1.1. Таблицы смертности

1.1. ТАБЛИЦЫ
СМЕРТНОСТИ И ВЕРОЯТНОСТИ
ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ СОБЫТИЙ
Таблицы смертности предста~1:1Яют собой систематизированный набор
статистических данных о продолжительности жизни населения данной стра­
ны или выделенной его группы. Выделение групп может проводиться по
разным признакам: по полу, региону, профессии и т. п. Во всех случаях таб­
лицы смертности содержат "упорядоченный ряд взаимосвязанных величин,
показывающих уменьшение с возрастом вследствие смертности некоторой
совокупности родившихся, а также показателей, характеризующих уровень
смертности для различных периодов жизни данной совокупности" (Демог­
рафический энциклопедический словарь. М.,
1985
г.). Таблицы смертности
называют ТС;lкже таблицами продолжительности жизни.
В общих таблицах возраст является единственным определяющим па­
раметром (входом таблицы). Общие таблицы дают представление о дина-
. мике
демографических процессов для всего населения в целом. В специ­
альных таблицах, кроме возраста, учитывается ряд других параметров, обыч­
но связанных с принципом отбора (селекции) данной группы населения.
Такие таблицы называются таблицами с отбором, или селективными.
В полных таблицах смертности показатели даны по возрастµм с интер­
валом в
1 год,
в кратких таблицах
-
с интервалом
5 или 1 О
лет. Таблицы
смертности могут начинаться с нулевого возраста (момента рождения) или
же с некоторого данного возраста. Существует множество способов пред­
ставления таблиц смертности . Фрагмент типичной таблицы смертности
представлен таблице
1.1.
Табл.
х
о
1
2
3
4
5
.. .
10
l_,.
100000
99016
98945
98900
98869
98844
clx
984
...
98746
25
22
qx
0.009840
0.000717
0.000455
0.000313
0.000253
0.000223
76.51
76.27
75.32
74.35
73.38
72.40
.. .
. ..
. ..
18
...
25
0.000182
67.47
" .
...
7]
45
31
" .
...
15
98653
".
...
...
...
·20
98497
35
0.000355
...
...
...
."
40
97346
123
0.001264
0.000253
1.1
ех
62.53
...
57.62
...
38.17
7
Таблица смертности представляет собой набор столбцов, соответству­
ющих различным демографическим показателям. Элементы столбцов упо­
рядочены по возрасту. Первым в таблице смертности, как правило, приво­
дится число людей, доживающих до возрастах:
lx .
Это число относится к фиксированному числу родившихся, обознача­
емому 10 и называемому корнем таблицы смертности. Обычные значения
для
/ 0 : 1 млн., 1О
или
100 тыс.,
но оно может быть и произвольным чис­
лом. Таким образом, если
l0 =100000
число родившихся, то
/1 = 98729
означает, что лишь
98729
из них доживут до своего первого дня рождения,
98645
доживут до своего второго дня рождения и т.д.
а число
/2 = 98645
означает, что лишь
Таблицы смертности заканчиваются строкой, соответствующей предель­
ному возрасту, в демографической статистике обозначаемому символом
w.
В разных таблицах этот возраст может быть различным. Типичные зна­
чения
ro: 90, 100, 11 О
лет.
Наконец, отметим, что вследствие существенноtо различия в средней
продолжительности жизни для мужчин и женщин соответствующие пока­
затели для них в таблицах обычно даются раздельно (см. табл. П.1. ). Од­
нако в последнее время по ряду социально-политических причин страхо­
выми компаниями употребляются и унитарные (не зависящие от пола)
таблицы смертности.
Другой важной характеристикой, встречающейся в таблицах смертно­
сти, является величина d.~, представляющая число умерших в промежут..;.
ке l\1ежду годами х и х
+ 1 своей
жизни. Таким образом,
dx -
это число ·
умерших в течение одного года после достижения ими возраста х,
или,
коротко, умерших в возрасте х.
Совершенно очевидно, что
!_..
=1•.
+1
+ d_.. '
(1.1)
так как среди достигших возрастах каждый из них либо достигнет возра­
стах+ 1, либо уl\1рет в течение одного года. Эта формула может быть пере­
писана в виде
1x+I =l х -d х
(1.2)
или
d1· = {\.
(1.3)
-{x+I
Очевидный смысл последней формулы состоит в том, что число умер­
ших в возрасте х есть разность между числом доживших до возраста х и
числом доживших до возраста х+ 1.
Приведенные соотношения касались двух смежных возрастов. Рассмот­
рим связи между ними для более продолжительных периодов.
Ясно, что
z.\· - l,·+2
= d_,. + dx+l
и
f_. -
(+3
= с(. + dx+I + dx+2
Более общим образом можно записать
/_
,, - ( .+//
=dx + d_нl + ··· + dx+11-\
.Это с;оотношение
рис. 1.1.).
(1.4)
наглядно изображается следующей диаграммой (см .
1 fx
1lx+l
lx+2
х+!
Рис.
1.1.
