Потенциальные векторные поля

1
С. А. Лавренченко
www.lawrencenko.ru
Лекция 4
Потенциальные векторные поля
1. Понятие потенциальности
Пусть f — скалярная функция двух переменных. Вспомним с лекции 5 (модуль
«Функции нескольких переменных»), что ее градиент f определяется как
f ( x, y )  f x( x, y ) i  f y ( x, y ) j .
Таким образом, f есть, в действительности, векторное поле в R 2 и называется
векторным полем градиентов.
Аналогично, если f — скалярная функция трех переменных, ее градиенты образуют
векторное поле в R 3 , определяемое как
f ( x, y , z )  f x( x, y , z ) i  f y ( x, y , z ) j  f z( x, y , z ) k .
Определение 1.1 (потенциального векторного поля). Векторное поле F называется
потенциальным (или консервативным), если оно является полем градиентов некоторой
скалярной функции, т. е. существует скалярная функция f такая, что F  f . Тогда
функцию f называют потенциалом векторного поля F .
Не все векторные поля потенциальны, но такие поля часто возникают в физике.
Например, гравитационные и электростатические поля потенциальны.
2. Формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов
Вспомним формулу Ньютона-Лейбница из модуля «Интегральное исчисление»:
b
(1)
 F ( x) dx  F (b)  F (a) ,
a
2
где F  предполагается непрерывной на [a, b] . Если вектор градиента f функции f
(двух или трех переменных) рассматривать как своего рода производную от f , то
следующую теорему можно рассматривать как аналог формулы Ньютона-Лейбница для
криволинейных интегралов 2-го рода.
Теорема 2.1 (формула Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов). Пусть C
— гладкий контур, заданный вектор-функцией r(t ) , a  t  b . Пусть, далее, f —
дифференцируемая функция двух или трех переменных, вектор градиента которой
непрерывен на C . Тогда
 f  d r 
f (r (b))  f (r ( a )) .
C
Мы ниже докажем эту теорему, но прежде обратим внимание на то, что она позволяет
вычислить интеграл от потенциального векторного поля, зная значения у потенциала f
лишь в начальной и конечной точках контура C . (В терминах физики, работа
потенциального силового поля при перемещении объекта по контуру равна разности
значений потенциала в конечной и начальной точках контура.) Более конкретно, если f
— функция двух переменных и C — плоский контур с начальной точкой A ( x1 , y1 ) и
конечной точкой B ( x2 , y 2 ) , то теорема 1.1 принимает вид:
 f  d r 
f ( x 2 , y 2 )  f ( x1 , y1 ) .
C
Если же f — функция трех переменных и C — пространственный контур из A ( x1 , y1 , z1 )
в B ( x2 , y 2 , z2 ) , то
 f  d r 
f ( x 2 , y 2 , z 2 )  f ( x1 , y1 , z1 ) .
C
Докажем теорему 2.1 для этого трехмерного случая.
Доказательство теоремы 2.1: По формуле для вычисления криволинейного интеграла 2го рода с прошлой лекции получаем:
b
 f  d r   f (r(t ))  r(t ) dt 
C
[расписывая скалярное произведение векторов f и r  ]
a
 f dx f dy f dz 
  


 dt =
x dt y dt z dt 
a 
b
[по правилу дифференцирования
сложной функции]
b

a
d
f (r(t )) dt 
dt
[по обычной формуле Ньютона-Лейбница (1)]
 f (r(b))  f (r(a)) . ■
3
Хотя мы доказали теорему 2.1 для гладкого контура, она также справедлива для
кусочно-гладких контуров. В самом деле, достаточно разбить C на конечное число
гладких контуров и сложить получающиеся интегралы.
3. Независимость интеграла от формы контура
Предположим, что C1 и C 2 — два кусочно-гладких контура, имеющие общую
начальную точку A и общую конечную точку B . Хотя в общем случае
 F  dr   F  dr ,
C1
C2
в частном же случае, когда поле F потенциально, по теореме 2.1 имеем
 f  d r   f  d r
C1
C2
при условии, что f — непрерывная вектор-функция.
В общем случае, если F — непрерывное векторное поле в некоторой области D , будем
говорить, что интеграл поля F не зависит от формы контура в D , если
 F  dr   F  dr
C1
C2
для любых двух контуров C1 и C 2 в D , имеющих общие начальную и конечную точки.
Теорема 3.1 (критерий независимости интеграла от формы контура). Интеграл поля
F не зависит от формы контура в D тогда и только тогда, когда  F  dr  0 , т. е.
C
равна нулю циркуляция по любому замкнутому контуру C в D .
Доказательство: Часть «только тогда». Предположим, что интеграл поля F не зависит
от формы контура в D , и пусть C — любой замкнутый контур в D . Выберем на C
любые две точки и обозначим их через A и B . Будем рассматривать C как контур,
состоящий из объединения двух контуров: C1 из A в B , и C 2 из B в A . См. рис. 1.
Рис. 1.
4
Тогда имеем
 F  dr  F  dr   F  dr   F  dr   F  dr  0 ,
C
C1
C2
C2
C1
поскольку C1 и  C2 имеют общую начальную и конечную точки.
Часть «тогда». Предположим, что

