ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА . ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫХ И ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Кафедра математики
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Методические указания
для студентов инженерных специальностей
всех форм обучения
Санкт-Петербург 2010
3
УДК 518(07.07)
Иванов А. Б., Молчанов Ю. С., Тестов Ю. Н.
Высшая математика. Элементы теории поля.
Методические указания для студентов инженерных специальностей
всех форм обучения. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2010. – 32 с.
Изложены и систематизированы основные теоретические сведения по разделу
курса высшей математики, относящемуся к теории поля. Приведены задачи для
обсуждения на практических занятиях и консультациях, а также для
самостоятельной работы студентов.
Рецензент
Доктор технических наук, проф. В. А. Ильичев.
Рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом университета.
 Санкт-Петербургский государственный
университет низкотемпературных
и пищевых технологий, 2010
4
1. ВВЕДЕНИЕ
При решении инженерных задач возникает потребность исследовать
структуру физического поля и его воздействие на материальные
объекты. В частности, при создании машин и аппаратов пищевой
промышленности требуется исследовать движение жидкостей и газов
в каналах и резервуарах. Такие потоки характеризуются физическими
полями. В общем случае физическое поле представляет собой ту или
иную характеристику физической среды, заполняющей область
пространства, в которой происходят определенные процессы.
Природа физической среды определяет размерность единиц
измерения и констант, с помощью которых строятся количественные
соотношения. Физические поля делятся на две основные группы –
скалярные и векторные.
Скалярным полям соответствуют одномерные величины, измеряемые
по одной шкале. Примеры таких полей: поля температур
и давлений в земной или иной атмосфере, поля гравитационного
и электрического потенциала и т.п.
Векторным полям отвечают многомерные величины. Таковы
силовые поля (гравитационное, электрическое и пр.), поле скоростей
жидкости или газа, поля градиентов температуры и концентрации
химического компонента. Электромагнитное поле измеряется двумя
векторными величинами: электрической и магнитной индукцией.
Физической средой во всех случаях является вещество или вакуум,
которые заполняют некоторую область пространства.
Здесь рассматриваются математические модели физических
полей – скалярные и векторные функции координат и времени.
Функцию поля полагаем непрерывной, более того, дважды непрерывно
дифференцируемой всюду в области определения, за исключением
отдельных точек, линий и поверхностей. Эти исключительные точечные
множества называются особенностями математического поля.
5
Функция поля считается известной. Основное внимание уделим
стационарным полям, которые, по определению, не зависят от времени.
Как это обычно при математическом подходе, от размерностей
физических величин абстрагируемся, исследуя безразмерные функции
безразмерных аргументов.
Основными инструментами исследования скалярного поля являются
поверхности уровня, градиент и производная по направлению.
В механике известен принцип, по которому всякое сложное
движение можно представить в виде суммы двух движений –
поступательного и вращательного вокруг некоторого, в общем,
подвижного мгновенного центра. Этот принцип имеет своеобразное
отражение в теории векторного поля. Так, например, в поле линейных
скоростей жидкости поступательное движение среды от источника или
к стоку характеризуется дивергенцией линейной скорости жидких
частиц (расходимостью линий тока), при этом дивергенция является
скалярной величиной. Вращательное движение среды задается вектором
угловой скорости жидкой частицы, который, будучи умножен на два,
дает так называемый ротор поля. Понятия дивергенции и ротора
связаны с прочими основными понятиями теории векторного поля,
к которым, прежде всего, относятся работа силового поля, циркуляция
вектора по замкнутому контуру и поток вектора через поверхность. Эта
связь осуществляется посредством формул Гаусса – Остроградского
и Стокса.
В теории векторного поля используются криволинейные
и поверхностные интегралы 2-го рода.
Предлагаемый учебно-методический материал адресован студентам
инженерных специальностей для семинарских занятий и подготовки
к экзамену по математике при изучении раздела «Теория поля».
6
2. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Во всех случаях, когда физический процесс, происходящий в среде
поля, характеризуется скалярной величиной (температура, давление
и т.п.), поле называется скалярным.
Скалярное поле определяется скалярной функцией U=f(P), P ∈V , где
P – точка, V - область некоторого пространства.
В трехмерном пространстве функция поля U=f(x,y,z); x, y, z –
координаты точки P. Если поле изменяется со временем τ, то U=f(τ,x,y,z)
Поле, не зависящее от времени, называется стационарным,
в противном случае - нестационарным.
Обычно предполагается, что функция поля непрерывна и имеет
непрерывные частные производные.
Геометрическое место точек
U ( x, y , z ) = C ,
(2.1.1)
где C=const, называется поверхностью уровня. В частном случае,
когда U=f(x,y), вместо поверхностей рассматриваются линии уровня.
Вектор с координатами
∂U ∂U ∂U
,
,
∂x
∂y
∂z
направлен по нормали
к поверхности уровня и называется градиентом скалярного поля.
Градиент обозначается символом < grad>. Таким образом,
∂U r ∂U r ∂U r
j+
k.
grad U= i +
∂x
∂y
∂z
(2.1.2)
Согласно (1.2), проекции градиента на оси координат и его длина
(модуль) выражаются формулами:
grad xU =
∂U
∂U
∂U
, grad yU =
, grad zU =
;
∂x
∂y
∂z
2
grad U =
 ∂U
 ∂U 

