АЛГЕБРА — 4 10 КЛАСС 2013 г. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 4.01. Даны многочлены R: √ 2 над 1 3 5 4 1) x + x − 2x + x; 2) 0x2 + 0x + 0; 3) 0; 4) x4 ; 5) 0x5 + x4 ; 7 5√ p √ 6) (sin 30◦ )x3 − 4 + 2 3x2 − x + cos 90◦ ; 7) 1 x3 − (1 + 3)x2 − (tg 45◦ )x. 2 Какие из них равны друг другу? 4.02. По данному стандартному виду многочлена найдите его степень. Выпишите набор всех его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках: а) f (x) = 3x4 − 2x2 + x − 10; в точках −3; 1; 0; б) f (x) = −x5 + 3x4 − x3 + x; в точках −1; 3; 1. 4.03. Докажите, что если f (x) 6= 0, g(x) 6= 0, то а) deg(f (x) + g(x)) 6 max(deg(f (x)), deg(g(x)), причем если deg(f (x)) 6= deg(g(x)), то неравенство превращается в равенство; б) f (x) · g(x) 6= 0; в) deg(f (x) · g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)). 4.04. а) Представьте в виде многочлена выражение √ √ (x + 2)4 + (x − 2)4 − (x3 + 3x − 1)(x2 + 7x + 2). б*) Каждый из двух многочленов f (x) и g(x) является суммой квадратов двух многочленов. Докажите, что f (x) · g(x) обладает тем же свойством. 4.05. а) Коэффициенты многочлена f (x) — натуральные числа, меньшие 10. Найдите f (x), если f (10) = 83547. б) Выражение (1 + 2x − 4x2 )2012 (1 − 7x + 5x2 )2013 после возведения в указанные степени, перемножения и приведения подобных членов становится многочленом. Найдите сумму всех его коэффициентов. 4.06. Разделите многочлен f (x) на многочлен g(x) с остатком: а) f (x) = 2x6 − 3x4 − 5x3 + x − 6, g(x) = x4 + 3x3 + 5; б) f (x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 5x − 2, g(x) = x2 + x + 2; в) f (x) = 5x3 − 2x2 − 2x − 1, g(x) = x2 + 4x + 3; г) f (x) = x3 − 9x2 + 27x − 27, g(x) = x2 − 2x + 4; д) f (x) = −12x4 + 4x3 + 9x2 − 1, g(x) = x2 + 7; е) f (x) = 4x5 + 7x4 + 6x3 + 3x + 1, g(x) = 2x3 + x2 + 3; ж) f (x) = x4 + x2 + 3, g(x) = x2 − 3; з) f (x) = 3x6 + 2x4 − 2x3 + x − 6, g(x) = x4 + 2x + 2; и) f (x) = −20x4 − 13x3 + 20x2 + 7x + 6, g(x) = x2 + x; к) f (x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6, g(x) = x2 − 3x + 1; л) f (x) = 0, g(x) = x3 + 2x; м) f (x) = x2 + 3x − 5, g(x) = x3 + 2; н) f (x) = x6 − 1, g(x) = x2 + x + 1; о) f (x) = 6x4 + 5x3 + 15x2 + x − 10, g(x) = 2x3 + 3x2 + 7x + 5; п) f (x) = x3 − 2x2 + 3x − 5, g(x) = x2 − 3x − 1; р) f (x) = 2x5 − 3x3 − x + 2, g(x) = x − 2; с) f (x) = x3 + 2x2 + x + 3, g(x) = 2x2 − 3x − 4; т) f (x) = x4 , g(x) = x3 + x2 + x + 1; у) f (x) = 3x4 − 2x3 + 7x − 3, g(x) = x2 − 3x − 2; ф) f (x) = x2 − 3x − 2, g(x) = 3x4 − 2x3 + 7x − 3; —1— АЛГЕБРА — 4 10 КЛАСС 2013 г. х) f (x) = 12x7 − 3x5 + 6x4 − 9x2 + 33, g(x) = 4x7 − x5 + 2x4 − 3x2 + 11; ц) f (x) = 4x7 − x5 + 2x4 − 3x2 + 11, g(x) = 12x7 − 3x5 + 6x4 − 9x2 + 33; ч) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = x − 1; ш) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = x + 1; щ) f (x) = x4 − 7x3 + 6x2 − 5x − 19, g(x) = 7x − 7; э) f (x) = x3 − 5x + 3, g(x) = 3x − 1; ю) f (x) = 3x5 − 2x4 + 3x3 − 7x2 + 2x − 1, g(x) = 3x − 1. 4.07. При делении P (x) на x − 1, x − 2, x + 1 остатки соответственно равны 3, 15, 0. Найдите остаток при делении P (x) на x3 − 2x2 − x + 2. 4.08. Докажите, что а) многочлен xn − an делится на двучлен x − a; б) многочлен x2n+1 + a2n+1 делится на двучлен x + a; в) многочлен x2n + a2n при a 6= 0 не делится на двучлен x + a. 4.09. Найдите остаток от деления x100 + 2x6 + x3 − 3 на x5 − 1. 4.10. Определите, при каком значении k многочлен x3 + 6x2 + kx + 12 делится без остатка на многочлен x + 4? 4.11. При каких значениях a и b многочлен f (x) делится без остатка на g(x): а) f (x) = x4 − 3x3 + 3x2 + ax + b, g(x) = x2 − 3x + 2; б) f (x) = x4 + 6x3 + 5x2 + ax + b, g(x) = x2 − 3x + 4; в) f (x) = x4 − 2x3 + ax + 2, g(x) = x2 + x + b; г) f (x) = x4 + ax + b, g(x) = x2 + ax + 1? 