Квантовая макрофизика. Лекция 1. Структура и колебания

В.Н.Глазков, «Квантовая макрофизика», 08.02.2016
Квантовая макрофизика.
Лекция 1. Структура и колебания кристаллических
решёток.
Трансляционная инвариантность.
T : ⃗r → ⃗r +a
⃗
a
рис. с сайта caricatura.ru
Среда выглядит одинаково для «наблюдателя» в точках с координатами r и
(r+a) = свойства среды не меняются при трансляции на вектор a.
Вектор трансляции a определён неоднозначно: вектор na также является
вектором трансляции.
Кристалл.
По определению, кристаллом называется твёрдое тело, в
котором есть тройка некомпланарных векторов трансляции
a, b, c.
Выбор неоднозначен. По определению выбирают правую тройку
векторов. Обычно выбирают либо вектора наименьшей длины, либо
тройку отражающую специальную симметрию кристалла. Длины
векторов = постоянные решётки.
c
b
α
β
γ
a
Вообще говоря: вектора произвольной
длины, под произвольными углами друг
к другу.
Решётка, базис, элементарная ячейка
⃗r =⃗r 0+n ⃗a +m ⃗b+ p ⃗c
Кристаллическая решётка = ГМТ, получающихся
применением трансляций к исходной точке.
Математическая абстракция.
Примитивная решётка: если для любой пары точек r и r' из которых среда
«выглядит» одинаково можно подобрать целые числа n, m, p для этого уравнения.
Базис (кристаллографический базис): группа атомов, применением к которой
операций трансляции можно полностью восстановить пространственное
расположение атомов в данном теле.
Кристаллическая структура: пространственное расположение атомов в кристалле.
Элементарная ячейка: элемент кристаллической структуры, периодической
трансляцией которого можно восстановить всю структуру.
Выделение элементарной ячейки в кристалле.
Варианты выбора элементарной ячейки на двумерной решётке: 1 и 2 - построение на векторах трансляции с разным расположением
элементарной ячейки относительно узлов решётки, 3 - построение ячейки Вигнера-Зейтца.
Выделение элементарной ячейки в кристалле.
Варианты выбора элементарной ячейки на двумерной решётке: 1 и 2 - построение на векторах трансляции с разным расположением
элементарной ячейки относительно узлов решётки, 3 - построение ячейки Вигнера-Зейтца.
Другие операции симметрии.
Помимо трансляций кристаллы могут обладать и другими симметриями:
инверсия, оси вращения, плоскости отражения. Центры инверсии, оси и плоскости
симметрии могут по разному располагаться внутри элементарной ячейки.
Но: Всего существует 230 пространственных групп симметрии.
Сочетание с трансляциями накладывает ограничение: возможны только оси 2,3,4 и
6 порядка.
Ось n-ого порядка: сечение элементарной ячейки
может быть выбрано в форме правильного nугольника (n>2)
После трансляций в вершинах соседствуют k
элементарных ячеек.
Внутренний угол n-угольника
α=π−2 π / n
По требованию мощения плоскости
2
k=
1−2/n
k α=2 π
в целых числах только
n=3, 4, 6
n=2 отдельно, очевидно
Квазикристаллы: есть ось 5 порядка, но нет
трансляционной инвариантности
Из слайдов нобелевской лекции Д.Шехтмана, С сайта http://www.nobelprize.org
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling
И в результате получаем...
Естественная
огранка часто
отражает форму
элементарной
ячейки и
наличие осей
симметрии
Естественная огранка кристаллов. С сайта Минералогического музея РАН. Верхний ряд: (слева) благородная шпинель, (справа) топаз. Нижний
ряд: (слева) топаз, (справа) рутил.
А если кристалл растёт достаточно долго...
Это человек.
И это не фотошоп.
Гигантские кристаллы гипса (селенит, структурная разновидность гипса, CaSO4·2H2O ) из "Пещеры кристаллов" в шахтном комплексе Найка
(Мексика). Фото из статьи в журнале National Geographic
Giant Crystal Cave Comes to Light , http://news.nationalgeographic.com/news/2007/04/photogalleries/giant-crystals-cave/index.html
Классификация кристаллических решёток. 2D.
A.