 + 
 ∂x 
 ∂y
2
(2.1.3)
2

 ∂U 
 + 
 .
 ∂z 

(2.1.4)
7
Существует определение градиента, равносильное данному, но, со
всей очевидностью, не зависящее от выбора той или иной системы
координат. При этом градиент скалярного поля определяется как
вектор, проведенный из заданной точки в направлении быстрейшего
роста функции поля и равный по модулю скорости этого возрастания,
а именно производной по указанному направлению (смотри ниже).
Отметим следующие свойства градиента:
grad(U1 + U 2 ) = gradU1 + gradU 2 ,
grad(U1 ⋅ U 2 ) = U 2 ⋅ gradU1 + U1 ⋅ gradU 2 ,
grad(ϕ(U )) = ϕ′(U )gradU .
Вид формулы для градиента изменяется, если функция поля задана
в иных координатах, даже когда касательные векторы к координатным
линиям попарно ортогональны, но дифференциал, хотя бы, одной из
координат
не
совпадает
с
дифференциалом
пути
вдоль
соответствующей координатной линии. Так, в цилиндрических
координатах (ρ,φ,z)
∂U r 1 ∂U r ∂U r
gradU =
⋅ eρ + ⋅
⋅ eϕ +
⋅ ez ,
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
а в сферических координатах (r,θ,φ)
∂U r 1 ∂U r
∂U r
1
gradU =
⋅ er + ⋅
⋅ eθ +
⋅
⋅ eϕ ,
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
где локальный базис порожден единичными касательными векторами
к координатным линиям, направленными в сторону роста
соответствующей координаты.
Производной
функции
U=f(x,y,z)
по
направлению
r
r
r
r
l = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k
называется
предел
отношения
r
приращения функции к приращению пути в направлении l , когда
приращение пути стремится к нулю:
∂U
∆U ∂U ∂x ∂U ∂y ∂U ∂z ∂U
∂U
∂U
= lim
=
⋅ +
⋅ +
⋅ =
⋅ cos α +
⋅ cosβ +
⋅ cos γ.
∂l ∆l →0 ∆l
∂x ∂l ∂y ∂l ∂z ∂l ∂x
∂y
∂z
Отсюда следует, что производная по направлению равна проекции
градиента на заданное направление:
r
∂U
= gradU ⋅ l .
∂l
(2.1.5)
8
При этом все вычисленияr производятся для заданной точки
скалярного поля. Если вектор l не нормирован, то последняя формула
принимает следующий вид:
r
∂U
grad U ⋅ l
=
.
r
∂l
l
(2.1.6)
Именно в таком виде она чаще всего применяется.
2.2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Пример 1
Скалярное поле задано функцией U(x,y,z)=z/(x2+y2+z2)1/2. Найти
уравнения поверхностей уровня. Какая из этих поверхностей проходит
через точку A(2;0;-2/ 3 )?
Решение.
По формуле (2.1.1), уравнения поверхностей уровня:
z
x2 + y2 + z2
= C.
Если поверхность проходит через точку A, то
C=
− 2/ 3
1
=− ,
2
2 2 + 0 2 + (−2 / 3 ) 2
так что ее уравнение имеет вид:
 x 2 + y 2 = 3z 2
1
=− ⇔
.
2
2
2
2
z<0
x +y +z

