. Тогда (х – 1) – второе число. x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. № 835 Пусть х – вычитаемое. Тогда 4х – уменьшаемое. 4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 · 1 = 4 – уменьшаемое. Ответ: 1; 4. № 836 Пусть х – девочек учавствовало в турнире. Тогда 1,5х – мальчиков учавствовало в турнире. 1,5x + x = 10; x = 4 – девочек учавствовало в турнире; 1,5 · 4 = 6 – мальчиков учавствовало в турнире. Ответ: 4; 6. № 837 Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату. х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату. Ответ: 6; 8. № 838 Пусть х – синиц сидело на ветке. Тогда 2х – воробьев сидело на ветке. х + 2х = 9; 42 www.5balls.ru x = 3 – синиц сидело на ветке; 2 · 3 = 6 – воробьев сидело на ветке. Ответ: 3; 6. № 839 Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах. Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах. 1,3x – x = 12; 0,3x = 12; x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах. Найдем сколько учеников учится в седьмых классах: 1,3х + х = 2,3х = 2,3 · 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах. Ответ: 92. № 840 Пусть х – человек занимается в историческом кружке. Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке. x + x + 7 = 35; 2x = 28; x = 14 – человек занимается в историческом кружке; 14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке. Ответ: 14; 21. № 841 Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число. x + 4x = 52,5; 5x = 52,5; x = 10,5 – первое число; 4 · 10,5 = 42 – второе число. Ответ: 10,5; 42. № 842 Пусть х – первое число. Тогда Ошибка! – второе число. Ошибка!x – x = 3,9; Ошибка!x = 3,9; x = 0,3 · 87; x = 26,1 – первое число; 26,1 · Ошибка! = 30 – второе число. Ответ: 26,1; 30. № 843 Пусть х – первое число. Тогда Ошибка!х – второе число. x + Ошибка!x = 112; Ошибка!x = 112; x = 62 – первое число; 62 · Ошибка!= 50 – второе число. 43 www.5balls.ru Ответ: 50; 62. № 844 а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p p2 – 6p + 8 = 0 p2 – 2p – 4p + 8 = 0 (p – 4)(p – 2) = 0 p = 4 или p = 2 Ответ: при p = 2 или при p = 4 б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p –p2 + 2p + 8 = 0 –p2 – 2p + 4p + 8 = 0 (4 – p)(p + 2) = 0 p = 4 или p = – 2 Ответ: при p = –2 или при p = 4 № 845 а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0; x = y или x = –y; 8 б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0; y = Ошибка!или y = – Ошибка!; y 8 y 4 4 x x -8 -4 0 4 8 -8 -4 2; -8 4 8 -4 -4 2 0 -8 2 2 в) y = 9x (y – 3x)(y + 3x) = 0; г) 16x – 25y =0; (4x – 5y)(5y + 4x)=0; y = 3x или y = – 3x; y = Ошибка!x или y = – Ошибка!x. 44 www.5balls.ru 6 y y 8 4 3 x x -6 0 -3 3 6 -10 0 -5 -3 -4 -6 -8 № 846 а) x2 – 6xy + 8y2 = 0; x2 – 6xy + 9y2 – y2; (x – 3y)2 – y2; (x – 4y)(x – 2y) = 0; y = Ошибка!x или y = – Ошибка!x; 5 10 y 4 2 x -16 0 -8 8 16 -2 б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; x2 + 2,5xy + y2 = 0; x2 + 2,5xy + 1,5625y2 – 0,5625y2 = 0; (x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0; (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y = – Ошибка!x; -4 4 y – 2 x -4 -2 0 2 4 -2 -4 2 4 2 в) x + xy – 2y ; x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2; (x + 0,5y)2 – (1,5y)2; (x – y)(x + 2y) = 0; y = x; или y = – Ошибка!; y 2 x -4 -2 0 -2 -4 www.5balls.ru 2 4 45 г) 3x2 – 10xy + 3y2; 4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy = = 0; (2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0; (x – 3y)(3x – y) = 0; y = Ошибка!x; или y = 3x. 3 y 2 1 x -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 46 www.5balls.ru 1 2 3 § 29. Линейная функция и ее график № 847 а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11. № 848 а) k = 0,7, m = 9,1; в) k = −0,7, m = 9,1; б) k = −5,7, m = −3,5; г) k = 1,4, m = −2,5. № 849 а) k = Ошибка!, m = Ошибка!; б) k = − Ошибка!, m = − Ошибка!; в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = −1, m = Ошибка!. № 850 а) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;б) k = 2, m = Ошибка!; в) k = Ошибка!, m = − Ошибка!;г) k = Ошибка!, m = Ошибка!. № 851 а) k = − Ошибка!, m = Ошибка!;б) k = Ошибка!, m = 2; в) k = Ошибка!, m = Ошибка!; г) k = −2, m = 2. № 852 а) y = − Ошибка!x + 3; k = − Ошибка!, m = 3; в) y = − Ошибка!x + 3; k = − Ошибка!, m = 3; б) y = Ошибка!x − 5; k = Ошибка!, m = − 5; г) y = − Ошибка!x + 7; k = − Ошибка!, m = 7. № 853 а) y = − 12x + 17; k = −12, m = 17; в) y = − 36x + 40; k = −36, m = 40; б) y = − 19x + 5; k = −19, m = 5; г) y = − 15x + 53; k = − 15, m = 53. № 854 а) y = x − 9; k = 1, m = −9; б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11; в) y = x + 15; k = 1, m = 15; г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8. № 855 а) y = − Ошибка!x; k = − Ошибка!, m = 0; б) y = Ошибка!x − Ошибка!; k = Ошибка!, m = − Ошибка!; в) y = Ошибка!x; k = Ошибка!, m = 0; г) y = − Ошибка!x + 19. k = − Ошибка!, m = 19. 47 www.5balls.ru № 856 а) y = 5 · 1 + 6 = 11; в) y = 12 · 3 + 1 = 37; б) y = 7 · 0 − 8 = − 8; г) y = 9 · 2 − 7 = 11. № 857 а) y = 2 · 3 + 1 = 7; в) y = 2 · (−2) + 1 = −3; б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10; г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6. № 858 а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1; б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4; в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5; г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45. № 859 а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4; б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7; в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0; г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = − Ошибка!. № 860 а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5; б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5; в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4; г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9. № 861 а) y = 5x + 6; x y 0 6 б) y = 2x − 1; −2 −4 x y 48 www.5balls.ru 0 −1 4 7 Y 8 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 2 4 6 8 -4 -6 -8 -8 −2 2 x y 0 −4 Y 8 6 6 4 4 2 4 6 8 -2 0 -2 2 4 6 8 2 2 Y 2 X -8 -6 -4 X -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 № 862 а) y = x + 2; x y 2 г) y = 3x − 4; 0 6 -4 -4 -6 8 -8 -6 -8 -6 X -2 0 -2 -4 в) y = 2x + 6; x y 2 X -2 0 -2 Y 2 4 6 8 б) y = x − 3; 0 2 2 4 x y 0 −3 3 0 49 www.5balls.ru 8 Y 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 4 6 8 -8 -6 -4 -6 -6 -8 -8 2 4 6 8 2 4 6 8 г) y = x − 1. 0 5 −2 3 8 X y 2 1 8 6 6 4 4 -2 0 -2 -4 0 −1 Y 2 -8 -6 -4 X -2 0 -2 -4 в) y = x + 5; x y 2 X 2 Y 2 X 2 4 6 8 Y -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 X № 863 а) y = 4x − 6; X y 1 −2 б) y = 5x + 7; 3 6 X y 50 www.5balls.ru 0 7 −2 3 8 Y 21 6 Y 14 4 7 2 -8 -6 -4 X X -2 0 -2 2 4 6 8 -8 -6 -2 0 -4 2 4 6 8 -7 -4 -14 -6 -8 -21 в) y = 3x − 3; X y г) y = 2x + 1. 0 −3 9 2 3 X Y 0 1 Y −2 −3 4 Y 6 2 3 X -9 -6 0 -3 3 6 9 X -4 0 -2 2 4 -3 -2 -6 -9 -4 № 864 а) y = −x + 2; X Y 0 2 б) y = −x − 3; 2 0 X Y 0 −3 2 −5 51 www.5balls.ru 4 Y 9 Y 6 2 3 X X -4 0 -2 2 4 -9 -6 0 -3 3 6 9 -3 -2 -6 -4 -9 в) y = −x + 1; X 0 Y 1 г) y = −x − 8. X 0 Y 1 −2 3 4 Y 16 −2 −3 Y 12 8 2 4 X -4 0 -2 2 4 -16 -12 -8 -4 0 -4 X 4 -8 -2 -12 -16 -4 № 865 а) y = −3x + 2; X Y 0 2 б) y = −4x + 1; 2 −4 X Y 52 www.5balls.ru 0 1 −1 5 8 12 16 Y 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 2 4 6 8 -8 -6 -4 X -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 в) y = −7x + 3; X Y 2 X -2 0 -2 Y 8 2 4 6 8 г) y = −5x + 2. 0 3 1 −4 8 X Y 0 2 2 −8 Y 12 6 Y 8 4 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 X X 2 4 6 8 -12 -8 -4 0 4 8 12 -4 -4 -8 -6 -8 -12 № 866 а) y = 0,4x + 2; X Y 0 2 б) y = 3,5x − 1; 5 4 X Y 0 −1 2 6 53 www.5balls.ru 5 4 Y 4 3 2 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 4 5 X -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -2 -3 -4 -4 -5 -6 в) y = 0,2x − 4; X Y Y 6 г) y = 2,5x + 5. 0 −4 10 −2 6 X Y 0 5 −2 0 Y Y 15 4 10 2 5 X -15 -10 -5 0 5 0 −3 15 -6 -4 -2 -2 -5 -4 -10 -6 -15 № 867 а) y = −2,5x − 3; X Y 10 X 0 2 б) y = −0,5x + 1; −2 2 X Y 54 www.5balls.ru 0 1 −4 3 4 6 Y 3 Y 3 2 2 1 1 X -6 -4 0 -2 2 4 X 6 -6 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3 в) y = −1,5x + 8; X Y -4 0 2 4 6 г) y = −3,5x − 2. 2 5 4 2 6 X Y 0 −2 −2 5 Y 6 4 Y 4 2 2 X -6 -4 -2 0 2 4 6 X -6 -4 -2 0 -2 -2 -4 -4 -6 -6 № 868 а) S = 1,5t + 0,5; T 1 3 2 4 6 б) S = −3,5t + 4,5; T 1 3 55 www.5balls.ru S 2 6 6 S 1 s −6 6 s 4 4 2 2 t t -6 -4 -2 0 2 4 -6 6 -4 0 -2 -2 -2 -4 -4 -6 -6 в) S = −4,5t − 2,5; T −1 1 S 2 −7 8 2 4 6 г) S = 2,5t − 3,5. T 1 3 S −1 4 s 6 6 s 4 4 2 2 t t -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 -2 -4 -4 -6 -8 № 869 а) S = Ошибка!t − 1; T 0 3 -6 б) S = − Ошибка!t + 1; T 0 6 56 www.5balls.ru 3 S −1 1 S 1 s 3 −2 s 3 2 2 1 1 t t -3 -2 0 -1 1 2 -6 3 -4 0 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3 в) S = Ошибка!t − 2; T 0 4 S −2 0 3 2 4 6 г) S = − Ошибка!t + 1. T 0 3 S 1 −1 s 3 2 s 2 1 1 t -6 -4 -2 0 2 4 6 3 1 -4 -2 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 № 870 а) u = Ошибка!z + Ошибка!; Z u t -6 −1 0 2 4 6 б) y = Ошибка!x − Ошибка!; X Y 1 0 4 1 57 www.5balls.ru 3 u 4 Y 3 2 2 1 1 X z -6 -4 0 -2 2 4 6 -4 -3 -2 -1 -1 0 -1 1 2 3 4 -2 -2 -3 -3 -4 в) b = Ошибка!a + Ошибка!; A 1 −2 B 2 −3 4 b 4 3 3 2 2 1 -4 -3 -2 г) S = Ошибка!t + Ошибка!. T 2 7 S 1 2,5 -1 0 -1 1 a 1 2 3 4 s -8 -6 -4 -2 0 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 t 2 4 6 8 № 871 Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитически, приравняем ординаты функций а) x + 4 = 2x; б) −x = 3x − 4; x = 4; y = 4 + 4 = 8. x = 1; y = 3 − 4 = −1. Ответ: (4; 8). Ответ: (1; −1). в) −2x + 3 = 2x − 5; г) 3x + 2 = −0,5x − 5; 58 www.5balls.ru 4x = 8; x = 2; y = 4 − 5 = −1. Ответ: (2; −1). 3,5x = 7; x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8. Ответ: (2; 8). № 872 y 8 y = x +4; а) С осью ОX : 6 х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0). 4 С осью ОY : 2 y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4). x б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2. 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 При x = −1, y = −1 + 4 = 3. -2 При x = 0, y = 0 + 4 = 4. -4 При x = 1, y = 1 + 4 = 5. в) x + 4 = 4; x + 4 = 1; -6 x = − 3; x = 0; -8 x + 4 = −2; x + 4 = 7; x = − 6; x = 3. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 873 y = −4x + 8; а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8). С осью ОХ: −4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0). б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8. При x = 1, y = −4 + 8 = 4. -8 -6 При x = 2, y = −8 + 8 = 0. При x = 3, y = −12 + 8 = −4. в) −4x + 8 = 0; x = 2; −4x + 8 = 4; x = 1; −4x + 8 = 8; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. y 8 6 4 2 -4 x -2 0 -2 2 4 6 8 -4 -6 -8 № 874 y = 2x − 1; 8 y 6 а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1; x = Ошибка!; y = − 1; (0,5; 0); (0; − 1). 