Задача 1. Сколько всего существует различных троек

Срок представления решений 31 января 2011 г.
Решения посылай на почтовый адрес Tähe 4 – 143, Tartu 51010 (на конверте напиши KUUBIK).
Результаты и задачи следующего тура смотри на сайте http://www.teaduskool.ut.ee/kuubik
Задача 1.
Сколько всего существует различных троек положительных целых чисел, которые
удовлетворяют следующим условиям:
a) каждая тройка состоит из последовательных положительных целых чисел, которые
упорядочены, начиная с наименьшего, а сумма всех чисел в каждой тройке не больше
числа 30;
b) в каждой тройке положительные целые числа упорядочены, начиная с наименьшего,
в каждой тройке разность второго и первого числа равна разности третьего и второго
числа, а сумма всех чисел в каждой тройке равна 24;
c) в каждой тройке положительные целые числа упорядочены, начиная с наименьшего,
а сумма всех чисел в каждой тройке равна 20.
Задача 2.
Номер текущего года 2011 имеет следующие интересные свойства.
a) Сумма цифр числа 2011 равна 4, но само число на 4 не делится. Найди следующий
номер года, имеющий такое же свойство.
b) Сумма цифр числа 2011 равна числу 4, которое является квадратом целого числа.
Сколько номеров годов этого столетия имеют такое же свойство?
c) Сумма двух первых цифр числа 2011 равна сумме двух его последних цифр. Найди
наибольшее четырёхзначное число, у которого, по крайней мере, три различные
цифры, и которое имеет такое же свойство.
d) Степени, основаниями которых являются первая и третья цифры числа 2011, а
соответствующими показателями являются вторая и четвёртая цифры числа 2011,
равны между собой (то есть 2 1 ). Найди наибольшее четырёхзначное число, у
которого, по крайней мере, три различные цифры, и которое имеет такое же свойство.
Задача 3.
a) Какая геометрическая фигура окрашена тёмным цветом?
b) Не вычисляя точную площадь, объясни, площадь какой части
больше, окрашенной тёмным цветом или неокрашенной? Для этого
используй подходящие обозначения или поясни схематично.
c) Найди площадь окрашенного тёмным цветом многоугольника, если
размеры данной клетчатой доски равны 8 см 8 см.
Задача 4.
В футбольном турнире участвовало 5 команд: A, B, C, D и E. Каждая пара команд
сыграла между собой ровно один матч. За каждую победу каждая команда получила 3
очка, за ничью 1 очко, а за поражение 0 очков. Итоговая таблица турнира выглядела
следующим образом:
Количество
Название Количество
Количество
пропущенных
команды
очков
забитых мячей
мячей
A
9
3
4
B
7
3
2
C
6
4
4
D
4
2
3
E
3
4
3
a) Сколько всего матчей было сыграно на турнире?
b) Сколько матчей завершилось вничью? Почему?
c) С каким счётом завершился матч между командами A и E? Почему?
d) С каким счётом завершился матч между командами C и D? Почему?
Задача 5.
Дана клетчатая доска размером 4 4, на одной из
угловых клеток которой лежит стандартный кубик (на
гранях которого числа от 1 до 6, а сумма чисел на
противоположных гранях которого равна 7) так, как
показано на рисунке. С одной клетки на другую можно
передвигаться, переворачивая кубик через его ребро,
причём одну и ту же клетку нельзя проходить более
одного раза. Когда кубик попадает на клетку доски, то в эту клетку нужно записать
число, равное числу на верхней грани кубика (в угловую клетку изначального
положения кубика нужно записать число 1). Найди значение наибольшей возможной
суммы чисел, которые можно записать в клетках клетчатой доски.
Задача 6.
Сколько всего различных возможностей для записи цифр 1, 2 и 3 в кругах так, чтобы в
соединённых отрезком кругах были записаны различные цифры?
Например, для заполнения кругов на рисунке слева существует ровно 3 различные
возможности.
Пример:
a)
b)