Document 2680577

1
2.3. Распределение Максвелла по проекциям скорости.
2.3.1. Распределение по проекциям скорости.
Обычно, когда проводится экспериментальная проверка распределения Максвелла, то регистрируются
молекулы, летящие в одну сторону. Т.е. необходимо знать составляющую скорости вдоль определенной
оси, например, вдоль оси x - vx.
Воспользуемся микрораспределением, т.е. тем, что вероятность молекуле иметь определенную
энергию равна произведению распределения Гиббса на соответствующий фазовый объем:
E
ρ(E ) = A ⋅ e T ,
−
E
dP(E ) = A ⋅ e T dΓE
−
(2.3.1)
2
mv
, как и в предыдущем параграфе,
2
Подставляя кинетическую энергию одной молекулы K =
рассмотрим
фазовый объем, соответствующий элементу объема в пространстве скоростей:
dΓv = dvx dv y dvz . Тогда получаем распределение Максвелла, дающее вероятность того, что молекула
 v x ÷ v x + dv x 


имеет скорость в следующем диапазоне скоростей v y ÷ v y + dv y  :
 v ÷ v + dv 
z
z 
 z
 m 
dP ( K ) = 

 2πT 
3/ 2
⋅e
−
m( v x2 + v 2y + v z2 )
2T
Эту вероятность можно представить в виде произведения: dP
(2.3.2)
dv x dv y dv z
(K ) = dP(v x )dP(v y )dP(v z ) , где каждый из
сомножителей представляет собой распределение Максвелла (1859 г.) для проекций скорости молекул. Так,
вероятность того, что молекула имеет x-ую проекцию скорости в пределах v x ÷ v x + dv x , имеет вид:
 m 
dP(v x ) = 

 2πT 
ρ(vx)
1/ 2
e
−
mv x2
2T
dv x
(2.3.3)
Или иначе, распределение Максвелла по x-ой
проекции скорости (плотность вероятности)
равно:
m 
ρ(v x ) = 

 2πT 
0
vx
1/ 2
e
−
mv x2
2T
dv x =
dP(v x )
(2.3.4)
dv x
Легко увидеть, что распределение (2.3.4)
симметрично относительно начала координат и
имеет максимум при проекции скорости vx = 0.
Положительные и отрицательные значения vx имеют
одинаковую вероятность, поэтому наиболее вероятная
проекция и средняя проекция скорости равны нулю
vy
v x = 0.
Можно пояснить на простых картинках фазового
объема различие в распределениях по абсолютным
значениям скорости и по проекциям, а также, почему
наиболее вероятная проекция скорости равна нулю.
Плотность числа точек наибольшая в центре системы
координат скоростей, а затем падает по экспоненте:
( )
( )
−
vx
mv 2
2T
ρ E = ρ K = Ae .
Для абсолютных значений скорости (см рисунок
справа) для разных абсолютных значений скоростей v
имеем различный фазовый объем, который растет с
увеличением
абсолютного
значения
скорости
vz
2
2
Плоскость
пропорционально ~ 4πv dv. Поэтому при малых
скоростях распределение растет из-за фазового объема,
достигает максимума и затем падает из-за быстрого
падения плотности частиц (хотя фазовый объем попрежнему растет).
Если рассматривать фазовый объем в распределении
по проекциям скорости (см рисунок слева), то этот
фазовый объем постоянен для всех значений vx, и равен
dvx. Следовательно, вероятность больше там, где больше
плотность частиц, т.е. когда плоскость толщины dvx
походит через центр пространства скоростей.
Качественная зависимость распределения по
проекциям от температуры показана на рисунке ниже.
Чем выше температура (T2 > T1), тем положе становится
кривая. Легко видеть, что площадь под кривой равна 1
(единице), т.е. выполняется условие нормировки:
vy
(vy,vz)
vx
∞
dvx
 m 
∫−∞ 2πT 
dvx
1/ 2
mv x2
2T
 m 
dv x = 

 2πT 
1/ 2
π
m
2T
= 1 (2.3.5)
Для системы частиц из N молекул
вероятность того, что молекула обладает
кинетической энергией в определенном
объеме фазового пространства, равна:
ρ(vx)
T1
e
−
T2 > T1
T2
0
 m  3 / 2
 mv 2
dPK = 
 exp −
 2πT 
 2T
vx


dv x dv y dv z 


(2.3.6)
Это распределение справедливо для любой системы с произвольным взаимодействием между молекулами,
подчиняющейся законам классической физике.
2.3.2. Средняя кинетическая энергия на одну степень свободы
Вычислим среднюю энергию, приходящуюся на одну степень свободы, т.е. сосчитаем
E x - долю
кинетической энергии, относящуюся к движению по оси x:
2
mv x2 mv y mv z2
E=
+
+
= Ex + Ey + Ez
2
2
2
(2.3.7)
По определению среднего значения имеем:
Ex
 m 
=

 2πT 
1/ 2
∞
 mv x2
m
−
exp
2 −∫∞  2T
 2
v x dv x

(2.3.8)
Так как (см Приложение 1 к § 2.2):
∞
∞
d
d π
π − 23
2
∫ exp(− βx ) x dx = − dβ −∞∫ exp(− βx ) dx = − dβ β = 2 β
−∞
2
2
получаем для средней энергии:
Ex =
m m 


2  2πT 
1/ 2
π m 


2  2T 
3/ 2
1
1
= T = kTk
2
2
Итак, кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна “половинке” kT, причем
(2.3.9)
N
3
Ex = Ey = Ez =
1
kTk
2
(2.3.10)
Тогда среднее значение полной энергии равно
E =
3
kTk
2
(2.3.11)
2.3.3. Число ударов о единицу поверхности в единицу времени.
Рассмотрение числа ударов в единицу времени на единицу поверхности ν есть не что иное, как
определение плотности потока частиц (см Механика). Сосчитаем число молекул летящих по оси x, как
количество молекул в цилиндрическом объеме высоты vx⋅∆t и площадью основания S, изображенном на
рисунке. При этом можно не обращать внимания на проекции по другим осям, поскольку число молекул,
выходящих за боковые стенки цилиндра, равно числу молекул, входящих в объем, в силу равновесия.
Пусть концентрация частиц равна n. Тогда число
vy
молекул, обладающих проекцией скорости от vx до vx+dvx,
vx⋅∆t
равно:
dn(v x ) = n ⋅ dP(v x )
(2.3.12)
S
vx
Число молекул с этими проекциями, содержащихся в объеме
цилиндра, равно:
dN (v x ) = Sv x ∆t ⋅ dn(v x )
(2.3.13)
Все эти молекулы за время ∆t пересекут площадку S. Поэтому
число молекул с проекциями от vx до vx+dvx,, проходящих за
единицу времени через единицу площадки, записывается:
vz
dν =
dN
= n ⋅ v x ⋅ dP(v x )
S∆t
(2.3.14)
Полное число молекул (с любыми скоростями) записывается через интеграл:
 m 
ν = n

 2πT 
1
2
∞
 mv x2
⋅ ∫ v x ⋅ exp −
 2T
0

m 
 dv x = n

 2πT 

1
2
∞
 mv x2
T
⋅ ∫ exp −
m0
 2T
  mv x2
 ⋅ d 
  2T

T
 = n
2πm

Вспоминая выражение для средней скорости молекул (2.2.21), получаем окончательно число ударов
молекул о единицу поверхности в единицу времени:
ν=
1
nv
4
(2.3.15)
Эту же формулу легко получить, исходя из распределения Максвелла по абсолютным значениям скорости,
если интегрировать по всем возможным углам прилета молекул на данную площадку.