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8 www.5balls.ru x 2 4 6 8 59 б) При x = −3, y = 2 · (−3) − 1 = = −7. При x = −1, y = 2 · (−1) − 1 = = −3. При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3. При x = Ошибка!, y = 2 · Ошибка! − 1 = 0. в) 2x − 1 = 5; 2x − 1 = −1; 2x − 1 = 7; x = 3; x = 0; x = 4. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 875 y = − 0,5x + 2; а) −0,5x + 2 = 0; y = −0,5 · 0 + 2 = 2; x = 4; (4, 0); (0, 2). б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3. При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0. При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5. в) −0,5x + 2 = 1; x = 2; −0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. 8 y 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 x 2 4 6 8 -4 -6 -8 № 876 y = −3x + 6; а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1); y > 0; б) x = 2; в) x < 2; г) x > 2. 8 y 6 4 2 -8 -6 -4 60 -2 0 -2 -4 -6 -8 www.5balls.ru x 2 4 6 8 № 877 y = 2x − 6; а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0); y < 0; б) x = 3; в) x > 3; г) x < 3. 8 y 6 4 2 -8 -6 -4 x -2 0 -2 2 4 6 8 -4 -6 -8 № 878 y = 3x − 6; а) x > 2; б) x ≤ 2; в) x < 2; г) x ≥ 2. 8 y 6 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 x 2 4 6 8 -4 -6 -8 № 879 y = 4x + 4; а) x > −1; б) x ≤ −1; в) x < −1; г) x ≥ −1. 4 y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 www.5balls.ru x 1 2 3 4 61 № 880 y = −x − 2; а) x < −2; б) x ≥ −2; в) x > −2; г) x ≤ −2. 4 y 3 2 1 -4 -3 -2 x -1 0 -1 1 2 3 4 -2 -3 -4 № 881 y = −2x + 4; а) x < 2; б) x ≥ 2; в) x > 2; г) x ≤ 2. 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 № 882 y = 2x + 3; а) [0, 1]; y -4 б) [−2, 2]; 62 www.5balls.ru x 1 2 3 4 8 y 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 4 6 -8 -6 8 -4 -4 -6 -6 -8 -8 г) [−1, 1]. 16 y 8 12 6 8 4 4 4 8 12 16 2 4 6 8 y 2 x -4 0 -4 x -2 0 -2 -4 в) [1, 3]; -16 -12 -8 2 x 2 y -8 -6 x -2 0 -2 -4 -8 -4 -12 -6 -16 -8 2 4 6 8 № 883 б) (−2, ∞); y = 2x + 3; а) (−∞, 1); 8 y 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 -2 0 -2 2 x 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 -8 в) (−∞, −2); y x 2 4 6 8 -8 г) (0, ∞). 63 www.5balls.ru y 8 6 6 4 4 2 -8 -6 -4 2 x -2 0 -2 y 8 2 4 6 8 -8 -6 -4 -4 -4 -6 -6 -8 -8 № 884 y = 2x + 3; а) (−∞, 1]; x -2 0 -2 2 4 6 8 б) [−2, ∞); 10 Y 4 Y 2 5 X X -10 -5 0 5 10 -4 0 -2 -5 -2 -10 -4 г) [0, ∞). в) (−∞, −2]; 4 Y 4 2 4 Y 2 2 X X -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 -2 -2 -4 -4 64 www.5balls.ru 2 4 № 885 y = 2x + 3; а) (−2, 0); б) (−2, −1); 4 Y 4 2 Y 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 -2 -2 г) (−1, 3). 6 Y 8 4 2 2 X -2 0 -2 2 4 6 -8 -6 -4 4 6 8 -8 № 886 y = −3x + 1; а) [1, 2); б) (−2, 1]; Y 8 Y 6 4 4 2 2 X -4 x 2 -6 -6 -2 0 -2 -2 0 -2 -4 -4 6 y 6 4 -6 4 -4 в) (−1, 1); -4 2 -2 -4 -6 0 2 4 6 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 -8 X 2 4 6 8 65 www.5balls.ru в) [0, 1); г) (−1, 0]. 4 Y 6 3 4 2 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 X X 1 2 -6 3 4 -4 -2 0 -2 -2 4 6 -6 -4 № 887 y = −3x + 1; а) (−∞, 0]; б) (2, ∞); 6 Y 6 4 4 2 2 -2 0 -2 2 4 Y X X -4 2 -4 -3 -6 Y -6 6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -4 -6 -6 в) (−∞, 0); г) [1, +∞). 6 Y 6 4 Y 4 2 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 X -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 66 www.5balls.ru 2 4 6 № 888 y = −3x + 1; а) [0, 2]; 6 б) (1, 3); Y 8 6 4 4 2 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 2 4 6 8 -4 -6 -8 -6 в) [−1, 1); .г) (−2, 1]. 6 8 Y 4 2 2 X -2 0 -2 Y 6 4 -4 X -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 Y 2 4 6 -8 -6 -4 -2 0 -2 X 2 4 6 8 -4 -4 -6 -6 -8 № 889 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2. Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее. б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1. Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее. в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2. Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее. г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0. Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее. 67 www.5balls.ru № 890 Линейная функция монотонна, значит для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) 4 · (−1) − 1 = −5, 4 · 2 − 1 = 7. Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее. б) −2 · 0 + 5 = 5, −2 · 4 + 5 = −3. Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее. в) 3 · (−1) − 2 = −5, 3 · 1 − 2 = 1. Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее. г) −5 · 0 + 7 = 7, −5 · 2 + 7 = −3. Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее. № 891 y = 3x − 9; а) (3; 0), (0; −9); б) x < 3; в) x > 3; г) −6; −3. 12 Y 9 6 3 -12 -9 -6 -3 0 -3 X 3 6 9 12 -6 -9 -12 № 892 y = −2x + 6; а) (3; 0), (0; 6); б) [4, 5]; в) x < 3; г) −2; 8. 12 Y 9 6 3 -12 -9 -6 -3 0 -3 -6 -9 -12 68 www.5balls.ru X 3 6 9 12 № 893 y = x + 5; а) (−5; 0), (0; 5); б) x < −5; в) [0, 1]; г) 1; 6. 15 Y 10 5 X -15 -10 -5 0 -5 5 10 15 -10 -15 № 894 y = −3x + 6; а) (2; 0), (0; 6); б) [3, 8]; в) x < 2; г) 0; 3. 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 № 895 а) y = 7,5x + 45; б) y = 2,6x − 7,8; 7,5x + 45 = 0; y = 7,5 · 0 + 45; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8; x = −6; y = 45; x = 3; y = −7,8. Ответ: (−6; 0), (0; 45). Ответ: (3, 0), (0; −7,8). в) y = 3,4x − 27,2; г) y = 18,1x + 36,2; 3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2; x = 8; y = −27,2; x = 3; y = 36,2. Ответ: (8; 0), (0; −27,2). Ответ: (3, 0), (0; 36,2). 69 www.5balls.ru № 896 Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абциссы и ординаты точки в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5; а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит; б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит; в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит; г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит. № 896 а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. б) Функция убывает, значит наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно наименьего значения не существует. Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2. в) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1. г) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно наименьего значения не существует. Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4. № 898 а) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = Ошибка! · (−4) + 2 = 1, Ошибка! · 4 + 2 = 3. б) Функция возрастает, значит наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно наибольшего значения не существует. Наименьшее = Ошибка! · 0 + 2 = 2. в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно наимболшего значения не существует. Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно наибольшего и наименьшего значений не существует. 70 www.5balls.ru № 899 а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6). б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1). № 900 а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3). б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4). № 901 а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30). б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7). № 902 y = −5x + m; а) −5 · 1 + m = 2; m = 7; б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5; в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27; г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3. № 903 y = kx + 4; а) 3k + 4 = 5; k = Ошибка!; б) Ошибка!k + 4 = 1; k = −6; в) −6k + 4 = −8; k = 2; г) Ошибка!k + 4 = −8. k = −36. № 904 Так как функция y = 2x − 3 возрастает, А = 2 · 2 − 3 = 1. Так как функция y = 0,5x − 4 возрастает, B = 2 · 0,5 − 4 = −3. Следовательно, A > B. 6 Y 4 2 -6 -4 -2 0 -2 A 2 X 4 6 B -4 -6 № 905 Из того что функция y = x − 4 возрастает следует, что С = 0 − 4 = −4. 71 www.5balls.ru Из того что функция y = 4 − x убывает следует, что D = 4 − 1 = 3. Следовательно, D > C. 6 4 Y D 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 C -6 № 906 y = kx + m. а) Из того что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще извстно что функция проходит через втоорой координатный угол. Откуда следует, что m > 0. б) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извстно что функция проходит через первый координатный угол. Откуда следует, что m > 0. в) Из того что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0 . Но еще извстно что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0. г) Из того что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще извстно что функция проходит через третий координатный угол. Откуда следует, что m < 0. № 907 y = kx + m. 72 www.5balls.ru а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы, (не учитывая точку (0; 0) ) потомучто m = 0. Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы. б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0, следовательно график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы (не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0. Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы. № 908 y = p2 − 2px; а) p2 − 2p = 3; p2 − 2p − 3 = 0; p2 + p − 3p − 3 = 0; p(p + 1) − 3(p + 1) = 0; p = 3 или p = −1; в) p2 = −4; Но квадрат числа не может равнятся отрицательному числу, значит не при каких p. б) p2 = 9; p2 − 9 = 0; (p − 3)(p + 3) = 0; p = 3 или p = −3; г) p2 + 4p = 5; p2 + 4p − 5 = 0; p2 + p − 5p = 0; p(p + 1) − 5(p + 1) = 0; p = 5 или p = −1. § 30. Прямая пропорциональность и ее график № 909 а) да; б) да; в) да; г) да. № 910 а) да; б) да; в) да; г) нет, потомучто прямая пропорциональность задается уравнением вида y = kx, где k − произвольное число. № 911 а) 1; б) −8; в) 15; г) −1. № 912 а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4. 73 www.5balls.ru № 913 а) Ошибка!; б) − Ошибка!; в) − Ошибка!; г) Ошибка!. № 914 а) y = 5x; x y 0 0 1 5 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 б) y = −4x; x y 0 0 2 −8 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 -4 -6 в) y = −2x; x 0 y 0 3 −6 74 www.5balls.ru 4 6 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 г) y = 6x. x y 0 0 −1 −6 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 № 915 а) y = 2x; 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 б) y = −3x; 75 www.5balls.ru 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 в) y = −6x; 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -4 -6 г) y = x. 6 Y 4 2 X -6 -4 -2 0 -2 2 -4 -6 76 www.5balls.ru 4 6 № 916 а) S = 0,5t; б) S = −1,2t; s 6 s 6 4 4 2 2 t -6 -4 -2 0 -2 2 4 t 6 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 в) S = Ошибка!t; 6 2 4 6 г) S = −Ошибка!. 6 s s 4 4 2 2 t t -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 2 4 6 № 917 а) 3k = 12; k = 4, функция возрастает; б) 5k = 25; k = 5, функция возрастает; в) −9k = 45; k = −5, функция убывает; г) −11k = −99; k = 9, функция возрастает. 