О ПРИБЛИЖЕНИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛЬНЫМИ

N=1000
Таблица 3
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Во-первых, как и следовало ожидать, точность приближенного решения по­
вышается при увеличении числа уточнений і и числа узлов N. Это дает повод
надеяться на то, что, управляя этими двумя рычагами, на практике можно дос­
тигать любой разумной точности на заданном шаге.
Во-вторых, сравнение значений ML(h) и Мv(h) показывает, что использова­
ние односторонней константы Липшица вместо классической делает верхнюю
оценку погрешности существенно точнее. Несмотря на это, такая оценка обыч­
но является достаточно завышенной. Что касается оценки снизу
, то на
данной задаче она дает неплохие результаты.
В-третьих, достаточно ясно прослеживается связь между величиной μδ(h),
которая фактически представляет собой норму главной части погрешности, и
нормой погрешности mε(h). Принимая во внимание также то, что значение μδ(h)
может быть эффективно вычислено, представляется разумным на практике ис­
пользовать его вместо (7) - (9) для оценки mε(h).
В заключение сделаем еще одно наблюдение, основанное на сравнении по­
грешности и ее оценок для разных N при i=50. Мы видим, что при большой
разнице в уровне аппроксимации (а следовательно, и в вычислительной трудо­
емкости) точность приближения практически одинакова. Следовательно, при
высоких требованиях к точности можно избежать чрезмерных вычислительных
затрат, если начинать процесс приближений с низкого уровня аппроксимации и
затем повышать его по мере необходимости.
1. Х а й p e p Э., Н ё р с е т т С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений. Нежесткие задачи. М, 1990.
2. Х а й р е р Э., В а н н е р Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие
и дифференциально-алгебраические задачи. М., 1999.
Поступила в редакцию 08.11.04.
Владимир Васильевич Бобков - доктор физико-математических наук, профессор кафедры
вычислительной математики.
Борис Викторович Фалейчик - аспирант кафедры вычислительной математики. Научный
руководитель - В.В. Бобков.
Вестник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3
УДК 513.51
К.А. СМОТРЯЩИЙ
О ПРИБЛИЖЕНИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ НА ОТРЕЗКЕ
In the present paper the rational approximation to the convex function on the segment [0, 1] is
considered. It is showed that in case of adequate selection of poles the approximation by integral op­
erators of the Jackson type coincides with the best uniform approximation to this class of functions.
В теории аппроксимаций одной из основных задач является проблема опи­
сания последовательности приближающих элементов. При этом исследуемая
последовательность должна доставлять приближение порядка наилучшего или
лишь незначительно отличаться от него.
64
Математика и информатика
В настоящей работе в качестве объекта приближений выступает класс вы­
пуклых на отрезке функций. Равномерные рациональные приближения таких
функций достаточно хорошо изучены (см. [1]). Основной результат заключает­ся в
том, что если f - выпуклая на отрезке [а, b] функция, то
где Rn(f, [а, b]) - наилучшее равномерное приближение функции f на отрезке
[а, b] рациональными функциями степени не выше п, М=
|f(x) |, с — по­
ложительная постоянная, не зависящая от п. Оценка (1) получена в [2].
Начиная с 1980-х гг. в качестве аппарата приближения стали широко ис­
пользоваться различные рациональные операторы (см. [3], [4]), применение ко­
торых для доказательства прямых теорем рациональной аппроксимации показа­ло
их эффективность для получения оценок, совпадающих с наилучшими рав­номерными.
В данной работе приближения осуществляются посредством рациональных
интегральных операторов типа Джексона и Фейера по схеме, предложенной и
примененной в [5]. Отметим, что в работе [6] приближения выпуклых функций
проводились сумматорными рациональными операторами.
Пусть последовательность чисел
содержит действительные либо
попарно комплексно-сопряженные числа, причем |a k |<1, k=1, ..., п. Следуя [7],
опишем построение рациональных интегральных операторов.
Рассмотрим функцию
Пусть f
С[а, b]. Тогда
является рациональной функцией степени не выше 3п. Будем называть ее ра­
циональной функцией типа Джексона.
Функция
является рациональной функцией степени не выше п. Назовем ее рациональной
функцией типа Фейера.
