Когда график врёт.

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ÷àñòî îáëåã÷àåò ðåøåíèå çàäà÷è è ïîìîãàåò óâèäåòü êëþ÷åâóþ èäåþ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ìíîãèå øêîëüíèêè äîïóñêàþò îøèáêó, èñïîëüçóÿ ãðàôèê êàê åäèíñòâåííîå îáîñíîâàíèå ðåøåíèÿ: ¾Ïîñòðîèì ãðàôèê. Èç ãðàôèêà âèäíî,
÷òî...¿ è âñ¼. Ðàç èç ãðàôèêà âèäíî, çíà÷èò òàê è åñòü. È áûâàþò óäèâëåíû, êîãäà
òàêîå ðåøåíèå çàñ÷èòûâàåòñÿ íå â ïîëíûé áàëë.
Äåëî â òîì, ÷òî ãðàôèê ìîæåò êàê ïîäñêàçàòü, òàê è îáìàíóòü. Îñîáåííî ãðàôèê,
ïîñòðîåííûé â ñïåøêå îò ðóêè, áåç ó÷¼òà íþàíñîâ è îñîáåííîñòåé ôóíêöèé.
 ýòîé ñòàòüå ìû âíà÷àëå ïîêàæåì òðè ïðèìåðà, êîãäà íåòî÷íî ïîñòðîåííûé ãðàôèê ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì âûâîäàì, à çàòåì ðàçáåð¼ì, êàêèå äîïîëíèòåëüíûå
ðàññóæäåíèÿ ïîìîãàþò èçáåãàòü òàêèõ îøèáîê.
Îøèáêè
Ïðèìåð 1. Íà÷í¼ì ñ ðàññìîòðåíèÿ ïðèìåðà, íàèëó÷øèì îáðàçîì èëëþñòðèðóþùåãî ñêàçàííîå âûøå.
Íàéòè êîëè÷åñòâî êîðíåé óðàâíåíèÿ:
log1/16 x = 16−x .
Ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè ýòî óðàâíåíèå íå ðåøàåòñÿ. Ðàññìîòðèì ãðàôè÷åñêèé
ïîäõîä. Çäåñü è äàëåå ÿ ñîçíàòåëüíî ïîìèìî òî÷íûõ êîìïüþòåðíûõ ãðàôèêîâ áóäó ïðèâîäèòü êàðòèíêè ãðàôèêîâ, íàðèñîâàííûõ ¾îò ðóêè¿. Âåäü èìåííî íà òàêèõ
ãðàôèêàõ (íàðèñîâàííûõ â ñïåøêå â óñëîâèÿõ ýêçàìåíà) ñëó÷àþòñÿ îøèáêè. Íà ïðàâèëüíîì êîìïüþòåðíîì ãðàôèêå îøèáêè áûòü íå ìîæåò.
Èòàê, ðèñóåì ãðàôèêè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé óðàâíåíèÿ (ñì. ðèñóíîê 1, ñèíèì
öâåòîì ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè, êðàñíûì ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè):
Ãðàôèêè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, ó óðàâíåíèÿ îäèí êîðåíü. Êàçàëîñü áû âñ¼
î÷åâèäíî, æåëåçîáåòîííî, è êàêèå ìîãóò áûòü òóò ñîìíåíèÿ. Îáà ãðàôèêà âûãëÿäÿò
èìåííî òàê, êàê íàðèñîâàíî, âñå àñèìïòîòû ó÷òåíû...
1
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
Òåïåðü òå æå äâà ãðàôèêà, ïîñòðîåííûå â êîìüþòåðå:
www.UnderMath.ru
Íà èíòåðâàëå (0.2, 0.6) ãðàôèêè íàñòîëüêî áëèçêî ïðèëåãàþò äðóã ê äðóãó, ÷òî ïî
ðèñóíêó ñîâåðøåííî íåâîçìîæíî ñêàçàòü, ñêîëüêî òàì íà ñàìîì äåëå òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ.
¾Íó î÷åâèäíî æå, ðàç ñèíèé ãðàôèê áûë ñâåðõó, à ïîòîì ñòàë ñíèçó, çíà÷èò âñ¼
ðàâíî îäíà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ¿ ñêàæåò èçëèøíå ñàìîóâåðåííûé ÷èòàòåëü.
Ïîïðîáóåì åìó âîçðàçèòü: ñèíèé ãðàôèê ìîã ïåðåñå÷üñÿ ñ êðàñíûì, îêàçàòüñÿ ñíèçó,
çàòåì ñíîâà ïåðåñå÷üñÿ è îêàçàòüñÿ ñâåðõó, è â òðåòèé ðàç ïåðåñå÷üñÿ, ñíîâà îêàçàâøèñü ñíèçó. Ýòî âñ¼ ìîãëî ïðîèñõîäèòü íà óêàçàííîì èíòåðâàëå. Ðèñóíîê ýòîìó íå
ïðîòèâîðå÷èò.