77 www.5balls.ru № 918 а) y = kx; 2k = 8; k = 4; y = 4x; 6 б) y = kx; −16k = 32; k = −2; y = −2x; Y 6 y 4 4 2 2 x X -6 -4 -2 0 -2 2 4 -6 6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 в) y = kx; 3k = −18; k = −6; y = −6x; 6 2 4 6 г) y = kx; 6k = 9; k = Ошибка!; y = Ошибка!x. y 6 y 4 4 2 2 x x -6 -4 -2 0 -2 2 4 6 -6 -4 -2 0 -2 -4 -4 -6 -6 № 919 B(1; 4). а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит; б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит; в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит; г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит. № 920 S = kt. а) 5k = 7; k = Ошибка! = 1,4; S = 1,4t; б) 2k = 8; k = 4; s = 4t; в) 3k = −9; k = −3; s = −3t; 78 www.5balls.ru 2 4 6 г) −4k = 12. k = −3; s = −3t. № 921 A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит; B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит; C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит; D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит. № 922 а) y = 4,5x. Внутри первого и третьего. 9 б) y = Ошибка!x. Внутри первого и третьего. y 8 6 6 4 3 x -9 -6 -3 0 -3 3 6 9 2 2 4 6 8 -4 -6 -9 -8 в) y = −2,5x. Внутри второго и четвертого. 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 x -8 -6 -4 -2 0 -2 -6 5 4 3 2 1 y г) y = − Ошибка!x. Внутри второго и четвертого. 12 y y 6 x x 1 2 3 4 5 -12 -6 0 6 12 -6 -12 79 www.5balls.ru № 923 y = 0,4x; а) 0; 2; 4; −2; б) 0; 5; 10; −5; в) y > 0; г) y < 0. 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 № 924 y = −2,5x; а) 0; −5; 5; б) 0; 2; −2; в) y ≥ 0; г) y ≤ 0. 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 1 2 3 4 5 y x 1 2 3 4 5 № 925 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 3. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит наибольшего значения не существует. Ответ: 3 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит наименьшего значения не существует. Ответ: −3 − наибольшее. г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: −3; 3. 80 www.5balls.ru № 926 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (конец промежутка в промежуток не включается), следовательно, наименьшего значения не существует. Ответ: 4 − наибольшее. б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: 0 − наименьшее. № 927 а) y = 2x; б) y = −x; в) y = Ошибка!x; г) y = −3x. № 928 Из того, что функция возрастает, следует что знак углового коэфициента линейной функции − «+». А из того что функция убывает, следует, что знак углового коэфициента линейной функции − «−»; а) положителен; б) положителен; в) отрицателен; г) отрицателен. № 929 а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0. № 930 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 2. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. 81 www.5balls.ru в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 931 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Ответ: −3; 3. б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит наименьшего значения не существует. Ответ: 3 − наибольшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: −3 − наименьшее. № 932 12 y y=x+3 6 x -12 -6 0 6 -6 12 y = -3x y = 3x -12 № 933 а) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются; б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3). в) Задание не корректно, так как прямые паралельны и значит не пересекаются; г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4). 82 www.5balls.ru № 934 а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −Ошибка!x − 2. № 935 а) y = Ошибка!x + 2; б) y = −2x − 4; в) Ошибка!x − 4; г) 1,5x + 2. § 31. Взаимное расположение графиков линейных функций № 936 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) паралельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются. № 937 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) совпадают; б) пересекаются; в) паралельны; г) пересекаются. № 938 Если угловые коэфициенты прямых совпадают, то прямые паралельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) паралельны; б) паралельны; в) совпадают; г) паралельны. № 939 а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x; б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11. № 940 а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7; б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11. 83 www.5balls.ru № 941 а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4; б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2. № 942 а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7; б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9. № 943 а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3. г) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. № 944 а) Задание определено не корректно, потомучто какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3; г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5. № 945 а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5). б) Задание не корректно, потому что прямые паралельны. в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4). г) Задание не корректно, потому что прямые паралельны. № 946 а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 17); б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1. Ответ: (1; 1). в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; −8); г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2. Ответ: (1; −2). 84 www.5balls.ru № 947 а) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны. б) Прямые совпадают, следовательно точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4). в) Задание не корректно, потомучто прямые паралельны. г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0. Ответ: (0; 0). № 948 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 949 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 950 a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; 2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5; (0; 5) − точка пересечения. № 951 Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax. Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пересекается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0. Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй координатный угол. Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму координатному углу). Значит, m < 0. Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0 № 952 Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b. 1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через первый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0. 2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0. Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0. 85 www.5balls.ru ГЛАВА 7. Функция y = x2 § 32. Функция y = x 2 и ее график № 953 а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0. № 954 а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25. № 955 2 2 2 а) 49 4 1 7 y = 2 = = =5 ; 9 9 3 3 в) 1 169 9 13 y = − 3 = − = = 10 4 16 16 4 2 1 4 7 y = − 2 = − = 5 3 9 3 г) 9 1 13 y = 3 = = 10 16 4 3 2 2 ; 2 б) № 956 а) x2 = 4; б) x2 = 9; x2 − 4 = 0; x2 − 9 = 0; (x − 2)(x + 2) = 0; (x − 3)(x + 3) = 0; x = 2; x = − 2; x = 3; x = − 3; в) x2 = 1; г) x2 = 16; x2 − 1 = 0; x2 − 16 = 0; (x − 1)(x + 1) = 0; (x − 4)(x + 4)= 0; x = 1; x = − 1; x = 4; x =− 4. № 957 а) x2 = 0,25; б) x2 = 6,25; x2 − 0,25 = 0; x2 − 6,25 = 0; (x − 0,5)(x + 0,5) = 0; (x − 2,5)(x + 2,5) = 0; x = 0,5; x = − 0,5; x = 2,5; x = − 2,5; в) x2 = 2,25; г) x2 = 0; x2 − 2,25 = 0; x = 0. (x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5; № 958 а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5. № 959 а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2; г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0. 86 www.5balls.ru 2 . ; № 960 а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит; в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит. № 961 а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит; б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит; в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит; г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит. № 962 Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовлетворяют уравнению функции. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что: а) да; б) да; в) да; г) нет. № 963 6 y = x2; y 0 1 −1 2 −2 x 0 1 1 4 4 Y 5 4 3 а) при x = 0; 2 б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞; 1 в) ни при каких x. -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 -2 № 964 а) наибольшее 1; б) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее 0; [− 1;1]; [− 3;2]; в) наибольшее не существует; г) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее 0; (− 2;1]; [− 1;3]. № 965 а) наибольшее не существует; б) наибольшее 9 наименьшее 0; наименьшее 0; [− 2;3); [− 3;0]; в) наибольшее 9; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; [− 2;3]; (− 3;2). 87 www.5balls.ru № 966 а) наибольшее 4; б) наибольшее 9; наименьшее 0; наименьшее (− 1); (− 2;2]; [− 3;− 1]; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; (− 2;3); (− 1;3). № 967 а) наибольшее 9; б) наибольшее 9; наименьшее не существует; наименьшее не существует; [− 3;−2); ( 2;3]; в) наибольшее 9; г) наибольшее 9; наименьшее не существует; наименьшее не существует; (0;3); [− 3;− 1). № 968 Во всех пунктах, на отрезках функция возврастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем на концах отрезка; а) наибольшее 4; б) наибольшее 22 = 4; наименьшее 1; наименьшее 02 = 0; в) наибольшее 12 = 1; г) наибольшее 32 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее 22 = 4. № 969 а) наибольшее (− 1) 2 = 1; б) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее 02= 0; наименьшее (− 1) 2 = 1; в) наибольшее (− 2) 2 = 4; г) наибольшее (− 3) 2 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее (− 1) 2 = 1. № 970 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения. а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9. № 971 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все зачения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. № 972 а) 0; б)12 = 1; 88 www.5balls.ru в) 22 = 4; г) 32 = 9. № 973 а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. № 974 а) x2 = 1; б) x2 = 0; в) x2 = 4; г) x2 = − 3; x2 − 1 = 0; x = 0; x2 − 4 = 0; решений нет; x = 1; x = − 1; (1;1), (− 1;1); x = 2; x = − 2; (0;0); точек пересечения (2;4), (− 2;4); нет. № 975 а) x2 = 2x; б) x2 = − 3x; в) x2 = x; г) x2 = − x; x2 − 2x = 0; x2 + 3x = 0; x2 − x = 0; x2 + x = 0; x(x − 2) = 0; x(x + 3) = 0; x(x − 1) = 0; x(x + 1) = 0; x = 0; x = 2; x = 0; x = − 3; x = 0; x = 1; x = 0; x = − 1. № 976 а) x2 = x + 2; б) x2 = x − 3; x2 − x − 2 = 0; x2 − x + 3; 1 3 +2 =0; 4 4 x2 + x − 2x − 2 = 0; x2 − x + x(x + 1) − 2(x + 1) = 0; 1 3 x − = −2 2 4 (x + 1)(x − 2) =0; решений нет, значит, нет точек x = 2; x = − 1; пересечения; 2 ; (2;4), (− 1;1); в) x2 = − x + 2; г) x2 = x − 5; x2 + x − 2 = 0; x2 − x + 5 = 0; 1 3 +4 =0; 4 4 x2 − x + 2x − 2 = 0; x2 − x + x(x − 1) + 2(x − 1) = 0; 1 3 x − = −4 2 4 (x − 1)(x + 2) =0; решений нет, значит, нет точек x = − 2; x = 1; пересечения. 