B.
b
b
a
a
Двумерные решётки Браве:
A. Косоугольная,
B. Прямоугольная,
D.
C.
C. Квадратная,
D. Гексагональная,
E. Центрированная прямоугольная.
b
b
a
a
E.
b'
a'
b
a
Показаны также оси элементарной
ячейки. Для прямоугольной
центрированной дополнительно
показаны оси примитивной ячейки.
Для гексагональной пунктир
выделяет шестиугольный мотив
структуры, залитые области — два
способа выбора примитивной
элементарной ячейки.
Решётки Браве в 3D.
базоцентрированные,
ГЦК и ОЦК решётки
— не примитивные!
Классификация решёток Браве в трёхмерном случае. Рисунок из БСЭ, по сайту Яндекс.Словари › БСЭ.
Описание позиций, направлений и плоскостей в
кристалле.
Позиция атома в ячейке: в координатах геометрического базиса векторов
трансляции (не ортонормированного!)
1 1 3
, ,
2 4 4
1
1⃗ 3
a + b + ⃗c
⃗r = ⃗
2
4
4
Направление в кристалле: по геометрическому базису векторов трансляции,
указывается в квадратных скобках.
[1,2 ,3]
d⃗ =1⋅⃗
a +2⋅⃗
b+3⋅⃗c
не ортонормированный базис, для некубических решёток нужно быть
осторожным.
Плоскости в кристалле: указываемые в круглых скобках индексы Миллера.
Индексы Миллера.
построить плоскость до
пересечения с
кристаллографическими
осями координат
(632)
определить какие отрезки
(в единицах
соответствующих
постоянных решётки)
отсекает эта плоскость от
осей координат
c
c
b
b
a
a
(120)
1;2;3
1;1/2;1/3
6;3;2
Ответ: (632)
2;1;
1/2;1;0
1;2;0
Ответ: (120)
взять обратные к этим
числам
привести их к
наименьшему целому,
кратному этим числам.
Структура NaCl
Решётка Браве этой
структуры — кубическая
гранецентрированная с
периодом 5.64 Å. Базис
состоит из двух атомов:
атома натрия 0;0;0
атома хлора 1/2;1/2;1/2
Слева: структура NaCl (с сайта http://chemistry.tutorvista.com/inorganic-chemistry/crystalstructure.html), атомы хлора отмечены оранжевым, атомы натрия — синим. Справа:
фрагменты
атомов,
попадающие
в
элементарную
ячейку
(с
сайта
http://departments.kings.edu/chemlab/animation/nacl.html),
атомы
хлора
показаны
красным, атомы натрия — синим.
Структура алмаза
Решётка алмаза является кубической
гранецентрированной.
Сторона
элементарного куба равна 3.57Å.
Базис состоит из двух атомов углерода
в позициях 0;0;0 и 1/4;1/4;1/4
Структура алмаза (с сайта
http://www.e6cvd.com/cvd/page.jsp?pageid=361)
Дифракция на кристалле. Условие Брэгга.
(010)
b

(130)

a
d
(110)
К выводу условия Брэгга. Слева: семейства различных плоскостей в кубическом кристалле в проекции на плоскость,
перпендикулярную оси c. Справа: вычисление разности хода лучей, рассеянных на соседних плоскостях.
2d sin θ=n λ
Амплитуда брэгговских пиков 1.
r'

k'
R
падающая волна
рис. с сайта
caricatura.ru
i( ⃗
k⋅⃗r −ωt )
⃗
⃗
E (⃗r )= E 0 e
рассеянная в точке ρ
⃗
k '⋅⃗r ' =∣⃗k '∣∣⃗r '∣
по смыслу точки
наблюдения
i⃗
k '⋅⃗r '
i( ⃗
k '⋅⃗
r '−ω t)
⃗ e
e
⃗ sc ( ⃗r ' )=C E
⃗ (⃗
E
ρ)
=C E⃗0 e i k⋅⃗ρ
∣⃗r '∣
∣⃗r '∣
∣⃗k∣=∣⃗k '∣=k
упругий процесс
???
