мощности множеств

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013
Ëåêöèÿ 3: ìîùíîñòè ìíîæåñòâ
Àííîòàöèÿ
Êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå. Êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ. Ðàâíîñèëüíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ áèåêöèè ìåæäó êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè è ðàâåíñòâà
êîëè÷åñòâ ýëåìåíòîâ â íèõ. Ðàâíîìîùíîñòü ìíîæåñòâ. Ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ ïî
ìîùíîñòè. Îñíîâíûå ñâîéñòâà. Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà. Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà. Ñ÷¼òíîå îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. Íåñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ
áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö. Òåîðåìà Êàíòîðà. Êîíòèíóàëüíûå ìíîæåñòâà. Êîíòèíóóì-ãèïîòåçà.
1
Êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â êîíå÷íîì ìíîæåñòâå
Åñëè ìíîæåñòâî A êîíå÷íî, òî ÷åðåç |A| îáîçíà÷àåòñÿ êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â í¼ì.
Èñïîëüçóþò òàêæå îáîçíà÷åíèå #A, îñîáåííî êîãäà A çàïèñàíî ïðè ïîìîùè ôèãóðíûõ
ñêîáîê. Ôîðìàëüíî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî
èíäóêöèè:
Ïóñòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ 0-ýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì. Åñëè a ∈
A è A \ {a} ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì, òî ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ (n + 1)ýëåìåíòíûì.
Îïðåäåëåíèå 1.
Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ
äëÿ íåêîòîðîãî n ∈ N.
Îïðåäåëåíèå 2.
êîíå÷íûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì
Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà a.
Åñëè a1, a2 ∈ A è A \ {a1} ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì, òî A \ {a2}
òîæå ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå ïî èíäóêöèè.  êà÷åñòâå áàçû âîçü-
Óòâåðæäåíèå 3.
ì¼ì ñëó÷àé n = 0.  ýòîì ñëó÷àå A \ {a1 } ïóñòî, îòêóäà A = {a1 }. Ïîñêîëüêó a2 ∈ A,
ïîëó÷àåì, ÷òî a2 = a1 . Îòñþäà A\{a2 } = A\{a1 } = ∅, òî åñòü A\{a2 } òîæå 0-ýëåìåíòíî.
Ïóñòü äëÿ n óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Äîêàæåì äëÿ n + 1. Ñëó÷àé a1 = a2 î÷åâèäåí,
ïîýòîìó ðàññìîòðèì ñëó÷àé a1 6= a2 .  òàêîì ñëó÷àå a2 ∈ A \ {a1 }. Ïîñêîëüêó A \ {a1 }
ÿâëÿåòñÿ (n + 1)-ýëåìåíòíûì, ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ïîëó÷àåì, ÷òî A \ {a1 , a2 } =
(A \ {a1 }) \ {a2 } ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì. À ïîñêîëüêó a1 ∈ A \ {a2 } è (A \ {a2 }) \ {a1 } =
A \ {a1 , a2 }, ïîëó÷àåì, ÷òî ìíîæåñòâî A \ {a2 } òîæå ÿâëÿåòñÿ (n + 1)-ýëåìåíòíûì, ÷òî
è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå 4.
Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ n-ýëåìåíòíûì ðîâíî äëÿ îäíîãî n.
Ýòî ÷èñëî n íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâîì ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå è îáîçíà÷àåòñÿ |A|.
1
Ïóñòü A è B ñóòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà. Òîãäà ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà |A| = |B|.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì äîêàçûâàòü óòâåðæäåíèå ïî èíäóêöèè. Ïóñòü ñóùåñòâóåò áèÓòâåðæäåíèå 5.
åêöèÿ F : A → B è |A| = n. Åñëè n = 0, òî A = ∅ è â ñèëó áèåêòèâíîñòè B òîæå
äîëæíî áûòü ïóñòî. Èíà÷å ýëåìåíòó B íè÷åãî áû íå ñîîòâåòñòâîâàëî. Åñëè n > 0, òî A
ñîäåðæèò íåêîòîðûé ýëåìåíò a. Â ñèëó áèåêòèâíîñòè åìó
ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé ýëåìåíò b. Òîãäà A \ {a} ÿâëÿåòñÿ (n − 1)-ýëåìåíòíûì, à F A\{a} ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé ìåæäó
A \ {a} è B \ {b}. Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè |B \ {b}| = n − 1 è ïîòîìó |B| = n, ÷òî
è òðåáîâàëîñü.
