Контрольная по теории вероятностей 2

Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Задача 1. Некто заполнил карточку спортивной лотереи «6 из 49». Случайная величина X
– число угаданных им номеров при розыгрыше.
1) составить таблицу распределения случайной величины X;
2) построить многоугольник распределения;
3) найти функцию распределения и построить её график;
4) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины X;
5) найти вероятность P(X>2).
Решение. Пусть X - дискретная случайная величина, равная количеству угаданных
номеров в лотерее. Она может принимать значения от 0 до 6 (0,1,2,3,4,5,6). Найдем
соответствующие вероятности, используя классическое определение вероятности:
m
P = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число
n
всех возможных исходов.
49! 44 ⋅ 45 ⋅ 46 ⋅ 47 ⋅ 48 ⋅ 49
=
= 13983816 - число различных
6!43!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
способов выбрать 6 чисел из 49.
Для всех случаев n = C496 =
X = 0 , если из 6 чисел не угадано ни одного, то есть все они выбраны из 43 неверных
43! 38 ⋅ 39 ⋅ 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43
6
чисел. Поэтому m = C43
=
=
= 6096454 , тогда
6!37!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
m 6096454
P ( X = 0) = =
≈ 0, 43596 .
n 13983816
X = 1 , если из 6 чисел одно угадано верно и 5 не угадано. Поэтому
43!
39 ⋅ 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43
5
m = 6 ⋅ C43
=
=6
= 5775588 , тогда
6!38!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
m 5775588
P ( X = 1) = =
≈ 0, 41302 .
n 13983816
X = 2 , если из 6 чисел 2 угадано верно и 4 не угадано. Поэтому
6! 43! 5 ⋅ 6 40 ⋅ 41 ⋅ 42 ⋅ 43
4
m = C62 ⋅ C43
=
=
= 1851150 , тогда
2!4! 4!39! 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
m 1851150
P ( X = 2) = =
≈ 0,13238 .
n 13983816
X = 3 , если из 6 чисел 3 угадано верно и 3 не угадано. Поэтому
6! 43! 4 ⋅ 5 ⋅ 6 41 ⋅ 42 ⋅ 43
3
m = C63 ⋅ C43
=
=
= 246820 , тогда
3!3! 3!40! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3
m
246820
P ( X = 3) = =
≈ 0, 01765 .
n 13983816
X = 4 , если из 6 чисел 4 угадано верно и 2 не угадано. Поэтому
6! 43! 5 ⋅ 6 42 ⋅ 43
m
13545
2
m = C64 ⋅ C43
=
=
= 13545 , тогда P ( X = 4) = =
≈ 0, 00097 .
4!2! 2!41! 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2
n 13983816
1
X = 5 , если из 6 чисел 5 угадано верно и 1 не угадано. Поэтому m = C65 ⋅ C43
= 6 ⋅ 43 = 258 ,
m
258
тогда P ( X = 5) = =
≈ 0, 000018 .
n 13983816
1
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
X = 6 , если из 6 чисел все 6 угаданы верно. Поэтому m = C66 = 1 , тогда
m
1
≈ 0, 00000007 .
P ( X = 6) = =
n 13983816
Получаем ряд распределения случайной величины X :
xi
0
1
2
3
4
5
6
pi
0,43596
0,41302
0,13238
0,01765
0,00097
0,000018
0,00000007
Построим многоугольник распределения:
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,43596
0,41302
0,13238
0,01765
0
1
2
3
0,00097
4
0,000018 0,00000007
5
6
7
Найдем функцию распределения F ( x) по определению F ( x) = P ( X < x) , то есть
при х ≤ 0, F(x) = 0,
при 0< x ≤ 1, F(x) = 0 +0,43596= 0,43596,
при 1< x ≤ 2, F(x) = 0,43596+0,41302= 0,84898,
при 2< x ≤ 3, F(x) = 0,84898 +0,13238 = 0,98136,
при 3< x ≤ 4, F(x) = 0,98136 +0,01765 = 0,99901,
при 4< x ≤ 5, F(x) = 0,99901 +0,00097= 0,99998,
при 5< x ≤ 6, F(x) = 0,99998 +0,000018= 0,999998,
при x>6, F(x) =0,999998+0,00000007= 1.
Построим график функции F ( x) :
2
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
Найдем математическое ожидание:
M ( x) = ∑ xi pi ≈ 0, 7347 .
Найдем дисперсию:
D( x) = ∑ xi2 pi − ( M ( x))2 ≈ 1,1174 − 0, 7347 2 ≈ 0,5776 .
Найдем среднее квадратическое отклонение σ ( x) = D( x) = 0,5776 ≈ 0, 76 .
Расчеты в таблице ниже:
xi
pi
xi pi
2
i
x pi
0
1
2
3
4
5
6
0,43596 0,41302 0,13238 0,01765 0,00097 0,000018 0,00000007
Сумма
1,0000
0
0,41302 0,26476 0,05295 0,00388 0,00009 0,00000042
0,7347
0
0,41302 0,52952 0,15885 0,01552 0,00045 0,00000252
1,1174
Найдем вероятность P(X>2):
P ( X > 2) = P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5) + P ( X = 6) =
= 0, 01765 + 0, 00097 + 0, 000018 + 0, 00000007 ≈ 0, 0186.
Задача 2. Непрерывная случайная величина X задана с помощью функции распределения:
0, x ≤ 1;

F ( x) =  Ax ln x + Bx,1 ≤ x ≤ e;
1, x ≥ e.