Амплитуда брэгговских пиков 2.
r'

k'
R
i⃗
k '⋅⃗r '
e
⃗ sc ( ⃗r ' )=C E
⃗ (⃗
E
ρ)
=C E⃗0 e
∣⃗r '∣
i⃗
k⋅⃗
ρ
рис. с сайта
caricatura.ru
e
i( ⃗
k '⋅⃗
r '−ω t)
наблюдатель далеко от
кристалла!
∣⃗r '∣
⃗ −⃗
∣⃗r '∣=∣⃗
R−⃗
ρ∣=√ ( R
ρ)⋅( ⃗
R −⃗
ρ)≈ √ R 2−2 ⃗
R⋅⃗
ρ≈R−ρ cos ( ⃗
R ρ⃗ )
⃗
k '⋅⃗r ' =∣⃗k '∣∣⃗r '∣≈kR−k ρ cos ( ⃗
R⃗
ρ)≈kR−⃗
k '⃗
ρ т.к. с нашей
точностью
⃗
k '∥⃗
R
Амплитуда брэгговских пиков 3.
r'

k'
R
рис. с сайта
caricatura.ru
суммируем по всем
атомам всех сортов
E⃗sc = E⃗0 ∑ C p e
p
i ⃗k ρ⃗p
e
i( ⃗k ' r⃗p '−ω t)
i(kR−ωt )
e
i ( ⃗k− ⃗k ')⋅⃗
ρ
⃗
≈ E0
C
e
∑
p
R
p
p
∣r⃗p '∣
⃗
k '⋅⃗r ' =∣⃗k '∣∣⃗r '∣≈kR−k ρ cos( ⃗
R⃗
ρ )≈kR−⃗
k'⃗
ρ
Амплитуда брэгговских пиков 4.
r'

k'
R
рис. с сайта
caricatura.ru
суммируем по всем
атомам всех сортов
i (kR−ω t )
e
⃗
⃗
E sc≈ E 0
i (kR−ω t )
e
⃗
⃗
E sc = E 0
R
R
∑ Cpe
ρ⃗p= l⃗n+d⃗m
i( ⃗
k −⃗k ')⋅⃗
ρp
исх. точка
ячейки (узел
решётки)
p
×∑ C m e
i( ⃗k − ⃗k ')⋅d⃗m
m
по ячейке
i ( ⃗k− ⃗k ') ⃗l n
×∑ e
n
по решётке
координата в
ячейке
Что это значит?
i (kR−ω t )
e
i( ⃗
k −⃗
k ' )⋅d⃗
i (⃗
k− ⃗
k ' )⃗
l
⃗
⃗
E sc = E 0
×∑ C m e
×∑ e
R
m
n
m
n
Расходящаяся от
образца волна
Не ноль при условии
( ⃗k− ⃗
k ' )(n 1 ⃗a +n 2 ⃗
b+n3 ⃗c )=2 π p
Структурный фактор
элементарной ячейки.
Может оказаться нулём.
Измеряемая величина: интенсивность
для всех n1,2,3
изменение волнового
вектора при рассеянии
2
⃗ sc ( ⃗k −⃗
I ∝∣E
k ' )∣
Обратная решётка.
⃗
[ ⃗b×⃗c ]
[⃗
c
×⃗
a
]
[⃗
a
×
b]
∗
∗
⃗
a⃗ =2 π
, b =2 π
, c⃗ =2 π
(⃗
a⋅[ ⃗b×⃗
c ])
(⃗
a⋅[ ⃗
b×⃗c ])
(⃗
a⋅[ ⃗
b×⃗c ])
∗
Тройка некомпланарных векторов, также задают некоторую решётку,
которую называют обратной решёткой.
Размерность обратной длины [1/L] — как у волнового вектора.
Построение с этими векторами называют также построением в kпространстве или построением в обратном пространстве.
Если
∗
∗
∗
⃗
⃗
k −⃗
k ' = p1⃗
a + p2 ⃗
b + p3 ⃗
c =G
тогда (и только тогда) условие дифракции выполнено автоматически
( ⃗k− ⃗
k ' )(n 1 ⃗a +n 2 ⃗
b+n3 ⃗c )=2 π( p1 n1+ p2 n 2+ p3 n3 )
Тройка чисел p1,p2,p3 индексирует брэгговские пики
Пример применения понятия вектора
обратной решётки к задаче
дифракции.
