Решение волнового уравнения для боковины пневматической

РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОКОВИНЫ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ
ШИНЫ
Р. С. Якушев
Казанский государственный университет, Казань, Россия
Пневматические шины – наиболее распространенный движитель в транспортных
системах, т.к. позволяют достичь хорошего сцепления с поверхностью дороги и
бесшумности хода, смягчают толчки и удары при наезде на препятствия и неровности
дороги. Задачи обеспечения комфортабельности перевозки пассажиров, безопасности
движения на больших скоростях, увеличения грузоподъемности делают расчет
автомобильных шин актуальной проблемой механики [1–2].
Боковину шины можно рассматривать как полый цилиндр, подвергающийся
кручению, и воспользоваться цилиндрической системой координат. Граничные условия
следуют из сути работы шины: внутренняя поверхность скреплена с абсолютно жестким
ободом колеса, а наружная – с жестким твердым контуром – протектором, укрепленным
брекерным слоем. Материал пневматической шины в основе своей резина. Она не меняет
объём при деформировании и может испытывать большие искажения. Поэтому
материальное соотношение нужно записать с учетом конечных деформаций.
Воспользуемся полулинейной моделью материала, предложенной Джоном [3]:
 
Pˆ  Pˆ R .
Дифференциальное уравнение, описывающее движение среды, имеет вид
P̂   0 R ,
(1)
где P̂ – тензор Пиолы,  0 – плотность резины, R  R ( r , t ) – координата точки в
актуальной системе координат. Штрих означает производную по аргументу r , точка – по
времени t .
Разрешающее уравнение (1) в проекциях – это система двух нелинейных уравнений


R




 k  R     kR 2   0  R  R 2  ,
  
r  

R



 kR   k  R   r     0  R  2 R  ,



где k    2   2
(2)

.
2
R
 

2
 R    ( R  )
r


Они
описывают
динамический
процесс
распространения
волн
–
распространяющихся вдоль радиуса (волны расширения или сжатия) и в тангенциальном
направлении (волны сдвига). В правой части уравнений присутствуют нелинейные
слагаемые: центробежная и кориолисова силы инерции.
Введем комплексную переменную R  R  eiψ . Умножим первое уравнение системы
(2) на eiψ , второе – на ieiψ ; затем сложим их. Тогда имеем




   0
k
k

 r  rR     0 R или  r  rR     r (rR)  ,

где k    2   2r
.


 rR   rR 
Вводя безразмерные
r
R
 x,
 Y  yei и заменяя U  xY , получаем
r0
r0




  2 
U x
x
U  2(   )
 0 r02U

 x

U x

Откуда, при замене  
(3)
x2
, следует
2




0 r02
(    ) U 
 U  2

U.

(  2 ) U  
(  2 )
 


Это нелинейное волновое уравнение в комплексной плоскости, действительная часть
решения которого описывает радиальные волны, а мнимая часть – волны сдвига.
В частном случае – при отсутствии сдвига, угол   0 и система (2) сводится к
одному линейному уравнению распространения продольных цилиндрических волн

R 
 
 k  R   r    0 R .

 
Его решение в безразмерных переменных будет
xy  x  
f  x,  
 2 1
,
r1
   1.
r0
Для случая статической постановки задачи имеем полый цилиндр, внутренний обод
которого повернут на некоторый угол по отношению к внешнему контуру. Такая задача
описывается уравнением (3) без правой части, то есть
здесь отношение внешнего радиуса к внутреннему
  2 
U x
U  2(    )
 const .

U x
x
2
 ( yx ) 2
yx  




 

2
 a,


  x   x 


2

Иначе это 
( yx )

  Arcctg yx   b,

где a и b постоянные.
  r0    0 ,  R  r0   r0 ,
Граничные условия задачи имеют вид: 

  r1   0;  R  r1   r1 .
Тогда удается найти решение в замкнутой форме и определить напряженно-деформированное состояние боковины. При кручении боковины обнаруживается эффект
Суюншкалиева: как и при кручении цилиндра радиус материальной окружности боковины
шины уменьшается, и в ней возникает натяг.
Рассмотренная задача оказалась очень интересной с точки зрения изучения
нелинейных деформаций, тем более она актуальна и имеет практическое значение для
механики транспортных средств.
TRR
1440
1420
1400
1380
1360
1340
1.5
2
2.5
3
x
T
3000
2750
2500
2250
2000
1750
1500
1.5
2
2.5
x3
x
1.5
2
2.5
3
-200
-400
-600
-800
-1000
TR
Рис. 1. Графики компонент тензора напряжений (   3,   45 )
ЛИТЕРАТУРА
1. Биргер И.А. Прочность и надежность машиностроительных конструкций.
Избранные труды ИМАШ им. А. А. Благонравова РАН. – М., Уфа: УАТУ, 1998. – 352 с.
2. Бухин Б.Л. Математические модели в механике и конструировании шин // Каучук
и резина. – 1996. – № 1. – С. 16–20
3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.