предельные состояния растянутой двухслойной пластины

ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МЕХАНІКИ
І МІЦНОСТІ КОНСТРУКЦІЙ
ISSN 2079–1836
2011, вип. 16
УДК 539.3
А. Н. Ализаде, д-р физ.- мат. наук
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ РАСТЯНУТОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ
ПЛАСТИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ КОРРОЗИИ
Рассматривается растянутая продольной силой пластина, подверженная
равномерно распределенной коррозией. Предполагается, что коррозия приводит лишь
к изменению толщины. В некоторый момент времени, меньший предельного
значения, пластина подкрепляется другой пластиной. Проведён анализ предельных
состояний полученной двухслойной растянутой пластины, подверженной коррозии.
Ключевые слова: двухслойная пластина, коррозия, изменение толщины, предельное
состояние.
Введение. В современной технике все большее распространение получают многослойные элементы конструкций и системы с тонкими одно- и многослойными покрытиями. Особенно широко они применяются в технологии
ремонта судов. В результате контакта корпусов судов с агрессивной морской
средой возникает коррозия, приводящая к изменению толщины корпуса. Этот
коррозионный износ приводит к уменьшению времени эксплуатации конструкции. Для увеличения срока службы, при условии сохранения грузонесущей
способности, корродированную часть элемента корпуса судна подкрепляют
пластиной. Подкрепление корпуса судна является сложным технологическим
процессом. Оно осуществляется в несколько этапов. Сначала судно разгружают, сняв действующую нагрузку. Затем начинается подготовительный этап:
зачистка каверной, грунтовка, нанесение антикоррозийного покрытия и т. д., а
в конце всего процесса каверна подкрепляется, в частности, к корпусу крепится пластина. Отметим, что крепление может быть осуществлено несколькими способами. В работе не анализируются способы подкрепления, а просто
предполагается наличие подкрепленной пластины, жестко контактирующей с
судном по лицевой поверхности. В этом случае происходит перераспределение напряженно-деформированного состояния, которое влияет на предельные значения состояния получаемой двухслойной конструкции. Эти значения
определяются из условия существования предельного состояния, которое
может быть описано различными критериями. Критерий зависит от постановки задачи в первоначальном варианте. Этот критерий сохраняется после подкрепления корпуса судна пластиной. Например, если при проектировании
судна за критерий прочности была взята коррозионностойкость, то при выборе параметров пластины время износа не должно быть меньше первоначального. В данной работе определяются предельные значения времени, основываясь на различных критериях работоспособности конструкции. Эти значения
позволяют определить изменения срока эксплуатации и оптимизировать технологию ремонта.
____________________________
 А. Н. Ализаде, 2011
9
Постановка задачи. Рассмотрим пластину длиной L , толщиной H 01 .
Предположим, что два противоположных края свободны, а два других подвержены равномерно распределенной по ширине растягивающей силе T .
Пусть одна из лицевых поверхностей пластины подвержена равномерно
распределенной коррозии, приводящей к изменению толщины пластины.
Тогда существует такое значение времени, зависящее от параметров задачи, при котором происходит потеря грузонесущей способности конструкции.
Для увеличения срока эксплуатации существует несколько способов упрочнения конструкции. Одним из таких способов является уплотнение пластины
за счет нанесения на корродированную поверхность второго слоя. Представим этот слой в виде упругой пластины толщиной H 02 , длина и ширина
которой совпадают с шириной и длиной исходной пластины. Полученная
двухслойная пластина также подвержена растяжению и коррозии. Очевидно, что в этом случае срок эксплуатации конструкции увеличивается. Целью
данной работы является определение увеличения срока эксплуатации подкрепленной пластины в зависимости от параметров задачи.
Решение задачи. Исходя из вида конструкции, коррозионного воздействия, приложенных сил, поведение пластины можно описать поведением
стержня. Рассмотрим стержень длиной L толщиной H 01 , растянутый продольной силой T . Пусть одна из лицевых поверхностей стержня, соответствующая лицевой поверхности пластины, подвержена коррозии. Действие
коррозии может привести к различным последствиям, например, к набуханию, к изменению модуля упругости материала и т. д. В данной статье рассматривается коррозионный износ, приводящий к изменению объема тела.
Для стержня, в данной постановке, такой износ приводит лишь к изменению
толщины, т. е. H1  H1 (t ) , где t – время износа, H1 – толщина стержня в
произвольный момент времени. Это изменение определяется из уравнения
коррозионного износа. Наиболее простая модель имеет следующий вид 2:
dH1
  K11  K211 ;
dt
H1  H01 при t  0 ,
где H1 – толщина рассматриваемого стержня в момент времени t ; 1 –
напряжение в данном стержне; K11 – скорость химической реакции окисления, зависящая от пары металл – среда и конструкции корродирующего
агента; K21 – коэффициент, характеризующий зависимость скорости износа
от напряжения деформация корродированной поверхности.
T
Учитывая, что 1 
, имеем
H1
dH1
T
  K11  K21
;
dt
H1
10
H1  H01 при t  0 .
(1)
Если скорость износа не зависит от деформации корродированной поверхности, т. е. K21  0, то
H1  H 01  K11t ;
t  t0(1) 
H 01
,
K11
(1)
где t0 – время полного износа рассматриваемого стержня. Это значение
времени можно принять за предельное значение времени – при котором
теряется грузонесущая способность стержня. За предельное значение времени можно принять время, при котором происходит разрушение растянутого стержня. Предположим, что разрушение происходит при 1   å(1) , где
 å(1) – предельное значение напряжения для этого стержня (напряжение
разрушения или начала пластического течения, которое не зависит от концентрации агента в теле). Тогда