Пример применения понятия вектора
обратной решётки к задаче
дифракции.
(0,0)
(1,0)
(0,1)
⃗b×⃗c ]
[
⃗
⃗ , ⃗a =2 π
k −⃗
k ' =G
(a
b ×⃗c ])
⃗⋅[ ⃗
∗
Диск=двумерная прямоугольная
решётка с периодом l вдоль витков и d
между витками спиральной дорожки.
X
Y
Вектора обратной решётки
параллельны трансляциям
Периоды обратной решётки 2p/l и 2p/d,
длина вектора k не меняется
в плоскости падения
Δ k x =2 π/l
k sin Θ−k sin Θ '=k cos Θ δ Θ=2 π/l
L
h= L ctg Θ '−L ctg Θ= 2 δ Θ=
sin Θ
2π L
Lλ
=
=
2
2
l k sin Θcos Θ l sin Θ cos Θ
в проекции на плоскость стола
Δ k y =2 π /d
k (0)
y =0, k x =const =k sin Θ
2π
tg ϕ=k y /k x =
= λ
d k sin Θ d sin Θ
Представление условия дифракции с помощью
обратной решётки.
2
⃗k 2 =( ⃗
k')
⃗
⃗
k '=⃗k+ G
упругое рассеяние
2
⃗
⃗
G +2 ⃗k G=0
условие дифракции
Это условие позволяет для заданного волнового
вектора падающего излучения перебрать все
возможные варианты рассеяния.
⃗ G)
⃗ 2
2⃗
k⋅G=(
2
⃗
⃗
⃗
k⋅( G / 2 )=( G/ 2)
⃗
( ⃗k−G⃗ /2 )⋅G=0
Если проекция волнового вектора на какой-то
вектор обратной решётки точно равна половине
этого вектора обратной решётки,
то такая волна автоматически удовлетворяет
условию дифракции и не может распространяться
в кристалле (активно рассеивается)
Построение Эвальда.
Построение Эвальда. Оранжевыми кружками показаны узлы обратной
решётки. Для различных длин волновых векторов (то есть разных длин
волн) условие дифракции оказывается выполнено для различных
направлений распространения рассеянных волн. Волновые вектора
падающей волны разнесены по вертикали для наглядности.
Связь с индексами Миллера.
Плоскость
(hkl )
по построению отсекает от осей
кристаллографической системы координат вектора
1 1⃗ 1
⃗a , b , ⃗c
h k
l
Нормаль к этой плоскости
(
n=
⃗
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
a− ⃗
b × ⃗a − ⃗c = ⃗
b ×⃗
c + ⃗c ×⃗
a + ⃗a× ⃗
b =const ( h ⃗
a∗+k ⃗b∗+l ⃗c ∗)
⃗
h
k
h
l
kl
hl
hk
вектор обратной решётки с теми же
индексами
G
⃗
⃗
k −⃗
k ' =G
k
k'
«отражение» от
⃗
плоскости ⊥ G
Брэгговский пик с индексами hkl
соответствует с точки зрения
условия Брэгга дифракции на
семействе плоскостей (hkl)
Не примитивные решётки.
[ ⃗b×⃗c ]
[⃗c ×⃗
a]
[⃗
a ×⃗
b]
∗
∗
⃗
a⃗ =2 π
, b =2 π
, c⃗ =2 π
⃗
⃗
(⃗
a⋅[ b×⃗
c ])
(⃗
a⋅[ b×⃗c ])
(⃗
a⋅[ ⃗
b×⃗c ])
∗
3
3
(2
π)
(2
π)
V ⃗k =( ⃗
a ⋅[ ⃗b ×⃗c ])=
=
⃗
V ⃗r
(⃗
a⋅[ b×⃗c ])
∗
∗
∗
⃗
⃗
k −⃗
k ' =G
Если вектора обратной решётки строятся по векторам трансляции не
примитивной решётки, вектора обратной решётки «короче», условие
дифракции будет предсказывать лишние брэгговские пики (при строгом
анализе — нулевой интенсивности).
По определению, во избежание путаницы, обратную решётку строят в таких
случаях по примитивной решётке
Как мы увидим далее, такое соглашение оказывается правильным и с точки
зрения подсчёта физически различных состояний.