z
Это поверхность прямого кругового конуса, точнее, одна из ее двух
полостей.
9
Пример 2
Скалярное поле задано функцией U(x,y,z)=xyz. Найти градиент этой
функции в точке M0(x0;y0;z0). Каков его модуль?
Решение.
grad U
M0
По формулам (2.1.2), (2.1.4),
r
s
r
= y 0 z 0 i + z 0 x0 j + x0 y 0 k ,
grad U
M0
= ( y 0 z 0 ) 2 + ( z 0 x0 ) 2 + ( x0 y 0 ) 2 .
Пример 3
Вычислить производную функции
поля rU=(x2+y2+z2)1/2 в точке
r
r
r
M(2;-1;-2), в направлении вектора l = 4i − 2 j − 4k .
Решение. Общее выражение градиента данной функции:
gradU = −
r
r
r
x⋅i + y ⋅ j + z ⋅k
2
2
x +y +z
2
.
Значение градиента в точке M(2;-1;-2):
gradU
M
=−
r
r
r
2 ⋅ i + (−1) ⋅ j + (−2) ⋅ k
2 2 + (−1) 2 + ( −2) 2
r
r r
2i − j − 2 k
=
.
3
r
Искомую производную в точке M по направлению l находим по
формуле (2.1.6):
∂U
∂l
M
=
1 2 ⋅ 4 + (−1) ⋅ ( −2) + ( −2) ⋅ (−4)
⋅
= 1.
3
4 2 + (−2) 2 + ( −4) 2
10
2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
2.3.1. Составить уравнения линий уровня для поля u=4-x2-y2.
2.3.2. Составить уравнения поверхностей уровня для поля
u=ln(x2+y2 +z2).
2.3.3. Составить уравнения поверхностей уровня для поля
u=ln(x2+y2 -4z-4).
2.3.4. Вычислить угол между векторами, являющимися значениями
grad u для поля
x
u = arcsin
,
x+ y
в точках M(1;1) и N(3;4).
2.3.5. Даны скалярные поля u=x2y+y2x и v=x-6y+5xy. Найти угол
между gradu и gradv в точке M(2;-1;0).
2.3.6. Найти геометрическое место точек, в которых модуль
градиента поля u=( x2+y2)3/2 равен 2.
2.3.7. Вычислить координаты точек, в которых градиент поля
r 16 r