1. найти неизвестные коэффициенты;
2. построить график функции распределения;
3. найти функцию плотности вероятностей и построить её график;
3
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
4. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины X;
5. найти вероятность P(X<2).
Решение. Найдем неизвестные коэффициенты A и B . Используем свойства функции
распределения: F (1) = 0 , F (e) = 1 . Подставляем:
F (1) = A ln1 + B = B = 0 , откуда B = 0 .
1
F (e) = Ae ln e = Ae = 1, откуда A = .
e
Таким образом:
0, x ≤ 1;
1

F ( x) =  x ln x,1 ≤ x ≤ e;
e
1, x ≥ e.
Построим график функции распределения:
Найдем функцию плотности вероятностей по определению:
0, x ≤ 1;
0, x ≤ 1;


1
1 
1
f ( x) = F '( x) =  1ln x + x  ,1 ≤ x ≤ e; =  ( ln x + 1) ,1 ≤ x ≤ e;
x
e 
e
0, x ≥ e.
0, x ≥ e.
Построим её график:
4
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
M (X ) =
∞
∫
−∞
e
e
1
1 1
1 
f ( x) xdx = ∫ (ln x + 1) xdx =  x 2 ln x + x 2  =
e1
e2
4 1
11
1  1 1
1  1 3
1 3
1 
=  e2 ln e + e 2  −  12 ln1 + 12  =  e2 −  =  e −  ≈ 1,95.
e2
4  e2
4  e4
4 4
4e 
D( X ) =
∞
∫
f ( x) x dx − ( M ( X ) )
2
−∞
e
2
e
2
1
1  11
2 
3
= ∫ (ln x + 1) x 2 dx −  e −  =  x3 ln x + x 3  −
e1
4e  e  3
9 1
4
2
2
2
1  11
2  11
2  3
1  5
2 3
1 
3
−  e −  =  e3 ln e + e3  −  13 ln1 + 13  −  e −  = e2 − −  e −  =
4e  e  3
9  e3
9  4
4e  9
9e  4
4e 
4
1 2 2 3
1
=−
e − + −
≈ 0, 233.
144
9e 8 16e 2
Среднее квадратическое отклонение σ = D( X ) ≈ 0, 483
Найдем вероятность P(X<2):
1
1
P ( X < 2) = F (2) − F (−∞) = 2 ln 2 − 0 = 2 ln 2 ≈ 0, 51.
e
e
Задача 3. Непрерывная случайная величина X задана с помощью функции плотности
распределения:
 A
, x > 0;

f ( x) = 1 + x 3
0, x < 0.
1. найти неизвестные коэффициенты;
2. построить график функции плотности вероятностей;
5
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
3. найти функцию распределения и построить её график;
4. найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины X;
5. найти вероятность P(X>1).
∞
Решение. Найдем неизвестный коэффициент A из условия нормировки:
∫
f ( x)dx = 1 .
−∞
Получаем:
∞
∫
−∞
B
∞
B
1
A
dx
1
1
 2x −1  
f ( x)dx = ∫
dx = A lim ∫
arctg 
= A lim  ln ( x + 1) − ( x 2 − x + 1) +
 =
3
3
→∞
→∞
B
B
1+ x
1+ x
6
3
 3  0
3
0
0
1
1
1
1
1
 2B −1  1
 −1  
= A lim  ln ( B + 1) − ( B 2 − B + 1) +
arctg 
− ln (1) + (1) −
arctg 

 =
B →∞ 3
6
6
3
3
 3  3
 3 

=A
2 3
π = 1,
9
9
3 3
=
.
2π
2 3π
Плотность распределения принимает вид:
3 3 1
, x > 0;

f ( x) =  2π 1 + x 3
0, x < 0.