- ¾Íå âåðþ¿ - ïðîäîëæàåò óïîðñòâîâàòü ÷èòàòåëü, - ¾ýòî êàêîå-òî ñëèøêîì íåîáû÷íîå
ïîâåäåíèå ãðàôèêîâ, òàê íå áûâàåò. Íàâåðíÿêà òàì îäíî ïåðåñå÷åíèå.¿
Îäêàçûâàåòñÿ áûâàåò. Âîîáùå â ìàòåìàòèêå âñ¼ áûâàåò.
Ó ýòîãî óðàâíåíèÿ òðè êîðíÿ: x = 1/4, x = 1/2 (ïðîâåðüòå ïîäñòàíîâêîé), è x ≈
0.364...
Ñðàçó îòìå÷ó: íàéòè ýòè òðè êîðíÿ ¾ïî-÷åñòíîìó¿ íèêàê íåëüçÿ. Áîëåå òîãî, òðåòèé êîðåíü âîîáùå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè è ìîæåò áûòü íàéäåí
òîëüêî ïðèáëèæ¼ííî. Ñåé÷àñ ðå÷ü íå î òîì, êàê ðåøàòü ýòî óðàâíåíèå (îíî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì íåðåøàáåëüíûì óðàâíåíèÿì), à î òîì, ÷òî ãðàôèê îêàçàëñÿ
îáìàí÷èâûì è ïðèâ¼ë ê íåïðàâèëüíîìó îòâåòó.
2
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Ïðèìåð 2. (Òðåíèðîâî÷íûé ÅÃÝ, 2010) Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè
êîòîðûõ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà
√
5 − x + |x + a| ≤ 3
ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.
Òàêèå çàäà÷è ñòàíäàðòíî ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôèêîâ. Ïåðåíåñ¼ì ìîäóëü âïðàâî, ÷òîáû áûëî óäîáíåå:
√
5 − x ≤ 3 − |x + a|,
ïîñëå ÷åãî ñòðîèì ãðàôèê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè. Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè ïåðåâ¼ðíóòàÿ ¾ãàëî÷êà¿, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ âëåâî-âïðàâî ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà. Ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè ñòàíäàðòíûé ãðàôèê êîðíÿ, òîëüêî îòðàæ¼ííûé è ñäâèíóòûé íà
5 åäèíèö âïðàâî:
Ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ýòî ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì êîðåíü íèæå ìîäóëÿ. Èç ðèñóíêà âèäèì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî (ñàìîãî ëåâîãî) ãðàôèêà ó íåðàâåíñòâà
âîîáùå íåò ðåøåíèé, äëÿ âòîðîãî è òðåòüåãî ãðàôèêîâ ìíîæåñòâî ðåøåíèé îòðåçîê (âûäåëåí çåë¼íûì öâåòîì), äëÿ ÷åòâ¼ðòîãî ãðàôèêà ðåøåíèé îïÿòü-òàêè íåò.
Ò.å. ïîä óñëîâèå çàäà÷è ïîäõîäÿò âòîðîé è òðåòèé ãðàôèêè, è íå ïîäõîäÿò ïåðâûé è
÷åòâåðòûé.
Äâèãàÿ ìîäóëü òóäà-ñþäà, âèäèì, ÷òî íàì ïîäõîäÿò âñå ïîëîæåíèÿ ãðàôèêà ìåæäó
êðàéíèì ïðàâûì è êðàéíèì ëåâûì, êîãäà ãðàôèêè èìåþò ïî îäíîé îáùåé òî÷êå:
3
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Êðàéíåå ïðàâîå ïîëîæåíèå ñîîòâåòñòâóåò a = −8, êðàéíåå ëåâîå ïîëîæåíèå a = 4. (Êàê ïîëó÷åíû ýòè ÷èñëà, ñåé÷àñ íåâàæíî).  èòîãå ïîëó÷àåì îòâåò a ∈ (−8, 4).
