- Механико-математический факультет

Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
История опытов с бросанием монеты
Часть 2. Опыт де Моргана1
Г.И.Фалин, д.ф.м.н., проф.
кафедра теории вероятностей
механико-математический факультет
МГУ им М.В.Ломоносова (Москва)
http://mech.math.msu.su/~falin
Во второй части статьи, используя оригинальную публикацию английского
математика и логика Огастеса де Моргана, мы подробно рассказываем о
приписываемом ему опыте с бросанием монеты. Как и в опыте де Бюффона, о
котором мы рассказывали в опубликованной в №9 за 2014 г. первой части статьи,
в этом опыте изучалась петербургская игра, а не частота выпадения орла при
большом числе бросаний монеты. Мы также кратко рассказываем о жизни и
научной работе этого выдающегося учёного
Ключевые слова:
петербургская игра
бросание
монеты,
опыты,
устойчивость
частот,
Г.И.Фалин. История опытов с бросанием монеты. Часть 2. Опыт де Моргана. Математика в
школе, 2014, №10, стр.52-57.
1
~1~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Огастес (Август) Де Морган (Augustus De Morgan, 27.06.1806 – 18.03.1871) –
знаменитый английский математик и логик. Подробное описание жизни де Моргана и
связанных с ним событий научной и общественной жизни Англии 19 века можно найти в
его биографии [1], написанной его женой.
Он родился в Индии, где служил его отец, подполковник Джон де Морган. В
начале 1807 года семья переехала в Англию. В феврале 1823 года, он поступил в
университет Кембриджа, где изучал математику и был одним из лучших студентов. В
1828 году, когда ему было только 22 года, он стал профессором только что основанного
(11 февраля 1826 года) Университетского Колледжа Лондона (University College London –
UCL) и проработал в нём, с небольшим перерывом, до 1866 года. Этот университет в
настоящее время является одним из ведущих высших учебных заведений мира и занимает
21 место в наиболее авторитетном рейтинге университетов, The Times Higher Education
World University Rankings 2013-2014. Де Морган был первым Президентом Лондонского
математического общества, основанного в 1865 году.
Огастес де Морган опубликовал большое число работ по математическому анализу,
алгебре, тригонометрии, теории вероятностей, но его основной вклад в науку связан с
логикой. Он, в частности, первым (в 1838 году) чётко описал метод математической
индукции и предложил сам термин «математическая индукция». Больше всего известны
знаменитые законы де Моргана, которые применяются в логике, теории множеств, теории
вероятностей, информатике (часть задач ЕГЭ по информатике решается применением
этих законов). В теории вероятностей законы де Моргана появляются в виде следующих
свойств операций над событиями.
Утверждение 1. Событие, противоложное к сумме событий А и В, равно
произведению событий, противоположных к А и В:
A B  A B  A B  AB.
Утверждение 2. Событие, противоложное к произведению событий А и В, равно
сумме событий, противоположных к А и В:
A B  A B  AB  A B.
Основной работой де Моргана по логике является книга «Формальная логика» [2],
опубликованная в 1847 году (на рис.2 приведена её обложка). Глава IX «О вероятности»
этой книги посвящена обсуждению различных философских вопросов, связанных с
понятием вероятности. В связи с этим на стр.184 де Морган затронул вопрос об
устойчивости частот и написал: «Трудный, но совершенно точный вывод из теории…
заключается в том, что события будут в конце концов происходить в числе,
пропорциональном объективным вероятностям…». Чтобы проиллюстрировать эту мысль,
на стр. 185 он привёл данные двух экспериментов с петербургской игрой – эксперимента
де Бюффона и ещё одного эксперимента, который стали приписывать ему самому.