Îáðàòíî, ïóñòü |A| = |B| = n. Åñëè n = 0, òî A = B = ∅ è åäèíñòâåííîå îòîáðàæåíèå
F : ∅ → ∅ ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé. Åñëè n > 0, òî âûáåðåì ïðîèçâîëüíûå a ∈ A è b ∈ B .
Òîãäà |A \ {a}| = |B \ {b}| = n1 è ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ F : A \ {a} → B \ {b}. Äîïîëíèâ
å¼ çíà÷åíèåì F (a) = b, ïîëó÷èì áèåêöèþ ìåæäó A è B .
2
Ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ ïî ìîùíîñòè
Ïî ñëîâàì Þðèÿ Áóðìàíà, ñóäüáà âñåõ õîðîøèõ òåîðåì ñòàíîâèòüñÿ îïðåäåëåíèÿìè. Ýòî ñëó÷èëîñü è ñ ïîñëåäíåé òåîðåìîé ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà: îíà ñòàëà îïðåäåëåíèåì ðàâåíñòâà êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ â äâóõ ìíîæåñòâàõ.
Îïðåäåëåíèå 6. Ìíîæåñòâà A è B íàçûâàþòñÿ
åêöèÿ ìåæäó A è B . Îáîçíà÷åíèå: A ∼
= B.
ðàâíîìîùíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò áè-
Ìû íå áóäåì ïîêà ãîâîðèòü î ìîùíîñòÿõ ìíîæåñòâ (êàðäèíàëüíûõ ÷èñëàõ) ñàìèõ
ïî ñåáå, à áóäåì ãîâîðèòü ëèøü î ñðàâíåíèè ìîùíîñòåé. Ëåãêî íàáëþñòè ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà.
Ïðè âñåõ A, B è C âûïîëíåíû óòâåðæäåíèÿ:
a) A ∼= A (ðåôëåêñèâíîñòü ∼=);
b) Åñëè A ∼= B , òî B ∼= A (cèììåòðè÷íîñòü ∼=);
c) Åñëè A ∼= B è B ∼= C , òî A ∼= C (òðàíçèòèâíîñòü ∼=).
Äîêàçàòåëüñòâî.  ïåðâîì ïóíêòå â êà÷åñòâå áèåêöèè íóæíî âçÿòü idA, âî âòîðîì Óòâåðæäåíèå 7.
îáðàòíóþ áèåêöèþ, â òðåòüåì êîìïîçèöèþ áèåêöèé.
íå áîëåå ìîùíî, ÷åì ìíîæåñòâî B , åñëè
Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî A
∼
A = B1 äëÿ íåêîòîðîãî B1 ⊂ B . Îáîçíà÷åíèå: A 6
∼ B.
Îïðåäåëåíèå 8.
Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ ïî ìîùíîñòè ðåôëåêñèâíî (A 6
∼ A) è òðàíçè6
6
òèâíî (Åñëè A 6
∼ B è B ∼ C , òî A ∼ C ). Âìåñòî ñèììåòðè÷íîñòè áóäåò ñâîéñòâî, ïîõîæåå
íà àíòèñèììåòðè÷íîñòü, óñòàíàâëèâàåìîå íåòðèâèàëüíîé òåîðåìîé:
Òåîðåìà 9
(Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà).
2
Åñëè A 6∼ B è B 6∼ A, òî A ∼= B .