Êîãäà ÿ ïðîâîæó çàíÿòèÿ ñî øêîëüíèêàìè è ìû ðåøàåì ýòó çàäà÷ó, ïîëîâèíà
øêîëüíèêîâ íà äàííîì ýòàïå ñ÷èòàþò çàäà÷ó ðåø¼ííîé. Íî ÿ îáðàùàþ âíèìàíèå íà
îäèí ìîìåíò: íà ðèñóíêå 3 âòîðîé ãðàôèê ìîäóëÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ãðàôèêîì êîðíÿ â
äâóõ òî÷êàõ, à òðåòèé â îäíîé. Ýòî äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå ñèòóàöèè, è êîãäà
òàêîå âîçíèêàåò, íóæíî îñîáîå âíèìàíèå îáðàùàòü íà ïåðåõîäíûå ìîìåíòû: êîãäà
ãðàôèê âòîðîãî òèïà (ñ äâóìÿ ïåðåñå÷åíèÿìè) ïåðåõîäèò â ãðàôèê òðåòüåãî òèïà.
Äàâàéòå ïîñìîòðèì ýòîò ìîìåíò âíèìàòåëüíî.
Íà ðèñóíêå 5 ïîñåðåäèíå èçîáðàæ¼í ñëó÷àé, êîãäà âåòâü ìîäóëÿ ïðîõîäèò ÷åðåç êîíöåâóþ òî÷êó ãðàôèêà êîðíÿ, à ñëåâà è ñïðàâà áëèçêèå ê ýòîìó ïîëîæåíèÿ ãðàôèêà.
Âèäèì, ÷òî îïÿòü-òàêè íè÷åãî îñîáåííîãî, íà âñåõ òð¼õ ðèñóíêàõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé
îòðåçîê (âûäåëåí çåë¼íûì öâåòîì).
Òàêèì îáðàçîì âíèìàòåëüíîå èçó÷åíèå ãðàôèêîâ ïîêàçàëî, ÷òî:
åñëè ìîäóëü î÷åíü äàëåêî ñïðàâà, òî ðåøåíèé ó íåðàâåíñòâà íåò,
åñëè ìîäóëü è êîðåíü ïåðåñåêàþòñÿ, òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé âñåãäà îòðåçîê,
åñëè ìîäóëü äàëåêî ñëåâà, òî ðåøåíèé ó íåðàâåíñòâà íåò.
Òàêèì îáðàçîì îòâåò ê çàäà÷å a ∈ (−8, 4) ïðàâèëüíûé, êàêèõ ëèáî íþàíñîâ èëè
ëîâóøåê íå îáíàðóæåíî, çàäà÷à ðåøåíà.
Ïðèâåä¼ííûå âûøå ãðàôèêè íå ìîÿ âûäóìêà, à ðåàëüíî âçÿòû èç ðàáîò øêîëüíèêîâ.  ÷àñòíîñòè íà ìîèõ çàíÿòèÿõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ÿ íàáëþäàþ èìåííî
òàêèå ðèñóíêè ó÷åíèêîâ ïî ýòîé çàäà÷å.
Ïðîøó ÷èòàòåëÿ åù¼ ðàç ïåðåñìîòðåòü âñå ðèñóíêè è ðàññóæäåíèÿ. Òî÷íî ëè âñ¼
õîðîøî? Íåò ëè êàêèõ-íèáóäü ñîìíèòåëüíûõ ìîìîåíòîâ?
Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê âñ¼ âûãëÿäèò íà ñàìîì äåëå. Íà ðèñóíêå íèæå ïîêàçàí
ãðàôèê ïðè a = 2.15, ïîñòðîåííûé ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà:
4
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Âèäèì, ÷òî ìíîæåñòâîì ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ äâà îòðåçêà. Âòîðîé îòðåçîê åäâà çàìåòåí, ïîýòîìó ïîêàæåì åãî â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå:
Òàêèì îáðàçîì çíà÷åíèå a = −2.15 íå ïîäõîäèò è äîëæíî áûòü èñêëþ÷åíî èç
îòâåòà. Èíòåðâàë íåïîäõîäÿùèõ a íà÷èíàåòñÿ îò ìîìåíòà êàñàíèÿ ãðàôèêîâ è äî
ìîìåíòà ïðîõîæäåíèÿ ãðàôèêà ÷åðåç âåðøèíó (ðèñ. 8).
5
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ a è èñêëþ÷àÿ èõ èç îòâåòà, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûé îòâåò a ∈ (−8, −2.25] ∪ (−2, 4). ß íå ïðèâîæó çäåñü ýòè âû÷èñëåíèÿ, ò.ê.
îíè íå îòíîñÿòñÿ ê òåìå ñòàòüè.
Ïðèìåð 3. (ÅÃÝ-2012) Íàéòè âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå
5
− 3 = ax − 2
x
íà ïðîìåæóòêå (0; +∞) èìååò áîëåå äâóõ êîðíåé.
Çäåñü âñ¼ ïîõîæå íà ïðåäûäóùèé ñëó÷àé.
