Серия 3. Что нам стоит дом построить... 0. (Упражнение: его

Серия 3. Что нам стоит дом построить...
0. (Упражнение: его нужно сдавать в письменном виде на
отдельных листочках в начале занятия. Не забывайте подписывать листочки!) Вписанная окружность треугольника ABC касается
сторон BC, AC и AB в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Вневписанная
окружность касается стороны BC в точке A2 , и продолжений сторон AC
и AB в точках B2 и C2 соответственно. Известно, что |AB| = 5, |BC| = 7,
|AC| = 9. Найдите а) |AB1 |; б) |AC2 |; в) |A1 A2 |.
1. На международный конкурс проектов штаб-квартиры ОАО “ПукПрод” поступило множество проектов. В каждом проекте была подсчитана удаленность капитала: для каждого акционера расстояние от места
его жительства до предполагаемого места строительства умножили на
процент акций, принадлежащих этому акционеру, и полученные произведения сложены. Авторы каждого проекта заметили, что удаленность капитала в предложенном ими месте строительства не больше, чем в любой
другой точке. Известно, что не все акционеры ОАО живут на одной прямой. Докажите, что все проекты предполагают строить штаб-квартиру
в одном и том же месте.
2. Треугольник ABC вписан в окружность. Точки A1 , B1 и C1 —
середины дуг BC, CA и AB соответственно. Известно, что треугольник
ABC подобен треугольнику A1 B1 C1 . Докажите, что треугольник ABC
правильный.
3. Докажите, что в треугольнике со сторонами a, b, c а) a2 < b2 + c2 ,
если ∠A острый; б) a2 > b2 + c2 , если ∠A тупой.
4. На доске написано число 2. Рита и Соня играют в следующую игру.
За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить любой
его делитель, отличный от самого числа, и записать результат вместо
прежнего числа. а) Выигрывает; б) проигрывает тот, кто первым
получит число, большее тысячи. Первой ходит Рита. Кто выигрывает
при правильной игре?
5. Сколькими способами можно разбить числа 1, 2, . . . , 37 на несколько групп с равными суммами чисел в этих группах?
6. На доске написано положительное вещественное число (это число
не обязательно является рациональным!). Каждую минуту Федя делит
написанное на доске вещественное число на его дробную часть и записывает результат вместо старого числа. Докажите, что через некоторое
время на доске появится целое число или число, большее 2015.
7. Имеется 6 шаров, среди которых три радиоактивных, и три детектора, в каждый из которых можно вложить три шара, после чего
детектор укажет, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один
из детекторов всегда дает верные показания, второй — всегда неправильные, а третий — как повезет. Возможно ли определить, какие из шаров
радиоактивные?