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè A 6∼ B , òî A ∼= B1 äëÿ íåêîòîðîãî B1 ⊂ B . Îáîçíà÷èì ÷åðåç f
ñîîòâåòñòâóþùóþ áèåêöèþ èç A â B1 . Àíàëîãè÷íî B ∼
= A1 äëÿ íåêîòîðîãî A1 ⊂ A,
îáîçíà÷èì ÷åðåç g áèåêöèþ èç B â A1 . Îïðåäåëèì A2 êàê g(B1 ). Ïîñêîëüêó B1 ⊂ B , òî
A2 = g(B1 ) ⊂ g(B) = A1 , ïðè ýòîì A2 ∼
= B1 ∼
= A. Ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå, ýêâèâàëåíòíîå
èñõîäíîé òåîðåìå: åñëè A2 ⊂ A1 ⊂ A0 è A2 ∼
= A0 , òî A1 ∼
= A0 . Ýòî óòâåðæäåíèå ìû è
áóäåì äîêàçûâàòü.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç h áèåêöèþ èç A0 â A2 . Äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k > 2 îïðåäåëèì
ðåêóðñèâíî Ak êàê h(Ak−2 ). Òàêæå îïðåäåëèì ñëîè Ck êàê Ak \ Ak+1 . Ïîñêîëüêó h áèåêöèÿ, òî h(Ck ) = Ck+2 è h çàäà¼ò áèåêöèþ ìåæäó Ck è Ck+2 . Îäíàêî íå îáÿçàòåëüíî
ëþáîé ýëåìåíò A0 âîéä¼ò â êàêîé-òî ñëîé. Áóäåò åù¼ ÿäðî C = ∩∞
k=0 Ak . Òîãäà A0 =
C ∪ C0 ∪ C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ . . . è A1 = C ∪ C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ . . . . Íàêîíåö, ïîñòðîèì áèåêöèþ α
ìåæäó A0 è A1 :
(
x,
x ∈ C ∪ C1 ∪ C3 ∪ C5 ∪ . . .
α(x) =
h(x), x ∈ C0 ∪ C2 ∪ C4 ∪ . . .
Ýòî äåéñòâèòåëüíî áèåêöèÿ: âñå ýëåìåíòû ñëî¼â ñ íå÷¼òíûìè íîìåðàìè, à òàêæå ýëåìåíòû ÿäðà, îñòàþòñÿ íà ìåñòå, à âñå ñëîè ñ ÷¼òíûìè íîìåðàìè áèåêòèâíî îòîáðàæàþòñÿ â
ñëîè ñ íîìåðàìè, íà 2 áîëüøèìè. Òàêèì îáðàçîì, ýêâèâàëåíòíîå óòâåðæäåíèå, à ñ íèì
è èñõîäíàÿ òåîðåìà, äîêàçàíû.
Íà ìîùíîñòÿõ ìîæíî ðàññìîòðåòü è ñòðîãèé ïîðÿäîê.
Îïðåäåëåíèå 10.
÷åíèå: A . B .
Ìíîæåñòâî A
ìåíåå ìîùíî, ÷åì B , åñëè A 6∼ B , íî A 6∼= B . Îáîçíà-
Ñòðîãîå ñðàâíåíèå ìíîæåñòâ ïî ìîùíîñòè àíòèðåôëåêñèâíî (A 6. A äëÿ ëþáîãî
A), àíòèñèììåòðè÷íî (÷òî â äàííîì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè A . B , òî B 6. A) è
òðàíçèòèâíî. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B âåðíî îäíî èç òð¼õ
óòâåðæäåíèé: A . B , A ∼
= B èëè B . A, íî äîêàçàòåëüñòâî èñïîëüçóåò òåîðåìó Öåðìåëî, êîòîðàÿ âûõîäèò çà ðàìêè ýòîãî êóðñà.
3
Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå 11.
N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Ìíîæåñòâîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Îïðåäåëåíèå 12. Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ
ñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæå-
Ñî ñ÷¼òíûìè ÷èñëàìè ñâÿçàí èçâåñòíûé ïàðàäîêñ Ãàëèëåÿ. Îí ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {n2 | n ∈ N}. Ñ îäíîé
ñòîðîíû, â ýòîì ìíîæåñòâå ìåíüøå ýëåìåíòîâ, ÷åì â ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
ïîñêîëüêó ëþáîé êâàäðàò ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, íî íå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà
ñóòü êâàäðàòû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êâàäðàòîâ ñòîëüêî æå: êàæäîìó ÷èñëó âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò åãî êâàäðàò. Îäíàêî, äëÿ áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ íå âîçíèêàåò
3
ïðîòèâîðå÷èÿ â òîì, ÷òî ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíî ñâîåìó ïîäìíîæåñòâó, ÷òî è ðàçðåøàåò
ïàðàäîêñ.
Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ìíîæåñòâà ïðîíóìåðîâàííûõ ýëåìåíòîâ: åñëè A ∼
= N, òî â ÷àñòíîñòè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ a : N → A, ïîýòîìó A = {a(0), a(1),
a(2), . . . }. Îáû÷íî íîìåðà ïèøóò íå â ñêîáêàõ, à â èíäåêñå: A = {a0 , a1 , a2 , . . . }.
