Графики функций и графические способы решения задач

Графики функций
и
графические способы
решения задач
Проект по алгебре ученика 9 класса
средняя школа при Посольстве
России в Великобритании
Ли Леонида
Учитель математики Щербакова В. Б.
Лондон
Цели и задачи проекта
 Обобщить и систематизировать знания о функциях




и их графиках
Написать алгоритм построения графиков функций
Показать на примерах как пошагово решать
системы уравнений графическим способом
Создать медиа презентацию по основным
понятиям темы проекта
Помочь в подготовке к экзамену по алгебре
Линейная функция.
у=2
Линейной фунцией называются графики
функции y=kx+b, где k и b –
вещественные числа.
Для того, чтобы построить график
линейной функции необходимо иметь
всего лишь 2 точки.
Если коффициенты k равны, то
прямые параллельны.
y=x
Если х/y отсутствует, то график
будет параллелен одной из осей.
y = -x
•
Типовые задачи, при которых следует
использовать линейную функцию.
Много задач по алгебре можно свести к
линейной функции. Такие задачи
основаны либо на виде самого графика
функции, либо на свойствах линейной
функции.
•
•
•
Построение графика линейной
функции. (Просто найти значения в
двух точках и провести через них
прямую).
Найти взаимное расположение
нескольких линейных функций на
координатной оси (можно просто
построить графики функций, а можно
посмотреть как соотносятся
коэффициенты k и b в уравнениях
этих функций).
Решение простой системы
уравнений (часто простые линейные
системы уравнения можно решить
графическим способом – для этого
требуется нарисовать графики
функций и найти точку пересечения
графиков, координаты точки
пересечения и будут решением
данной системы).
Задачи на движение (задачи по
физике на равномерное
прямолинейное и относительное
движение) очень часто можно решить
графическим способом
Пример:
Дана функция у=2х-1. Постройте ее график.
1. Рисуем таблицу. Принято писать
х сверху, а у снизу.
2. Вставляем в таблицу 2 любых
значения (0 и 1 самые легкие).
3. Подставляем х в формулу и
получаем соответствующий у.
4. Ответы – это координаты, эти
координаты лежат на прямой.
5. Рисуем систему координат.
Не забудьте указать оси,
единицы отсчета и начало
координат (точка 0;0)
6. Указываем на системе координат
получившиеся точки и
соединяем их по линейке.
7. Не забудьте подписать график.
у=2х-1
1
-1
Квадратичная
функция.
График квадратичной функции – парабола.
Квадратичной функцией называются
графики функции
2
y=ax +bx+c
Для того чтобы построить параболу надо иметь
минимум 7 точек но, чем больше точек, тем
парабола точнее.
Если перед х стоит «-» то, ветви
параболы направлены вниз.
Если коэффициент “а” < 1, то
ветви параболы будут шире,
2
чем в функции
y=x
Если «а» > 1 то ветви будут
уже.
Типовые задачи с которыми вы
можете встретиться когда
работаете с параболой.
• Найдите точку/ки пересечения
парабол.
• Найдите область определения
функции.
• Найдите область значения
функции.
• При каких значениях «х», у=0.
• При каком «х», «у»>0
• При каком «х», «у»<0
• Найти промежуток, в котором
функция возрастает.
• Найти промежуток, в котором
функция убывает.
Также как и прямую, параболу можно
перемещать по координатной оси, если
изменить функцию.
По этой формуле можно определить куда
переместилась парабола (значение
противоположное“m” – есть перемещение точки
параболы по оси “х”, а значение равное «n» – есть
перемещение по оси у.
Дана функция
1.
Алгоритм построения параболы.
1.
Надо указать вид функции, какой
график принадлежит ей и
направление ветвей.
2. Найти координаты вершины
параболы.
3. Найти нули функции – точки
пересечения с осью «х» (если они
есть)
4. Достраиваем дополнительные
точки используя обычную
таблицу.
Квадратичная функция,
график – парабола ,
ветви направлены вниз.
2. Чтобы найти вершину
параболы используем
формулу:
Получаем:
3. Приравниваем выражение к 0, и
используя дискриминанту находим
нули функции (точки пересечения
параболы и оси «х»)
Получаем (х1=-2; х2=-0.5)
4. Достраиваем доп.точки, наносим их
на координатную прямую и соединяем
точки карандашом.
Кубическая парабола.
Кубической функцией
называют гафики функции
вида
График кубическойой функции – кубическая парабола.
При а > 0 кубическая парабола
расположена в первой и третьей
координатных четвертях,
При а < 0 парабола проходит во
является возрастающей
второй и четвертой координатных
функцией.
четвертях и убывает.
X
Y
-2
-8
-1
-1
0
0
1
1
2
8
Типовые задачи с которыми вы
можете встретиться когда
работаете с кубической функцией.
• Найдите точку пересечения
графиков.
• При каком «х», у = 5
(например).
• Постройте график функции
3
3
Обратная пропорциональность.
Гипербола имеет две ветви,
если k > 0 они расположены в I и III
четвертях,
если k > 0, то во II и IV четвертях.
Типовые задачи с которыми вы
можете встретиться когда работаете с
обратной пропорциональностью.
у=kх+b
у=k/х
у=k/х
I
II
IV
III
у
Окружность.
Функция заданная формулой
называется окружностью.
График – круг.
Уравнение окружности с
центром в начале
координат.
R
х
Окружность с
центром в точке
(0,3), с радиусом R.
Окружность с R = 0
(точка)
Если радиус R = 0 то,
окружность становится
точкой.
Окружность с
центром в начале
координат.
Типовые задачи с которыми вы
можете встретиться когда
работаете с Окружностью.
х=0
(x+3)2 + y2 = 25
Постройте график функции (x+3)2 + y2 = 25
Укажите точки в которых окружность
(x+3)2 + y2 = 25 и прямая х=0
пересекаются.
Ответ: графики пересекются в
точках (0;4) и (0;-4)
y-x=2
1. Линейная функция, график –
прямая.
2. x 0 -2
y
2
0
Далее построим графики обоих функций.
x
-4
-2
-1
0
1
2
4
y
6
0
-1,5
-2
-1,5
0
6
Смотрим, и по графику
определяем точки
пересечения 2-yх
графиков. Так как
графический метод
неточен, то
принимаются
результаты достаточно
близкие к реальному
результатау.
Ответ: (-2;0) , (4;5.75)
x
0
8
y
-4
4
Достатояно легко указать первую
точку, а вот координаты второй
придется указывать «на глаз»
Ответ: (0;-4) , (2.25;3.25)