Практикум по теме 1 «Парная линейная регрессия» также развитие следующих навыков:

Практикум по теме 1 «Парная линейная регрессия»
Методические указания по выполнению практикума
Целью практикума является более глубокое усвоение темы 1, а
также развитие следующих навыков:
• Обоснование выбора парной линейной модели;
• Построение модели выборочной парной линейной регрессии;
• Оценка адекватности построенной модели, статистической
значимости коэффициентов, построение доверительных
интервалов, построение прогнозов;
• Проверка основных предположений регрессионного анализа.
Характерной особенностью эконометрического исследования
является необходимость анализа достаточно большого объема эмпирических данных, выполнение многочисленных и порой громоздких
вычислений.
Практикум содержит как достаточно абстрактные задачи, целью
которых в первую очередь являет закрепление теоретического материала, так и лабораторные работы, демонстрирующие практические
методики прикладного эконометрического исследования. В то же время, лабораторные работы включают в себя задания (например, вычисление непосредственно по формулам) целью которых является
выяснение студентами сути используемых теоретических приемов и
формул. Такие задания отмечены в тексте звездочкой.
Практические задания и лабораторные работы выполняются с
использованием Microsoft Excel. Практикум не содержит систематического описания статистических функций Excel — в тексте описано их
использование в рамках рассматриваемых задач. Отчет по лабораторной работе может быть представлен в виде файла Excel, содержащего расчеты, формулы и необходимые пояснения. Исходные данные, необходимые для выполнения работы, в практикуме не приведены и предоставляются преподавателем, ведущим практические занятия.
Перед выполнением заданий практикума рекомендуется внимательно изучить материал контента темы 1, ответить на содержащиеся
в нем вопросы для самостоятельного изучения, провести самостоятельный анализ всех разобранных примеров.
Решение типовых задач.
ТЗ 1.1. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R 2 и корреляции rxy если известно, что
1
n = 30 ,
100
∑ ei2 = 103 627,8 ,
y = 406,7 ,
i =1
n
∑(x − x )
i =1
i
2
x = 10,6 ,
100
∑(y − y)
i =1
i
2
=417 700,5 ,
= 547,2 , S x = 4,34 , S y = 120 . Проверьте значимость rxy . Вычис-
лите коэффициенты выборочной парной линейной регрессии. Проверьте статистическую значимость коэффициента b . Постройте для
него доверительный интервал. Постройте прогноз для значения
x p = 17 и доверительные интервалы прогноза.
Решение.
Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся
определением:
30
)
( yi − yi )2
∑
103627,8
=1
R 2 = 1 − i30
=1−
≈ 0,7519
.
417700,5
2
∑ ( yi − y )
i =1
Так как R 2 = rxy2 , то
rxy = 0,7519 ≈ 0,8671 .
Для проверки статистической значимости коэффициента корреляции вычислим значение t -статистики коэффициента корреляции:
0,8671
tr =
28 = 9,21 .
2
1 - 0,8671
По таблице распределения Стьюдента с 28 степенями свободы и
для уровня значимости 5% определяем критическое (табличное) значение: tтабл = 2,0484 . Так как tr > tтабл , то гипотезу H 0 : ρ yx = 0 следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент rxy статистически
значимым.
Для нахождения коэффициентов выборочной парной линейной
регрессии воспользуемся формулами связи коэффициентов с выборочными характеристиками:
s
120
b = y rxy =
⋅ 0,8671 ≈ 23,9752
sx
4,34
и
s
a = y − y rxy x = 406,7 − 23,9752 ⋅ 0,8671 = 152,7969 .
sx
Для того, чтобы проверить статистическую значимость коэффициента регрессии, прежде всего, необходимо вычислить значение выборочного остаточного среднего квадратического отклонения:
2
n
∑e
2
i
103627,8
≈ 60,8358
n−2
28
Теперь можно определить стандартную ошибку коэффициента:
S
60,8358
mb = ост =
= 2,6007 ,
sx n 4,35 30
с помощью которой находим соответствующую t -статистику
b 23,9752
tb =
=
≈ 9,21
.
mb 2,6007
S ост =
i =1
=
Так как tb > tтабл (значение tтабл , как и раньше, взято из таблицы
распределения Стьюдента при 28 степенях свободы и уровне значимости 5%), то гипотезу H 0 : β = 0 следует отклонить и, следовательно,
признать коэффициент b статистически значимым.
Левая граница доверительного интервала для этого коэффициента, соответствующего уровню значимости 5%, имеет значение
b − mbtтабл ≈ 18,63 , правая граница — b + mbtтабл ≈ 29, 28 .
Прогноз для значения x p = 17 вычисляется непосредственной
подстановкой этого значения в уравнение регрессии:
)
y p = 152,7969 + 23,9752 ⋅ 17 ≈ 560,07 .