Èçâåñòíà ñëåäóþùàÿ ìåòàôîðà, ïðåäëîæåííàÿ Äàâèäîì Ãèëüáåðòîì. Èìååòñÿ ãðàíäîòåëü, â êîòîðîì äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà åñòü (îäíîìåñòíàÿ) êîìíàòà ñ òàêèì
íîìåðîì. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñ÷¼òíûì, åñëè åãî ìîæíî ðàññåëèòü â ýòîì îòåëå.
Èìåÿ â âèäó ýòó ìåòàôîðó, óäîáíî äîêàçûâàòü ñâîéñòâà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ.
Óòâåðæäåíèå 13.
Ïóñòü A ñ÷¼òíî, à B ⊂ A. Òîãäà B ëèáî êîíå÷íî, ëèáî ñ÷¼òíî.
 òåðìèíàõ ãðàíä-îòåëÿ: åñëè â îòåëå áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïîñòîÿëüöåâ, òî ìîæíî çàíÿòü èìè âñå êîìíàòû îòåëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íóæíî óïëîòíèòüðàññåëåíèå, à èìåííî
ïåðåñåëèòü ïîñòîÿëüöà èç êîìíàòû n â êîìíàòó ñ íîìåðîì, ðàâíûì ÷èñëó ïîñòîÿëüöåâ
â êîìíàòàõ ñ íîìåðàìè ìåíüøå n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî åñëè A ñ÷¼òíî, B
⊂ A è B áåñêîíå÷íî, òî B òàêæå
ñ÷¼òíî. Ïóñòü α : A → N áèåêöèÿ. Ðàññìîòðèì β : B → N, îïðåäåë¼ííóþ ðàâåíñòâîì
β(b) = #{c ∈ B | α(c) < α(b)}. Òîãäà, âî-ïåðâûõ, β êîððåêòíî îïðåäåëåíà. Âî-âòîðûõ,
β ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé. Åñëè b1 6= b2 , òî α(b1 ) 6= α(b2 ). Åñëè, íàïðèìåð, α(b1 ) < α(b2 ),
òî β(b1 ) < β(b2 ), ïîñêîëüêó {c ∈ B | α(c) < α(b2 )} ⊃ {c ∈ B | α(c) < α(b1 )} ∪ {b1 }.
Ñëó÷àé α(b1 ) > α(b2 ) àíàëîãè÷åí, òàê ÷òî β(b1 ) 6= β(b2 ) ïðè b1 6= b2 . Íàêîíåö, β ÿâëÿåòñÿ ñþðúåêöèåé. Ðàññìîòðèì ðÿä ÷èñåë #{c ∈ B | α(c) < N }. Ýòî íåóáûâàþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñåäíèå ÷ëåíû êîòîðîé ðàçëè÷àþòñÿ íå áîëüøå, ÷åì íà 1. Çíà÷èò,
åñëè îíà íå ïðèíèìàåò êàêîãî-òî çíà÷åíèÿ K , òî îíà íå ïðèíèìàåò è âñåõ á
îëüøèõ çíà÷åíèé.  òàêîì ñëó÷àå B íå ìîæåò ñîäåðæàòü áîëüøå K ýëåìåíòîâ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
åãî áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè èíúåêòèâíîñòü è ñþðúåêòèâíîñòü β , à
çíà÷èò è áèåêòèâíîñòü.
Óòâåðæäåíèå 14.
ñ÷¼òíî.
Ïóñòü A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî, à b 6∈ A. Òîãäà A ∪ {b} òîæå
 òåðìèíàõ ãðàíä-îòåëÿ óòâåðæäåíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: íåñìîòðÿ íà òî,
÷òî âñå êîìíàòû çàíÿòû, â îòåëü ìîæíî ïîäñåëèòü åù¼ îäíîãî ïîñòîÿëüöà. Äåéñòâèòåëüíî, íóæíî ïîïðîñèòü êàæäîãî ïåðåñåëèòüñÿ â ñëåäóþùóþ êîìíàòó, à íîâîãî ïîñòîÿëüöà
ïîñåëèòü â íóëåâóþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôîðìàëüíî, ïóñòü α : N → A áèåêöèÿ. Òîãäà îïðåäåëèì áèåêöèþ
β : N → (A ∪ {b}) òàê: β(0) = b è β(n) = α(n − 1) äëÿ n > 0.