1
u = ln x +  равен i −
j.
y
9

2.3.8. Найти производную от функции поля u=arctg(x+y) в точке M(2;-1)
по направлению луча биссектрисы первого координатного угла.
2.3.9. Вычислить производную от функции поля u=xyz+ ( 2 − 1) x в точке
r
M(1;1;1) по направлению вектора a , составляющего с осями
Ox, Oy и Oz углы, соответственно равные π/4, 2π/3 и π/3.
2.3.10. Найти модуль градиента поля u=xy2z в точке M(1;1;-2).
r
2.3.11. Найти производные функций по направлению l в точке M0 .
r r r
3
2
M 0 (1;1).
2.3.11.1. z = x y − 5 xy + 8, l = i + j ,
r
r
r
x2 + y2
, l = 6i + 8 j ,
M 0 (1;2).
2.3.11.2. z = ln
xy
r
r
r r
z
z
=
arccos
,
l
=
2
i
+
j
+
2
k
,
M 0 (1;1;1).
2.3.11.3.
2
2
x +y
11
2.3.12.
Вычислить gradz и gradz , если
z=
xy
, в точке M 0 (0;3).
x + y2 +1
2
2.3.13. Вычислить производную функции поля u=ln(x2+y2+z2) в точке
r
M0(1;2;1) по направлению M 0 M , где M(3;6;5).
2.3.14. Построить поверхность уровня для поля u =
x2 y2 z 2
+
+ ,
a2 b2 c2
вычислить gradu в точке M0(a;b;c).
2.3.15. Вычислить gradz и gradz в точке M0 .
xy
2.3.15.1. z = 2
,
M0(0;3).
x + y2 +1
2.3.15.2. z = ( x − y ) 2 ,
M0(1;1).
2
2
2
2.3.15.3. u = x + y − z ,
M0(2;0;3).
2
2
2
2.3.15.4. u = 4 − x − y − z , M0(3;2;1).
2.3.15.5. u = x 2 + y 2 + z 2 , M0(3;-1;2).
x2 y2 z2
2.3.15.6. u = 2 − 2 + 2 ,
a
b
c
2.3.16. Вычислить gradz
M0(a;b;c).
2
в точке M0(4;2), если z = xy.
x
y
2.3.17. Вычислить производную функции u = ln(e + e ) в точке M0(0;0)
по направлению луча биссектрисы третьего координатного угла.
3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
3.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В науке и технике, наряду со скалярными функциями, широко
используются векторные функции нескольких переменных. Такие
функции принято называть векторными полями. Примеры векторных
полей: силовое (гравитационное) поле Земли и других космических
объектов, поле скоростей жидкости или газа в каналах и аппаратах,
электрические и электромагнитные поля. Векторная функция здесь
в общем случае зависит от четырех переменных: трех
пространственных координат x, y, z и времени τ, а для стационарных
полей - только от x, y, z.
12
r
A
(P ) , если
Говорят, что в области D задано векторное поле
r
в каждой точке P области D определен единственный вектор A(P ) .
В декартовой системе координат:
r
r
r
r
A( P ) = Ax (τ, x. y, z )i + Ay (τ, x. y, z ) j + Az (τ, x. y, z )k ,
(3.1.1)
где
Ax , Ay , Az - проекции вектора поля на координатные оси,
r r r
i , j , k - орты декартовой системы координат.
Важной характеристикой стационарного векторного поля является
семейство векторных линий, в каждой точке которых касательная
направлена по вектору поля. Для нестационарного поля это семейство
зависит от времени.
Семейство векторных линий поля определяется системой
дифференциальных уравнений, которую можно записать следующим
двойным равенством:
dx dy dz
=
=
(3.1.2)
Ax Ay Az .
В зависимости от физической природы поля векторные линии имеют
свои названия. Так в гидродинамическом поле – это линии тока
жидкости, в силовом поле – силовые линии.
Важнейшими количественными характеристиками векторного поля
являются: 1) для силового поля - работа при перемещении в нем
материальной точки по линии L; 2) для векторного поля вообще - его
поток через поверхность S, принадлежащую области D,
и циркуляция вектора по замкнутому контуру L ⊂ D. Эти величины
вычисляются с помощью криволинейных и поверхностных интегралов
второго рода.
Работа стационарного силового поля:
∫ A ( x, y, z)dx + A ( x, y, z)dy + A ( x, y, z)dz .
x
y
z
(3.1.3)
L
Поток вектора стационарного поля через поверхность S :
∫∫ ( A ( x, y, z) ⋅ cosα + A ( x, y, z) ⋅ cosβ + A ( x, y, z) ⋅ cos γ)dσ , (3.1.4)
x
y
z
S
13
где
r
r
r
r
n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k - единичный вектор нормали
к заданной стороне поверхности S и dσ - элемент поверхности S.
Криволинейный интеграл сводится к определенному интегралу на
отрезке изменения параметра линии, поверхностный интеграл –
к двойным интегралам по областям на координатных плоскостях
(смотри соответствующие примеры).
В векторных обозначениях формулы (3.1.3) и (3.1.4) имеют вид:
r
∫ A ⋅ dl ,
L
r r
r r
∫∫ A ⋅ dσ = ∫∫ A ⋅ ndσ .
S
(3.1.5) – (3.1.6)
S
В теории поля принято, что скалярные функции Ax ( x, y, z ) ,
Ay ( x, y , z ) , Az ( x, y, z ) непрерывны и имеют непрерывные частные
производные для точек ( x, y, z ) ∈ D , за исключением некоторых точек,
линий или поверхностей, где располагаются особенности векторного
поля. Криволинейный интеграл r(3.1.5) по замкнутому контуру L
называется циркуляцией вектора A по контуру L и обозначается так:
r r
∫ A ⋅ dl .
(3.1.7)
L
Кружок в этом обозначении может быть снабжен стрелкой,
указывающей направление обхода контура. Если такое обозначение
отсутствует, то направление обхода следует принять положительным,
т.е. направляющий касательный вектор к контуру, вектор его
внутренней нормали и нормальный вектор, ориентирующий
поверхность, ограниченную данным контуром, должны составлять
правую тройку. Если система декартовых координат правая, то для
выпуклого замкнутого контура, принадлежащего координатной
плоскости, положительным является его обход против часовой стрелки
с точки зрения наблюдателя, который находится на положительной
полуоси, перпендикулярной указанной плоскости.
При
математическом
моделировании
физических
полей
существенную роль играют дивергенция (расходимость), обозначаемая
символом <div>, и ротор (вихрь), который обозначается <rot>, а иногда
<whirl>. С точки зрения гидродинамики, дивергенция поля скоростей
в жидкости – это объемная плотность источников (положительная)
14
и стоков (отрицательная), а ротор есть вектор, равный удвоенному
вектору угловой скорости вращения жидкой частицы.
Согласно сказанному, дивергенция векторного поля есть предел
отношения потока вектора через наружную поверхность, окружающую
точку, к объему v области внутри этой поверхности при условии, что
она стягивается к данной точке, т.е. диаметр d этой области стремится
к нулю:
r
div A (P) = lim
∫∫
r r
A ⋅ dσ
S
v
d→0
.
(3.1.8)
В декартовых координатах вычисление дивергенции выполняют по
следующей формуле:
r
∂A ∂Ay ∂Az
divA(P) = x +
+
∂x
∂y
∂z .
Дивергенция векторного поля является
удовлетворяющей следующим тождествам:
(3.1.9)
скалярной
функцией,
r
r
r
r
div(C1 A1 (P) + C 2 A2 (P)) = C1div( A1 (P)) + C 2 div( A2 (P));
r
r
r
div (u (P) ⋅ A(P)) = u (P)divA(P)) + A(P) ⋅ gradu (P).
В этих тождествах С1 и С2 - скалярные постоянные, u(P) – скалярная
функция.
Во многих случаях поток векторного поля через замкнутую
поверхность1 наиболее просто вычисляется по формуле Гаусса –
Остроградского:
r r
r
∫∫ A ⋅ dσ = ∫∫∫divA ⋅ dv
S
,
(3.1.10)
V
где S – упомянутая поверхность, ограничивающая тело V
и ориентированная внешней нормалью.
В декартовых координатах эта формула приобретает следующий вид:
1
Говоря о замкнутой поверхности, мы имеем в виду ограниченную кусочно-гладкую
поверхность без края, например, сферу или тор, а не любую поверхность, которая
содержит все свои предельные точки.
15
 ∂Ax ∂Ay ∂Az 