Построение Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна.
⃗ G)
⃗ 2
2⃗
k⋅G=(
2
⃗
⃗
⃗
k⋅( G / 2 )=( G /2 )
⃗ )⋅G=0
⃗
( ⃗k −G/2
Построение Бриллюэна: проводим через середины всех
векторов обратной решётки плоскости, им перпендикулярные.
Эти плоскости высекают некоторые многогранники. Если
волновой вектор волны, отложенный от выбранного центра,
попадает на поверхность такого многогранника — он
удовлетворяет условию дифракции.
Такой многогранник наименьшего объёма будет элементарной ячейкой обратной
решётки. Такой способ построения элементарной ячейки называют ячейкой
Вигнера-Зейца.
Первая зона Бриллюэна, по определению, это ячейка Вигнера-Зейца для обратной
решётки.
По построению объём первой зоны Бриллюэна равен объёму элементарной ячейки
обратной решётки
3
3
(2
π)
(2
π)
V ⃗k =( ⃗
a ⋅[ ⃗b ×⃗c ])=
=
⃗
V ⃗r
(⃗
a⋅[ b×⃗c ])
∗
∗
∗
трансляции примитивной решётки
Колебания атомов в кристалле.
i-1
i
i+1
i+2
ui
Модель «шариков и пружинок». Аналогия с кристаллом: продольные колебания
кристаллографических плоскостей.
2
d uj
M
=C ( u j+1+u j −1 −2 u j )
2
dt
Колебания однородной цепочки.
d2uj
M
=C ( u j+1+u j −1 −2 u j )
2
dt
u j=u0 e
i (kx j −ωt )
ищем решение в форме бегущей волны с
произвольной амплитудой
x j = j⋅a
2
i ka
−M ω =C ( e
−i k a
+e
−2 ) =−2C ( 1−cos(k a) )=−4Csin
2
√ ∣ ( )∣
4C
ka
ω=
sin
M
2
Только при такой связи частоты и волнового вектора (при таком законе
дисперсии) волна распространяется по кристаллу без затухания.
( )
ka
2
Звуковые волны, порядки величины...
√ ∣ ( )∣
√
4M
ka
ω=
sin
C
2
0.8
w /w
max
k →0
C
ω=a
k =sk
M
звуковые колебания
0.4
∣ ( )∣
2s
ka
ω= sin
a
2
0
-4p/a -3p/a -2p/a
-p/a
0
p/a
k
V гр=
dω
dk
зануляется при
2p/a
3p/a
4p/a
s=103 м /сек
a=2⋅10−10 м
k =π/ a+2 π n/ a
ω max≃1013 1/сек
(ИК спектр,
соответствует энергии
~7мэВ или температуре
около 80К)
Роль первой зоны Бриллюэна.
u (k +2 π/a , ja)=u 0 e i ((k+2 π /a ) ja−ωt )=u0 e i(k⋅ ja−ωt ) e i 2 π j =u (k , ja)
В 1D k и k+2p/a описывают
физически одно колебание,
так как имеют смысл только
смещения в узлах решётки.
В 3D k и k+G аналогично
описывают одно колебание.
1
Волновые вектора всех
физически различимых
колебаний могут быть
собраны в первой зоне
Бриллюэна.
0
-1
Сравнение "мгновенных фотографий" волн с
различными волновыми векторами: k=0.1 (синяя
линия) и k=0.1+2π (красная линия). Символами
показаны смещения в точках дискретной решётки
с единичным периодом.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Цепочка с атомами двух сортов
i+1
i
A
B
uBi
2
MA
MB
A
d uj
B
A
2
2
=С ( u j +u j+1−2 u j )
dt
2 B
d uj
dt
B
=С ( u j−1+u j −2 u j )
A
A
B
Колебания неоднородной цепочки 1.
2
MA
MB
A
d uj
2
=С ( u Bj−1+u Bj −2 u Aj )
2
=С ( u Aj +u Aj+1−2 u Bj )
dt
d 2 u Bj
dt
A
A i (k x−ωt )
решение в форме
бегущей волны
u =u 0 e
B
B i (k x−ωt )
u =u 0 e
M A 2 A B −i ka
A
−
ω u 0 =u 0 ( e +1 )−2 u 0
C
MB 2 B A
−
ω u0 =u 0 ( 1+e i ka )−2 u0B
C
уравнения должны быть линейно
зависимы, мы можем изменять обе
амплитуды в произвольное число раз!