ßñíî, ÷òî òàêèì îáðàçîì ìîæíî ïîäñåëèòü ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî ïîñòîÿëüöåâ, îòêóäà ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùåå
Óòâåðæäåíèå 15.
Åñëè A ñ÷¼òíî, à B êîíå÷íî, òî A ∪ B òîæå ñ÷¼òíî.
Îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî ïîäñåëèòü è ñ÷¼òíîå ÷èñëî ïîñòîÿëüöåâ. Îáû÷íî ãîâîðÿò òàê:
ðÿäîì ñòîÿëè äâà ãðàíä-îòåëÿ, îáà ïîëíîñòüþ çàñåë¼ííûå, à ïîòîì îäèí çàêðûëñÿ íà
ðåìîíò. Êàê âñåõ ðàññåëèòü â îñòàâøåìñÿ îòåëå? Ðåøåíèå: íóæíî ïîñòîÿëüöåâ îäíîãî
îòåëÿ ðàññåëèòü ïî ÷¼òíûì íîìåðàì, à äðóãîãî ïî íå÷¼òíûì. Ôîðìàëüíî, âåðíî
4
Óòâåðæäåíèå 16.
Åñëè A è B ñóòü ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà, òî A ∪ B òîæå ñ÷¼òíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî A ∪ B = A ∪ (B \ A). Åñëè ìíîæåñòâî B \ A êîíå÷íî, òî
óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî. Èíà÷å îíî ñ÷¼òíî ïî óòâåðæäåíèþ 13.
Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå äîñòàòî÷íî äîêàçàòü äëÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ A è B .
 ýòîì ñëó÷àå ïóñòü α : N → A è β : N → B ñóòü áèåêöèè. Òîãäà ïîñòðîèì áèåêöèþ
γ : N → A ∪ B ïî ïðàâèëó: γ(2k) = α(k), à γ(2k + 1) = β(k).
Ïî èíäóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî íå òîëüêî äâà, íî è ëþáîå êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî âåðíî è äëÿ ñ÷¼òíîãî îáúåäèíåíèÿ.
Ïðîäîëæàÿ ìåòàôîðó, èìååòñÿ ãðàíä-àâåíþ ãðàíä-îòåëåé, íà êîòîðîé äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà åñòü ãðàíä-îòåëü ñ òàêèì íîìåðîì. Âñå íîìåðà âñåõ îòåëåé çàïîëíåíû,
è âäðóã âûøåë óêàç, çàïðåùàþùèé íàõîæäåíèå áîëåå îäíîãî îòåëÿ íà îäíîé óëèöå. Êàê
ïåðåñåëèòü âñåõ â îäèí îñòàâøèéñÿ îòåëü? Îäèí èç âàðèàíòîâ òàêîâ: ïîñòîÿëüöàìè îäíîãî îòåëÿ çàñåëèòü âñå íå÷¼òíûå íîìåðà, ñëåäóþùåãî âñå ÷¼òíûå, íî íå äåëÿùèåñÿ
íà 4, ñëåäóþùåãî âñå äåëÿùèåñÿ íà 4, íî íå íà 8, è òàê äàëåå. Áîëåå ôîðìàëüíî,
âåðíî
Ïóñòü äëÿ êàæäîãî n ∈ N ìíîæåñòâî An ñ÷¼òíî. Òîãäà ìíîæåñòâî ∪∞n=0An òàêæå ñ÷¼òíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âíîâü áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âñå ýëåìåíòû âñåõ ìíîæåñòâ ðàçëè÷Óòâåðæäåíèå 17.
íû. Ïóñòü αn : N → An ñóòü áèåêöèè. Ïîñòðîèì áèåêöèþ β : N → ∪∞
n=0 An ñëåäóþùèì
n
îáðàçîì: β(2 (2k + 1)) = αn (k). Áèåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå 2n (2k + 1).