2 ; (− 2;4), (1;1); № 977 а) x2 = 2x + 3; б) x2 = − Ошибка!− 5; 89 www.5balls.ru 5 x+5 = 0 ; 3 5 25 9 x2 + x + +4 = 0; 3 36 36 x2 + x2 − 2x − 3 = 0; x2 + x − 3x − 3 = 0; 2 (x + 1)(x − 3) = 0; 5 9 x + = −4 ; 6 36 x = 3; x = − 1; решений нет, значит, нет точек (3;9), (− 1;1); пересечения; в) x2 = 3 − 2x; г) x2 = 5 x −5; 3 5 x2 − x + 5 = 0 ; 3 5 25 9 2 x − x+ = −4 3 36 36 x2 + 2x − 3 = 0; x2 − x + 3x − 3 = 0; ; 2 x(x − 1) + 3(x − 1) = 0; 5 9 x − = −4 ; 6 36 (x − 1)(x + 3) =0; решений нет, значит, нет точек x = − 3; x = 1; пересечения. (1;1), (− 3;9); № 978 а) (1;3); б) (− 2;2); Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 90 www.5balls.ru -2 0 2 4 в) (0;2); г) (− 2;− 1). Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 X -4 4 -2 0 2 4 № 979 а) (0;+ ∞); б) (− 1;+ ∞); Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X X -4 -2 0 2 -4 4 в) (− ∞;− 0,5); 0 -2 2 4 г) (− ∞;0). Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 -2 0 2 4 91 www.5balls.ru № 980 а) (− ∞;1]; б) (− ∞;− 2]; Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 0 -2 2 X -4 4 в) [2;+ ∞); -2 0 2 4 г) [1;+ ∞). Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X X -4 -2 0 2 -4 4 0 -2 2 4 № 981 а) [0,1); б) [0;2); Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X X -4 -2 0 2 4 -4 92 www.5balls.ru -2 0 2 4 в) (0;3]; г) (0;2,5]. Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 0 -2 2 4 2 4 № 982 а) (− 1;3]; б) (− 1;1]; Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 X -4 4 в) [− 1;0); 0 -2 г) [− 1;2). Y Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 -2 0 2 4 93 www.5balls.ru № 983 а) наибольшее 22 = 4; б) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 984 а) наибольшее не существует; б) наибольшее не существует; наименьшее 0,52 = 0,25; наименьшее 0; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 985 Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит наибольшего значения не существует. Найдем наименьшее значение: 1 5 2 а) 0; б) 0; в) 0; г) − = 1 . 25 Y № 986 A = 0; B = (− 3) 2 = 9, значит, B > A. B 8 6 4 2 X -4 № 987 C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1, следовательно, C > D. 0 -2 A 2 4 Y y = x2 8 6 4 C 2 D -4 y = 2x + 3 94 www.5balls.ru -2 X 0 2 4 № 988 M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N. y = x2 Y M 8 6 4 y=x 2 X -4 0 -2 2 4 N № 989 y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно L = N. Y 8 6 4 L -4 -2 2 N 0 X 2 4 2 4 № 990 y = x2, P = 0, Q = 0; значит P = Q. Y 8 6 4 2 -4 -2 0 Q @ P X 95 www.5balls.ru № 991 y = x2; Y y = x2 y = x + 2; 8 A = 22 = 4, 6 B = 3 + 2 = 5. B 4 A 2 y=x+2 X -4 0 -2 2 4 № 992 A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B. № 993 y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0. Оно и будет наименьшим, значит R = S. № 994 а) x2 = 2x − 1; x2 − 2x + 1 = 0; (x − 1) 2 = 0; x = 1; y = 1. Ответ: (1;1). б) x2 = 4x − 4; x2 − 4x + 4 = 0; (x − 2) 2 = 0; x = 2; y = 4. Ответ: (2;4). в) x2 = − 2x − 1; x2 + 2x + 1 = 0; (x + 1) 2 = 0; x = − 1; y = 1. Ответ: (− 1;1). г) x2 = − 4x − 4; x2 + 4x + 4 = 0; (x + 2) 2 = 0; x = − 2; y = 4. Ответ: (− 2;4). § 33. Графическое решение уравнений № 995 а) в) Y Y y = –x 4 y=x+3 4 2 y = 3x – 4 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 -2 0 -2 -2 -4 -4 y = 2x + 1 Ответ: (2;5). Ответ: (1;− 1) 96 www.5balls.ru 2 4 б) г) y=9 Y Y 10 8 8 6 6 y = –x 4 4 2 -9 -6 X 0 -3 2 X 3 -2 -4 -2 0 2 Ответ: (− 9;9). Ответ: (− 2;4); (0;0). № 996 а) x2 = 1. б) x2 = 4. Y 8 y = x2 y=x Y 2 8 6 6 y=4 4 4 2 y=1 4 2 X -4 -2 0 2 4 -4 Ответ: x = 1, x = − 1. в) x2 = 0. -2 2 4 Ответ: x = 2, x = − 2. г) x2 = − 1. Y y = x2 X 0 Y y = x2 8 8 6 6 4 4 y=0 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 -2 0 2 4 y = –1 Ответ: x = 0. Ответ: решений нет. 97 www.5balls.ru № 997 а) x2 = 2x. б) x2 = − 3x. Y y = x2 Y 8 8 6 6 y = 2x 4 y = x2 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 0 -2 2 4 y = –3x Ответ: x = 0, x = 2. в) x2 = − 3x. Ответ: x = 0, x = 3. г) x2 = 3x. Y 8 Y y = x2 y = x2 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 y = –3x 4 X -4 0 -2 2 y = 3x Ответ: x = 0, x = 2. Ответ: x = 0, x = − 3. № 998 а) x2 = x + 6. б) x2 = − x + 2. y = x2 Y 8 y=x+6 8 y = –x + 2 6 6 4 4 4 Y y = x2 2 2 X X -4 -2 0 Ответ: x = − 2, x = 3. 2 4 -4 -2 0 Ответ: x = − 2, x = 1 98 www.5balls.ru 2 . 4 в) x2 = x + 2. y=x г) x2 = 3x. Y 2 Y y = x2 8 8 y=x+2 6 6 4 4 2 y = 3x 2 X -4 0 -2 2 X 4 -4 0 -2 2 Ответ: x = − 1, x = 2. Ответ: x = 0, x = 3. № 999 а) x2 = 2x + 3. б) x2 = − 3x − 2. y=x Y 2 8 8 6 6 y = –3x– 2 4 Y y = x2 4 2 2 y = 2x + 3 -4 4 X X 0 -2 2 Ответ: x = − 1, x = 3. в) x2 = − 2x + 3. Y -4 4 0 -2 4 Ответ: x = − 2, x = − 1. г) x2 = 3x − 2. Y y = x2 y=x 8 2 8 6 6 4 4 2 2 y = 3x – 2 2 y = –2x+ 3 X X -4 -2 0 Ответ: x = − 3, x = 1. 2 4 -4 -2 0 2 4 Ответ: x = 1, x = 2. 99 www.5balls.ru № 1000 а) x = − x + 4; 2x = 4; x = 2; y = − 2 + 4 = 2. Ответ: (2;2). б) x = x2; x2 − x = 0; x = 0, y = 0; x = 1 y = 1. Ответ: (0;0),(1;1). № 1001 а) 3x = 2x − 4; x = − 4; y = 3 · (− 4) = − 12. Ответ: (− 4;− 12). б) − x = x2; x2 + x = 0; x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1. Ответ: (− 1;1). № 1002 а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3. б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3. Y y=x 8 Y y = x2 2 8 6 6 4 4 y = –2x + 3 2 2 X -4 0 -2 2 4 X -4 -2 0 2 4 y = 4x – 3 Ответ: x = − 3, x = 1. 2 Ответ: x = 1, x = 3. 2 г) x2 − x = 6; x2 = x + 6. в) x + 4x + 3; x = − 4x − 3. y = –4x – 3 Y Y y = x2 8 8 y = x2 6 6 y=x+6 4 4 2 2 X X -4 -2 0 Ответ: x = − 3, x = − 1. 2 4 -4 -2 0 2 Ответ: x = − 2, x = 3. 100 www.5balls.ru 4 № 1003 а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2. 4 3 2 1 -3 -2 y=x 2 y = x2 X -1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -3 -2 3 y = –x – 2 2 1 2 3 Y 4 3 2 1 X 1 X Ответ: решений нет. г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8. Y -1 -10 Y 4 3 2 1 -3 -2 -1 -10 -2 -3 y = x – 4 -4 -5 -6 -7 -8 Ответ: решений нет. в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6. 4 3 2 1 б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4. Y 3 -3 -2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 X -1 -10 1 2 3 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Ответ: решений нет. Ответ: решений нет. № 1004 а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1. в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1. 8 8 6 6 4 4 Y y=x Y y = x2 2 y = 2x – 1 2 y = –2x – 1 2 X X -4 -2 Ответ: x = 1. 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Ответ: x = − 1. 101 www.5balls.ru б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4. 4 3 2 1 -3 -2 г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4. Y 4 3 2 1 X -1 -10 1 2 3 -3 -2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Ответ: x = − 2. № 1005 а) x2 = 1,5x − 6. -2 -3 -2 2 3 б) x2 = Ошибка!x − 5. Y y = x2 4 3 2 1 -1-10 4 3 2 1 y = x2 X -1 -10 1 2 -3 3 -2 4 3 2 1 X -2 -3 -4 y = –1,5x – 6 -5 -6 -7 -8 Ответ: решений нет. X 1 y= 2 3 5 x–5 3 Ответ: решений нет. г) x2 = − Ошибка!x − 5. Y 1 Y -1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 y = –1,5x – 6 Ответ: решений нет. в) x2 = − 1,5x − 6. y=x 1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 X -1 -10 Ответ: x = 2. 4 3 2 1 -3 Y 2 3 -3 y=– -2 5 3 -1-10 Y y = x2 X 1 2 -2 -3 -4 x – 5-5 -6 -7 -8 Ответ: решений нет. 102 www.5balls.ru 3 § 34. Что означает в математике запись y = f(x) № 1006 а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4. № 1007 а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a. № 1008 а) 8(b + 2) = 8b + 16; в) 8(b − 8) = 8b − 64; б) 8(b − 1) = 8b − 8; г) 8(b + 7) = 8b + 56. № 1009 а) 5 · Ошибка!+ 6 = 5,25 + 6 = 11,25; б) 5 · (− 3) + 6 = − 9; в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5; г) 5 · 6Ошибка!+ 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32 + 6=38. № 1010 а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6. № 1011 а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11; в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1; б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8; г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24. № 1012 а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6. № 1013 а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14; в) − 3x + 2 − 2 = − 3x; б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4; г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2. № 1014 а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2; в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2; б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2; г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2. № 1015 а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7; б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5; в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9; г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1. № 1016 а) 3,7x − 5,2; б) 3,7x2 − 5,2; в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2; г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x. 103 www.5balls.ru № 1017 а) 4; б) 9a2; в) 9; г) Ошибка!a2. № 1018 а) x2; в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25; б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4; г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x. № 1019 а) (x2) 2 = x4; в) (x3) 2 = x6; б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4; г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2. № 1020 а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10. № 1021 а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5. № 1022 а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5. № 1023 x2 f(x)= − 4x + 7 x < −4 ,5 ; x ≥ 4 ,5 а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25; в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5; б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23; г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25. № 1024 −4 ≤ x ≤ 0 −2 ; 4 7 0 < x <1 x − + а) y = 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -10 -2 y = –2 -3 -4 x2 б) y = 9 Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y = –4х + 7 X 2 −2≤ x ≤3 . 3< x≤5 4 -4 104 www.5balls.ru -2 -10 Y y=9 y = х2 X 2 4 № 1025 x2 x 2 x −3 ≤ x ≤ 0 ; 0<x≤4 а) y = x б) y = Y y = х2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 6 4 y=х 2 X 0 -2 2 4 −2 ≤ x ≤ 0 . x>0 Y y = х2 X -4 -2 -10 -2 y=х 2 4 № 1026 − 4 ≤ x ≤ −1 1 ; 2 + 3 −1 < x ≤ 1 x − 5 ≤ x ≤ −2 0 . + 2 −2< x ≤ 2 x а) y = 6 Y 6 y = 2х + 3 5 5 4 4 3 3 1 -2 Y y=х+2 2 2 y=1 -4 б) y = X 0 -1 2 -4 4 1 y=0 -2 X 0 -1 2 4 № 1027 x + 3 − 2 ≤ x ≤ −1 ; 2 −1 < x ≤ 2 x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -2 -10 x2 − 3 ≤ x ≤ −2 2 x + 8 −2 < x ≤ 0 б) y = а) y = Y . Y 8 6 4 2 X X 2 4 -4 -2 0 2 4 105 www.5balls.ru № 1028 а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия); б) y = 9 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); 0 < x ≤ 4 промежуток возврастания (из графика); г) точек разрыва нет. № 1029 а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия); б) y = 4 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); − 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возврастания (из графика); г) x = − 1 точка разрыва (из графика). № 1030 x2 − 4 ≤ x ≤ 1 ; f(x)= 2 x 1 < x ≤ 5 а) f(− 4) = (− 4)2 = 16; б) f(1) = 12 = 1; в) f(− 4,5) не корректно; т.