dxdydz, (3.1.11)
+
+
=
+
+
A
dydz
A
dzdx
A
dxdy
y
z
∫∫S x
∫∫∫
∂
∂
∂
x
y
z

V 
где поверхностный интеграл второго рода (левая часть равенства),
согласно (3.1.4), (3.1.6), равен поверхностному интегралу первого рода
от проекции вектора поля на внешнюю нормаль к поверхности.
Согласно формуле Гаусса – Остроградского, поток векторного поля
через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали равен
тройному интегралу от дивергенции данного поля по области,
ограниченной этой поверхностью.
Ротор векторного поля в декартовых координатах выражается
следующей формулой:
r
 ∂A ∂Ay  r  ∂Az ∂Ax
i − 
rotA( P) =  z −
−
∂z   ∂x
∂z
 ∂y
 r  ∂Ay ∂Ax  r
k . (3.1.12)
−
 j + 
∂y 
  ∂x
Ротор является векторной функцией, которая, в частности, обладает
следующими свойствами:
r
r
r
r
rot(C1 A1 (P) + C2 A2 ( P)) = C1rot( A1 (P)) + C2 rot( A2 (P));
r
r
r
rot (u (P) ⋅ A(P)) = u (P) ⋅ rotA(P)) + gradu (P) × A(P),
где С1 и С2 - скалярные постоянные, u(P) – скалярная функция.
Двусторонней поверхностью называется такая поверхность, что
непрерывным движением вдоль нее невозможно перейти с одной
стороны каждого ее элемента на другую его сторону, не пересекая край
этой поверхности. Известная лента Мёбиуса не является таковой.
Деформация круга без разрывов и склеиваний сохраняет его
двусторонность. Для гладкой (сглаженной) двусторонней поверхности
существуют два непрерывных поля единичного нормального вектора,
которые соответственно ориентируют ту и другую ее стороны. Поток
ротора через двустороннюю поверхность, ограниченную замкнутым
контуром (например, треугольником или окружностью), равен
циркуляции исходного векторного поля по этому контуру
в положительном направлении. Последнее утверждение носит название
теоремы Стокса, ему соответствует одноименная формула:
r r
r r
A
⋅
d
l
=
rot
A
∫
∫∫ ⋅ dσ,
L
(3.1.13)
s
или, в развернутом виде,
16
∫ A dx + A dy + A dz =
x
y
z
L
 ∂A ∂A 
 ∂A ∂A 
 ∂A ∂A 
= ∫∫ z − y dydz +  x − z dzdx +  y − x dxdy .
∂y ∂z 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
S 
(3.1.14)
r
r
A
(
P
)
=
A
( x, y ) , то формула Стокса упрощается,
Если функция поля
переходя в формулу Грина:
 ∂Ay ∂Ax 
A
dx
A
dy
+
=
y
∫L x
∫∫D  ∂x − ∂y dxdy,
где D – область на плоскости XOY, r ограниченная контуром L
и ориентированная нормальным вектором k .
Векторное поле, для которого дивергенция тождественно равна
нулю, а, следовательно, и поток через любую замкнутую поверхность,
лежащую внутри любой односвязной части области определения поля,
также равен нулю, называется соленоидальным. Его линии тока
образуют трубчатые поверхности. Примеры соленоидальных полей:
поле скоростей несжимаемой жидкости без источников и стоков, поле
электрической напряженности в области, не содержащей зарядов, поле
магнитной индукции.
Если вектор поля является градиентом скалярной функции, то такое
векторное поле называется потенциальным, а сама скалярная функция
(обычно умноженная на -1) - потенциалом. В случае силового
потенциального поля, его работа над материальным точечным
объектом, который перемещается по пути, начало и конец которого
фиксированы, не зависит от этого пути.
Непосредственно проверяется тождество rot(grad U (P)) ≡ 0 , иными
словами, поле градиента – потенциальное поле - является безвихревым.
Однако не всякое безвихревое векторное поле потенциально: для этого
циркуляция вектора по замкнутому контуру всегда должна быть равна
нулю, а это, вообще говоря, неверно и для безвихревых полей.
Например, осевую окружность тора невозможно стянуть в точку,
не перейдя через сам тор; при этом формула Стокса неприменима для
областей внутри тора, содержащих его осевую окружность.
Если векторное поле является одновременно и потенциальным
и соленоидальным, то его называют гармоническим. Например,
17
стационарное поле градиента температуры в однородной твердой среде
без внутренних источников и стоков тепла гармоническое. Также
гармоническим оказывается стационарное поле электрической
напряженности в области, не содержащей зарядов. Потенциал
гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа:
∂ 2U ∂ 2 U ∂ 2U
divgrad( U ( P ) ) ≡
+
+
= 0.
2
2
2
∂x
∂y
∂z
Уравнение Лапласа – одно из важнейших уравнений математической