Стандартная ошибка прогноза функции регрессии (среднего значения)
mEx ( y ) = Sост
( x p − x )2
1
1 (17 − 10,6)2
+
= 60,8358
+
≈ 20,01,
30 30
30
547,2
2
∑ ( xi − x )
i =1
а стандартная ошибка прогноза индивидуально значения
( xp − x )2
1
1 (17 − 10,6) 2
)
m y p = Sост 1 +
+
= 60,8358 1 +
+
≈ 64,04 .
30 30
30
547,2
2
∑ ( xi − x )
i =1
Тогда доверительный интервал прогноза среднего значения, соответствующий 5% уровню значимости, имеет левую границу, равную
)
)
y p − mEx ( y ) tтабл ≈ 519,09 и правую границу — y p + mEx ( y ) tтабл ≈ 601,06 . Левая
граница доверительного интервала прогноза индивидуального значе)
)
ния y p − my) p tтабл ≈ 428,89 , правая граница — y p + my) p tтабл ≈ 691,26 .
Задания практикума.
1.1. По выборке объемом 10 наблюдений получены следующие
результаты:
3
S x2 = 34,49 ,
10
∑x
i =1
2
i
S y2 = 66,93 ,
= 12000 ,
10
∑y
i =1
2
i
10
∑ xi = 100 ,
i =1
10
∑ yi = 200 ,
i =1
10
∑x y
= 21000 ,
i i
i =1
= 45000 . Оцените коэффициент корреляции rxy .
Проверьте его значимость.
1.2. Вычислите коэффициент корреляции, проверьте его статистическую значимость
X
1
2
3
4
5
Y
0
2
3
5
6
1.3 По выборке объемом 10 наблюдений получены следующие
результаты:
10
∑ xi = 100 ,
i =1
10
∑y
i =1
2
i
10
∑ yi = 200 ,
i =1
10
∑ xi yi = 21000
i =1
10
∑x
i =1
2
i
= 12000
= 45000 . Оцените по методу наименьших квадратов коэффициен-
ты парной линейной регрессии y на x .
1.4. Вычислите коэффициенты выборочной парной линейной
регрессии, если известно, что S ост = 26,5 , x = 21, y = 112,45 , S x2 = 64 ,
SY2 = 225 , rxy = 0,8 .
1.5. По имеющимся данным оцените параметры парной линейной регрессионной зависимости y = α + β t .
t
1
3
6
y
4
5
8
1.6. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R 2 и корреляции rxy если известно, что
n = 100 ,
100
∑e
i =1
2
i
= 1100 , y = 470 ,
100
∑(y − y)
i =1
2
i
= 22500 , S x2 = 115 , S y2 = 225 . Про-
верьте значимость rxy .
1.7. Вычислите для парной линейной регрессии значения коэффициентов детерминации R 2 и корреляции rxy если известно, что
n = 100 ,
)
, ∑ ( yi − y ) 2 = 10000 ,
100
y = 470 ,
i =1
100
∑(y − y)
i =1
i
2
= 22500 ,
S x2 = 121 ,
S = 225 .Проверьте значимость rxy .
1.8. Проверьте значимость выборочного коэффициента корреляции rxy = 0,92 если известно, что n = 27, Sост = 120000, x = 171, y = 28 .
1.9. Проверьте значимость и постройте доверительные интервалы для коэффициентов парной линейной регрессии (в таблице приведены результаты расчета с помощью функции ЛИНЕЙН):
23,67709724
147,0581
2,416418105
28,23179
2
y
4
0,774210261
57,90167
96,00917851
28
321880,6662
93872,89
1.10. Постройте доверительный интервал прогноза условного
математического ожидания (функции регрессии) если известно, что
x p = 20 , x = 10,83 , S x2 = 19,8, (в таблице приведены результаты расчета
с помощью функции ЛИНЕЙН):
23,67709724
147,0581
2,416418105
28,23179
0,774210261
57,90167
96,00917851
28
321880,6662
93872,89
1.11. Постройте доверительный интервал прогноза индивидуального значения, если известно, что x p = 20 , x = 10,83 , S x2 = 19,8, (в
таблице приведены результаты расчета
НЕЙН):
23,67709724
2,416418105
0,774210261
96,00917851
321880,6662
с помощью функции ЛИ147,0581
28,23179
57,90167
28
93872,89
Лабораторная работа 1.1. «Парная линейная регрессия»
Задание
По выборке необходимо построить эмпирическую парную линейную регрессию, проверить ее статистическую значимость и построить
прогноз.
1. Для заданных исходных данных постройте поле корреляции —
диаграмму зависимости показателя y от фактора x .
При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
2*. Вычислите выборочные характеристики:
— выборочные средние x и y (функция СРЗНАЧ);
— выборочные дисперсии S x2 и S y2 (функция ДИСПР);
— выборочное среднее квадратические отклонения S x и S y
(функция СТАНДОТКЛОНП);
— выборочный коэффициент корреляции rxy (функция ПИРСОН
или КОРРЕЛ).