Âìåñòî ñ÷¼òíîãî îáúåäèíåíèÿ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ìîæíî ãîâîðèòü î äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ: îäíî èç íèõ çàäà¼ò íîìåð ìíîæåñòâà, à äðóãîå íîìåð ýëåìåíòà â ìíîæåñòâå. Ïî èíäóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî è ëþáàÿ êîíå÷íàÿ äåêàðòîâà ñòåïåíü ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà áóäåò ñ÷¼òíûì ìíîæåñòâîì. Îäíàêî, â ýòîì ñëó÷àå
ïåðåéòè ê ñ÷¼òíîé ñòåïåíè óæå íå ïîëó÷èòñÿ: åñëè A è B ñ÷¼òíû, òî AB óæå íå áóäåò
ñ÷¼òíûì. Ýòî ìû äîêàæåì â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
4
Äèàãîíàëüíûé ìåòîä Êàíòîðà
 ýòîì ðàçäåëå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî
íåêîòîðîãî îáúåêòà íå ñóùåñòâóåò.  äàííîì ñëó÷àå ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ ñ÷¼òíîãî
ìíîæåñòâà A åãî áóëåàí 2A íå ñ÷¼òåí. Íåñóùåñòâóþùèé îáúåêò â äàííîì ñëó÷àå áèåêöèÿ ìåæäó 2A è N. Ïîä ïîíÿòèåì íåñ÷¼òíîå ìíîæåñòâå ìû áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî, êîòîðîå áîëåå ìîùíî, ÷åì N: ôîðìàëüíî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òîæå íå ÿâëÿåòñÿ
ñ÷¼òíûì, íî ïî ñóòè åãî ýëåìåíòû âïîëíå ìîæíî ïåðåñ÷èòàòü.
Ïóñòü A ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî. Òîãäà åãî áóëåàí 2A íåñ÷¼òåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî {0, 1}N íåñ÷¼òíî. Ýòî ìíîæå-
Òåîðåìà 18.
ñòâî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç N â {0, 1}, ò.å. áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
íóëåé è åäèíèö. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: ýòî ìíîæåñòâî ñ÷¼òíî. Òîãäà α0 , α1 , α2 , . . . ñóòü
5
âñå òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. ×åðåç αij îáîçíà÷èì j -ûé ýëåìåíò i-îé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîãäà ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îáðàòíóþ äèàãîíàëüíîé: di = 1 − αii . Ýòî
áóäåò òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö, íî ïðè ýòîì îíà íå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ
â íàøåì ïåðå÷íå. Âåäü åñëè d = αn , òî dn = αnn , íî ïî îïðåäåëåíèþ dn = 1 − αnn . Îòñþäà αnn = 1 − αnn , ÷òî íåâåðíî íè äëÿ íóëÿ, íè äëÿ åäèèíöû. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå
ïîêàçûâàåò, ÷òî ìíîæåñòâî {0, 1}N íåñ÷¼òíî.
Äèàãîíàëüíûé ìåòîä â òåõ èëè èíûõ âàðèàöèÿõ âñòðå÷àåòñÿ â òåîðèè âû÷èñëèìûõ
ôóíêöèé, ôîðìàëüíîé àðèôìåòèêå, òåîðèè ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé è äðóãèõ íàóêàõ.
Êàíòîð ïðèìåíèë äèàãîíàëüíûé ìåòîä è â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè. Äîêàçàòåëüñòâî
òàêæå íàïîìèíàåò ïàðàäîêñ Ðàññåëà.
Ëþáîå ìíîæåñòâî A ìåíåå ìîùíî, ÷åì åãî áóëåàí 2A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âíà÷àëå çàìåòèì, ÷òî A 6∼ 2A. Äåéñòâèòåëüíî, A ðàâíîìîùíî ìíîæå-
Òåîðåìà 19.
ñòâó âñåõ îäíîýëåìåíòíûõ ïîäìíîæåñòâ A. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî A ∼
6= 2A .
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ÷òî ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ f : A → 2A . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M = {x | x 6∈ f (x)}. Ýòî ìíîæåñòâî êîððåêòíî îïðåäåëåíî, ïîñêîëüêó f (x) ∈ 2A ,
ò.å. f (x) ⊂ A, à çíà÷èò âîïðîñ î òîì, ïðèíàäëåæèò ëè x ìíîæåñòâó f (x), ïðàâîìåðåí.
Ïîñêîëüêó f ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé, ñàìî ìíîæåñòâî M ðàâíî f (x0 ) äëÿ íåêîòîðîãî x0 .