физики.
3.2. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Пример 1
Найти векторные (силовые) линии магнитного поля, порожденного
постоянным электрическим током силой J, текущим по бесконечно
длинному прямолинейному проводу, расположенному вдоль оси OZ.
Векторной функцией является напряженность магнитного поля
r
r r
2J
H ( x, y, z ) = 2 (− yi + xj ) ,
ρ
где ρ – расстояние от точки (x,y,z) до оси OZ.
Решение.
Проекции вектора поля на координатные оси:
Hx = −
2J
⋅ y;
ρ2
Hy =
2J
⋅ x;
ρ2
H z = 0.
Опуская
общий
множитель
2J/ρ2,
получаем
дифференциальных уравнений для векторных линий:
dx dy dz
=
= .
−y
x
0
систему
(*)
18
Система (*) распадается на два уравнения:
xdx + ydy = 0 ⇔ x 2 + y 2 = R 2 .
dz = 0 ⇔ z = H ;
Следовательно, векторные линии являются пересечениями
цилиндров x2 +y2 = R2 и плоскостей z=H и составляют семейство
окружностей в этих плоскостях с центрами на оси OZ.
Пример 2
r
r
r
r
r
r
Дано векторное поле a = xy 2 i + yz 3 j + zx 4 k . Вычислить diva , rota
в точке (2; -1; 5). Проверить потенциальность и соленоидальность
данного поля.
Решение. Согласно известным формулам,
r ∂ ( xy 2 ) ∂ ( yz 3 ) ∂ ( zx 4 )
diva =
+
+
= y2 + z3 + x4;
∂x
∂y
∂z
r
i
r
∂
rota =
∂x
xy 2
r
j
∂
∂y
yz 3
r
k
∂
∂ ( zx 4 ) ∂( yz 3 )
=(
−
∂z
∂y
∂z
4
zx
r
r
r
= −3yz2 i − 4zx3 j − 2xyk ;
r
)⋅ i − (
r
diva (2;−1;5) = (−1) 2 + 5 3 + 2 4 = 142;
∂ ( zx 4 ) ∂ ( xy 2 )
−
∂x
∂z
r
)⋅ j + (
∂( yz 3 ) ∂ ( xy 2 )
−
∂x
∂y
r
)⋅ k =
r
r
r
r
r r
r
rota(2;−1;5) = −3 ⋅ (−1) ⋅ 52 ⋅ i − 4 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ j − 2 ⋅ 2 ⋅ (−1) ⋅ k = 75i −160j + 4k .
Векторное поле не
r
( diva ≠ 0 ).
r
потенциально ( rota ≠ 0 )
и не соленоидально
Пример 3
r
r
r
r
Дано векторное поле a = ( 2 x + 4 z 2 ) ⋅ i + cos y ⋅ j + ( z 2 + 8 zx ) ⋅ k . Убедиться
в том, что данное поле потенциально, и построить его потенциал.
Решение. Данное векторное поле определено во всем пространстве.
Для потенциальности такого поля достаточно, чтобы его ротор всюду
был нулевым вектором. Проверяем:
19
r
i
r
∂
rot a =
∂x
2x + 4z 2
r
k
r
r
r
∂
= 0 ⋅ i − (8 z − 8 z ) ⋅ j + 0 ⋅ k = 0 .
∂z
2
z + 8 zx
r
j
∂
∂y
cos y
r
Итак, поле вектора a потенциально, т.е. существует функция
U(x,y,z), называемая rпотенциальной или просто потенциалом, для
которой grad U = a . Эта функция определяется с точностью до
постоянного слагаемого.
Для потенциального поля криволинейный интеграл 2-го рода
не зависит от выбора пути интегрирования между двумя
фиксированными точками - началом и концом пути. При этом
потенциальная функция вычисляется по формуле:
r r
a
∫ dl + C .
M
U (M ) =
M
0
Путь интегрирования выберем таким, чтобы интегралы по
отдельным его участкам легко вычислялись. С этой точки зрения,
удобно воспользоваться ломаной M0M1M2M, M0(0;0;0), M1(x;0;0),
M2(x;y;0), M(x;y;z), тогда искомый интеграл можно записать суммой
интегралов по отрезкам данной ломаной:
y
x
U (M ) =
∫ 2 tdt
+
0
∫ cos
0
z
tdt +
∫ (t
2
+ 8 xt ) dt + C =
0
z3
= x + sin y +
+ 4 z 2 x + C.
3
2
Для проверки решения находим градиент полученной функции:
gradU =
r
r
r
∂U r ∂U r ∂U r
i+
j+
k = ( 2 x + 4 z 2 ) ⋅ i + cos y ⋅ j + ( z 2 + 8 zx ) ⋅ k .
∂x
∂y
∂z
r
Как видно, grad U = a , так что проверка подтвердила полученный
результат.
Примечание. Если в качестве контура интегрирования использовать
вместо ломаной из трех прямолинейных отрезков радиус-вектор точки
M, применив параметрические уравнения прямой, то расчет потенциала
немного усложнится.
20
Пример 4
r
r
r
r
Вычислить поток вектора a = x ⋅ i − yz 2 ⋅ j + z ⋅ k через боковую
поверхность конуса x 2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 1, в направлении внутренней
нормали.
Решение.
Ниже задача решена двумя способами: 1) путем
непосредственного вычисления потока, 2) с использованием формулы
Остроградского – Гаусса.
Первый способ. Данная поверхность проецируется на плоскость
XOY в круг D: x 2 + y 2 ≤ 1 , и искомый поток можно представить двойным
интегралом:
Π = ± ∫∫ (a z − a x z ′x − a y z ′y )dxdy,
D
a x = x, a y = − yz 2 = − y ⋅ ( x 2 + y 2 ) , a z = z = x 2 + y 2 .
где z ( x, y ) = x + y ,
Знак перед интегралом следует принять <+>, поскольку внутренняя
нормаль в данном случае составляет острый угол с OZ.
Итак,
2
2