3. Вычислите коэффициенты выборочной линейной регрессии.
5
Для вычисления коэффициентов регрессии воспользуйтесь
встроенной функцией ЛИНЕЙН (функция находится в категории
«Статистические»), обратите внимание, что эта функция является
функцией массива, поэтому ее использование подразумевает выполнение следующих шагов:
1) В свободном месте рабочего листа выделите область ячеек
размером 5 строк и 2 столбца для вывода результатов;
2) В Мастере функций (категория «Статистические») выберите
функцию ЛИНЕЙН.
3) Заполните поля аргументов функции:
Известные_значения_y — адреса ячеек, содержащих значения
признака y ;
Известные_значения_x — адреса ячеек, содержащих значения
фактора x ;
Константа — значение (логическое), указывающее на наличие
свободного члена в уравнении регрессии: укажите в поле Константа
значение 1, тогда свободный член рассчитывается обычным образом
(если значение поля Константа равно 0, то свободный член полагается равным 0);
Статистика — значение (логическое), которое указывает на то,
следует ли выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет: укажите в поле Статистика значение равное 1,
тогда будет выводиться дополнительная регрессионная информация
(если Статистика=0, то выводятся только оценки коэфициентов
уравнения регрессии);
4) После того, как будут заполнены все аргументы функции, нажмите комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.
Результаты расчета параметров регрессионной модели будут
выведены в виде следующей таблицы:
Значение коэффициента b
Значение коэффициента a
Стандартная ошибка mb коСтандартная ошибка ma коэфэффициента b
фициента a
Стандартное отклонение осКоэффициент детерминации
2
татков S ост
R
Число степеней свободы, равЗначение F -статистики
ное n − 2
Регрессионная сумма квадраОстаточная сумма квадратов
n
n
)
тов ∑ ( yi − y )2
∑ ei2
i =1
i =1
4*. Проверьте полученные значения коэффициентов a , b непосредственным вычислением по формулам.
6
5. Запишите найденной уравнение эмпирической регрессии. Дайте интерпретацию коэффициенту b . Вычислите по уравнению эмпири)
ческой регрессии значения yi = a + bxi , i = 1, n .
6. Постройте на корреляционном поле прямую выборочной ли)
нейной регрессии по точкам yi = a + bxi , i = 1, n .
)
7. Вычислите остатки ei = yi − yi .
8. Постройте график остатков (тип диаграммы — «Точечная»).
9. Найдите величину средней ошибки аппроксимации
)
1 n yi − yi
A= ∑
100% .
n i=1 yi
10*. Вычислите коэффициент детерминации R 2 непосредственно
по формуле. Дайте интерпретацию. Сравните полученное значение
коэффициента детерминации с вычисленным ранее с помощью функции КОРЕЛЛ выборочным коэффициентом корреляции.
11*. Рассчитайте значение S ост , стандартные ошибки параметров
линейной регрессии и коэффициента корреляции непосредственно по
формулам.
12. Вычислите значения t -статистик коэффициентов выборочной
регрессии. Проверьте статистическую значимость полученных значений коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции. Табличные значения определите с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР. Аргументы этой функции:
Вероятность — уровень значимости α (можно принять равным
0,05, т.е. 5%);
Степени_свободы — число степеней свободы, для парной линейной регрессии равно n − 2 , где n — число наблюдений.
13. Проверьте значимость в целом полученного уравнения регрессии по критерию Фишера. Значение Fтабл определите с помощью
функции FРАСПОБР. Аргументы этой функции:
Вероятность — уровень значимости α (можно принять равным
0,05, т.е. 5%);
Степени_свободы1 — число степеней свободы числителя, для
парной регрессии равно 1 (т.к. один фактор);
Степени_свободы2 — число степеней свободы знаменателя,
для парной регрессии равно n − 2 , где n — число наблюдений.
14. Вычислите доверительные интервалы параметров линейной
регрессии. Дайте им интерпретацию.
)
15. Постройте прогноз y p при значении фактора x на 30% превышающего его среднее значение.
16. Вычислите стандартные ошибки прогноза функции регрессии
(среднего значения) и индивидуального значения, постройте доверительные интервалы полученных прогнозов.
7
Дайте им интерпретации.
17. Получите результаты регрессионного анализа с помощью
средства Регрессия из Пакета Анализа (Сервис/Анализ данных/Регрессия). Пакет анализа, при необходимости, может быть активирован в пункте Надстройки меню Сервис.
В бланке запроса этой процедуры поля Входной интервал y,
Входной интервал x, Константа имеют тот же смысл, что и для
функции ЛИНЕЙН.
В поле Метки поставьте флажок, если первая строка в указанном диапазоне данных содержит названия столбцов.
Поставьте флажок в полях Остатки, График остатков, График
подбора для того, чтобы получить соответствующую дополнительную
информацию.
8