электромагнитное поле. уравнения максвелла
advertisement
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 1 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Мы доказали, что движение проводника в магнитном поле сопровождается индукционными явлениями. Если движущийся проводник составляет часть контура, магнитный поток через который меняется при движении, то в контуре возникает ток, соответствующий эдс индукции ℰ = 1 𝑑Φ − . Причина возникновения тока заключается в 𝑐 𝑑𝑡 действии лоренцевой силы: на единичный 1 электрический заряд действует сила, равная 𝑣𝐵 𝑐 2 (в системе СГС). Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции При возникновении индукционного тока существенно лишь относительное перемещение провода и магнитного поля. С одинаковым правом можно говорить, что лоренцева сила возникает тогда, когда заряд движется в магнитном поле, или в том случае, если магнитное поле движется, а заряд «покоится». Этот факт следует из принципа относительности. 3 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Выберем систему координат, по отношению к которой магнитное поле изменяется; например, свяжем систему координат со столом, вдоль которого движется полюс постоянного магнита. Тогда на заряды, находящиеся в покое по отношению к столу, будет действовать сила Лоренца. Представим себе, что нам ничего не известно о движущемся постоянном магните. 4 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Установив наличие силы, действующей на покоящиеся электрические заряды, мы сделаем вполне справедливый вывод о существовании в этой системе электрического поля, напряженность которого равняется силе Лоренца, отнесенной к величине заряда. Итак, напряженность электрического поля в «покоящейся» системе координат, по отношению к которой источник постоянного магнитного поля движется со скоростью v, выражается формулой 1 𝐸 = 𝑣𝐵 . 5 𝑐 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Разумеется, законы электрического поля, создаваемого зарядами, и электрического поля, создаваемого движением системы по отношению к магнитному полю, будут разными. Прежде всего, у нового поля, с которым мы знакомимся, нет источников — зарядов. Значит, силовые линии не имеют начала и конца. С другой стороны, нетрудно видеть, что силовые линии этого электрического поля будут замкнутыми, т.е. электрическое поле, создаваемое движущимся магнитным полем, 6 является полем вихревым. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Мысленно построим произвольный контур (неподвижный по отношению к столу). Движущееся магнитное поле будет пересекать этот контур. Если бы на месте мысленного контура был реальный проволочный контур, то согласно закону Фарадея в нем возникла бы эдс, равная, как нам известно, 𝐸𝑑 𝑙. Следовательно, интеграл 𝑈 = 𝐸𝑑𝑙 не равен нулю; а это и значит, что электрическое поле 𝐸 = 1 𝑣𝐵 , созданное движущимся магнитным полем, 𝑐 является полем вихревым. 7 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции 1 𝑑Φ , 𝑐 𝑑𝑡 Для реального проволочного контура 𝑈 = где Ф — магнитный поток, проходящий через контур. Но наличие или отсутствие провода на месте замкнутой кривой ничего не меняет. Равенство 𝑈 = 1 𝑑Φ должно иметь место и для мысленного контура, 𝑐 𝑑𝑡 который построен в пространстве, где движутся источники магнитного поля. Остается сделать последнее обобщение. Опыт показывает, что причины изменения магнитного поля не играют роли в индукционном эффекте. 8 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Всегда можно подобрать равноценные изменения полей, создаваемые движением постоянного магнита или изменением силы тока в неподвижной катушке, например приближением постоянного магнита или усилением тока в катушке, создающей поле. Поэтому найденный закон должен быть справедлив всегда, во всех случаях, независимо от того, по какой причине меняется магнитное поле. 9 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Итак, если в какой-либо области пространства меняется магнитное поле (магнитный поток), то возникает вихревое электрическое поле, связанное с изменением магнитного поля законом: напряжение 𝑈 = 𝐸𝑑 𝑙 вдоль замкнутого контура равняется скорости изменения магнитного потока, 1 𝑑Φ проходящего через этот контур: 𝑈 = 𝑐 𝑑𝑡 или в системе СИ 𝑈 = 𝑑Φ . 𝑑𝑡 10 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции В этом состоит обобщенный закон электромагнитной индукции — один из важнейших законов природы. Раскроем математическое содержание закона. Подставляя выражения электрического напряжения и магнитного потока, запишем его в развернутом виде 11 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Остановимся, прежде всего, на знаке минус, который надо ввести в развернутой форме записи. Дело в том, что в векторной алгебре направление обхода контура и направление нормали к площади контура связаны между собой: положительное направление нормали в правовинтовой системе идет так, что с конца вектора мы видим вращение против часовой 12 стрелки. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Построим в пространстве замкнутую кривую и присвоим ей произвольное направление обхода. Этим будет уже определено направление нормали к площадке, охваченной рассматриваемой кривой. Через контур проходит магнитный поток. В данное мгновение он может быть положительным или отрицательным — вектор индукции образует острый или тупой угол с нормалью. Производная по времени от потока будет положительной, если поток возрастает, и отрицательной, если поток 13 убывает. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Таким образом, учитывая знак минус в формуле закона индукции, можно сказать: электрическое напряжение будет положительно, т.е. направление электрической силовой линии совпадет с принятым положительным направлением обхода, в том случае, если положительный поток убывает или отрицательный поток возрастает; наоборот, напряжение отрицательно, если положительный поток возрастает, а отрицательный убывает. Эти соотношения хорошо видны на следующем слайде. 14 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции 15 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Покажем, что знак минус в формуле индукции есть математическое выражение правила Ленца. Предположим, например, что к катушке приближается своим северным полюсом стержневой магнит. Примем направление обхода контура, указанное на рисунке. 16 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Тогда положителен магнитный поток и положительна его производная по времени. Электрическое напряжение должно быть отрицательным, и индукционный ток направлен в сторону, обратную той, которая принята за положительное направление обхода. 17 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Магнитное поле индукционного тока мы сразу же найдем, вспоминая, что силовые линии выходят с той стороны кольцевого тока, где ток представляется идущим против часовой стрелки. Следовательно, при сближении магнита с контуром в последнем возникает ток такого направления, который своим полем препятствует вызвавшему его эффекту.18 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Это и есть правило Ленца. Не составляет труда продемонстрировать это важное правило и для других частных случаев. Подведем итоги. Переменное магнитное поле неотделимо от поля электрического. Более того, мы видим, что разделение полей на электрические и магнитные носит относительный характер. С одной точки зрения в пространстве имеется одно лишь магнитное поле. С другой точки зрения наряду с магнитным полем присутствует и электрическое 19 поле. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Обобщение закона электромагнитной индукции Вихревое электрическое поле образуется электрическими линиями, оборачивающимися около векторов магнитной индукции, при условии, что магнитный поток, пронизывающий замкнутую силовую линию, изменяется во времени. При возрастании потока силовая линия имеет направление по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора индукции. 20 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Теория электромагнитного поля, начала которой были заложены Фарадеем, была математически завершена английским ученым Джемсом Клерком Максвеллом. Одной из важнейших новых идей, выдвинутых Максвеллом, была мысль о необходимости симметрии во взаимозависимости магнитного и электрического полей. Мы обсудили вопрос о создании электрического поля меняющимся магнитным потоком. 21 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Возникает естественный вопрос: создает ли переменный поток электрических силовых линий свое собственное магнитное поле? Максвелл отвечал на этот вопрос утвердительно и выдвинул гипотезу о существовании связи между переменным электрическим потоком и магнитным полем, совершенно симметричной обобщенному закону индукции. 22 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Гипотеза состояла в следующем: если в некоторой области пространства происходит изменение электрического потока, то создается вихревое магнитное поле; магнитное напряжение U, взятое вдоль замкнутой кривой, равно изменению электрического потока, пронизывающего эту замкнутую кривую, т.е. 𝑑𝑁 𝑈= , 𝑑𝑡 23 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Здесь 𝑈= 𝐻𝑑𝑙 , и электрический поток 𝑁= 𝐷 cos 𝛼 𝑑𝑆 . 𝑆 Симметрия соотношений между магнитным и электрическим полями не распространяется на знак, стоящий перед производной потока. 