C
F  dr  0 для любого замкнутого контура C в D .
Мы покажем независимость интеграла поля F от формы контура следующим образом.
Возьмем какие-нибудь два контура C1 и C 2 в области D , оба ведущие из A в B .
Определим C как контур, состоящий из объединения C1 и  C2 . Тогда имеем
0   F  dr   F  dr 
C
и поэтому

C1
C1
 F  dr   F  dr   F  dr ,
C2
C1
C2
F  dr   F  dr . ■
C2
По теореме 2.1 интеграл любого потенциального векторного поля не зависит от формы
контура. Следовательно, по теореме 3.1,  F  dr  0 для любого замкнутого контура C .
C
Физическая интерпретация этого факта состоит в том, что равно нулю работа,
совершаемая потенциальным силовым полем при перемещении объекта по любому
замкнутому контуру.
4. Условия потенциальности
Следующая теорема утверждает, что независимость интеграла поля F от формы
контура достаточна для потенциальности F . Область D в R 2 или R 3 называется
открытой, если для каждой ее точки M найдется круг (или шар, если в R 3 ) с центром в
M , целиком принадлежащий D . Область D называется замкнутой, если она включает
все ее граничные точки (когда таковые существуют). Область D называется связной, если
любые две ее точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D .
Теорема 4.1 (общее достаточное условие потенциальности). Пусть векторное поле F
непрерывно в некоторой замкнутой связной области D . Если интеграл поля F не
зависит от формы контура в D , то F — потенциальное векторное поле в D , т. е.
существует функция f такая, что в f  F .
Идея доказательства: Пусть A (a, b) — фиксированная точка в D . Для каждой точки
( x, y )  D требуемая функция f определяется как
( x, y )
f ( x, y ) 

( a,b)
F  dr .
5
Поскольку интеграл поля F не зависит от формы контура, то не имеет значения, какой
конкретный контур С из (a, b) в ( x, y ) берется для вычисления f ( x, y ) .
Для нахождения f требуется «частное интегрирование». Этот метод будет показан на
практическом занятии. ■
Остается вопрос: как на практике определить, является ли данное векторное поле F
потенциальным? На этой лекции мы рассмотрим случай плоского векторного поля.
Предположим, что известно, что поле F  P i  Q j потенциально, причем функции P и
Q имеют непрерывные первые частные производные. Тогда существует функция f
такая, что F  f , т. е.
P
f
x
и
Q
f
.
y
Значит, по теореме Клеро,
Q  2 f
2 f
P



.
x x y y x y
Теорема 4.2 (необходимое условие потенциальности плоского поля). Если
F ( x, y)  P ( x, y) i  Q ( x, y) j — потенциальное плоское векторное поле, где P и Q
имеют непрерывные первые частные производные в некоторой области D  R 2 , то в D
справедливо тождество:
Q P
. ■

x y
Обратная теорема верна только при дополнительных ограничениях на (плоскую)
область D , а именно, будем предполагать, что D — открытая область и что
ограничивающий ее контур является замкнутым и простым (как в формулировке формулы
Грина с прошлой лекции). Наконец, будем предполагать, что область D односвязная, т. е.
она, во-первых, связная и, во-вторых, удовлетворяет дополнительному условию, что
любая простая замкнутая кривая в D ограничивает только точки, принадлежащие D .
Последнее условие равносильно тому, что область не имеет «дыр», как, например, кольцо.
Теорема 4.3 (достаточное условие потенциальности плоского поля). Пусть
F  P i  Q j — векторное поле в открытой односвязной области D , причем P и Q
имеют непрерывные первые частные производные в D , и пусть в D справедливо
тождество:
Q P
.

x y
Тогда F потенциально в D .
Доказательство: Для доказательства потенциальности F достаточно доказать
независимость интеграла поля F от формы контура (по теореме 4.1), которая, в свою
очередь, последует из равенства нулю циркуляции поля F по любому замкнутому
контуру (по теореме 3.1). Для доказательства последнего возьмем сначала любой простой
6
замкнутый контур C в D и обозначим через R область, им ограниченную. Тогда R  D .
По формуле Грина имеем
(2)
 Q
P 
 F  d r   Pdx  Qdy    x  y  dS   0 dS  0 .
C
C
R
R
Если же замкнутый контур C не является простым, т. е. пересекает сам себя в одной или
нескольких точках, его надо разбить на некоторое число простых замкнутых контуров
(упражнение 1 для самопроверки). Условие односвязности D гарантирует, что каждый из
этих контуров ограничивает область, состоящую только из точек, принадлежащих D , а
поэтому для каждого из этих контуров справедливо равенство (2). Складывая эти
равенства, получаем, что циркуляция по всему контуру тоже равна нулю. ■
Упражнения для самопроверки
1. Докажите, что если плоский замкнутый контур C не является простым, т. е.
пересекает сам себя в одной или нескольких точках, то его можно разбить на
некоторое число простых замкнутых контуров.
Рис. 2. Замкнутый контур.
2. Замкнутый контур на рис. 2 ограничивает некоторую область. Односвязна ли эта
область или нет? Положительна или отрицательна заданная ориентация контура? В
основе этого контура лежит спираль Ферма. См.:
http://www.oak-soft.com/curves