Буквально де Морган пишет (на рис.2 приведён фрагмент страницы 185 с
цитируемым ниже текстом): «Подбросим монету в пол пенни и, если выпадет решка,
повторим бросание и т.д., до тех пор пока не выпадет орёл; назовём такую
последовательность набором. Вероятность того, что набор будет состоять из одного
1
бросания, как показывает теория, равна ; вероятность набора, который будет состоять из
2
~2~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
1
1
; трёх бросаний – и т.д. Если в ходе испытаний получено очень
4
8
большое число наборов, мы должны ожидать, что примерно половина будет состоять из
одного бросания, около четверти – из двух бросаний, примерно восьмая часть – из трёх
бросаний и т.д., при условии, что это число наборов достаточно большое, чтобы дать
надежду на получение значений, близких к средним. Этот эксперимент был проведён
дважды: один раз знаменитым Бюффоном и один раз моим молодым учеником для его
собственного удовольствия; оба дали 2048 наборов. Результаты таковы; третий столбец
для каждой возможности показывает число, которое теория считает наиболее вероятным.
двух бросаний, равна
Орёл
при
первом
бросании
Орла не было до
2-го бросания
3-го ––
4-го ––
5-го ––
6-го ––
7-го ––
8-го ––
9-го ––
10-го ––
11-го ––
12-го ––
13-го ––
14-го ––
15-го ––
16-го ––
и т.д.
B
1061
H
1048
1024
494
507
512
232
137
56
29
25
8
6
0
0
0
0
0
0
0
0
2048
248
99
71
38
17
9
5
3
1
0
0
1
0
1
0
2048
256
128
64
32
16
8
4
2
1
1
2048
В эксперименте Бюффона в общей сложности было 1992 решки и 2048 орлов, в
эксперименте мистера Н. было 2044 решки и 2048 орлов.»
Обратим внимание на следующие слова де Моргана: «этот эксперимент был
проведён… моим молодым учеником для его собственного удовольствия». История не
сохранила имя этого молодого человека; всё, что мы знаем – его фамилия начиналась на
латинскую букву H. Сам Де Морган в своей книге говорит об «эксперименте мистера Н.».
В таблице с результатами бросаний монеты столбец, где приведены результаты Бюффона,
он обозначает буквой В, а столбец со «своими» результатами – буквой Н. В 19 веке «опыт
де Моргана» не приписывали де Моргану; см., например, стр. 237 книги Джевонса [3] или
стр.48 книги К.Пирсона [4] – оба говорят об опыте «ученика де Моргана».
И де Бюффон, и ученик де Моргана разыграли по k=2048 партий петербургской
игры. Поэтому к опыту ученика де Моргана применимы все замечания, которые мы
делали в первой части нашей статьи по поводу опыта де Бюффона.
~3~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Но мы дополним их одним важным соображнением. Будем, как это обычно делают
в учебной литературе, интерпретировать (хотя это, как мы объяснили в первой части
нашей статьи, и незаконно) опыт ученика де Моргана как бросание монеты n=4092 раза.
Ожидаемое число орлов в таком эксперименте, k * , можно найти как произведение числа
1
экспериментов, n=4092, на вероятность p 
выпадения орла: k *  np  2046 . Реально
2
*
наблюдалось k  2048 орлов. Разница k  k равна 2, т.е. очень незначительна. Обычно
k
это трактуют как доказательство того, что частота выпадения орла v   0.5005
n
неограниченно приближается к вероятности p  0.5 этого события. На самом деле такая
близость частоты и вероятности скорее должна наводить на мысль о подтасовке
результатов опыта. Действительно, из курса теории вероятностей известно, что при
n=4092 экспериментах дисперсия числа выпадения орлов равна D(k )  np(1  p)  1023 ,
так что стандартное отклонение
D(k ) примерно равно 32. Наблюдаемое отклонение,
k  k * , как мы отмечали, равно 2. Если бы это число значительно превосходило
стандартное отклонение (например, в 2-3 раза), то это свидетельствовало бы о том, что
монета, скорее всего, несимметрична или при подсчёте числа выпадения орлов была
допущена ошибка (что не должно вызывать удивления при таком большом числе
экспериментов), или было какое-то жульничество. Но в нашем случае абсолютная
погрешность k  k * составляет лишь 1/16 стандартного отклонения. Такая незначительная
погрешность может быть объяснена желанием «продемонстрировать» близость частоты
выпадения орла к вероятности этого события.
