Дистанционная олимпиада по математике 7 класс (II x

7 класс
1. 107 кг сухофруктов требуется пересыпать в пакеты вместимостью
2 кг, 3 кг, и 9 кг. Какое наименьшее число пакетов потребуется для
этого?
Решение:
Для начала возьмем и разложим в пакеты по 9 кг, получим 11
пакетов, и 8 оставшихся кг. Дальше 8 раскладываем в 2 пакета по 3
и 1 по 2 – получаем 3 пакета. В итоге получаем 14 пакетов.
Ответ: 14 пакетов
2. Сколько можно составить из цифр 2, 3, 4 и 5 четырехзначных
чисел, делящихся на 11.
Решение:
Составим числа по признаку делимости на 11. Получим 2 случая: 5423 и
4532, далее просто меняем местами 5 и 2, 3 и 4: так получаем 4 варианта на
каждый случай. В итоге 8 чисел: 5423, 2453, 2354, 4532, 5324, 3542, 4235,
3245.
Ответ: 8 чисел
3. Разложить на множители
x3  9 x 2  11x  21
x 3 +9x 2 +11x-21=х3 -x 2 +10𝑥 2 -10x+21x-21=𝑥 2 (x-1)+10x(x-1)+21(x-1)=(x1)(𝑥 2 +10x+21)=(x-1)(𝑥 2 +3x+7x+21)=(x-1)(x(x+3)+(x+3)=(x-1)(x+3)(x+7)
4. Улитка ползает по столбу высотой 10м. За день она поднимается
на 5 м, а за ночь опускается на 4 м. За какое время улитка доберется
от подножия до вершины столба?
Решение:
Исходя из условия можно сказать, что улитка за 24 ч поднимается на 1 метр.
Но в один день (начало 6-ых суток) она дойдет до вершины. Получаем 6 дней
и 5 ночей.
Ответ: 6 дней и 5 ночей
5. За два года предприятие снизило объем выпускаемой продукции
на 51%. При этом каждый год объем продукции снижался на одно и
то же число процентов. На сколько?
Решение:
Пусть предприятие выпускает 100 деталей. И каждый год снижало на х%. За
I год объем продукции снизился на х деталей. (100-х) деталей выпускает в
начале II года.
(100-х) - 100%
?
- х%
(100−х)х
= (х-0.01х2 )
100
(10-х-(х-0.01)) = (100-2х+0.01х2 ) изделий в конце II года.
Это есть 49% от 100 , т.е. 49 деталей
100-2х+0.01х2 =49
(10-0.1х)2 =72
10 -0.1х=7 или 10-0.1х=-7
-0.1х=-3
-0.1х=-17
Х=30
х=170 – не подходит
Ответ: 30%
6. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на два равных
треугольника?
Решение:
Ответ: можно
7. 101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной
конюшне будет обязательно нечетное число лошадей?
Решение:
Всех лошадей разделим на 15 конюшен, получим по 6 лошадей в каждую.
Остальные 11 лошадей поделим на 15 конюшен. Получим 5 конюшен по 8
лошадей, 9 конюшен по 6 лошадей и одна конюшня по 7 лошадей.
Ответ: невозможно
8. Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все
пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с
помощью двух взвешиваний найти более легкую пластинку?
Решение:
Сначала взвешиваем по 3 пластинки, если в левой или в правой легче , значит
там нужная пластина пластинка, если же равны, то в оставшихся 3 пластинах
находится нужная пластина. Дальше взвешиваем по 1 пластине, если в левой
или в правой легче, то значит это и есть искомая пластина, если же равны, то
не тронутая пластина является легкой.
9. Дробь
В  А Р  Е  Н  Ь Е
К  А Р  Л С О  Н
равна целому числу, разные буквы
обозначают разные цифры, а между ними стоит знак умножения.
Чему равна дробь? Ответ обоснуйте.
Решение:
Т.к. разных букв 10, то должно быть среди них число 0.
Из-за того, что на 0 делить нельзя, ноль должен стоять только в числителе.
Получается, что нолем должны являться только буквы В, Ь и Е.
Ответ: буквы B, Ь и Е должны ровняться нулю
10. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 ч, а другой - за 3,75ч. За
какое время наполнят бассейн оба фонтана?
Решение:
Пусть 1 – это вся работа. Тогда I фонтан за час наполняет
второй бассейн
2
3
1
=
4
3.75 15
1 : = =1.5 ч
3 2
Ответ: 1.5 часов
1
2
= бассейна, а
2.5 5
10 2
бассейна. Вместе за час они набирают
= бассейна.
15 3