Построим график функции:
Откуда A =
x
Найдем функцию распределения по определению: F ( x) =
∫
−∞
6
f (t )dt , поэтому
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
x
F ( x) =
∫
−∞
x
3 3 1
3 3 1
1 2
1
 2t − 1  
f (t )dt = ∫
dt =
arctg 
 ln ( t + 1) − ( t − t + 1) +
 =
3
2π 1 + t
2π  3
6
3
 3  0
0
x
=
3 3 1
1 2
1
1
1
 2x −1   3 3  1
 −1  
arctg 
arctg 
 ln ( x + 1) − ( x − x + 1) +
−
 ln (1) − (1) +

 =
2π  3
6
6
3
3
 3   2π  3
 3 
=
1
3 3 1
1 2
1
 2x −1  π
+
+ .
arctg 
 ln ( x + 1) − ( x − x + 1) +

2π  3
6
3
 3  6 3 6
Получаем:
3 3  1
1 2
1
1
 2x −1  π
arctg 
+
+  , x > 0;

 ln ( x + 1) − ( x − x + 1) +

F ( x) =  2π  3
6
3
 3  6 3 6

0, x < 0.
Построим её график.
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
∞
∞
B
3 3 xdx 3 3
xdx
M ( X ) = ∫ f ( x) xdx =
=
lim ∫
=
3
∫
B
→∞
2π 0 x + 1 2π
1 + x3
−∞
0
 1
3 3
1
1
 2x −1  
=
lim  − ln ( x + 1) + ( x 2 − x + 1) +
arctg 

2π B →∞  3
6
3
 3 
B
=
0
 1
3 3
1
1
1 1
 2B −1  1
 −1  
lim  − ln ( B + 1) + ( B 2 − B + 1) +
arctg 
+ ln (1) − −
arctg 

  = 1.
2π B →∞  3
6
6
3
3
 3  3
 3 
∞
∞
B
3 3 x 2 dx
3 3
x 2 dx
2
2
D( X ) = ∫ f ( x) x dx − ( M ( X ) ) =
−
1
=
lim
−1 =
2π ∫0 x 3 + 1
2π B →∞ ∫0 1 + x 3
−∞
=
=
3
2π
(
lim ln ( x 3 + 1)
B →∞
)
B
0
−1 =
3
2π
(
)
lim ln ( B 3 + 1) − ln (1) − 1 = ∞.
B →∞
7
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Найдем вероятность P(X>1):
3 3 1
1 2
1
1
 2 −1  π
+
+  ≈ 0,309
P( X > 1) = F (∞) − F (1) = 1 −
arctg 
 ln (1 + 1) − (1 − 1 + 1) +

2π  3
6
3
 3  6 3 6
−
Задача 4. Заданы функция плотности нормального распределения f ( x) = Ae
интервал (-5;1).
1.
2.
3.
4.
5.
2( x / 2+1)2
9
и
найти математическое ожидание m;
найти среднее квадратическое отклонение σ и дисперсию D;
найти неизвестный коэффициент А;
найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;
построить график функции плотности и на нём отметить площадь,
равную найденной вероятности.
Решение. По виду плотности распределения
−
2( x / 2+1)2
9
−
( x +2)2
18
−
( x +2)2
f ( x) = Ae
= Ae
= Ae 2⋅3 ,
сопоставляя его с каноническим видом для нормально распределенной случайной
величины:
 ( x − a)2 
1
f ( x) =
exp  −

2σ 2 
σ 2π

2
Получаем, что математическое ожидание a = m = −2 . Среднее квадратическое отклонение
равно σ = 3 , дисперсия D = σ 2 = 9 .
1
1
Найдем неизвестный коэффициент A =
=
.
σ 2π 3 2π
1 −
Получаем искомую плотность распределения: f ( x) =
e
3 2π
( x + 2)2
2⋅32
.
Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( −5;1) .
β −a
α − a 
Используем формулу P (α < X < β ) = Φ
 − Φ
 , где Φ( x) - функция Лапласа
 σ 
 σ 
(значения берутся из таблицы).
Получаем:
 1+ 2 
 −5 + 2 
P (−5 < X < 1) = Φ 
−Φ
 = Φ (1) − Φ ( −1) = 2Φ (1) = 2 ⋅ 0, 3413 = 0, 6826.
 3 
 3 
Построим график функции плотности и на нём отметим площадь, равную найденной
вероятности (закрашенная область):
8
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru
©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Задача 5. Число потерь самолётов в эскадрильи в ходе военной операции определённой
сложности подчиняется закону распределения Пуассона. Найти вероятность того, что в
предстоящей операции потери будут ниже среднего, если последнее составляет для
данного вида операций 7 самолётов.
Решение. Пусть X - число потерь самолетов, оно распределяется по закону Пуассона со
средним значением λ = 7 , то есть
7 k e −7
Pn ( k ) =
- вероятность того, что потери составят ровно k самолетов.
k!
Тогда вероятность того, что в предстоящей операции потери будут ниже среднего, равна:
Pn ( k < 7 ) = P (0) + P (1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) =
=
7 0 e−7 71 e −7 7 2 e −7 73 e−7 7 4 e −7 75 e −7 7 6 e−7
+
+
+
+
+
+
≈ 0, 45.
0!
1!
2!
3!
4!
5!
6!
Ответ: 0,45.
9