Åñòü äâà âàðèàíòà: x0 ∈ M è x0 6∈ M . Îáà ïðèâîäÿò ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x0 ∈ M , òî x 6∈ f (x) äëÿ x = x0 , ò.å. x0 6∈ f (x0 ), ò.å. x0 6∈ M
â ñèëó f (x0 ) = M , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Åñëè æå x0 6∈ M , òî x 6∈ f (x)
íåâåðíî äëÿ x = x0 , ò.å.x0 ∈ f (x0 ), îòêóäà x0 ∈ M , ñíîâà èìååì ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì
îáðàçîì, ïðîòèâîðå÷èå âîçíèêàåò âî âñåõ ñëó÷àÿõ, è òåîðåìà äîêàçàíà.
5
Êîíòèíóàëüíûå ìíîæåñòâà
Èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî 2N íåñ÷¼òíî. Ýòî ìíîæåñòâî ìîæíî
ïðåäñòàâèòü ñåáå êàê ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç N â {0, 1}, ò.å. ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íóëåé è åäèíèö. Ýòî ìíîæåñòâî òåñíî ñâÿçàíî ñ ìíîæåñòâîì âñåõ
òî÷åê íà îòðåçêå.
Âíà÷àëå ìû äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíóþ ëåììó:
Åñëè A áåñêîíå÷íî, à B ñ÷¼òíî, òî A ∪ B ∼= A.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è ðàíüøå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî A ∩ B = ∅. Åñëè A áåñêîíå÷íî,
Ëåììà 20.
òî â í¼ì íàéä¼òñÿ ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî A1 . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A áåñêîíå÷íî, òî
îíî íåïóñòî, ò.å. ñîäåðæèò íåêîòîðûé ýëåìåíò a0 . Ïîñêîëüêó A áåñêîíå÷íî, òî A \ {a0 }
òàêæå íåïóñòî, ïîýòîìó ñîäåðæèò íåêîòîðûé ýëåìåíò a1 . Äàëåå, A \ {a0 , a1 } ñîäåðæèò
íåêîòîðûé ýëåìåíò a2 , è òàê äàëåå. Ïîëó÷àåì ñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî A1 = {a0 , a1 , a2 , . . . },
âêëþ÷¼ííîå â A.
Òåïåðü A ∪ B = (A \ A1 ) ∪ A1 ∪ B ∼
= (A \ A1 ) ∪ N ∼
= (A \ A1 ) ∪ A1 = A. Âòîðîå ðàâåíñòâî
ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî. Ïî òðàíçèòèâíîñòè
A∪B ∼
= A, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
6
Ìíîæåñòâî òî÷åê íà îòðåçêå [0, 1] ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó áåñêîíå÷íûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íóëåé è åäèíèö.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäîìó ÷èñëó èç îòðåçêà [0, 1] ìîæíî ñîïîñòàâèòü áåñêîíå÷íóþ ïî-
Òåîðåìà 21.
ñëåäîâàòåëüíîñòü íóëåé è åäèíèö, ïðåäñòàâëÿþùåå ýòî ÷èñëî â äâîè÷íîé çàïèñè. Áîëåå
êîíêðåòíî, åñëè ÷èñëî ëåæèò íà îòðåçêå [0, 21 ], òî ïåðâûé ñèìâîë áóäåò íóë¼ì, èíà÷å
åäèíèöåé. Åñëè ÷èñëî ëåæèò íà ëåâîé ïîëîâèíå ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà, òî âòîðîé
ñèìâîë áóäåò íóë¼ì, èíà÷å åäèíèöåé, è òàê äàëåå. Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ èíúåêòèâíûì, à åãî îáðàç ñîäåðæèò âñå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êðîìå îêàí÷èâàþùèõñÿ áåñêîíå÷íîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ åäèíèö è ñîäåðæàùèõ õîòÿ áû îäèí íîëü (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç
îäíèõ åäèíèö ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó 1). Îäíàêî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, îêàí÷èâàþùèõñÿ
áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì åäèíèö, ñ÷¼òíîå ÷èñëî: äîñòàòî÷íî çàäàòü íà÷àëî, ïîñëå êîòîðîãî
èäóò îäíè åäèíèöû.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî òî÷åê íà îòðåçêå [0, 1] îòëè÷àåòñÿ îò {0, 1}N íà ñ÷¼òíîå
ìíîæåñòâî. Èñïîëüçóÿ ëåììó, ïîëó÷àåì, ÷òî îíè ðàâíîìîùíû.
Îïðåäåëåíèå 22.
Ìíîæåñòâà, ðàâíîìîùíûå 2N , íàçûâàþòñÿ
êîíòèíóàëüíûìè.