4.12. Определите, делится ли многочлен x5 + 3x4 + 4x3 − 2x2 + 5x − 5 на x2 − 3x + 2? 4.13. Следующее тождество докажите, не производя раскрытия скобок и сложения дробей, а используя свойства многочленов: (x − b)(x − c) (x − c)(x − a) (x − a)(x − b) + + = 1. (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) 4.14. (Схема Горнера.) Разделим многочлен f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 на двучлен x − c. Пусть Q(x) = bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 — частное, R — остаток (R — многочлен нулевой степени или нуль). Докажите, что коэффициенты bk частного Q(x) и остаток R можно вычислять по следующим рекуррентным формулам: bn−1 = an , bk = c · bk+1 + ak+1 , R = c · b0 + a0 , 1 6 k 6 n − 2. Удобно пользоваться таблицей, которая называется схемой Горнера: an c an bn−1 an−1 ... a1 a0 cbn−1 + an−1 . . . cb1 + a1 cb0 + a0 bn−2 ... a0 R 4.15. Пользуясь схемой Горнера, разделите многочлен f (x) на двучлен g(x): а) f (x) = x5 − 3x2 + 7x + 2, g(x) = x − 2; б) f (x) = x4 − 3x3 + 6x − 10x + 16, g(x) = x − 4; в) f (x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 1; —2— АЛГЕБРА — 4 10 КЛАСС 2013 г. г) f (x) = x3 + 6x2 + 12x + 8, g(x) = x + 2; д) f (x) = 2x3 + 3x2 − 2x − 3, g(x) = x + 2; е) f (x) = 6x3 + x2 − 20x − 12, g(x) = x − 3; ж) f (x) = x4 − 10x2 + 9, g(x) = x + 2; з) f (x) = x5 + 8x2 + 3, g(x) = x + 2; и) f (x) = x4 − 5x3 + 2x2 + 3x − 7, g(x) = x − 2; к) f (x) = 2x4 + 3x3 − 5x2 − 7x + 2, g(x) = x − 3. 4.16. Разложите многочлен на множители методом неопределённых коэффициентов: а) x4 − 4x3 − 10x2 + 37x − 14; б) 2x4 − 9x3 + 15x2 − 12x + 2. 4.17. Докажите, что если многочлен P (x) с целыми коэффициентами таков, что P (0) и P (1) нечётны, то уравнение P (x) = 0 не имеет целых корней. 4.18. Найдите сумму квадратов корней многочлена x3 + 3x2 − 7x + 1, предполагая, что они существуют. 4.19. Составьте кубический многочлен: а) имеющий корни 7; −2; 3; б) корни которого равны квадратам корней многочлена x3 − 6x2 + 11x − 6. 4.20. Пусть f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 , a0 , . . . , an ∈ Z, где a0 6= 0, an 6= 0. Докажите, что если p x0 = q , (p, q) = 1, — рациональный корень многочлена f (x), то an делится на q, a0 делится на p. В частности, все целые корни многочлена f (x) находятся среди делителей свободного члена a0 . 4.21. Найдите все корни многочлена x3 + 6x2 − x − 30. 4.22. Докажите, что при n, не кратном 3, многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1. √ 4.23. Число 1 + 3 является корнем многочлена x4 + ax3 + bx2 + 6x + 2. Найдите остальные корни, если a, b ∈ Q. 4.24. Докажите, что многочлен x3 + 5 не делится на приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. 4.25. Докажите, что многочлен x6 + x2 + a не делится на многочлен x3 + x + a ни при каких значениях a. 4.26. При каких значениях m и n многочлен x3 + mx + n делится без остатка на трехчлен x2 + 3x + 10? 4.27. Разложите на линейные множители многочлен x4 + x3 − 6x2 − 4x + 8. 4.28. Докажите, что четная степень числа 19, уменьшенная на 1, кратна 36. 4.29. Разложите на множители многочлен x8 + 4x4 + 16. 4.30*. Дан квадратный трехчлен √ √ √ √ √ √ (x − 5 3)(x − 3 13) (x − 7)(x − 5 3) (x − 7)(x − 3 13) √ √ √ + √ √ √ √ + √ √ √ √ . p(x) = √ ( 5 3 − 3 13)( 5 3 − 7) ( 7 − 3 13)( 7 − 5 3) ( 3 13 − 7)( 3 13 − 5 3) √ Найдите p( 11 89). 4.31*. Найдите остаток от деления многочлена x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 + x1189 на x2 − 1. Примечание. Задачи, отмеченные звездочкой, являются более трудными. —3—