x
y
dxdy =
Π = ∫∫  x 2 + y 2 − x ⋅
− (− y ⋅ ( x 2 + y 2 )) ⋅
2
2
2
2 

x +y
x +y 
D 
=
2π

2
2
∫∫D  x + y −

2π
1

+ y 2 x 2 + y 2 dxdy =

x2 + y2

x2
2π
1
1
= ∫ dϕ∫ ρ dρ − ∫ cos ϕdϕ∫ ρ dρ + ∫ sin ϕdϕ∫ ρ 4 dρ =
2
0
0
2
0
2
0
2
0
0
2π π π 8π
− + = .
3 3 5 15
Второй способ. Рассмотрим область V, ограниченную данной
r
поверхностью и плоскостью z=1. Поток вектора a (внутрь этой
области) находим по формуле Остроградского – Гаусса:
∂a y ∂a z 
 ∂a
r
dxdydz = − ∫∫∫ 1 − z 2 +1 dxdydz =
Π T = − ∫∫∫ diva dxdydz = − ∫∫∫  x +
+
∂x
∂y
∂z 
V
V 
V
(
)
21
1
1
2π π
7π
= −2∫∫∫ dxdydz + ∫∫∫ z dxdydz = −2 ⋅ ⋅ π ⋅ 12 ⋅ 1 + ∫ z 2 ⋅ πz 2 dz = −
+ =− .
3
3 5
15
V
V
0
2
Поток Π T = Π + Π o , где поток через основание конуса на плоскости z=1
в направлении, противоположном OZ, легко вычисляется:
Π o = − ∫∫ a z
z =1
dxdy = −1 ⋅ π ⋅ 12 = −π.
D
Отсюда искомый поток через боковую поверхность конуса:
Π = ΠT − Πo = −
7π
8π
− (− π) = .
15
15
Пример 5
r
r
r
r
Вычислить поток вектора a = ( 2 z − x ) ⋅ i + ( x + 2 z ) ⋅ j + 3 z ⋅ k через
треугольник S, вырезанный из плоскости x+4y+z-4=0 координатными
плоскостями, в направлении нормали, образующей с осью OZ острый
угол.
Решение. Рассмотрены два способа решения задачи:
1) проецирование S на одну координатную плоскость,
2) проецирование S на три координатных плоскости.
Первый способ. Данная поверхность проецируется на плоскость
XOY в треугольник D с вершинами M0(0;0;0), M1(4;0;0), M2(0;1;0). Тогда
искомый поток может быть вычислен по формуле:
Π = ∫∫ (a z − a x z ′x − a y z ′y )dxdy,
D
где
z(x, y) = 4 − x − 4y, ax = 2z − x = 8 − 3x − 8y, ay = x + 2z = 8 − x − 8y, az = 3z =12− 3x −12y.
Используя эти данные, находим
Π = ∫∫ ((12 − 3x − 12 y ) − (8 − 3x − 8 y ) ⋅ (−1) − (8 − x − 8 y ) ⋅ ( −4) )dxdy =
D
22
4− 4 y
1
= ∫∫ (52 − 10 x − 52 y )dxdy = ∫ dy
0
D
1
∫ (52 − 10 x − 52 y )dx = ∫ (52 x − 5 x
0
2
− 52 xy )
x = 4− 4 y
x =0
dy =
0
1
= ∫ (128 − 256 y + 128 y 2 )dy = 128 − 128 +
0
128 128
=
.
3
3
Второй способ. Проецируем S на плоскость YOZ в треугольник D1
с вершинами (0;0;0), (0;1;0), (0;0;4), на ZOX в треугольник D2
с вершинами (0;0;0), (0;0;4), (4;0;0),
на XOY в треугольник D3
c вершинами (0;0;0), (4;0;0), (0;1;0). Тогда поток вектора
r
r
r
r
a = ( 2 z − x ) ⋅ i + ( x + 2 z ) ⋅ j + 3 z ⋅ k через поверхность S вычисляется как
сумма трех двойных интегралов:
Π = ∫∫ax dydz+ ay dzdx+ az dxdy= ±∫∫ax
S
x=4−4 y−z
dydz± ∫∫ay
D1
D2
y=1−
z +x
4
dzdx± ∫∫az
z=4−x−4 y
dxdy.
D3
r
r r
r
nS = i + 4 j + k
По условию задачи нормальный вектор
(его третья
координата обязана быть положительной!), так что перед всеми тремя
интегралами должен быть поставлен <+>. Итак,
1
4−4 y
0
0
Π = ∫ dy
∫
4
(4 y + 3z − 4)dz + ∫ dz
0
1
4− z
1
4−4 y
0
0
0
∫ ( x + 2 z )dx + ∫ dy ∫ 3(4 − x − 4 y)dx =
4
1
3