На этой диаграмме весь отрезок представляет всю совокупность родив­
шихся, т.е.
/0 .
Часть отрезка от точки х до правого конца соответствует со­
вокупности доживших до возраста х. Соответственно отрезок от х до х+ 1
соответствует у.мершим в этом отрезке, т.е. представляет величину
Формула
( 1.4) в
d x, и т.д.
предельном случае дает равенство
l,. = r1, + dx+I + ... + clw,
(1.5)
которое означает, что каждый из достигших возрастах умрет в каком-либо
возрасте от х до предельного . Формулы
1.4
и
1.5 можно
записать в сокра­
щенной. форме, используя знак суммирования:
х+п-1
11
d_,. = z_,. - z_,-+11
=L
dl
(1.6)
l=x
9
.И
(1. 7)
t=x
Одним из важнейших показателей таблицы смертности является вели­
q,. , означающая долю
чина
тех из числа достигших возрастах, кто умрет
в течение одного года, т.е. в промежутке между х их+ 1. Таким образом,
qx
d
=[
(1.8)
х
Число
qx
можно рассматривать как вероятность умереть в течение од­
ного года (после дня рождения) для человека, достигшего возрастах. Бо­
лее точно следовало бы говорить, что число
qx
(из таблицы смертности)
является статистической оценкой этой вероятности, но в данном курсе мы
не будем входить в подобного рода тонкости. Число
qx
называют также
уровнем смертности в возрасте х.
Дополнение
Рх
qx
до
1 , т.е.
число
(1.9)
= 1-qx
равно доле тех из
lx,
достигших возрастах, что доживут до возрастах+ 1.
Эта величина представляет собой условную вероятность прожить еще один
год по достижении возрастах.
Поскольку
d.
q =-·'
l
х
х
то
р
dx
,.. = 1 - q ,. = 1 - l.
~
х
т.е.
/х + 1
Рх
.(1.10)
!_,
Так, согласно таблице П.1,
1'] (,(1. = ~
/
60
= 81666
=о ' 98157
83199
Соответственно:
q(i(I
10
=
d
/(JO
60
=
] 533
83199
= 0,01843
Формулы
Zx+I = fх
можно переписать в виде
(1.10), (1.8)
• рх
fх = 1 х+\
ИЛИ
(1.11)
.
Рх
Аналогично
dx
= fx · q:r
.ИЛИ
/.,.
=
d
(1.12)
___!..
qx
Введем еще ряд вероятностных характеристик, относящихся к более
продолжительным периодам.
Число
11Рх
_ Z.н11
-··z"··
(1.13)
х
равно вероятности прожить еще
11
лет для лица, достигшего возрастах.
Соответственно число
11
q = 1.т
р
11
.\"
= l х -l
х+11
l
(1.14)
,\'
равно вероятности умереть в течение следующих п лет для лица, достиг­
шего возрастах .
Для вероятностей" Рх выполнены очевидные соотношения
2 Рх
/х+2
fx+I
[х+2
= -/- = - -'
=
-z-.-
1
х
х
Рх
· Px+I
x+I
Аналогично
=
Рх
· Px+I
· Рх+2
и вообще
1-+
l -+1 '-+7
l ·+
пР,- =~=--'-·f-=-"·"f2- =
/х
=
( _
x+I
x+n-1
Р.1· · P x+I · · " · Рн11-I
l1
При.11-tер.
1. !. Найти верояпи-юсп1ь для двадцатилет.него му:JJСчины достигнуть
пятидесяпшлетн.его возраст.а и вероятность y_;it1epen-iь, не достигнув 5 О летп.
Решение:
Вероятность для двадцатилетт-tего мужчины достигнуть пятидеся­
тилетнего возраста согласно табл. П.1. равна
30 р 20
lso
= - = 0,947971.
120
Соответственно вероятность уJнереть, не достигнув
зо q10
50 лет,
равна
= 1- 30 р 20 = 0,052029.
Для вероятности
/1
qx
очевидно выполняется соотношение
= dx + clx+\ + ... + dх+п-\
q
п
х
l
(1.15)
х
или в сокращенной форме
1
x+11-I
l:dl
(1.16)
11q.\" = - ·
fx
l=x
Наконец, величина
111\11
1 -!
q х = · х+т 1 х+111+11
(1.17)
.\
означает вероятность для лица, достигшего возраста х, умереть в проме­
жутке между х+п1 и х+т+п.
Очевидно, что
( 1.18)
Можно привести еще одно соотношение для m
111 11
11
q_,.:
q -p·o
х
111
'
11
( 1.19)
1 .\ +т
Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть известна вероятность уме­
реть в течение ~·ода для лица, достигшего возрастах. Если
N- число лиц в
возрасте х, то сколько в среднем лиц умрет в течение года? Если считать эту
группу статистически однородной, т.е. считать, что каждый из этой группы
имеет одинаковые шансы дожить (цли умереть) в течение года, то, обозна­
чив через
D 1.