к. x = − 4,5; не пренадлежит области определения; г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8. № 1031 а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1; б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно. № 1032 а) f(− 3) = − (− 3) + 3,4 = 3 + 3,4 = 6,4; б) f(− 2) = − 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9; в) f(3) = − 2 · 3 + 5 = − 6 + 5 = − 1; г) f(4) = 42 = 16. № 1033 а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2; б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25; в) f(3,5) = 3,52 = 12,25; г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2. 106 www.5balls.ru № 1034 5 x<0 ; − 2 x ≥ 0 а) y = 5 5 y 4 4 3 3 2 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 y 1 x 1 2 3 4 -5 -4 5 -3 -2 x -1 0 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 1 2 3 4 5 1 x > 0 . 4 x ≤ 0 б) y = 3 − 7 в) y = x≤0 x>0 3 ; y 6 5 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 4 x 1 2 3 4 3 5 2 1 -2 -3 -4 y -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -5 -2 -6 -3 -7 -4 x 1 2 3 4 5 6 x≥0 . − 1 x < 0 г) y = 107 www.5balls.ru № 1035 x2 а) y = x x2 − 2 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1 − 1 − 4 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1 x2 1< x ≤ 3 б) y = 2 x ; 1< x ≤ 2 Y . Y 8 8 6 6 4 4 2 2 X -4 -2 0 2 4 X -4 0 -2 2 4 № 1036 x + 2 − 4 ≤ x ≤ −1 а) y = 0 −1 < x ≤ 1 x2 1< x ≤ 3 x − 6 ≤ x ≤ −2 2 2 −2 < x ≤1 б) y = x 3 − 2 x 1< x ≤ 5 y 4 ; Y 8 2 x 6 -6 X -2 -2 0 2 -4 2 -4 -4 -2 4 0 . 2 4 -6 -8 № 1037 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при x > 0; убывает при x < 0; 108 www.5balls.ru 4 6 б) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x > 0; значение функции меньше нуля при x < 0; возврастает при − ∞ < x < 1; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает при − 2 < x < ∞; г) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю не существует; значение функции больше нуля на всей числовой оси; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 2 < x < ∞. № 1038 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает на всей числовой оси; б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞; значение функции меньше нуля отсутствует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; 109 www.5balls.ru г) область определения − 2 < x < 5; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0. № 1039 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0; б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2; значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0; возврастает при − 2 < x < 2; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0; г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0. № 1040 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при x > 0; убывает при x < 0; 110 www.5balls.ru б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0; в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0; г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при на всей области определения кроме точки x = 0; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞; убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0. № 1041 x>0 ; x<0 б) y = 2 − ∞ < x < −2 ; − x − 2 ≤ x < ∞ г) y = x − x а) y = 2 x − ∞ < x < 2 ; 2≤x<∞ 2 2 − ∞ < x < 2 . x 2 ≤ x < ∞ в) y = № 1042 x2 x2 −∞ < x < 0 ; − x 0 ≤ x < ∞ а) y = 1 2 x в) y = − 5 ≤ x < −1 −1 ≤ x ≤ 2 б) y = 4 x2 г) y = ; x −1 < x < 2 ; 2≤x<∞ −2 < x <1 . 1≤ x < 5 № 1043 x2 а) y = x 2 −∞ < x < 0 0≤ x<2 2≤ x<∞ ; −2 − 4 ≤ x < −2 −2 ≤ x <1 3 x − 2 1≤ x ≤ 2 б) y = x ; 111 www.5balls.ru − x − ∞ < x < 0 0 ≤ x <1 3 1≤ x < ∞ в) y = 3x − 5 < x < −1 −1 ≤ x < 0 3 г) y = − 3 x ; x2 . 0≤x<2 № 1044 x2 а) y = x − x − 4 < x < −1 −1 ≤ x < 1 2x 1≤ x < ∞ −∞ < x <1 ; 1≤ x < ∞ б) y = x 2 − 2 x − ∞ < x < 0 0 ≤ x <1 в) y = 3 x 3x 1< x < ∞ x2 г) y = x 2 x2 ; − ∞ < x < −1 −1 < x < 2 2<x<∞ № 1045 x2 f(x)= 0 −2≤ x ≤ 0 0< x≤3 ; а) f(− 2) = (−2)2 = 4, f(0) = 02 = 0, f(2) = 0, f(− 1) = (− 1)2 = 1, f(3) = 0; б) 6 Y 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 -2 в) область определения − 4 < x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3; значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; убывает при − 2 < x < 0. 112 www.5balls.ru ; . № 1046 x2 − 2 ≤ x ≤ 0 f ( x ) = 4 x 0 < x ≤ 1 4 1< x < 3 ; а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4; б) 6 Y 5 4 3 2 1 -3 X -1 0 -1 -2 1 2 3 -2 в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1047 − 1 − 3 ≤ x ≤ −1 f ( x ) = x2 − 1 < x ≤ 1 x 1< x ≤ 6 ; а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5; б) y 6 4 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 113 www.5balls.ru в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6; наименьшее y = 0; наибольшее y = 6; функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6; значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1; возврастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1048 − 3 ≤ x ≤ −1 1 f ( x ) = x2 −1 < x ≤ 2 2 x + 2 2<x<4 ; а) f(− 3) = 1, f(2) = 22 = 4, f(0) = 02 = 0, f(− 1) = 1, 2 1 1 1 f = = ; 2 2 4 б) 10 9 8 7 6 y 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 x 1 2 3 4 5 в) область определения − 3 ≤ x < 4; наименьшее y = 0; наибольшее y = 10; функция не является непрерывной; точка разрыва x = 2; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4; значение функции меньше нуля при отсутствует; возврастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4; убывает при − 1 < x < 0. 114 www.5balls.ru № 1049 а) y = 2x2 = 2x ; x y y 4 4 2 2 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 5 -2 -2 -4 -4 б) y = − 1 2 3 4 5 x2 = −x . x № 1050 а) y = x2 − 9 = x+3 ; x−3 y y 4 4 2 2 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 -2 -2 -4 -4 б) y = 1 2 3 4 5 x2 − 4 = x−2. x+2 115 www.5balls.ru № 1051 а) y = x3 + 3x 2 = x2 ; x+3 б) y = x3 − x 2 = x2 . x −1 Y 6 8 5 4 6 3 4 2 1 2 X -4 -2 Y 0 2 -3 -2 4 -1 X 0 -1 1 2 3 -2 № 1052 а) y = x4 − x2 = x2 ; (x − 1)(x + 1) 6 б) y = Y 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 -3 -2 x4 − 4 x2 = x2 . (x − 2)(x + 2) -1 0 -1 1 X 1 2 3 Y -3 -2 -2 -1 0 -1 -2 116 www.5balls.ru X 1 2 3 ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными § 35. Основные понятия № 1053 (1;1) а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является; б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является; в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является; г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является. № 1054 3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5). № 1055 а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8. № 1056 x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8), (8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1). № 1057 4 x − 7 y = 30 4 ⋅ 60 − 7 ⋅ 30 = 30 . 4 x − 5 y = 90 4 ⋅ 60 − 5 ⋅ 30 = 90 а) Данная пара чисел (60;30) является решением системы. 3 x + 5 y = 330 3 ⋅ 60 + 5 ⋅ 30 = 330 . 6 x − 8 y = 110 6 ⋅ 60 − 8 ⋅ 30 ≠ 110 б) Данная пара чисел (60;30) не является решением системы. № 1058 2 x + 11 y = 15 ; 10 x − 11y = 9 2 ⋅ 20 + 11 ⋅ 18 ≠ 15 10 ⋅ 20 − 11 ⋅ 18 ≠ 9 а) (20;18); ; не является решением системы; 2 ⋅ 2 + 11 ⋅ 1 = 15 ; 10 ⋅ 2 − 11 ⋅ 1 = 9 б) (2;1); является решением системы; 117 www.5balls.ru 2 ⋅ 1 + 11 ⋅ 2 ≠ 15 ; 10 ⋅ 1 − 11 ⋅ 2 ≠ 9 в) (1;2); не является решением системы; 2 ⋅ 3 + 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 15 ; 10 ⋅ 3 − 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 9 г) (3;– 1); не является решением системы. № 1059 4 x − 3 y = 7 ; 5 x + 2 y = 26 4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ≠ 7 ; 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ≠ 26 а) (1;2); не является решением системы; 4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 = 7 ; 5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 26 б) (4;3); является решением системы; в)(– 2;– 5); 4 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ ( −5 ) = 7 ; 5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ ( −5 ) ≠ 26 не является решением системы; г) (0;1); 4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 ≠ 7 ; 5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ≠ 26 не является решением системы. № 1060 (12;15); x + y = 27 12 + 15 = 27 27 = 27 ; 2 x − 4 y = −36 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 15 = −36 − 36 = −36 2 x − y = 9 2 ⋅ 12 − 15 = 9 9 = 9 б) . 4 y = 5 x 4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 60 = 60 а) № 1061 x – y = 2; x + y =8; а) (10;8); б) (6;2); в) (5;3); г) (100;100). 118 www.5balls.ru № 1062 x = y y = x . 3 x − y = 4 y = 3x − 4 −3x + y = 0 y = 3 x . 4 x − y = 3 y = 4 x − 3 а) в) Y 12 Y 5 4 3 2 1 -4 9 6 3 X X -2 -10 -2 -3 -4 -5 2 -6 4 -4 -2 0 4 6 -6 Ответ: (2;2). Ответ: (3;9). y = 5x ; 3x + y = 0 x − 4 y = 0 ; x + y = 5 г) б) x y = . 4 y = 5 − x y = 5x . y = −3x 6 Y 4 3 4 2 2 -4 -3 -2 -1 0 -2 Y 5 6 1 X 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 4 5 6 -2 -4 -3 -6 Ответ: (0;0). 2 -3 Ответ: (4;1). 119 www.5balls.ru № 1063 x − y = 1 ; x + 3 y = 9 а) y = x −1 x. y = 3 − 3 Y 6 5 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -4 -3 3 6 Ответ: (3;2). 3 x − 2 y = 12 в) x + 2 y = −4 3 y = 2 x − 6 . y = − x − 2 2 4 Y 2 -6 -4 -2 0 X 2 -2 -4 -6 -8 Ответ: (2;– 3). 120 www.5balls.ru 4 6 2 x + y = 1 ; 2 x + y = 3 в) y = 1 − 2x . y = 3 − 2x 4 Y 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 4 -2 -3 -4 Ответ: решений нет, т.к. прямые не пересекаются. x − 3y = 2 г) 2 x − 6 y = 4 x 2 y = 3 − 3 . y = x − 2 3 3 4 Y 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 X 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 Ответ: решений бесконечно много, т. к. прямые совпадают. 121 www.5balls.ru № 1064 x + y = −5 ; 3x − y = −7 x − 2 y = 1 ; y − x = 1 б) а) x 1 y = − 2 2. y = x +1 y = −5 − x . y = 3x + 7 Y 4 8 3 6 2 4 1 2 -6 -4 -2 Y X 0 -2 -4 2 X 0 -2 -1 2 4 -2 -4 -3 -6 -4 Ответ: (– 3;– 2). Ответ: (– 3;2). № 1065 x − 2 y = 7 ; 3 x + 2 y = 5 x + y = −2 ; 2 x − y = −4 б) а) x − 2 y = 7 . 3x + 2 y = 5 4 y = −2 − x . y = 2x + 4 Y 5 3 4 2 3 1 -2 0 -1 -2 2 X 2 4 6 1 8 -4 -2 0 -1 -3 -2 -4 -3 Ответ: (– 3;2). Y Ответ: (– 2;0). 122 www.5balls.ru X 2 № 1066 x 8 y = 3 − 3 . y = 2 x − 10 3 3 x − 3y = 8 а) 2 x − 3 y = 10 Y X 1 2 3 4 5 6 7 X -2 -10 -2 -3 -4 -5 -3 -6 Ответ: (2;– 2). № 1067 а) (0;6); Y 5 4 3 2 1 3 -3 -2 -1 0 y = 3x − 4 2 10 . y = − 3 x + 3 3 x − y = 4 2 x + 3 y = 10 б) 2 4 6 Ответ: (2;2). б) (– 3;– 4); в) (– 1;2); г) (5;– 7). 