Чтобы разобраться с этим, найдём, насколько вероятно отклонение наблюдаемого
числа орлов от ожидаемого не больше, чем на 2 (для n=4092 экспериментов). Вероятность
события k  k *  2 для k *  2046 равна сумме вероятностей 5 событий: «k=2044»,
«k=2045», «k=2046», «k=2047», «k=2048». Эти вероятности легко вычислить с помощью
стандартной функции BINOMDIST пакета Micsoft Excel – они равны 1.2448%, 1.2466%,
1.2472%, 1.2466%, 1.2448% соответственно (например, для вычисления вероятности
P(k  2044)
нужно
в
ячейку
таблицы
Excel
внести
формулу  BINOMDIST  2044, 4092,0.5,0 и нажать клавишу Enter). Поэтому при n=4092
экспериментах вероятность отклонения наблюдаемого числа орлов от ожидаемого не
больше, чем на 2, равна 6.23%. Хотя эта вероятность и не очень велика, событие такой
вероятности вполне может произойти в единичной серии бросаний монеты. Если
представить, что кто-то каждый день n=4092 раз бросает правильную монету, то за год
будет примерно 365  0.0623  23 дня (больше трёх недель) когда число орлов отклонится
от 2046 не больше, чем на 2. Вполне можно допустить, что день, когда ученик де Моргана
проводил свой эксперимент, относится к их числу. Поэтому оснований сомневаться в
добросовестности ученика де Моргана нет.
Отметим,
что
вероятность
события
равна
k  k*  1
1.2466%  1.2472%  1.2466%  3.74% . На практике иногда пренебрегают возможностью
наступления события такой вероятности в единичном опыте. Поэтому, если бы в
единичной серии из n  4092 бросаний монеты наблюдалось не 2048, а 2047 орлов, то это
скорее свидетельствовало бы о какой-то ошибке или жульничестве, чем подтверждало
~4~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
справедливость закона больших чисел. В этом случае для более определённого
заключения необходима детальная информация о динамике частоты выпадения орла по
мере роста числа бросаний до n  4092 . В нашей следующей статье, которая будет
посвящена опыту Джевонса, мы подробнее обсудим эту проблему.
На самом деле, сомнений в отсутствии подтасовок в опыте ученика де Моргана нет
по гораздо более простой причине – ученик де Моргана проводил совсем другой опыт, где
случайные колебания частот довольно значительны. Как и в опыте де Бюффона, в опыте
ученика де Моргана вычислялась не частота появления одиночного события «выпал
орёл», а частóты целой серии событий Ai =«орёл впервые появился после i-го бросания
монеты», i  1, 2,3, . Для некоторых значений i разница между наблюдаемым числом
N i появления события Ai и теоретически ожидаемым числом N i* появления того же
события
довольно значительна. Например, для i  4 относительная погрешность
*
Ni  Ni
составляет почти 23%, а для i  6 – почти 19%. С другой стороны, для i  1
N i*
относительная погрешность около 2%, а для i  2 меньше 1%. Поэтому статистический
анализ результатов опытов де Бюффона и де Моргана должен заключаться в оценке
1
близости наблюдаемых частот событий Ai к соответствующим вероятностям P  Ai   i в
2
целом, для всей группы этих событий.