Íàçâàíèå êîíòèíóàëüíîå ìíîæåñòâî ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà continuum íåïðåðûâíîå. Âûáîð ýòîãî íàçâàíèÿ ñâÿçàí ñ äîêàçàííîé íàìè òåîðåìîé: êîíòèíóàëüíîå
ìíîæåñòâî ðàâíîìîùíî íåïðåðûâíîìó îòðåçêó [0, 1]. Áîëåå òîãî, êîíòèíóàëüíûìè
áóäóò âñå ïðîòÿæ¼ííûå ôèãóðû â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, â òîì ÷èñëå ïðîñòðàíñòâà öåëèêîì: ïðÿìàÿ R, ïëîñêîñòü R2 è òàê äàëåå. Ýòî ñëåäóåò èç ñëåäóþùèõ
äâóõ ëåìì:
Ìíîæåñòâî R êîíòèíóàëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, îòðåçîê [0, 1] ðàâíîìîùåí èíòåðâàëó (0, 1), ïîñêîëüËåììà 23.
êó îòëè÷àåòñÿ
îò íåãî ëèøü íà äâå òî÷êè. À áèåêöèþ èç (0, 1) â R çàäà¼ò ôóíêöèÿ
1
tg π(x − 2 ) .
Åñëè A êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî, òî RA êîíòèíóàëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ñòåïåíåé ìíîæåñòâ: RA ∼=
Ëåììà 24.
2N
A
∼
=
2N×A ∼
= 2N ∼
= R.
A
Íî ìîæíî è íåïîñðåäñòâåííî óêàçàòü áèåêöèþ ìåæäó {0, 1}N è {0, 1}N . Äëÿ ýòîãî
A
íóæíî ñíà÷àëà ðàññìîòðåòü áèåêöèþ g : N × A → N, à áèåêöèþ f : {0, 1}N → {0, 1}N
ïîñòðîèòü òàê: f (b) = (a0 , a1 , a2 , . . . ), ãäå aij = bg(i,j) .
Åñëè æå â êà÷åñòâå A âçÿòü êîíòèíóàëüíîå ìíîæåñòâî, íàïðèìåð òî æå R, òî ïîëóR
÷èòñÿ ìíîæåñòâî ìîùíåå êîíòèíóóìà: äåéñòâèòåëüíî, RR ∼
= 2N ∼
= 2N×R ∼
= 2R & R, ãäå
ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âåðíî ïî òåîðåìå Êàíòîðà.
Çàêîí÷èì ëåêöèþ èñòîðè÷åñêèì ðàññêàçîì ïðî êîíòèíóóì-ãèïîòåçó. Ýòà ãèïîòåçà,
âûäâèíóòàÿ Ãåîðãîì Êàíòîðîì â 1877 ãîäó, ãëàñèò, ÷òî ëþáîå áåñêîíå÷íîå ïîäìíîæåñâî
R ëèáî ñ÷¼òíî, ëèáî êîíòèíóàëüíî. Èíûìè ñëîâàìè, íåò ìíîæåñòâ A, óäîâëåòâîðÿþùèõ
ñîîòíîøåíèþ N . A . R.  1900 ãîäó Äàâèä Ãèëüáåðò âêëþ÷èë å¼ â çíàìåíèòûé ñïèñîê
èç 23 íåðåø¼ííûõ ïðîáëåì, êîòîðûé XIX âåê îñòàâëÿåò XX-ìó, ïðè÷¼ì ïîä ïåðâûì
7
íîìåðîì. Îäíàêî âïîñëåäñòâèè îêàçàëîñü, ÷òî êîíòèíóóì-ãèïîòåçó íåëüçÿ íè äîêàçàòü,
íè îïðîâåðãíóòü â àêñèîìàòèêå ÖåðìåëîÔðåíêåëÿ ñ àêñèîìîé âûáîðà (ZFC). Â 1940
ãîäó Êóðò üäåëü äîêàçàë, ÷òî â ZFC íåëüçÿ äîêàçàòü îòðèöàíèå êîíòèíóóì-ãèïîòåçû,
à â 1963 ãîäó Ïîë Êîýí ïðè ïîìîùè îòêðûòîãî èì ìåòîäà ôîðñèíãà äîêàçàë, ÷òî è ñàìó
ãèïîòåçó íåëüçÿ äîêàçàòü â ZFC.
8