5 x − 3 y = −18 2 x − 4 y = 10 3 x + 4 y = 5 2 x + y = 3 . 7 x + 2 y = 12 x + 5 y = −23 6 x − y = −8 10 x + 5 y = 15 № 1068 5 x − 2 y = 6 а) 7 x + 2 y = 12 5 4 3 2 1 -4 -2 -10 -2 -3 -4 -5 5 y = 2 x − 3 . y = − 7 x + 3 2 Y 6 5 4 3 2 1 X 2 Ответ: (1;– Ошибка!). 4 7 1 y = 3 x + 3 . y = 4 x + 17 5 5 7 x − 3 y = −1 б) 4 x − 5 y = −17 6 -4 -2 -10 -2 -3 -4 Y X 2 4 Ответ: (2;5). 123 www.5balls.ru № 1069 x + y = 8 ; x − y = 4 2 x + y = 1 ; 2 x − y = 7 а) б) y = 8 − x . y = x − 4 y = 1 − 2x . y = 2x − 7 Y 8 Y 4 2 X X -4 0 4 -6 8 -4 0 -2 2 4 6 -2 -4 -4 -6 -8 Ответ: (6;2). Ответ: (2,– 3). x − y = 15 ; 3x + y = 5 4 x + 3 y = 6 ; 2 x + y = 4 в) г) 4 y = 2 − x 3 . y = 4 − 2x y = x − 15 . y = −3x + 5 6 Y 4 10 2 Y 5 X X -4 -2 0 2 4 6 -10 -5 0 -5 -2 -10 -4 -15 -20 Ответ: (3;– 2). 124 Ответ: (5;– 10). www.5balls.ru 5 10 15 20 № 1070 6 4 y = 5 x − 5 . y = 6 x − 1 5 2 6 x − 5 y = 4 а) 12 x − 10 y = 5 1 y = x −1 x − y = 1 2. − = 3 x 3 y 2 y = x − 3 б) Y Y 1.5 1 0.5 X 0 -1 1 -1.5 X -0.5 0 -0.5 -1 0.5 1 1.5 -1 -1 -1.5 Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны. 8 x + 7 y = 2 в) 16 x + 14 y = 3 0.4 Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны. 8 2 y = − 7 x + 7 . y = − 8 + 3 7 16 2 x + 3 y = 12 г) 4 x + 6 y = 0 6 Y 2 y = − 3 x + 4 . y = − 2 x 3 Y 4 2 0.2 X -2 X 0 0.2 Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны. 0 2 4 6 -2 0.4 -4 Ответ: решений нет, т.к. прямые паралельны. 125 www.5balls.ru № 1071 x + y = 0 y = −x ; 5 x + 5 y = 0 y = −x а) уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 1 y = x − 2 ; y = x − 1 2 8 x − 8 y = 4 б) 2 x − 2 y = 1 уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 12 x + 12 y = 24 y = 2 − x ; x + y = 2 y = 2 − x в) уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений; 3 x − y = 5 y = 3x − 5 ; 12 x − 4 y = 20 y = 3x − 5 г) уравнения равны следовательно система имеет бесконечно много решений. № 1072 3 y = x − 4 ; 2 y = x − 4 а) 3x – 2y = 8 5 1 y = x + 4 4; y = x б) – 5x + 4y = 1 3 2 y = − x − 7 7; y = 2x + 1 в) – 3x – 7y = 2 5 3 y = − x + 6 2. y = x + 6 г) 5x + 6y = 9 № 1073 16 x + 2 y = 10 3 x − 2 y = 1 7 x + 8 y = 4 x − y = 3 ; б) ; в) ; г) . 8 x + y = 5 6 x − 4 y = 2 14 x + 16 y = 8 5 x − 5 y = 15 а) 126 www.5balls.ru № 1074 7 x − 5 y = 3 6 x + 11y = 8 ; б) ; 7 x − 5 y = 1 12 x + 22 y = 8 а) 45 x − 31 y = 13 54 x − 23 y = 40 ; г) . 45 x − 31 y = 2 54 x − 23 y = 19 в) № 1075 ax + 8y = 20; а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6; б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12. № 1076 x + ay = 35 5 + 6a = 35 6a = 30 a = 5 ; bx + 2 y = 27 5b + 6 ⋅ 2 = 27 5b = 15 b = 3 а) ax − 3 y = 7 10a − 3 ⋅ 5 = 7 10a = 22 a = 2 ,2 . 5 x + by = 26 5 ⋅ 10 − 3 b = 26 − 3 b = − 24 b = 8 б) № 1077 4 11 y = − 3 x + 3 . y = − 5 x + 6 2 ax + 3 y = 11 5a + 3 ⋅ (− 3) = 11 4 x + 3 y = 11 5 x + 2 y = 12 5a = 20; a = 4 5 x + 2 y = 12 6 Y 4 2 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 Ответ: (2;1). 127 www.5balls.ru § 36. Метод подстановки № 1078 а) 2x + 4y = 4, y = 1 – Ошибка!; б) x + 6y = 9, y = Ошибка!– Ошибка!; в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a; г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d. № 1079 а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x; б) 4a + 5b = 20, a = 5 – Ошибка!b; в) 18m – 12n = 3, m = Ошибка!n + Ошибка!; г) 45p – 9q = 4, q = 5p – Ошибка!. № 1080 а) 3s – 2t = 8, t = Ошибка!s – 4; б) 7z + 4q = 11, z = Ошибка!– Ошибка!q; в) 9r – 13s = 17, r = Ошибка!s + Ошибка!; г) 5u + 7v = 21, v = 3 – Ошибка!u. № 1081 y = 3x − 1 ; 2 x + 3 y = 8 y = 1 − 7x ; 4 x − y = 4 а) б) 2x + 3 · (3x – 1) = 8; 2x + 9x – 3 = 8; 11x = 11; x = 1; y = 3 · 1 – 1 = 2. Ответ: (1;2). 4x – (1 – 7x) = 4; 4x – 1 + 7x = 4; 11x = 5; x = Ошибка!; y = 1 – 7 · Ошибка! = – 2Ошибка!. Ответ: (Ошибка!; – 2Ошибка!). y = 3 − x ; x + 2 y = 3 y = x −1 ; 5 x + 2 y = 16 в) г) x + 2 · (3 – x) = 3; x + 6 – 2x = 3; –x = – 3; x = 3; y = 3 – 3 = 0. Ответ: (3;0). 5x + 2 · (x – 1) = 16; 5x + 2x – 2 = 16; 7x = 18; x = Ошибка!= 2Ошибка!; y = 2Ошибка!– 1 = 1Ошибка!. Ответ: (2Ошибка!; 1Ошибка!). № 1082 x = y + 2 ; 3 x − 2 y = 9 x = 2 y − 8 ; x − 3 y = −8 а) б) 3 · (y + 2) – 2y = 9; 3y + 6 – 2y = 9; y = 3; 2y – 8 – 3y = – 8; – y = 0; y = 0; 128 www.5balls.ru x = 3 + 2 = 5. Ответ: (5;3). x = 2 · 0 – 8 = – 8. Ответ: (– 8;0). x = 2 y − 3 ; 3 x + 2 y = 7 x = y + 8 ; x − 3y = 4 в) г) 3 · (2y – 3) + 2y = 7; 6y – 9 + 2y = 7; y = 2; x = 2 · 2 – 3 = 1. Ответ: (1;2). y + 8 – 3y = 4; – 2y = – 4; y = 2; x = 2 + 8 = 10. Ответ: (10;2). № 1083 x = 4 y ; x + 5 y = 99 y = 6x y = −4 x ; в) ; 4 x + y = 150 x − y = 10 а) б) 4y + 5y = 99; 9y = 99; y = 11; x = 44. Ответ: (44;11). 4x + 6x = 150; 10x = 150; x = 15; y = 90. Ответ: (15;90). x – (– 4x) = 10; 5x = 10; x = 2; y = – 8. Ответ: (2;– 8). x = −5 y ; x − 4 y = −18 г) – 5y – 4y = – 18; – 9y = – 18; y = 2; x = – 10. Ответ: (– 10;2). № 1084 x = 10 y ; 2 x + 3 y = 46 y = 1,5 x ; 2 y + 5 x = 64 а) б) 2 · 10y + 3y = 46; 20y + 3y = 46; 23y = 46; y = 2; x = 20. Ответ: (20;2). 2 · 1,5x + 5x = 64; 3x + 5x = 64; 8x = 64; x = 8; y = 12. Ответ: (8;12). y = −2,5 x ; 5 x + 4 y = 75 x = −0 ,5 y ; − 6 x − 2 y = 9 в) г) 5x + 4 · (– 2,5x) = 75; 5x – 10x = 75 x = – 15; y = 37,5; Ответ: (– 15;37,5). – 6 · (– 0,5y) – 2y = 9; 3y – 2y = 9; y = 9; x = – 4,5. Ответ: (– 4,5;9). № 1085 5 x − 3 y = 14 ; 2 x + y = 10 x − 2 y = 5 ; 2 x + y = 9 а) б) y = 10 – 2x; 5x – 3 · (10 – 2x) = 14; 5x – 30 + 6x = 14; x = 5 + 2y; 2 · (5 + 2y) + y = 9; 10 + 4y + y = 9; 129 www.5balls.ru 11x = 44; x = 4; y = 10 – 2 · 4 = 2. Ответ: (4;2). x + 5 y = 35 ; 3 x + 2 y = 27 5y = – 1; y = – 0,2; x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6. Ответ: (4,6;– 0,2). x + 3 y = 2 ; 2 x + 3 y = 7 в) г) x = 35 – 5y; 3 · (35 – 5y) + 2y = 27; 105 – 15y + 2y = 27; 13y = 78; y = 6; x = 35 – 5 · 6 = 5. Ответ: (5;6). x = 2 – 3y; 2 · (2 – 3y) + 3y = 7; 4 – 6y + 3y = 7; 3y = – 3; y = – 1; x = 2 – 3 · (– 1) = 5. Ответ: (5;– 1). № 1086 2 x − y = 2 ; а) 3 x − 2 y = 3 y = 2x – 2; 3x – 2 · (2x – 2) = 3; 3x – 4x + 4 = 3; –x = – 1; x = 1; y = 2 · 1 – 2 = 0. Ответ: (1;0). 5 y − x = 6 ; 3 x − 4 y = 4 3 x + 4 y = 55 ; 7 x − y = 56 б) y = 7x – 56; 3x + 4 · (7x – 56) = 55; 3x + 28x – 224 = 55; 31x = 279; x = 9; y = 7 – 9 – 56 = 7. Ответ: (9;7). 4 y − x = 11 ; 6 y − 2 x = 13 в) г) x = 5y – 6; 3 · (5y – 6) – 4y = 4; 15y – 18 – 4y = 4; 11y = 22; y = 2; x = 5 · 2 – 6 = 4. Ответ: (4;2). x = 4y – 11; 6y – 2 · (4y – 11) = 13; 6y – 8y + 22 = 13; – 2y = – 9; y = – 4,5; x = 4 · 4,5 – 11 = 7. Ответ: (7;– 4,5). № 1087 4 x − 3 y = 12 ; 3 x + 4 y = −24 5 x + 2 y = 20 ; 2 x − 5 y = 10 а) б) x = 3 + 0,75y; 3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24; 9 + 2,25y + 4y = – 24; x = 5 + 2,5y; 5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20; 25 + 12,5y + 2y = 20; 130 www.5balls.ru 6,25y = – 33; y = – 5,28; x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96. Ответ: (– 0,96;– 5,28). 2 x − 3 y = 12 ; 3 x + 2 y = 6 в) 14,5y = – 5; y = – Ошибка!; x = 5 + 2,5 · Ошибка!= 4Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 5 x − 3 y = 5 ; 2 x + 7 y = 4 г) x = 6 + 1,5y; x = 1 + 0,6y; 3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6; 2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4; 18 + 4,5y + 2y = 6; 2 + 1,2y + 7y = 4; 6,5y = – 12; 8,2y = 2; y = – 1Ошибка!; y = Ошибка!; x = 6 + 1,5 · Ошибка! = 3Ошибка!. x = 1 + Ошибка!· Ошибка!= 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 1088 4 x − 5 y = 1 ; 2 x − 3 y = 2 4 x − 3 y = 7 ; 5 x + 2 y = 26 а) в) x = 1 + 1,5y; 4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1; 4 + 6y – 5y = 1; y = – 3; x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5. Ответ: (– 3,5;– 3). y = 13 – 2,5x; 4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7; 4x – 39 + 7,5x = 7; x = 4; y = 13 – 2,5 · 4 = 3. Ответ: (4;3). 3 x + 4 y = 0 2 x + 3 y = 1 3 x − 5 y = 0 8 y − 3x = −13 б) г) y = – 0,75x; 2x + 3 · (– 0,75x) = 1; 2x – 2,25x = 1; 0,25x = – 1; x = – 4; y = – 0,75 · (– 4) = 3. Ошибка!. Ответ: (– 4;3). y = 0,6x; 8 · 0,6x – 3x = – 13; 4,8x – 3x = – 13; 1,8x = – 13; x = – 7Ошибка!; y = – Ошибка!· Ошибка!= – 4 Ответ: Ошибка!. 131 www.5balls.ru № 1089 4 x − 7 y = 33 ; 2 x + 5 y = 25 5 y − 6 x = 2 ; 8 x − 3 y = 1 а) в) y = 5 – 0,4x; 4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33; 4x – 35 + 2,8x = 33; 6,8x = 68; x = 10; y = 5 – 0,4 · 10 = 1. Ошибка!. Ответ: (10;1). x = – Ошибка!+ Ошибка!y; 8 · Ошибка!– 3y = 1; Ошибка!y – Ошибка!– 3y = 1; Ошибка!y = Ошибка!; y = 1; x = – Ошибка!+ Ошибка!= 5 x − 2 y = 48 ; 2 x + 3 y = 23 Ответ: (0,5;1). 4 x − 3 y = −1 ; 10 x − 4 y = 1 б) г) y = 2,5x – 24; 2x + 3 · (2,5x – 24) = 23; 2x + 7,5x – 72 = 23; 9,5x = 95; x = 10; y = 2,5 · 10 – 24 = 1. Ответ: (10;1). x = 0,75y – 0,25; 10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1; 7,5y – 2,5 – 4y = 1; 3,5y = 3,5; y = 1; x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5. Ответ: (0,5;1). № 1090 6 x + 5 y = 1 ; 2 x − 3 y = 33 5 x + 6 y = 4 ; 3 x + 5 y = 1 а) б) y = Ошибка!x – 11; 6x + 5 · Ошибка!= 1; 6x + Ошибка!x – 55 = 1; Ошибка!x = 56; x = 6; y = Ошибка!· 6 – 11 = – 7. Ответ: (6;– 7). y = Ошибка!– Ошибка!x; 3x + 5 · Ошибка!= 1; 3x + Ошибка!– Ошибка!x = 1; – Ошибка!x = – Ошибка!; x = 2; y = Ошибка!– Ошибка!· 2 = – 1. Ответ: (2;– 1). 4 x − 5 y = −2 ; 3 x + 3 y = −13 3 x − 7 y = 1 ; 2 x + 3 y = 16 в) г) y = 0,8x + 0,4; 3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13; 3x + 1,6x + 0,8 = – 13; 4,6x = – 13,8; x = – 1,5y + 8; 3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1; 24 – 4,5y – 7y = 1; – 11,5 = – 23; 132 www.5balls.ru x = – 3; y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2. Ответ: (– 3;– 2). № 1091 4(x − y ) = −2 ; а) 3 x + 2 y = 5 − 2(x + y ) 4(x − y ) = −2 3 x + 2 y = 5 − 2 x − 2 y 4(x − y ) = −2 5 x = 4 y = 5 y = 2; x = – 1,5 · 2 + 8 = 5. Ответ: (5;2). 2(x + y ) = 8 14 − 3(x − y ) = 5 y − x б) x + y = 4 14 − 3 x + 3 y = 5 y − x x = 4 − y 2 y + 2 x = 14 x = 1 – 0,8y; x = 4 – y; 2(1 – 0,8y – y) = – 1; y + 4 – y = 7; –1,8y = – 1,5; 4 ≠7. y = Ошибка!; x = 1 – 0,8 · Ошибка!= Ошибка!. 1 5 3 6 Ответ: ( ; ) . 3(x + y ) = 6 ; 6 − 5(x − y ) = 8 x − 2 y Ответ: система решений не имеет. 5(x − y ) = 10 ; 3 x − 7 y = 20 − (x + y ) в) г) x + y = 6 6 − 5 x + 5 y = 8 x − 2 y x = 6 − y 13 x − 7 y = 6 x − y = 2 3 x − 7 y = 20 − x − y x = y + 2 4 x − 6 y = 20 13 · (2 – y) – 7y = 6; 26 – 13y – 7y = 6; 20y = – 20; y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3. Ответ: (3;– 1). 2(y + 2) – 3y = 10; 2y + 4 – 3y = 10; – y = 6; y = – 6; x = – 6 + 2 = 4. Ответ: (4;– 6). № 1092 2 − 3x = 2(1 − y ) ; а) 4(x + y ) = x − 1,5 2 − 3 x = 2 − 2 y 4 x + 4 y − x = −1,5 y = 1,5 x 3x + 4 y = −1,5 3x + 4 · 1,5x = – 1,5; 3x + 6x = – 1,5; 9x = – 1,5; 133 www.5balls.ru x = – Ошибка!; y = – 1,5 · Ошибка!= – Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 6 x + 3 = 8 x − 3(2 y − 4) ; 2(2 x − 3 y ) − 4 x = 2 y − 8 б) 6 x + 3 = 8 x − 6 y + 12 4 x − 6 y − 4 x = 2 y − 8 6 y − 2 x = 9 8 y = 8 y = 1; 6 · 1 – 2x = 9; 2x = – 3; x = – 1,5. Ответ: (– 1,5;1). 