Формулы структурной кристаллографии. При решении различных задач структурного анализа приходится вычислять углы между отдельными плоскостями и кристаллографическими направлениями, направляющие косинусы нормали, межплоскостные расстояния, а также определять множество других параметров. Направления в плоскости. Связь между индексами кристаллографической плоскости и параллельного (или лежащего в ней) направления легко установить, если записать уравнение плоскости, проходящей через начало координат: hх + ky + lz = 0 (1) Прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через начало координат, должна проходить через узлы, координаты которых удовлетворяют уравнению (1). По определению индексы направления [uvw] равны или пропорциональны координате второго узла, через который проходит направление: hu + kv + lw = 0 (2) Пересечение плоскостей. Если известны индексы двух пересекающихся плоскостей (h1k1l1) и (h2k2l2), то можно вычислить индексы направления [uvw] – линии их пересечения. Задача сводится к совместному решению двух уравнений: h1u + k1v + l1w = 0 (3) h2u + k2v + l2w = 0 (4) Запись через детерминанты дает: k1 l1 h 1 l1 h 1 k1 u = k2 l2 - v = h2 l2 w = h2 k2 В окончательной записи надо числа u, v, w привести к взаимно простым числам. Практически для решения задачи удобна следующая последовательность вычислений. Если написать дважды в первой строке индексы первой плоскости, во второй – второй плоскости, в результате получим матрицу, четыре внутренних столба которой служат для вычисления индексов: h1 k1 l1 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h2 k2 l2 Применяя правило перекрестного умножения (попарно перемножая между собой перекрестным способом цифры матрицы), получим: u = k1l2 – k2l1; v = l1h2 – l2h1; w = h1k2 – h2k1 (5) Аналогичным образом можно решить обратную задачу: найти индексы двух направлений, лежащих в этой плоскости. Это уравнение (5) можно использовать для определения индексов совокупности пересекающихся плоскостей, параллельных заданному направлению [uvw]. Такие плоскости называют плоскостями одной зоны, а направление, которому они параллельны (линия их пересечения), - осью зоны [uvw] (рис.1). Условию зональности отвечает уравнение (2). Ось зоны Рис.1 Совокупность плоскостей {hikili} зоны [uvw] Направляющие косинусы нормали к плоскости. Положение плоскости в пространстве кристаллической решетки, ее ориентацию в кристаллографической системе координат определяют направляющие косинусы нормали Н к плоскости АВС (рис.2). Для кристаллографических систем, которые относятся к прямоугольной системе координат (кубической, ромбической, тетрагональной), их нетрудно вычислить, используя известные формулы аналитической геометрии: cos = А*М; cos = В*М; cos = С*М где М = 1/(а+В+С) – нормирующий множитель; А, В, С – коэффициенты в общем уравнении плоскости Ах+Вy+Сz+D = 0. Z Рис. К определению направляющих косинусов 2. нормали к плоскости pc C и межплоскостного расстояния d O K B Y nb ma X A Если известны отрезки, отсекаемые плоскостью по осям координат (на рис.2 - ОА, ОВ, ОС), то уравнение плоскости примет вид: х/ОА + y/ОВ + z/ОС = 1 (6) Выразим отсекаемые отрезки через кристаллографические единицы параметры элементарной ячейки: ОА = ma = a/h; OB = nb = b/k; OC = pc = c/1 Уравнение плоскости (3.10) примет вид: (h/а)х + (k/b)у + (l/с)z = 1 (7) Используя значения коэффициентов перед переменными в уравнении плоскости (3.11), определим направляющие косинусы нормали: Для кубической сингонии а = b = с, поэтому: cos = h/(h2+k2+l2) ; cos = k/(h2+k2+l2) ; cos = l/(h2+k2+l2) (8) Таким образом, для кубического кристалла направляющие косинусы нормали к плоскости пропорциональны индексам самой плоскости. Межплоскостные расстояния. Характеристикой плоскостей кристалла является не только его ориентация (описанная численными значениями индексов Миллера) в пространстве кристаллической решетки, но и расстояние между соседними параллельными идентичными плоскостями – межплоскостное расстояние, которое соответствует длинам нормалей, проведенных из начала координат ко всем кристаллографическим плоскостям (рис.3). d0 1 0 d110 Y Z d120 X Рис. 3. Определение межплоскостного расстояния как длины нормалей, проведенных из начала координат Межплоскостные расстояния для любой системы параллельных плоскостей являются величиной постоянной, что обусловлено правильной трехмерной периодичностью расположения узлов и меняется в зависимости от их ориентации в кристалле, то есть с изменением индексов Миллера. В общем случае, чем меньше значения индексов плоскостей, тем больше величина межплоскостных расстояний. Максимальные значения величины межплоскостного расстояния соответствуют плоскостям с индексами (100), (010), (001). Совокупность плоскостей. Повторяемость. Семейства разноориентированных плоскостей, для которых характерно одно и то же значение межплоскостных расстояний, образуют совокупность. Совокупность обозначается индексами плоскостей hkl, заключенными в фигурные скобки: {hkl}. Число семейств плоскостей, образующих совокупность (рис.4), определяется симметрией кристалла, зависит от их расположения относительно элементов симметрии, то есть от ориентации их в кристалле, а значит и от значений индексов. а) б) в) Рис. 4. Зависимость числа семейств плоскостей от симметрии кристалла Все плоскости и индексами типа (100) в кубическом (а) кристалле образуют одну совокупность {100}; в тетрагональном (б) – две: {001} и {100}; в ромбическом (в) – три: {001}, {100}), {010}. Число семейств плоскостей, входящих в совокупность, называется повторяемостью и обозначается (Р). Число семейств плоскостей в совокупности уменьшается, если среди индексов есть одинаковые или равные нулю. Совокупность {100} в кубическом кристалле включает только 6 плоскостей: (100), ( 1 00), (010), (0 1 0), (001), (001 ). Совокупность {111} – 8 плоскостей: ( 1 11), (1 1 1), (11 1 ), (111), ( 11 1), (1 1 1 ), ( 1 11 ), ( 111 ) Совокупность {110} – 12 плоскостей. Совокупность {hkl} (когда индексы не равны между собой и не один из них не равен нулю, например {123}) – число всех возможных комбинаций равно 48: 123 132 213 231 312 321 1 23 1 32 2 13 2 31 3 12 3 21 123 13 2 21 3 23 1 31 2 321 12 3 13 2 21 3 23 1 31 2 32 1 123 132 2 13 2 31 3 12 3 21 12 3 13 2 21 3 23 1 31 2 32 1 12 3 13 2 2 13 2 31 312 3 21 12 3 13 2 213 2 31 312 3 21