 (1)
T  1


 H 01 
; T  T 
,

H01
 (1)  K11

где T – предельное значение растягивающей силы стержня без учета коррозии.
Предположим, что K12  0 . Тогда решение уравнения (1) возьмем в следующем виде:
 (1)
T
 1 
 T ( H 01  K11t )1 ;
H1 (t )
t
(1)
t01
1
K T
( H 01  H1 )  21 ln ( K11 H1  K 21T )( K11 H01  K 21T ) 1  .
2
K11
K11
Основываясь на данном выражении, получим предельные значения
времени, используя тот или иной критерий. Из критерия полного износа
(1)
стержня H1  0 получаем предельное значение времени, равное t1 , где
t1(1) 
H 01 K21T

ln  K 21T ( K 21T )1  .
2
K11
K11
Из критерия достижения напряжения при растяжении предельного знаT
чения, т. е. 1   (1) или H1 
, предельное значение времени, равное
 (1)
t1(1)
 , где
t1(1)
 
1 
T
 H01 
K11 
 (1)

 K T 

T
  21 ln  ( K11
 K21T )( K11H 01  K21T )1  .
2
(1)
 K11




11
Таким образом, для однослойной корродированной растянутой пластины
(1) (1)
найдены четыре предельных значения времени t0(1) , t0(1)
 , t1 , t1 , определяющих потерю грузонесущей способности рассматриваемой конструкции,
основываясь на некоторые критерии и допущения. Так как среди вышепере(1)
численных предельных значений времени наименьшим является t1 , то
(1)
для любого значения t0  t1 пластина сохраняет работоспособность.
При приближении времени к предельному значению срок дальнейшей эксплуатации уменьшается и в этом случае возникает необходимость усиления
конструкции. Среди всевозможных способов усиления здесь рассматривается
способ нанесения на рассматриваемый слой со стороны корродированной поверхности другого слоя. В результате применения этого способа однослойная
конструкция становится двухслойной: первый слой – растянутая пластина, второй – покрытие. Сохраняя вид нагружения и способ коррозионного воздействия, определим перераспределение напряжения.
Пусть в некоторый момент времени t  t0  t1(1)
 пластина разгружается
для осуществления работ по усилению корродированной пластины. Суть
усиления заключается в следующем: корродированную поверхность покрывают некоторой пластиной и соединяют её с исходной. Этот процесс защищает исходную пластину от дальнейшей коррозии и позволяет вновь её
растянуть, увеличив время эксплуатации. При этом размеры подкрепляющей пластины могут совпадать с соответствующими размерами исходной
пластины, за исключением толщины. Теперь восстановим воздействие на
пластину, т. е. растянем её силой T и подвергнем коррозии. В этом случае
полученная конструкция отличается от выше рассмотренной двухслойностью: первый слой растягивается силой T и не подвержен коррозии, второй
слой – подвержен коррозии и не подвержен воздействию силы T (он растягивается за счет жесткого соединения с растягивающимся первым слоем).
Опишем поведение полученной конструкции поведением двухслойного
стержня. Первый слой имеет толщину H1 , определяемую из уравнения (1)
при t  t0 . Второй слой имеет толщину H 02 до начала коррозии. Определим изменение толщины второго слоя за счет коррозии и растяжения, т. е.
определим зависимость H 2  H 2 (t ) , где H 2 – толщина второго слоя стержня в произвольный момент времени t  t0 . Отметим, что в конструкции не
учитывается начальное напряжение. Кроме того, предполагается, что время, затраченное на усиление конструкции, мало по сравнению со временем
эксплуатации. Уравнение износа второго слоя, по аналогии с уравнением
(1), возьмем в следующем виде:
dH 2
  K21  K22 2 ;
dt
12
H 2  H 02 при t  t0 ,
где K2i аналогичны K1i , но отличны друг от друга, т. к. материал второго