∣
!!!здесь a — период
цепочки, расстояние
между атомами одного
сорта!!!
2
M Aω
2−
C
−(1+e
ika
−(1+e
)
−i k a
M Bω
2−
C
2
∣
)
=0
Колебания неоднородной цепочки 2.
M AM B
C
2
4
ω −2
{
M A+M B 2
ω +2(1−cos ka )=0
C
2
M A+M B
C
2
ω=
±
M AM B
C
√
√(
(
2
)
M A+M B
M AM B
−2(1−cos ka )
2
C
C
}
2
)
2
M A+M B
C
2
2 M A +M B
ω =C
± C
−2(1−cos ka )
MAMB
M AMB
M AM B
оптическая
ветвь
акустическая
ветвь
Закон дисперсии в модели цепочки с атомами двух сортов.
Вычисление для C=1, MA=1, MB=2.
Первая зона Бриллюэна
Длинноволновая асимптотика
k →0
M A+M B
ω =C
M AM B
2
( √
ω=
скорость звука
{
2
(ka)
C
M AM B
M A+M B 2
2
1± 1−(ka )
=
2
(M A +M B )
M A+M B
M A M B (ka) 2
2C
1−
M AM B
(M A +M B )2 4
√
)
{√
(
√
(
∣ka∣
C
2(M A+M B )
звук
M A+M B
M A M B (ka)2
2C
1−
M AM B
(M A+M B )2 8
C
s=a
2( M A +M B )
)
√
)
M A +M B 2s M A+M B
ωопт (k =0)= 2C
=
M AM B
a √M A M B
ω max∼1013 1/сек
∣
M A ω2
2−
C
Колебания в центре
зоны Бриллюэна.
−(1+e
M A 2 A B −i ka
−
ω u 0 =u 0 ( e +1 )−2 u A0
C
MB 2 B A
−
ω u0 =u 0 ( 1+e i ka )−2 u0B
C
акустическая ветвь
ω=0
u
u
A
0
B
0
=1
колеблются вместе
ika
)
−(1+e
−i k a
M Bω
2−
C
2
∣
)
=0
ka →0
(
M Aω
2−
C
−2
2
−2
M ω
2− B
C
2
)
оптическая ветвь
√
ω= 2C
(
MA
−2
MB
−2
M A+M B
M AM B
−2
−2
MB
MA
)
u0A
MB
=−
B
MA
u0
колеблются в противофазе, центр
масс пары неподвижен
Колебания на границе зоны
Бриллюэна.
ω(k =π /a)=
√
)
−i k a
M Bω
2−
C
2
∣
)
=0
√
ω опт (k =0)
MA
= 1+
ωопт (k =π/a)
MB
M A 2 A B −i ka
A
−
ω u 0 =u 0 ( e +1 )−2 u 0
C
MB 2 B A
−
ω u0 =u 0 ( 1+e i ka )−2 u0B
C
(
−(1+e
ika
−(1+e
2C
M A, B
M B>M A
ka =π
∣
M A ω2
2−
C
M ω
2− A
C
0
2
0
M B ω2
2−
C
)
решением системы будет нулевая
амплитуда колебаний атомов одного
типа и стоячая волна колебаний атомов
другого типа. В оптической ветви
колебаний на границе зоны покоятся
тяжёлые атомы, в акустической —
лёгкие.
Предельный переход к однородной цепочке.
2.0
w, усл.ед.
1.5
1.0
MB=1.00
MB=1.03
MB=1.10
MB=1.30
MB=2.00
0.5
C=1.00
MA=1.00
0
-2p/a
-p/a
0
k
p/a
2p/a
Что было главного.
Прямая и обратная решётка.
● Связь вектора обратной решётки с условием дифракции на
кристалле.
● Построение первой зоны Бриллюэна.
● Модельные задачи о колебаниях в цепочках атомов.
● Первая зона Бриллюэна как место физически различных
колебаний.
●
A
⃗
⃗
k ' =⃗k+ G
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i+1
i
B
uBi