2 x − 3(2 y + 1) = 15 ; 3(x + y ) + 3 y = 2 y − 2 4 y + 20 = 2(3x − 4 y ) − 4 ; 16 − (5 x + 2 y ) = 3 x − 2 y в) г) 2 x − 6 y − 3 = 15 3 x + 3 y + 3 y − 2 y = −2 2 x − 6 y = 18 3 x + 4 y = −2 4 y + 20 = 6 x − 8 y − 4 16 − 5 x − 2 y = 3 x − 2 y 12 y − 6 x = −24 8 x = 16 x = 3y + 9; 3(3y + 9) + 4y = – 2; 9y + 27 + 4y = – 2; 13y = – 29; y = – 2Ошибка!; x = – 3 · Ошибка!+ 9 = 2Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 1093 x = 2; 12y – 6 · 2 = – 24; 12y = – 12; y = – 1. Ответ: (2; – 1). x y + =3 а) 2x 3y 8 + = 3 2 3 б) 3 + 2 = 5 3 x + 2 y = 18 2 x + 3 y = 16 2 x + 3 y = 30 5 x − 11y = 1 x= 6 – Ошибка!y; 2 · Ошибка!+ 3y = 16; 12 – Ошибка!y + 3y = 16; Ошибка!y = 4; 134 x = 15 – 1,5y; 5(15 – 1,5y) – 11y = 1; 75 – 7,5y – 11y = 1; –18,5y = – 74; x y 5 x − 11y = 1 www.5balls.ru y = 2,4; y = 4; x = 6 – Ошибка!· Ошибка!=4,4. x = 15 – 1,5 · 4 = 9. Ответ: (4,4; 2,4). Ответ: (9, 4). x y − = −4 в) 3 2 ; x + y = −2 2 4 г) x 2 x − 3 y = −24 ; 2 x + y = −8 4 x + 7 y = 1 ; 6 x + 5 y = −15 y = – 8 – 2x; y = – 3 – Ошибка!x; 2x – 3(– 8 – 2x) = – 24; 4x + 7 − 3 − x = 1; 2x + 24 + 6x = – 24; 8x = – 48; x = – 6; y = – 8 – 2 · (– 6) = 4. Ответ: (– 6; 4). 4x – 21 – 8,4x = 1; – 4,4x = 22; x = – 5; y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3. Ответ: (– 5; 3). 4 x + 7 y = 1 y 1 ; 5 + 6 = − 2 6 5 № 1094 6 y − 5 x = 1 а) x − 1 y + 1 3 + 2 = 10 б) x + 2 y 3x − y + =5 5 3 2 x − 3 y = −1 6 y − 5 x = 1 ; 2 x − 2 + 3 y + 3 = 60 3 x + 6 y + 15 x − 5 y = 75 ; 2 x − 3 y = −1 6 y − 5 x = 1 ; 2 x + 3 y = 59 18 x + y = 75 ; 2 x − 3 y = −1 y = Ошибка!+ Ошибка!x; y = 75 – 18x; 2x + 3Ошибка!= 59; 2x – 3(75 – 18x) = – 1; 2x + 0,5 + 2,5x = 59; 2x – 225 + 54x = – 1; 4,5x = 58,5; 56x = 224; x = 13; x = 4; y =Ошибка!+ Ошибка!· 13 = 11.y = 75 – 18 · 4 = 3. Ответ: (13; 11). Ответ: (4; 3). 135 www.5balls.ru 3x + 2 y x − 3 y + =3 ; 5 6 2 x + 7 y + 43 = 0 7 x − 10 y = 5 3 − 4 в) г) 4 x + 1 5 x − 3 y 18 x + 12 y + 5 x − 15 y = 90 2 x + 7 y + 43 = 0 23 x − 3 y = 90 2 x + 7 y + 43 = 0 7 x − 10 y = 5 16 x + 4 − 15 x + 9 y = 36 7 x − 10 y = 5 x + 9 y = 32 y = Ошибка!x – 30; x = 32 – 9y; 23 2x + 7 x − 30 + 43 = 0; 3 7(32 – 9y) – 10y = 5; 2x + Ошибка!x – 210 + 43 = 0; Ошибка!x = 167; x = 3; y = Ошибка!· 3 – 30 = – 7. Ответ: (3; – 7). 224 – 63y – 10y = 5; – 73y = – 219; y = 3; x = 32 – 9 · 3 = 5. Ответ: (5; 3). =3 ; № 1095 5x + 9 y 2x + 3 y = 3 2 а) x − 3 y 2 x − 3 y = 2 3 2x − y 2x + y + =3 6 9 б) x + y x − y − =4 3 4 10 x + 18 y = 6 x + 9 y 3 x − 9 y = 4 x − 6 y 4 x + 9 y = 0 x + 3 y = 0 6 x − 3 y + 4 x + 2 y = 54 4 x + 4 y − 3x + 3 y = 48 10 x − y = 54 x + 7 y = 48 x = – 3y; 4 · (– 3y) + 9y = 0; –3y = 0; y = 0; x = 0. Ответ: (0; 0). x = 48 – 7y; 10 · (48 – 7y) – y = 54; 480 – 70y – y = 54; – 71y = – 426; y = 6; x = 48 – 7 · 6 = 6. Ответ: (6; 6). x+ y x− y + =5 6 в) 8 x + y + x − y = 10 4 3 x + 3 − 5 y 3x − 4 y + 3 = 2 3 г) 6 3 x y 12 x y + − − = 3 4 136 www.5balls.ru 3 x + 9 − 15 y = 6 x − 8 y + 6 24 + 12 x − 4 y = 36 x − 3 y 3 x + 7 y = 3 24 x + y = 24 3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 7 x − y = 120 7 x − y = 120 уравнения равны. Ответ: система имеет бесконечно много решений. y = 24 – 24x; 3x + 7(24 – 24x) = 3; 3x + 168 – 168x = 3; –165x = – 165x; x = 1; y = 0. Ответ: (1; 0). § 37. Метод алгебраического сложения № 1096 а) x + y = 5 б) x + y = 9 2x = 12; x = 6; 6 + y = 5; y = – 1. Ответ: (6; – 1). в) 2 x + y = 11 2x = 12; x = 6; 6 + y = 9; y = 3. Ответ: (6; 3). г) 3 x − y = 4 5x = 20; x = 4; 2 · 4 + y = 11; y = 3. Ответ: (4; 3). 6x = 12; x = 2; 3 · 2 – y = 4; y = 2. Ответ: (2; 2). № 1097 а) 2 x + 11y = 15 в) x − 6 y = 17 12x = 24; x = 2; 2 · 2 + 11y = 15; 11y = 11; y = 1. Ответ: (2; 1). 6x = 30; x = 5; 5 – 6y = 17; – 6y = 12; y = – 2. Ответ: (5; – 2). x − y = 7 3 x − y = 8 10 x − 11y = 9 9 x + 13 y = 9 ; 29 x − 13 y = 3 x − y = 3 3 x + y = 8 5 x + 6 y = 13 6 x − y = 19 42 x − 7 y = 133 ; 5 x + 7 y = 25 5 x + 7 y = 25 б) г) 38x = 12; x =Ошибка!; 9 · Ошибка!+ 13y = 9; 47x = 158; x = 3Ошибка!; 6 · Ошибка!– y = 19; 137 www.5balls.ru 13y = Ошибка!; y = Ошибка!. . Ответ: Ошибка!. y = 6 · Ошибка!– 19; y = 1Ошибка! Ответ: Ошибка!. № 1098 а) 4 x − 7 y = 30 4 x − 5 y = 90 в) −5 x + 7 y = 6 2y = 60; y = 30; 4x – 5 · 30 = 90; 4x = 240; x = 60. Ответ: (60; 30). 7x = 70; x = 10; 2 · 10 + 7y = 76; 7y = 56; y = 8. Ответ: (10; 8). 2 x + 7 y = 76 7 x − 6 y = 32 7 x + 5 y = 230 −2 x + 4 y = −11 4 x + 4 y = 1 б) г) 11y = 198; y = 18 7x – 6 · 18 = 32 7x = 140; x = 20 Ответ: (20; 18). 6x = 12; x = 2; – 2 · 2 + 4y = – 11; 4y = – 7; y = – 1Ошибка!. Ответ: Ошибка!. № 1099 а) x − 3 y = 5 3 x − 9 y = 15 3 x + 2 y = 4 3 x + 2 y = 4 11y = – 11; y = – 1; 3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2. Ответ: (2; – 1). 3 x − 5 y = 14 3 x − 5 y = 14 ; x + 2 y = 1 3 x + 6 y = 3 б) 11y = – 11; y = – 1; 3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3. Ответ: (3; – 1). в) 3x + y = 1 9 x + 3 y = 3 2 x − 3 y = − 14 2 x − 3 y = −14 11x = – 11; x = – 1; – 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4. Ответ: (– 1; 4). 5 x + y = 24 15 x + 3 y = 72 ; 7 x + 3 y = 24 7 x + 3 y = 24 г) 8x = 48; x = 6; 42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6. Ответ: (6; 6). 138 www.5balls.ru № 1100 а) 40 x + 3 y = −10 40 x + 3 y = −10 20 x − 7 y = −4 40 x − 14 y = −8 17y = – 2; y = – Ошибка!; 20x + Ошибка!= – 4; x = – Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 5 x + 2 y = 1 15 x + 6 y = 3 ; 15 x + 3 y = 3 15 x + 3 y = 3 б) 3y = 0; y = 0; 5x = 1; x = 0,2. Ответ: (0,2; 0). в) 3x + 8 y = 13 15 x + 40 y = 65 5 x − 18 y = 5 15 x − 54 y = 15 94y = 50; y = Ошибка!; 5x – 18 · Ошибка!= 5; x = 3Ошибка!. Ответ: Ошибка!. 6 x + 5 y = 1 6 x + 5 y = 1 6 x − 9 y = 33 6 x − 9 y = 99 г) 14y = − 98; y = − 7; 2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; –7). № 1101 а) 4 x − 5 y = −2 8 x − 10 y = −4 3 x + 2 y = −13 15 x + 10 y = −65 23x = − 69; x = − 3; −12 − 15y = − 2; 5y = − 10; y = −2. Ответ: (− 3; − 2). 9 x + 8 y = −50 45 x + 40 y = −250 ; 5 x = 36 y = −12 45 x + 324 y = −108 б) 284y = 142; y = 0,5; 9x + 8 · 0,5 = − 50; x = − 6. Ответ: (− 6; 0,5). 139 www.5balls.ru в) 3x − 7 y = −32 2 x − 3 y = −3 6 x − 14 y = −64 6 x − 9 y = −9 5y = 55; y = 11; 2x − 3 · 11 = − 3; 2x = 30; x = 15. Ответ: (15; 11). 3 y − 4 x = −6 5 x − 9 y = −10 г) 9 y − 12 x = −18 ; 5 x − 9 y = −10 − 7x = − 28; x = 4; 3y = 10; 1 3 y= 3 . 1 3 Ответ: (4; 3 ). № 1102 а) 4 x + 5 y = 1 20 x + 25 y = 5 5 x + 7 y = 5 20 x + 28 y = 20 3y = 15; y = 5; 4x + 5 · 5 = 1; 4x = − 24; x = − 6. Ответ: (− 6; 5). 3x − 5 y = 25 ; 4 x + 3 y = 43 б) 9 x − 15 y = 75 ; 20 x + 15 y = 215 29x = 290; x = 10; 3 · 10 − 5y = 25; 140 www.5balls.ru 5y = 5; y = 1. Ответ: (10; 1). в) 7 x − 5 y = 5 5 x + 3 y = 43 21x − 15 y = 15 25 x + 15 y = 215 46x = 230; x = 5; 7 · 5 − 5y = 5; 5y = 30; y = 6. Ответ: (5; 6). 4 x − 3 y = 12 16 x − 12 y = 48 3 x + 4 y = − 66 9 x + 12 y = −198 г) 25x = − 150; x = − 6; 4 · ( − 6) − 3y = 12; 3y = − 36; y = − 12. Ответ: (− 6; − 12). № 1103 а) −3x + 7 y = 46 −12 x + 28 y = 184 4 x − 3 y = 12 12 x − 9 y = 36 19y = 220; y = 11 11 ; 19 4x − 3 · 11 x= 9 11 = 12; 19 7 . 38 7 11 ; 11 ). 38 19 −3x + 4 y = 24 б) 5 x + 3 y = −15 Ответ: ( 9 141 www.5balls.ru −15 x + 20 y = 120 ; 15 x + 9 y = −45 29y = 75; y= 75 ; 29 300 = 24; 29 396 3x = − ; 29 132 x=− . 29 132 75 Ответ: (− ; ). 29 29 5 x + 2 y = 20 25 x + 10 y = 100 2 x − 5 y = 10 4 x − 10 y = 20 −3x + 4 · в) 29x = 120; x = 4 4 29 4 + 2y = 20 29 10 y=− 29 4 10 Ответ: x = 4 ; y = − . 29 29 5 x − 3 y = 15 г) 2 x + 7 y = 47 10 x − 6 y = 30 10 x + 35 y = 235 5· 4 41y = 205; y = 5; 5x − 3 · 5 = 15; 5x = 30; x = 6. Ответ: (6; 5). 142 www.5balls.ru № 1104 1 1 x − y = 1 6 x − 4 y = 12 2 3 а) 6 x − 5 y = 3 6 x − 5 y = 3 y = 9; 6x − 5 · 9 = 3; 6x = 48; x = 8. 1 1 x− y = 4 4 3 в) 4 x − 3 y = 7 5 9 x − 3 y = 36 4 4 x − 3y = 7 5 Ошибка!x − Ошибка!x = 29; Ошибка!x =20; x = 20; Ошибка!· 20 − Ошибка!y = 4; Ошибка!y = 1; y = 3. Ответ: (20; 3). Ответ: (8; 9). 1 1 1 1 x + y = 5,1 x + y = −1 4 x + 5 y = −20 5 г) 3 б) 5 4 2 x − 3 y = −54 4 x + 6 y = −108 3 x − 2y = 8 5 11y = 88; y = 8; 2x − 3 · 8 = − 54; 2x = − 30; x = − 15. Ответ: (− 15; 8). 10 x + 2 y = 51 3 3 x − 2y = 8 5 Ошибка!x + Ошибка!x = 59; x = 15; Ошибка!· 15 + Ошибка!y = 5,1; Ошибка!y = 0,1; y = 0,5. Ответ: (15; 0,5). № 1105 1 y +1 3 x − 4 = 2 2( y + 1 ) = 3x − 4 а) 5 x + y = 1 5 x + y = 3 x + 11 3 x + 11 2 y − 3x = −6 2 y − 3 x = −6 2 + = 11 x y 4 x + 2 y = 22 7x = 28; x = 4; 2y − 3 · 4 = − 6; 2y = 6; y = 3. Ответ: (4; 3). 143 www.5balls.ru 3x + 10 1 y + 1 = 12 36 x + 120 = y + 1 б) 25 x + 5 y = 36 x + 8 y 5x + y = 4 9 x + 2 y 5 36 x − y = −119 108 x − 3 y = −357 11x + 3 y = 0 11x + 3 y = 0 119x = − 357; x = − 3; 11 · (−3) + 3y =0; 3y = 33; y = 11. Ответ: (− 3; 11). № 1106 а) A(2;3), B(− 1;4); y = ax + b; 3 = 2a + b 3 = 2a + b ; 4 = − a + b 8 = −2a + 2b 3b = 11; b = Ошибка!; 2a + Ошибка!= 3; a = − Ошибка!; 1 11 y = − x+ ; 3 3 б) C(− 6;7), D(4;3); y = ax + b; 7 = −6a + b ; 3 = 4a + b 10a = − 4; a = − Ошибка!; 2 5 4 · − + b = 3; b = 4Ошибка!; y = − 0,4x + 4,6; в) M(− 3;− 1), N(2;5); y = ax + b; г) P(6;2), Q(− 1;−3); y = ax + b; −1 = −3a + b ; 5 = 2a + b 2 = 6a + b ; − 1 = −3a + b 5a = 6; a = 1Ошибка!; Ошибка!+ b = 5; 9a = 3; a = Ошибка!; − 3 · Ошибка!+ b = − 1; 144 www.5balls.ru b = 2Ошибка!; y = 1,2x + 2,6; b = 0; y = Ошибка!x. № 1107 а) A(5;0); B(0;2); y = ax + b; б) C(− 6;0) ; D(0;4) ; y = ax + b; 0 = 5a + b ; 2 = b 0 = −6a + b ; 4 = b b = 2; 5a = − 2; a = − 0,4; y = − 0,4x + 2; в) E(7;0), F(0;− 1) ; y = ax + b; b = − 1; 6a = 4; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 4; г) L(− 2;0), K(0;− 4) ; y = ax + b; 0 = 7 a + b ; − 1 = b 0 = −2a + b ; − 4 = b b = − 1; 7a = 1; a = Ошибка!; y = Ошибка!x − 1; b = − 4; 2a = − 4; a = − 2; y = − 2x − 4. № 1108 а) A(0;5), B(− 3;0) ; y = ax + b; б) A(0;4), B(2;0) ; y = ax + b; b = 5 ; − 3a + b = 0 b = 4 ; 2a + b = 0 3a = 5; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 5; в) A(0;3), B(4;0) ; y = ax + b; 2a = − 4; a = − 2; y = − 2x + 4; г)A(0;− 3), B(1;0) ; y = ax + b; b = 3 ; 4a + b = 0 b = −3 ; a + b = 0 4a = − 3; a = − Ошибка!; y = − Ошибка!x + 3; a = 3; y = 3x − 3. № 1109 а) A1(0;4), B1( −1;0) ; y = ax + b; A2(0;− 4), B1( −1;0) ; y = ax + b; 145 www.5balls.ru b = 4 ; − a + b = 0 a = 4; y = 4x + 4; y = 4x + 4 . y = −4 x − 4 b = −4 ; − a + b = 0 a = − 4; y = − 4x − 4. Ответ: б) A1(0;7), B1( 2;3); y = ax + b; A2(0;2), B1( 2;3) ; y = ax + b; b = 7 ; 2a + b = 3 b = 2 ; 2a + b = 3 2a = − 4; a = − 2; y = − 2x + 7; y = −2 x + 7 . y = 0 ,5 x + 2 2a = 1; a = 0,5; y = 0,5x + 2. Ответ: в) A1(0;1), B1(− 2;4) ; y = ax + b; A2(0;4), B1(− 2;4) ; y = ax + b; b = 1 ; − 2 a + b = 4 b = 4 ; − 2 a + b = 4 −2a = 3; a = − 1,5; y = − 1,5x + 1; − 2a = 0; a = 0; y = 4. y = −1,5 x + 1 . y = 4 Ответ: г) A1(0;3), B1(− 3;− 2) ; y = ax + b; b = 3 ; − 3a + b = −2 −3a = − 5; a = Ошибка!; y = Ошибка!x + 3; A2(0;− 1), B2( 3;0) ; y = ax + b; b = −1 ; 3a + b = 0 3a = 1; a = Ошибка!; y = Ошибка!x − 1. 