Лемма 1 [7]. Справедливы соотношения
65
Вестник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема. Пусть функция
[0, 1] является невозрастающей и выпуклой
вниз на отрезке [0, 1]. Тогда параметры аk, k=1, ..., n, можно выбрать так,
что справедливы оценки:
Д о к а з а т е л ь с т в о . Вначале доопределим функцию f, полагая f(-x)=f(x),
[0, 1]. В силу точности операторов типа Джексона и Фейера для константы
будем считать, что f(1)=0.
Пусть N=[n/4]. Произведем разбиение
чтобы выполнялись соотношения
k=1,
отрезка [0, 1] таким образом,
...,
N.
Очевидно,
хk-1- хk ≥ хk - xk+l,
k=1,...,N-1.
(5)
Пусть λ(х) - кусочно-линейная непрерывная функция с вершинами в точках
(хk, f(xk-1)), k=1, ..., N. Тогда, полагая λ(-х)=λ(х),
[0, 1], и учитывая выпук­
лость функции f, получим
Поэтому
Аналогично
Представим теперь λ в виде суммы так называемых простых функций. Име­
ет место следующая
Лемма 2. Справедливо представление
66
Математика и информатика
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу четности рассматриваемых функций достаточ­
но проанализировать случай х [0, 1]. Очевидно,
поэтому
При x=x3 будем иметь
откуда
Пусть соотношения (8) выполняются для всех j = 1 , ..., k-1, покажем их
справедливость для j=k. При x=xk+1 получим
откуда
Справедливость (9) следует из (5). Докажем (10)
Лемма 2 доказана.
Возвращаясь к доказательству теоремы и учитывая линейность рассматри­
ваемых операторов, получим
67
Вестник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3
Теперь приведем оценки приближения простых функций.
Лемма 3. Для уклонения операторов J3n и Fn от функции
имеют место оценки
Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя определение оператора типа Джексона и
функции φ, получим
Подставляя (16) и (17) в (15), получим оценку
которая справедлива для всех
68
. Однако ей мы воспользуемся в случае
Математика и информатика
В случае, когда
поступим несколько иначе:
Используя свойства функции φ, получим
Если -π + θ [-π, - π / 2 - 2 ∆ ) , то
Таким образом, при
Из (18) и (19) следует (13).
Для доказательства оценки (14) поступим аналогичным образом. Отметим
лишь, что множество Еθ определяется так:
Лемма 3 доказана.
Подставляя результат леммы 3 в (11) и (12), получим
где С1, С2 - абсолютные положительные постоянные.
Пусть во множество параметров αk операторов типа Джексона и Фейера
входят следующие числа:
и, кроме того, им сопряженные. При этом, как это следует из леммы 1 и выбора
числа N, их общее количество не превосходит 4N≤n.
69
Вестник БГУ. Сер. 1. 2005. № 3
Учитывая, что
Подставляя (22), (23) в (20) и (21) с учетом (6) и (7), получим заключение
теоремы.
Замечание. Пусть функция
С[0, 1] выпукла вниз и minf(x)=0. Тогда суще­
ствует такая точка
[0, 1], что
f(x) = f1(x) + f2(x)
При этом функции f1(x) и f2(1-x) удовлетворяют условиям теоремы. По­
этому
где
Таким
образом, оценка (1) следует из доказанной теоремы.
l . P e t r u s h e v P . P . , Popov В .A. Rational approximation of real functions. Cambridge, 1987.
2.Попов B . A . , П е т р у ш е в П. П. //Мат. сб. 1977. Т. 103. №2. С. 285.
3. Русак В.Н. Рациональные функции как аппарат приближения. Мн., 1979.
4. Ровба Е.А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации. Гродно, 2001.
5. П е к а р с к и й А. А.// Мат. сб. 1987. Т. 133 (175). № 2 (5). С. 86.
6. Р у с а к В . Н . , Р ы б а ч е н к о И.//Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. Мн., 2002. Т. 11.
С. 133.
7. Ровба Е.А.//Вестн. Белорус. ун-та. Сер. 1. 1996. № 1. С. 34.
Поступила в редакцию 10.01.05.
Константин Анатольевич Смотрицкий - преподаватель кафедры теории функций, функ­
ционального анализа, вероятностей и прикладной математики ГрГУ им. Я. Купалы.
70