24 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Как известно, при наличии токов магнитное 4𝜋 напряжение по замкнутой кривой равно U=I (или 𝐼 𝑐 в СГС). Как записать уравнение магнитного напряжения для такой замкнутой кривой, которая охватывает электрический ток и переменный поток электрических силовых линий? Максвелл полагал, что магнитные напряжения сложатся, так что общая формула будет иметь вид 𝑑𝑁 4𝜋 𝑑𝑁 𝐻 𝑑𝑙 = 𝐼 + СИ или 𝐻 𝑑 𝑙 = 𝐼+ СГС . 𝑑𝑡 𝑐 𝑑𝑡 25 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения 𝑑𝑁 𝑑𝑡 Выражение имеет размерность силы электрического тока. Максвелл назвал его током смещения, вкладывая в это название очень распространенную в конце XIX века мысль о том, что поле в вакууме смещает частицы «эфира» со своих положений равновесия. Это название удержалось в науке, хотя мы и не связываем сейчас наличие поля в вакууме с идеей о смещении частиц какой бы то ни было среды. 26 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения 𝑑𝑁 𝑑𝑡 В диэлектрической среде ток смещения может быть разбит на два слагаемых в соответствии с возможностью разбиения вектора индукции D на сумму векторов напряженности и поляризации. Поэтому часть тока смещения, «идущего» в диэлектрике, определяется изменением вектора поляризации, а значит, относительными смещениями центров тяжести положительного и отрицательного зарядов. 27 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Прежде чем перейти к обсуждению роли тока смещения в тех или иных процессах, докажем важное положение, касающееся суммы токов проводимости и смещения. Рассмотрим некую систему электрических токов и проведем мысленно замкнутую поверхность так, чтобы токи пересекли ее. Если токи постоянные, то закон сохранения электричества сразу же приводит нас к требованию: сумма токов, втекающих в замкнутую поверхность, должна равняться сумме 28 токов, уходящих из этой поверхности. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Иначе говоря, алгебраическая сумма токов, вытекающих из замкнутой поверхности, равна нулю. Вполне, понятно, что этот закон может не выполняться для переменных токов,— представим себе, например, замкнутую поверхность, обнимающую одну пластину конденсатора, включенного в цепь переменного тока, или замкнутую поверхность, которую в одном месте пронизывает верхушка антенны. 29 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Однако эта теорема справедлива и для переменных токов, если говорить не о токе проводимости, а о полном «токе», включающем и ток смещения. Представим себе произвольную кривую с опирающейся на нее поверхностью, для которой справедлив закон 𝐻 𝑑 𝑙 = 𝐼 + 𝐼смещ . Начнем стягивать к нулю замкнутую кривую; тогда поверхность S, опиравшаяся на этот контур, станет замкнутой30 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Однако эта теорема справедлива и для переменных токов, если говорить не о токе проводимости, а о полном «токе», включающем и ток смещения. Представим себе произвольную кривую с опирающейся на нее поверхностью, для которой справедлив закон 𝐻 𝑑 𝑙 = 𝐼 + 𝐼смещ . Начнем стягивать к нулю замкнутую кривую; тогда поверхность S, опиравшаяся на этот контур, станет замкнутой31 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Однако эта теорема справедлива и для переменных токов, если говорить не о токе проводимости, а о полном «токе», включающем и ток смещения. Представим себе произвольную кривую с опирающейся на нее поверхностью, для которой справедлив закон 𝐻 𝑑 𝑙 = 𝐼 + 𝐼смещ . Начнем стягивать к нулю замкнутую кривую; тогда поверхность S, опиравшаяся на этот контур, станет замкнутой. 32 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Операция похожа на стягивание краев вещмешка. Магнитное напряжение обратится в нуль, а значит, станет равной нулю и сумма токов проводимости и смещения, проходящих через замкнутую поверхность. Теперь мы можем обсудить роль токов смещения в электромагнитных явлениях. Вычисления показывают, что токи смещения пренебрежимо малы там, где токи проводимости 33 отличны от нуля. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Поэтому всегда пренебрегают значениями токов смещения внутри проводников. Интересуясь величиной тока смещения в диэлектриках, мы должны рассмотреть два случая: токи смещения в диэлектрике, окружающем замкнутый проводник, и токи смещения, продолжающие проводники незамкнутых цепей. Рассмотрим замкнутый проводник, по которому идет электрический ток, и пересечем его замкнутой поверхностью. 34 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Если ток постоянный, то в каждое мгновение в поверхность входит и выходит одинаковое количество электричества. Иначе дело обстоит в случае переменных токов. Сила переменного тока может иметь разные значения в разных участках цепи. Поэтому в какое-нибудь мгновение силы входящих и выходящих из поверхности токов могут оказаться неравными; тогда от места, где ток меньше, к месту, где ток больше, по диэлектрику «идет» ток смещения, как бы дополняя меньший ток 35 до большего. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Ясно, что изменения во времени тока смещения будут строго следовать за изменениями тока проводимости. Описанное явление играет заметную роль лишь у токов достаточно высокой частоты. Если токи проводимости не замкнуты (цепь переменного тока с конденсатором), то токи проводимости и смещения просто равны друг другу. В этом случае можно говорить о замыкании током смещения тока проводимости. 36 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Ток смещения Несмотря на то, что в этом случае токи смещения весьма значительны, ряд расчетов с успехом проводится без их учета. Действительно, замыкая ток проводимости между обкладками конденсатора, ток смещения создает в этом пространстве такое же магнитное поле, которое было бы создано, если ток проводимости проходил бы в неразорванной цепи. Поэтому наличие тока смещения не сказывается на подсчете магнитного поля, коэффициента самоиндукции системы и т. д. 37 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Уравнения Максвелла 𝑑Φ 𝑑𝑁 𝐸𝑑 𝑙 = − и 𝐻𝑑𝑙 = 𝐼 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 кратко выражают совокупность наших сведений об электромагнитном поле. Уравнения Максвелла нельзя вывести. Предыдущие рассуждения являются не выводом, а лишь иллюстрацией догадок, приведших Максвелла к их открытию. 38 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Огромный класс явлений, интересующих физиков, электротехников и радиотехников, подчиняется уравнениям Максвелла. Правила, которым подчиняются эти явления, представляют собой следствия уравнений Максвелла и могут быть выведены из них. Исключительная предсказательная ценность уравнений Максвелла ставит их в ряд с немногими великими законами природы, такими, как уравнения механики Ньютона или начала термодинамики. 39 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля В нашу задачу не входит описание математических способов решения уравнений Максвелла. Оказывается возможным преобразовать записанные выше интегральные уравнения в дифференциальные. Решая дифференциальные уравнения Максвелла, можно в принципе найти электромагнитное поле для заданного распределения зарядов и токов. Остановимся еще раз на физической сущности электромагнитных явлений, передаваемой 40 уравнениями Максвелла. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Она сводится к следующему. Разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет лишь умозрительный смысл. Если с точки зрения одной инерциальной системы координат существует лишь магнитное поле, то с точки зрения системы, движущейся по отношению к первой, наряду с магнитным полем имеется и электрическое. 41 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Справедливо и обратное: если наблюдатель в одной системе устанавливает наличие одного лишь электрического поля, то наблюдатель из другой инерциальной системы установит существование как электрического, так и магнитного поля. Рассмотрим теперь электромагнитное поле, каким оно нам представится с точки зрения какой-либо инерциальной системы отсчета. Сначала обратим внимание на области пространства, где отсутствуют свободные электрические заряды и, следовательно, 42 токи проводимости. Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Уравнения Максвелла имеют в этом случае вид 𝑑Φ 𝑑𝑁 𝐸𝑑 𝑙 = − и 𝐻𝑑𝑙 = . 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Оба поля, магнитное и электрическое, имеют чисто вихревой характер: силовые линии замкнуты и притом взаимно переплетены, электрические линии обворачиваются около магнитных, а магнитные около электрических. 43 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Некоторое представление о характере электромагнитного поля может быть дано изображением его в виде цепочки колец — чередующихся замкнутых магнитных и электрических силовых линий. Цепочка существует только в том случае, если поле переменное. 44 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Нарастающий кольцевой магнитный поток создает вокруг себя электрический, кольцевой поток. Изменение электрического поля приводит к созданию кольцевого магнитного потока и т. д. 45 Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла Картина электромагнитного поля Если же в рассматриваемой области пространства имеются заряды и токи, то наряду с вихревыми полями со сцепленными линиями мы обнаружим вихревое магнитное поле, линии которого замкнуты около токов, и потенциальное электрическое поле, линии которого начинаются в положительных и кончаются в отрицательных зарядах. 46