Из приведённой выше таблицы из книги де Моргана трудно сделать даже
качественный вывод о том, подтверждают ли данные эксперимента его ученика теорию
или нет. Поэтому мы немного изменим форму представления результатов. Столбцы с
наблюдаемым числом N i появления события Ai и и теоретически ожидаемым числом N i*
появления события
погрешностями
Ai
Ni  Ni*
мы оставим, но дополним столбцами с абсолютными
и «относительными погрешностями»
N  N 
i
* 2
i
– из
Ni*
современного курса математической статистики известно, что в качестве относительной
N i  Ni*
погрешности должно рассматриваться именно это отношение,
а не
.
N i*
Математическая статистика также говорит, что для оценки близости наблюдаемых частот
и вероятностей нужно сгруппировать наблюдения, для которых N i* слишком мало
(скажем, меньше 10) в один класс. Поэтому события A8 , A9 , , вероятность наступления
которых по сравнению с числом экспериментов не очень велика, объединим в одно
событие2. В результате таблица, приведённая в книге де Моргана, примет следующий вид:
Как видно из оригинальных описаний опытов де Бюффона и ученика де Моргана, оба
они понимали важность группировки маловероятных наблюдений в один класс.
2
~5~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Таблица 1. Результаты опыта ученика де Моргана
число
бросаний
монеты в
одной партии
игры,
i
число
партий игры
с данным
числом
бросаний,
Ni
1
2
3
4
5
6
7
8,9,…
Итого:
1048
507
248
99
71
38
17
20
2048
ожидаемое
число партий
игры с
данным
числом
бросаний,
N i*
1024
512
256
128
64
32
16
16
2048
отклонение,
Ni  Ni*
«относительная
погрешность»
N  N 
* 2
i
i
Ni*
24
-5
-8
-29
7
6
1
4
0
0.5625
0.048828
0.25
6.570313
0.765625
1.125
0.0625
1
10.38477
2
1
N  Ni*  (её называют
*  i
i Ni
статистикой Пирсона) слишком велика, то проверяемую гипотезу следует отвергнуть.
Точная формулировка этого критерия связана с тем, что при большом числе k
экспериментов распределение случайной величины X 2 зависит только от числа r
анализируемых событий и не зависит от их вероятностей; оно называется распределением
 2 («хи-квадрат») с r  1 степенями свободы. Для опыта ученика де Моргана число
степеней свободы равно 7, а значение X 2 равно 10.38477 (оно стоит в правом нижнем
углу Таблицы 1). Значение X 2 , равное или бóльшее, чем 10.38477, наблюдается с
вероятностью 16.78% (это значение мгновенно вычисляется с помощью функции
CHIDIST программы Microsoft Excel). Поэтому отклонения наблюдаемых значений N i от
Если суммарная относительная погрешность X 2  
теоретических N i* объяснимы фактором случайности. Иначе говоря, хотя в опыте ученика
де Моргана случайные колебания частот наступления событий Ai довольно значительны,
они не выходят за пределы, которые допустимы для k=2048 партий петербургской игры.
Литература
1. Sophia Elizabeth de Morgan. Memoir of Augustus de Morgan. Longmans, Green and
Co., London, 1882.
2. Augustus De Morgan. Formal logic: or, The Calculus of Inference, Necessary and
Probable. Taylor and Walton, London, 1847.
3. W. Stanley Jevons. The Principles of Science: A Treatise on Logic and Scientific
Method. Macmillan and Co, Special American Edition, New York, 1874.
4. K.Pearson. The chances of death and other studies in evolution. Vol.1. Edvard Arnold,
London, 1897.
~6~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Рис. 1. Огастес (Август) Де Морган
~7~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Рис. 2 Титульный лист книги де Моргана «Формальная логика»
~8~
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin
Рис. 3 Часть страницы из «Формальной логики» де Моргана, где описан опыт его ученика
Digitally signed by проф.Г.И.Фалин
DN: cn=проф.Г.И.Фалин, o=МГУ им.М.В.Ломоносова, ou=механикоматематический ф-т, email=falin@mech.math.msu.su, c=RU
Date: 2015.12.09 15:05:18 +03'00'
~9~