слоя может отличаться от материала первого слоя. Величина  2 – напряжение во втором слое. Она определяется из уравнения равновесия двухслойного стержня в произвольный момент времени. Это уравнение имеет
вид 1:
1H1   2 H 2  T .
Из условия совместности работы слоев и их упругости следует, что
(1H1   2 H 2 )  T ;  2  TE2 ( E1 H1  E2 H 2 )1 .
Тогда уравнение износа примет следующий вид:
dH 2
  K21  K22TE2 ( E1H1  E2 H 2 )1 ; H 2  H 02 при t  t0 .
dt
(2)
Отметим, что процесс коррозии второго слоя начинается после усиления
корродированной пластины, т. е. при t  t0 . Если скорость износа не зависит
от деформации контактной поверхности второго слоя, т. е. K22  0 , то
H 2  H02  K21 (t  t0 ) ; t  t0 
H 02
 t0  t0(2)
,
K21
где t0(2) – время полного износа второго слоя. Предельное значение времени, в данном случае, можно определить как время износа второго слоя или
как время износа всей конструкции. В первом случае t0  t0(2) – есть время
эксплуатации конструкции, начиная с растяжения пластины и кончая полным износом второго слоя. После износа второго слоя первый слой, может
быть подвергнут дальнейшей коррозии, при этом продолжительность
дальнейшей коррозии определяется полным износом первого слоя,
т. е. равна t0(1)  t0 . В этом случае предельное значение времени работы
всей конструкции определяется как сумма времени износа каждого слоя,
т. е. t0(1)  t0(2) (полный износ двухслойного стержня). Предположим, что предельное значение времени определяется разрушением двухслойного
стержня. Предположим, что при разрушении двухслойного стержня происходит разрушение одного из слоев. Из условия разрушения каждого из слоев следует:
 i  TEi ( E1H1  E2 H 2 )1   i ; i  1; 2 ; H1  H01  K11t0 ,
где  2 – предельное значение растягивающего напряжения во втором слое.
Из этого равенства следует, что предельное значение времени, при котором разрушается один из слоев стержня, равно
13
 1

E K 
1 
E1
 T
E1 1 
t(2)  1  1  11  t0 
H

H

max
;

01 
 02
(2) E
(1)  .
K21 
E2
 E2 K21 
 K21
2  

  
(3)
Отметим, что, в зависимости от параметров задачи, первый слой может
разрушиться, а второй слой при этом оставаться целым, или наоборот. В
этом случае конструкция не теряет грузонесущей способности. Если под
разрушением двухслойного стержня подразумевать разрушение обоих слоев, то предельное значение времени определяется суммой предельного
значения времени разрушения первого слоя и предельного значения времени разрушения другого слоя. Отметим, что после разрушения одного из
слоев в другом слое происходит перераспределение напряжения. Если разрушается сначала первый слой, то второй слой нагружается не торцевой
нагрузкой, а лицевой, т. е. меняется вид нагрузки. Если сначала разрушается второй слой, то первый слой подвергается неравномерной коррозии, т. е.
меняется вид коррозионного воздействия. Решение этих задач выходит за
рамки, поставленной в статье задачи, поэтому здесь не рассматривается.
Определим предельное значение времени, свойственное только многослойным конструкциям, в частности, двухслойным стержням. Предположим,
что после полного износа второго стержня дальнейшая коррозия приводит к
разрушению первого слоя. Длительность этого процесса можно принять за
предельное значение времени. Первый этап этого процесса длится t0  t0(2)
времени. После окончания этого этапа за t0  t0(2)  t0(1)
 напряжение в первом
слое достигает предельного значения. Таким образом, предельное значение времени равно
t2(2)
  t0 
1 
T
 H 01 
K11 
 (1)

 H
  02 .
 K21

Предположим, что K22  0 , т. е. скорость износа зависит от деформации
корродированной поверхности. Тогда решение уравнения (2) возьмем в
следующем виде:
t  t0 
H 02  H 2 TK 22