Ñòðîèì ãðàôèêè ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé (ðèñ.9).
Ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè (ñèíèé) ãèïåðáîëà, ñäâèíóòàÿ âíèç è îòðàæ¼ííàÿ. Ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè (êðàñíûé) ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
òî÷êó (0, −2). Ïðè èçìåíåíèè a ïðÿìàÿ âðàùàåòñÿ âîêðóã ýòîé òî÷êè. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíû ÷åòûðå ïðÿìûå ïðè ÷åòûð¼õ ðàçëè÷íûõ
a. Ïîñêîëüêó èùóòñÿ êîðíè òîëüêî íà ïðîìåæóòêå (0; +∞), ãðàôèêè ïîñòðîåíû òîæå
òîëüêî íà ýòîì ïðîìåæóòêå. Íóæíî, ÷òîáû
áûëî áîëåå äâóõ ïåðåñå÷åíèé ó ïðÿìîé è ãðàôèêà. È ìû âèäèì ïî ðèñóíêó, ÷òî òàêîãî íå áóäåò íèêîãäà: ïðè ëþáîì a òîëüêî îäíî
ïåðåñå÷åíèå, èëè âîîáùå íåò ïåðåñå÷åíèé (åñëè a ≤ 0).
Èòàê, îòâåò, êîòîðûé ìîæíî äàòü ïî ãðàôèêó ïóñòîå ìíîæåñòâî. Èñêîìûõ a íå
ñóùåñòâóåò.
Óïðàæíåíèå 0.1.
Âû óæå äîãàäûâàåòåñü ïî îïûòó ïðåäûäóùèõ ïðèìåðîâ, ÷òî
îòâåò íåïðàâèëüíûé è ñ ãðàôèêàìè ÷òî-òî íå òî. Ïîïðîáóéòå ñàìè ïîíÿòü, ÷òî
èìåííî.
Òåïåðü ñìîòðèì, ÷òî íà ñàìîì äåëå.
6
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Âèäèì, ÷òî â òî÷êå èçëîìà ãðàôèê ãèïåðáîëû èä¼ò áîëåå êðóòî ââåðõ, ÷åì íà
ãðàôèêàõ, ïîñòðîåííûõ îò ðóêè. È ïðîõîäèò íå ïîä ïðÿìîé, à ñëåãêà íàä íåé. Íà
ðèñóíêå 11 ôðàãìåíò ãðàôèêà â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå.
7
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Ïðè a = 6/5 ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó èçëîìà, à ïðè a = 5/4 êàñàåòñÿ ãèïåðáîëû (ðèñ. 12). Èíòåðâàë ìåæäó ýòèìè çíà÷åíèÿìè è áóäåò îòâåòîì: a ∈ (6/5, 5/4).
Èçáåãàíèå îøèáîê
¾È êàêîé îòñþäà âûâîä? Âû ïðåäëàãàåòå íîñèòü ñ ñîáîé íà ýêçàìåí êîìïüþòåð?¿
ñïðîñèò ÷èòàòåëü.
Íåò, íå ïðåäëàãàþ. Íî êàê ãîâîðèòñÿ, ïðåäóïðåæä¼í çíà÷èò âîîðóæ¼í. Ðàññìîòðèì åù¼ ðàç âñå òðè ïðèìåðà è âûÿñíèì, ìîæíî ëè èçáåæàòü îøèáîê, íå ïîëüçóÿñü
êîìïüþòåðîì.
 ïðèìåðå 2 êëþ÷åâîé ìîìåíò êîãäà ïðàâàÿ âåòâü ìîäóëÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî ãðàôèêà êîðíÿ. Íà ãðàôèêå, íàðèñîâàííîì îò ðóêè, êîðåíü îêàçàëñÿ ïîä ìîäóëåì,
à íà ãðàôèêå, íàðèñîâàííîì íà êîìïüþòåðå íàä. Åù¼ ðàç ïîêàæåì ïðàâèëüíîå è
íåïðàâèëüíîå ïîñòðîåíèå ãðàôèêà íà îäíîì ðèñóíêå:
8
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Êàê ìîæíî èõ ðàçëè÷èòü áåç êîìïüþòåðà? Äëÿ ýòîãî íóæíî âñïîìíèòü, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà ãðàôèêà â òî÷êå (îíà æå óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé) âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíîé. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðàâîé âåòâè ìîäóëÿ ðàâåí
−1. Åñëè áû ãðàôèê êîðíÿ âûãëÿäåë êàê íàðèñîâàíî îò ðóêè íà ðèñ. 13, óãëîâîé
êîýôôèöèåíò åãî áûë áû ïî ìîäóëþ ìåíüøå 1 (ò.å. â èíòåðâàëå (-1, 0)), ïîòîìó ÷òî
ýòîò ãðàôèê áîëåå ïîëîãèé, ÷åì ïðÿìàÿ. Îäíàêî âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ êîðíÿ:
√
0
1
,
5−x =− √
2 5−x
è âèäèì, ÷òî â òî÷êå 5 ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò: çíàìåíàòåëü ðàâåí íóëþ. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè ïðîõîäèò âåðòèêàëüíî (óãëîâîé êîýôôèöèåíò ðàâåí +∞), è ãðàôèê èä¼ò êðóòî ââåðõ, êðó÷å ÷åì ëþáàÿ íàêëîííàÿ ïðÿìàÿ,
ïðîâåä¼ííàÿ ÷åðåç åãî êîíåö. Íà ðèñóíêå êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ïîêàçàíà ÷¼ðíûì
ïóíêòèðîì.
