ecm_601_exam_trial_var — задачи по теме

Задачи для подготовки к экзамену по эконометрике–2
март 2014 г.
Задача 1. Какие из следующих утверждений являются верными?
(a) При помощи GARCH-модели можно устранять гетероскедастичность.
(b) Модель GARCH(1,1) предназначена для прогнозирования меры изменчивости цены финансового инструмента, а не для прогнозирования самой цены инструмента.
(c) Условная дисперсия GARCH-процесса изменяется во времени.
(d) Модель GARCH(1,1) может быть успешно использована для прогнозирования волатильности финансовых инструментов на несколько торговых недель вперед.
(e) GARCH(1,1)-процесс является процессом белого шума, безусловная дисперсия которого
изменяется во времени.
Задача 2. При помощи теста отношения правдоподобия исследователь изучает возможность использования GARCH(1,1)-модели вместо модели GARCH(2,2). В этом случае статистика отношения правдоподобия
(a) имеет χ2 -распределение с одной степенью свободы,
(b) имеет χ2 -распределение с двумя степенями свободы,
(с) имеет F (1, 1)-распределение,
(d) имеет F (2, 2)-распределение,
(e) не может быть использована.
σt2
Задача 3. Найдите безусловную дисперсию следующего GARCH-процесса εt = σt · ξt ,
2
+ 0.1 · ε2t−1 .
= 0.2 + 0.8 · σt−1
Задача 4. Безусловная дисперсия следующего GARCH-процесса εt = σt · ξt , σt2 = 0.2 + 0.4 ·
+ 0.3 · ε2t−1 + 0.2 · ε2t−2 равна
2
σt−1
(a) 2,
(b) 1,
(с) 0.5,
(d) 0.4,
√
(e) 2.
1
Задача 5. Используя ряд дневных логарифмических доходностей {yt }500
t=1 некоторого финансового инструмента, были оценены параметры GARCH(1,1)-модели: ĉ = −0.000708, ω̂ =
0.000455, δ̂ = 0.6424, γ̂ = 0.2509.
t
σ̂t2
ε̂2t
499 0.001904 0.013559
500
0.001833
501
—
502
—
(a) Заполните пропуски в следующей таблице.
(b) Переведите прогнозы дневной волатильности σ̂501 и σ̂502 в годовое выражение в процентах.
2
Задача 6. Рассматривается GARCH(1,1)-процесс σt2 = 1 + 0.8 · σt−1
+ 0.1 · ε2t−1 . Известно,
2
что σT = 9, εT = −2. Найдите
(a) E[σT2 +1 |FT ],
(b) E[σT2 +2 |FT ],
(c) E[σT2 +3 |FT ].
2
+ γ · ε2t−1 — стандартный GARCH-процесс.
Задача 7. Пусть εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1
Найдите
(a) E[ξt ],
(b) E[ξt2 ],
(c) D[ξt ],
(d) E[ξt ξt−1 ],
(e) cov(ξt , ξt−1 ),
2
(f) E[ξt2 ξt−1
],
2
),
(g) cov(ξt2 , ξt−1
(h) P({ξt > 0}),
(i) P({−1 < ξt < 1}),
(j) E[εt |Ft−1 ],
(k) E[ε2t |Ft−1 ],
(l) E[σt |Ft−1 ],
(m) D[εt ],
(n) D[εt |Ft−1 ],
(o) limh→∞ E[σT2 +h |FT ].
2
2
Задача 8. Для стандартного GARCH(1,1)-процесса εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1
+ γ · ε2t−1
математическое ожидание E[E[ε2t |Ft−2 ]] равно
2
(a) σt−2
,
(b) ε2t ,
(с) σt2 E[ξt2 |Ft−2 ],
2
E[ξt2 |Ft−2 ],
(d) σt−2
(e)
ω
.
1−δ−γ
2
+ 0.3 · ε2t−1 .
Задача 9. Рассматривается GARCH(1,1)-процесс εt = σt · ξt , σt2 = 0.1 + 0.6 · σt−1
Известно, что σT = 1, εT = 1. Тогда
(a) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.6 · σT2 +1 + 0.3 · ε2T +1 ,
(b) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.6 · E[σT2 +1 |FT ] + 0.3 · E[ε2T +1 |FT ],
(c) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · E[σT2 +1 |FT ],
(d) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · E[ε2T +1 |FT ],
(e) E[σT2 +2 |FT ] = 0.1 + 0.9 · (0.1 + 0.6 · σT2 + 0.1 · ε2T ).
2
Задача 10. Рассматривается модель Yt = c + β · t + εt , εt = σt · ξt , σt2 = ω + δ · σt−1
+γ·
2
εt−1 . Относительно GARCH-части процесса выдвигаются стандартные предположения. В этом
случае логарифмическая функция правдоподобия равна
q PT
PT
2
ε2t
2
t=1 (yt −ȳ)
, ε0 = 0, εt = yt − c − β · t, σt2 =
(a) l =
t=1 (ln(2π) + ln(σt ) − σt2 ), где σ0 =
T −1
2
+ γ · ε2t−1 при t ≥ 1.
ω + δ · σt−1
q PT
PT
2
ε2t
2
2
t=1 (yt −ȳ)
(b) l = t=1 (ln(2π)+ln(σt )− σ2 ), где σ0 =
, ε0 = 0, εt = yt −c, σt2 = ω+δ·σt−1
+γ·ε2t−1
T
−1
t
при t ≥ 1.
q PT
PT
2
ε2t
1
2
t=1 (yt −ȳ)
(c) l = − 2 t=1 (ln(2π) + ln(σt ) + σ2 ), где σ0 =
, ε0 = 0, εt = yt − c − β · t,
T
−1
t
2
2
2
σt = ω + δ · σt−1 + γ · εt−1 при t ≥ 1.
q PT
PT
2
ε2t
1
2
t=1 (yt −ȳ)
(d) l = − 2 t=1 (ln(2π) + ln(σt ) + σ2 ), где σ0 =
, ε0 = 0, εt = yt − c, σt2 = ω + δ ·
T
−1
t
2
σt−1
+ γ · ε2t−1 при t ≥ 1.
q PT
PT
2
ε2t
2
t=1 (yt −ȳ)
, ε0 = 0, εt = yt − c − β · t,
(e) l = −0.5 t=1 (ln(2π) − ln(σt ) + σ2 ), где σ0 =
T
−1
t
2
2
2
σt = ω + δ · σt−1 + γ · εt−1 при t ≥ 1.
3