2
K21
K21
1
 ln   K21 ( E1H1  E2 H 2 )  K22TE2    K22TE2  K21 ( E1H1  E2 H 02    .


Основываясь на полученном выражении, получаем, что время эксплуатации конструкции до полного износа второго слоя равно t0  t1(2) , где вре(2)
мя полного износа второго слоя t1
14
равно
t1(2) 
H 02 TK22


2
K21 K21
1
 ln   K21 ( E1H1  E2 H 2 )  K22TE2    K22TE2  K21 ( E1H1  E2 H 02    .


(2)
После износа второго слоя t  t0  t1
, в конструкции происходит пере-
распределение напряжений: напряжение в первом слое равно T / H1 . Кроме того, вторичная коррозия начинается при t  t0  t1(2) . Тогда изменение
толщины первого слоя H1 в зависимости от времени определяется следующим уравнением:
t  t0  t1(2) 
1
K T
1
( H1 (t0 )  H1 )  21 ln   K11H1  K 21T  K11H1 (t0 )  K 21T  
2

.
K11
K11
Полученное выражение имеет смысл или до значения времени, при котором
происходит полный износ H1  0 , т. е.
(2)
t20
 t0  t1(2) 
1
K T
H1 (t0 )  21 ln  K 21T ( K11H1 (t0 )  K 21T )1  ,
2
K11
K11
или до значения времени, при котором напряжение в первом слое достигает
T
предельного значения H1 
, т. е.
 (1)
(2)
t21
 t0  t1(2) 
1 
T
 H1 (t0 ) 
K11 
 (1)






K T 
T
 21 ln  ( K11
 K21T ) ( K11H1 (t0 )  K 21T )1  .
2
K11


 (1)
Полученные выражения определяют предельные значения времени, если предельное значение времени определяется теперь из условия разрушения двухслойного стержня:
 1  TE
 

max   i  E1 H1    H 2 ,
.

E  (i )

 2   
то искомое значение времени равно
(2)
t22
 t0 
E T 
 1
1 
E1
H1  
max  i 

 H 02 
  i E2 
K21 
E2
 K21
 

15
1

 
K T
TE
 22 ln  K21 max i  K 22TE2  K 22TE2  K 2 ( E1 H1  E2 H 02    .
2
 

K21
 i
 

Выводы. В данной статье определены время эксплуатации двухслойной
растянутой пластины, когда один слой корродирован, а другой слой укрепляет первый слой и подвержен коррозии. При определении этих значений
использовались различные критерии, основанные на полном износе или на
разрушении одного из слоев. Найденные значения зависят от параметров
задачи. Установление соотношения между ними, а следовательно, оптимизация конструкции, зависит от ее параметров.
БИБИЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Амензаде Ю. А. Теория упругости / Ю. А. Амензаде. – М.: Высш. школа, 1976. – 272 c.
2. Карпенко Г. В. Прочность стали в коррозионной среде / Г. В. Карпенко. – М. Машгиз,
1963. – 188 с.
Азербайджанская государственная
морская академия,
Баку, Азербайджан
Поступила в редколлегию 20.02.2011
А. Н. Алізаде, д-р фіз.-мат. наук
ГРАНИЧНИЙ СТАН РОЗТЯГНУТОЇ ДВОШАРОВОЇ ПЛАСТИНИ,
ЩО ЗНАХОДИТЬСЯ ПІД ДІЄЮ КОРОЗІЇ
Розглядається розтягнута поздовжньою силою пластина, що знаходиться під
дією рівномірно розподіленої корозії. Передбачається, що корозія призводить лише до
зміни товщини. У деякий момент часу, який менший за граничне значення, вона
підкріплюється пластиною. Проведено аналіз граничних станів отриманої двошарової
розтягнутої пластини, що знаходиться під дією корозії.
Ключові слова: двошарова пластина, корозія, зміна товщини, граничний стан.
A. N. Alizade, Professor
PREDICTIONS OF CORROSIVE DAMAGE
OF THE STRETCHED PLATE WITH A DEFECT
The paper considers the tension of an isotropic elastic corroded plate with a hole
simulating a defect. The plate is subjected to stretching force applied at the infinity and to
the pressure acting in the hole. In addition, the plate is subjected to the face corrosion. It
leads to the wear, the rate of which depends on stress. The damage time is determined
depending on the forces and corrosion.
Keywords: a plate with defect, corrosive wear, stretching, damage.
16