146 www.5balls.ru 5 y = 3 x + 3 Ответ: y = 1 x −1 3 § 38. Системы двух линейных уравнений с двумя перемеными как математические модели реальных ситуаций № 1110 v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; (v − u )⋅ 4 = 80 v + u = 20 ; 2v = 36; v = 18 км/ч. (v + u )⋅ 5 = 80 v − u = 16 Ответ: 18 км/ч. № 1111 v км/ч – скорость лоезда на первом перегоне; u км/ч – скорость лоезда на втором перегоне; 2v + 3u = 330 2v + 3u = 330 ; 5u = 350; u − v = 10 2u − 2v = 20 u = 70 км/ч – скорость лоезда на втором перегоне; 70 – 10 = 60 км/ч – скорость лоезда на первом перегоне. Ответ: 60 км/ч; 70км/ч. № 1112 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; 4(v + u ) = 38 − 2 u + v = 9 7v − 7u = 7 ; 2v = 10; v − u = 1 v = 5 км/ч – скорость первого пешехода; u = 4 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 5 км/ч; 4 км/ч. № 1113 v км/ч – скорость первого пешехода; u км/ч – скорость второго пешехода; 147 www.5balls.ru 1 5u + 5v = 45 3 (v + u ) = 30 u + v = 9 ; 4v = 15; 3 5 9 60 u + v = 5u + 9v = 60 4,5v + 2 ,5u = 30 v = 3,75 км/ч – скорость первого пешехода; u = 9 – 3,75 = 5,25 км/ч – скорость второго пешехода. Ответ: 3,75 км/ч; 5,25 км/ч. № 1114 v км/ч – скорость течения реки; t ч – время прохождения; (15 + v )t = 34 15t + vt = 34 ; (15 − v )t = 26 15t − vt = 26 30t = 60; t = 2 ч – время прохождения; (15 + v) = 34; 2v = 4; v = 2 км/ч – скорость течения реки. Ответ: 2 км/ч. № 1115 v км/ч – скорость автобуса; u км/ч – скорость автомобиля; 120 180 = u v u − v = 20 2u = 3v 2u − 3v = 0 ; 20 u − v = 2u − 2v = 40 v = 40 км/ч – скорость автобуса. Ответ: 40 км/ч. № 1116 x – одно число; y – другое число; x + y = 77 x + y = 77 10 x + 10 y = 770 ; 22y = 770; 4 2 3 x = 5 y 10 x − 12 y = 0 10 x − 12 y = 0 y = 35; x = 77 – 35 = 42. Ответ: 35; 42. № 1117 x – одно число; y – другое число; 148 www.5balls.ru 3(x − y ) = x + y + 6 2 x − 4 y = 6 2 x − 4 y = 6 ; – 2y = 12; 2(x − y ) = x + y + 9 x − 3 y = 9 2 x − 6 y = 18 y = – 6; x = 9 + 3 · ( – 3) = – 9. Ответ: – 9; – 6. № 1118 a – искомая дробь; b 2a b − 2 = 2 2a = 2b − 4 b − a = 2 ; a − 4 = 1 12a − 48 = 4b 3a − b = 12 4b 12 2a = 14; a = 7; b = a + 2; b = 9. Ответ: 7 . 9 № 1119 a – искомая дробь; b a +1 1 b + 1 = 2 2a + 2 = b + 1 b − 2a = 1 ; a = 3; a − 1 = 1 3a − 3 = b − 1 3a − b = 2 b − 1 3 b = 2a + 1; b = 2 · 3 + 1 = 7. Ответ: 3 . 7 № 1120 x – одно число; y – другое число; x − y = 140 6 x − 6 y = 840 ; y = 200; 0 ,6 x − 0,7 y = 64 6 x − 7 y = 640 x = y + 140; x = 200 + 140 = 340. Ответ: 340; 200. 149 www.5balls.ru № 1121 0 ,3a − 0 ,25b = 20 6a − 5b = 400 ; 4b = 640; b = 40; 0 ,3b − 0,2a = 8 9b − 6a = 240 6a = 5 · 160 + 400; 6a = 1200; a = 200. Ответ: 200; 160. № 1122 x – одно число; y – другое число; x + y = 32 ,5 x + y = 65 25 x + 25 y = 1625 ; 2 0 ,3 x − 0 ,25 y = 0 ,25 30 x − 25 y = 25 30 x − 25 y = 25 55x = 1650; x = 30; y = 65 – x; y = 35. Ответ: 30; 35. № 1123 x – одно число; y – другое число; x − y = 14 ,9 x − y = 29 ,8 ; 0,76x = 30,4; x = 40; 2 0 ,24 x − y = −0,6 0,24 x − y = −0 ,6 y = x – 29,8; y = 10,2. Ответ: 40; 10,2. № 1124 v км/ч – скорость автомобиля; u км/ч – скорость теплохода; 3v − 5u = 60 3v − 5u = 60 ; v =60 км/ч – скорость автомобиля; u = 0 ,4v 5u − 2v = 0 u =0,4v = 24 км/ч – скорость теплохода. Ответ: 24 км/ч; 60 км/ч. № 1125 v км/ч – скорость теплохода; u км/ч – скорость туристов; 2v км – проплыли по реке; 5u км – прошли пешком; 2v = 3 ⋅ 5u 2v − 15u = 0 2v − 15u = 0 ; 13u = 52; u = 4 км/ч; v − u = 26 v − u = 26 2v − 2u = 52 150 www.5balls.ru v = 26 + u; v = 30 км/ч; S км – весь путь; S = 2v + 5u = 2 · 30 + 5 · 4 = 80 км; T – время которое потребовалось бы на весь путь пешком; T= S 80 = = 20 ч. u 4 Ответ: 30 км/ч; 4 км/ч; 20 ч. № 1126 v км/ч – скорость лодки; u км/ч – скорость течения; (v – u) км/ч – скорость лодки против течения; (v + u) км/ч – скорость лодки по течения; 1 3 (v + u ) = 30 v + u = 9 ; 3 v − u = 7 4(v − u ) = 28 2v = 16; v = 8 км/ч – скорость лодки; S км – расстояние которое пройдет лодка по озеру за 1,5 часа; S = 1,5 · v = 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. № 1127 v км/ч – скорость велосипедиста по шоссе; u км/ч – скорость велосипедиста по грунтовой дороге; 0,5u км – проехал велосипедист по грунтовой дороге; 2 v км – проехал велосипедист по шоссе; 3 2 0 ,5u + v = 12 1,5u + 2v = 36 ; 3 1,5v − 1,5u = 6 v − u = 4 3,5v = 42; v = 12 км/ч. Ответ: 12 км/ч. № 1128 v см/c – скорость первой точки; u см/c – скорость второй точки; 4(v + u) = 100 – при движении в противоположном направлении; 20(v – u) = 100 – при движении в одном направлении; 151 www.5balls.ru 4(v + u ) = 100 v + u = 25 ; 20(v − u ) = 100 v − u = 5 2v = 30; v = 15 см/с; u = 25 – v = 25 – 15 = 10 см/с. Ответ: 15 см/с; 10 см/с. № 1129 x – га вспахивает за день первый тракторист; y – га вспахивает за день второй тракторист; 8x + 11y = 678 – га вспахали вместе; 3x + 22 = 4y – из условия; 8 x + 11y = 678 3 x + 22 = 4 y 3 11 3 11 x+ y = ⋅ 38 + 4 2 4 2 11 3 57 11 8 x + 11 x + = 678 y = + 2 4 2 2 33 121 y 34 = = 678 x+ 8x + 4 2 65 x 1235 = 4 2 x = 38 y= Ответ: 38 га; 34 га. № 1130 x – центнеров картофеля собирала первая бригада за 1 час; y – центнеров картофеля собирала вторая бригада за 1 час; 2x + 3y = 23 – за первый день двумя бригадами; 2 x + 3 y = 23 4 x + 6 y = 46 ; 13x = 52; x = 4; 3 x − 2 y = 2 9 x − 6 y = 6 3x – 2y = 2 – из условия; 3 x −1 2 3 y = ⋅ 4 −1 = 5 2 y= Ответ: 4 центнера; 5 центеров. № 1131 x – тонн зерна перевозит первая машина за 1 рейс; y – тонн зерна перевозит вторая машина за 1 рейс; 152 www.5balls.ru 4x + 3y = 27 − в первый день; 4y − 3x = 11 − из условия; 4 x + 3 y = 27 12 x + 9 y = 81 ; 25y = 125; y = 5 т; 4 y − 3 x = 11 16 y − 12 x = 44 4 x = y − 11 3 ; 4 11 x = ⋅5 − 3 3 x = 3 т. Ответ: 3 т; 5т. № 1132 x − деталей делает первый рабочий за день; y − деталей делает второй рабочий за день; 8x + 15y = 162 − сделали вместе; 5x − 7y = 3 − из условия; 8 x + 15 y = 162 40 x + 75 y = 810 ; 131y = 786; y = 6 − деталей за день; 5 x − 7 y = 3 40 x − 56 y = 24 7 3 x= y+ 5 5 7 3 x = ⋅6 + 5 5 x = 9 − деталей изготовил первый рабочий за день; 8 · 9 = 72 − детали изготовил первый рабочий; 6 · 15 = 90 − деталей изготовил второй рабочий. Ответ: 72; 90. № 1133 x − учебников по математике; y − учебников по физике; 0,5x + 0,2y = 390 − учебников продали; x − 0,5x = 0,5x − учебников по математике осталось; y − 0,2y = 0,8y − учебников по физиике осталось; 0,5x = 3 · 0,8y − из условия; 0 ,5 x + 0 ,2 y = 390 0 ,5 x − 2 ,4 y = 0 2,6y = 390; y = 150; x = 4,8y; x = 4,8 · 150; x = 720. Ответ: 720; 150 учебников. № 1134 x − книг на первой полке; у − книг на второй полке; 153 www.5balls.ru x+ y 2 − на первой полке после перестановки; y − на второй полке после перестановки; 2 x + y = 110 x + y = 110 ; 2,5y = 110; y = 44; y y x + 2 = 4 ⋅ 2 x − 1,5 y = 0 x = 110 − y; x = 110 − 44 = 66. Ответ: 66 и 44 книги. № 1135 x − футбольных мячей закупили в первый год; y − волейбольных мячей закупили в первый год; y = 5x − из условия; 6x − футбольных мячей после закупки; 4y − волейбольных мячей после закупки; 6 x + 4 y = 52 6 x + 4 y = 52 ; 26x = 52; x =2; y = 5x 20 x − 4 y = 0 y = 5x; y = 10; y + x = 10 + 2 = 12 − мячей закупили в первый год. Ответ: 12 мячей. № 1136 x – одно число; y – другое число; x + y 2 = 185 x + y = 370 ; 3y = 330; y = 110; x = 2 + 40 x = 2 y + 40 y y x = 370 − y; x = 370 − 110 = 260. Ответ: 260; 110. № 1137 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; a + b = 14 9a + 9b = 126 ; 18b = 108; b= 108; 10 b + a + 18 = 10 a + b 9b − 9a = −18 a = 14 − b; a = 14 − 6 = 8; то есть 10a + b = 8 · 10 + 6 = 86. Ответ: 86. № 1138 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть 154 www.5balls.ru a · 10 + b − искомое число; a + b = 11 2 10a + b a − b = 24 + a − b a + b = 11 10a + b = 24a − 14b + 2 a + b = 11 14a + 14b = 154 14a − 25b = −2 14a − 25b = −2 39b = 156; b = 4; a = 11 − b; a = 11 − 4 = 7; 10a + b = 10 · 7 + 4 = 74. Ответ: 74. № 1139 a − первая цифра числа; b − вторая цифра числа, то есть a · 10 + b − искомое число; 3 10a + b a + b = 6 + a + b 5 10a + b = 5 + a+b+2 a + b + 2 10a + b = 6a + 6b + 3 10a + b = 5a + 5b + 10 + 5 4a − 5b = 3 16a − 20b = 12 5a − 4b = 15 25a − 20b = 75 9a = 63; a = 7; 4 · 7 − 5b = 3; 5b = 25; b = 5; 10a + b = 10 · 7 + 5 = 75. Ответ: 75. № 1140 x − деталей производительность первого фрезеровщика за день; y − деталей производительность второго фрезеровщика за день; (x + 0,625x) − деталей производительность первого фрезеровщика после смены фрезы; (y + 0,5y) − деталей производительность второго фрезеровщика после смены фрезы; 5 x + 8 y = 280 5 x + 8 y = 280 15 x + 24 y = 840 ; ( ) 4 x + 0 , 625 x + y + 0 , 5 y = 276 6 , 5 x + 6 y = 276 26 x + 24 y = 1104 5 5 11x = 264; x = 24 деталей; y = 35 − x; y = 35 − · 24; y = 20 деталей 8 8 P − количество деталей если бы в первый раз работали с новой фрезой; P = 5 · 1,625x + 8 · 1,5y = 8,125 · 24 + 12 · 20 = 195 + 240 = 435. Ответ: 435 деталей. № 1141 x − тонн масса первой отливки; 155 www.5balls.ru y − тонн масса второй отливки; 0,05x − тонн масса никеля в первой отливке; 0,1y − тонн масса никеля во второй отливке; 0,08(x + y) − тонн масса никеля в сплаве первой и второй отливке; 0 ,05 x + 01 y = 0 ,08(x + y ) 0 ,02 y − 0 ,03 x = 0 2 y − 3 x = 0 ; 0 ,1 y − 0,05 x = 4 0 ,1 y − 0,05 x = 4 2 y − x = 80 2x = 80; x = 40; y= 3 3 x; y = · 40 = 60. 2 2 Ответ: 40 тонн; 60 тонн. № 1142 x − тонн стали первого сорта для необходимого сплава; y − тонн стали второго сорта для необходимого сплава; 0,05x − количество никеля в стали первого сорта; 0,1y − количество никеля в стали второго сорта; 0,3(x + y) − количество никеля в новом сплаве; x + y = 140 x + y = 140 x + y = 140 ; ( ) 0 , 05 x + 0 , 4 y = 0 , 3 x + y 0 , 1 y − 0 , 25 x = 0 y − 2 ,5 x = 0 3,5x = 140; x = 40; y = 140 − 40 = 100. Ответ: 40 тонн; 100 тонн. № 1143 x − кг яблок; 30x − руб. заплатили за яблоки; y − кг груш; 38y − руб. заплатили за груши; x + y − натуральные числа; 30x + 38y = 400 (*); т.к. число (30 · x) всегда заканчивается нулем, то и число (38 · y) тоже должно закнчиваться нулем; y равное 10 и более не подходит в уравнение (*) следовательно единствееный вариант y = 5; 30x + 38 · 5 = 400; 30x = 210; x = 7; x + y = 7 + 5 = 12. Ответ: 12. 156 www.5balls.ru № 1144 x − км/ч скорость первого поезда; y − км/ч скорость второго поезда; 4x + 3y = 580; x и y кратны 10 и больше 50; x не может быть больше 100 т.к. в этом случае y должно быть меньше 50, поэтому перебираем число x от 50 до 100 кратное 10. Не трудно проверить что удовлетворяют уравнению две пары 70; 100 и 100; 60. Ответ: 70 км/ч и 100 км/ч; 100 км/ч и 60 км/ч. № 1145 10a + b − двузначное число; 6(10a + b) = 100a + b − из условия; 60a + 6b = 100a + b; 40a = 5b; 8a = b; т.к. b − от 0 до 9 то a может равняться только 1; ноль не подходит т.к. в этом случае не получится двузначное число a = 1; b = 8. Ответ: 18. 157 www.5balls.ru