Ïîõîæàÿ ñèòóàöèÿ â ïðèìåðå 3. Íà ðèñóíêå 14 ïîêàçàíû:
çåë¼íûì öâåòîì ãðàôèê ëåâîé ÷àñòè (ãèïåðáîëà), ïîñòðîåííûé â êîìïüþòåðå,
ñèíèì öâåòîì òîò æå ãðàôèê (ñïðàâà îò òî÷êè èçëîìà), ïîñòðîåííûé îò ðóêè,
êðàñíûì öâåòîì ïðÿìîÿ y = ax − 2, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó èçëîìà.
9
Ãåîðãèé Ñåìåíîâè÷ Ìóòàôÿí
+79265460671
www.UnderMath.ru
Âîïðîñ: êàê áåç êîìïüþòåðà îïðåäåëèòü, ÷òî ïðàâèëüíûé ãðàôèê çåë¼íûé, à íå
ñèíèé?
Êîîðäèíàòû òî÷êè èçëîìà ãèïåðáîëû: (5/3, 0). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó èçëîìà ãèïåðáîëû è òî÷êó (0, −2), ðàâåí 6/5 (åñëè âû íå
ïîíèìàåòå, îòêóäà âçÿëîñü ýòî ÷èñëî, ïðî÷èòàéòå òåìó ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ). Óðàâíåíèå, çàäàþùåå ãèïåðáîëó ñïðàâà îò òî÷êè èçëîìà: y = 3 − x5 (ìîäóëü ðàñêðûâàåòñÿ
ñ ìèíóñîì). Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíóþ: y0 = x5 , y0(5/3) = 9/5 > 6/5. Ò.å. íàêëîí
ãèïåðáîëû â òî÷êå èçëîìà áîëüøå, ÷åì íàêëîí ïðÿìîé, ïîýòîìó ãèïåðáîëà ïðîõîäèò
íàä ïðÿìîé. Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà òîì æå ðèñóíêå 14 ïîêàçàíà (÷¼ðíûì ïóíêòèðîì)
êàñàòåëüíàÿ ê ãèáåðáîëå â òî÷êå èçëîìà.
Íàêîíåö â ïðèìåðå 1... À âîò çäåñü ñëîæíåå. Îïðåäåëèòü âðó÷íóþ, êàê çäåñü ïðîõîäÿò ãðàôèêè, íåâîçìîæíî. Òîëüêî íà êîìïüþòåðå. Ýòî èëëþñòðàòèâíûé ïðèìåð,
êîòîðûé íå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íè íà êàêîì ýêçàìåíå èëè îëèìïèàäå.
 çàêëþ÷åíèå çàìå÷ó, ÷òî äàæå åñëè âû ðåøàåòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà è
ðåøèëè ïðàâèëüíî, ò.å. ïîëó÷èëè âåðíûé îòâåò, òîëüêî ãðàôè÷åñêîå îáîñíîâàíèå âñ¼
ðàâíî ìîæåò áûòü çàñ÷èòàíî íå ïîëíîñòüþ. Ïîòîìó ÷òî â ýòîì ïðàâèëüíîì îòâåòå
åñòü äîëÿ ñëó÷àéíîñòè: âàì ïðîñòî ïîâåçëî. Ïîñòðîéòå âû ãðàôèê ÷óòü èíà÷å è
îòâåò ïîëó÷èëñÿ áû äðóãèì. Ïîýòîìó âñåãäà â ñîìíèòåëüíûõ ðàññóæäåíèÿõ ñ ãðàôèêàìè íóæíî ïðèâîäèòü îáîñíîâàíèÿ, ïî÷åìó ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ áóäåò èìåííî
òàêèì.
2
10