число лиц из этой группы, у.r-.·1ерших в течение года, можно в
соответствии с обычными правилами теории вероятностей написать
12
D.
q ::::::--'
( 1.20)
N
х
или
Dx :::::qx ·N
(1.21)
Формула ( 1.20) выражает эмпирическую оценку вероятности qx . Для
достаточно большой группы людей (т.е. если N велико) равенство (1.20)
будет выполняться с большей степенью вероятности (закон больших чи­
сел), поэтому число
qx·N
можно считать хорошей оценкой для ожидаемого числа тех достигших
возраста х, кто умрет в течение года. Аналогично число
пq,.·N
есть ожидаемое число лиц из совокупности
N,
достигших возраста х
, ко­
торые умрут в течение п лет, а число
11Рх
·N
есть ожидаемое число тех из
N лиц,
что доживут до возраста х+п.
Прu.;неры.
1.2.
Какова верояп1ностпь для двадцатилетнего человека ул-rереть, не
дожив до
,....._
J1сивут
50 лет? Сколько
до 50 лет?
в средне.м из
1000
двадцатилетт-tих людей до-
PeUleuue:
Верояпuюспн~ умереть в про.ме:>1Суmке л1е:нсду
20 и 50 годшни равна
(со­
гласно табл. П. 1)
Ожидае.люе число тех из
до
50 лет,
1ООО
двадцатилетних людей, что до.J1сиву1и
есть
1 -а
1ООО·1 0 р~ 0 = 1ООО·2- = 1ООО · 0,94 7971
-
-
z
948.
120
13
1.3. Пользуясь таблицей П.2, найти:
а) вероятность для 1ювороJ1сдею-юго дожить до 5 лет;
Ь) вероятность для новорожденного у.л,tереть л.,1еJ1Сду
1 и 3 годши~t жизни.
Peiueuue:
а) Эта вероятность равна
l5 = 97175 =0 97175
10 100000
'
/J)
Число слtертей в возрасте л-tежду 1 и 3 годаJиu равно
/1 -13 = 97551- 97302 = 249.
Искомая вероятносп~ь равна
249
100000
1.4. Выразить
а)
=о ' 000249 .
через функцию z.," следую~цие вероятности:
вероятность для 18-летнего до;:нсить до
65
лет;
Ь) вероятность того, что 30-летн.ий у.:;нрет в возрасте .между
40
и
45
годwш;
с) вероятность того, что 30-летт~ий не рнретп. в возрасте "между 40 и 45
года.;ни;
cl)
вероятность для 40-летнего ул·tереть, не достигнув
60 лет.
Ре~иение:
а) Эта верояпиюсть есть . очевидно.
165
.
/18
Ь) Поскольк_J' число унеришх .Jl.te:ж:д)i 40 и 45 года.1ш1 есть / 40 - / 45 , то иско­
.111ая верояптость равна
l40 - l45
(,о
с) Эта вероятность события, до11ол11ителыюго к собьтшю из п . Ь, 110эп1ому она равна
1-'40 -145
130
14
С другой стороны, эта вероятность равна су.нме вероятности для
ЗО-леп1него уАtереть до
40 лет,
и верояттюсти дожить до
{/)
т.е.
45 лет, т.е.
Эта вероятность равна
Полученные выше формулы вероятностей демографических событий
относились к отдельным лицам. В страховании часто приходится рассмат­
ривать вероятности событий, которые относятся к группе лиц. Системати­
чески этот вопрос будет рассмотрен ниже. Здесь же мы коснемся самых
элементарных случаев, когда события, относящиеся к различным пред­
ставителям группы, независимы, что позволяет применять правило умно­
жения вероятностей для независимых событий. Более точно это означает,
что в случае независимых событий А и В вероятность их совместного по­
явления, т.е. вероятность события АВ, равна произведению вероятностей
этих событий, т.е.
Pr(A·
В)=
Pr(A) · Pr(B).
Пример.
1. 5.
Расслютрш-1 два лица. Одно в возрасп1е
40 лет,
а другое -
5 О лет .
Че1иу равна вероятность того, что:
а) оба лица проживут не Аtенее
lJ)
первое лицо достигнет
1 О лет,
5 О-летнего
возраст. а. а второе у.iнрет до
55
лет.
PeuLei1.ue:
Поскольку дожитие или с.мерть для разных лиц в обще.м случае незави­
сил1ые события, то Аt0жтю прил-~енит.ь правило умножения.
а) Вr;:.роятность для 40-лепшего 11ро:J1сить еще
1О лет
есть
.r----
15
Соответственно вероягпностпь для 50-летнего прожить
1О лет
160
150
ПоэmоJну вероятность про:J1сить
1О лет
обошн лица.;н есть
150 . 160
f40
150
!J) Верояпиюсть для 40-летнего до:J1сuть до 50 лет есть
Вероятность для 50-летнего у.мереть до
55 лет
есть
1-5
1-2-·
lso
Поэтому верояпи-юсть сов.местного события есть
l- 0 (
_)_.
140
.-,,....,_
Jб
/ _- )
1-~
Zso
.
есть