1

= ∫  ⋅ 16(1 − y ) 2 − 16(1 − y ) 2 dy + ∫  ⋅ (4 − z ) 2 + 2 z (4 − z ) dz + 3∫ 8(1 − y ) 2 dy =
2
2


0
0
0
1
4
1
3 
8
128

= 8∫ (1 − y ) dy + ∫  8 + 4 z − z 2 dz + 24 ∫ (1 − y ) 2 dy = + 32 + 8 =
.
2 
3
3
0
0
0
2
Как видно, первый способ потребовал меньше выкладок, чем
второй, а потому предпочтительнее.
Пример 6
r
r
r
r
Вычислить работу силового поля a = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k
винтовой линии x=Rcost, y=Rsint, z=bt, 0 ≤ t ≤ 2π.
вдоль дуги
Решение. Работа поля определяется интегралом
β
dy
r r
dx
dx 

A = ∫ adl = ∫  a x ⋅ + a y ⋅ + a z ⋅ dt,
dt
dt
dt 
L
α
23
где L – дуга, по которой перемещается материальная точка, нижний
и верхний пределы интегрирования – соответственно начальное
r
и конечное значения параметра t. Координаты a x , a y , a z вектора a
вычисляют в точках дуги L.
Здесь
a x = x = R cos t , a y = y = R sin t , a z = z = bt ;
dx
dy
dz
= − R sin t ,
= R cos t ,
= b;
dt
dt
dt
2π
2π
0
0
A = ∫ ( R cos t ⋅ (− R sin t ) + R sin t ⋅ R cos t ⋅ +bt ⋅ b))dt = ∫ b 2 tdt = b 2 t 2 / 2 02 π = 2π 2 b 2 .
Пример 7
r
r
r
r
a = y ⋅i − x⋅ j + b⋅k
Вычислить
циркуляцию
вектора
окружности x 2 + y 2 = 1, z = 0 в положительном направлении.
вдоль
Решение. Искомая циркуляция вычислена ниже двумя способами.
Первый способ (непосредственное вычисление циркуляции).
Параметрические уравнения данного контура:
 x = cos t

L :  y = sin t ,
 z=0

0 ≤ t ≤ 2π.
r
Координаты вектора a в точках контура:
a x = y = sin t , a y = − x = − cos t , a z = b.
Координаты касательного вектора:
dx
dy
dz
= − sin t ,
= cos t ,
= 0.
dt
dt
dt
Искомая циркуляция:
β
2π
2π
r r
dx
dy
dx 

2
2
C = ∫ adl = ∫  a x ⋅
+ ay ⋅
+ a z ⋅ dt = ∫ − sin t − cos t dt = − ∫ dt = −2π.
dt
dt
dt 
α
0
0
L+
(
)
24
Второй способ (применение формулы Стокса).
Согласно формуле Стокса:
∫
r r
a dl =
L+
∫∫
r r
rot a d σ ,
σ+
r
т.е. циркуляция вектора a по замкнутому контуру равна потоку ротора
через поверхность σ+, натянутую на этот контур. Выбор направления
r
нормального вектора n определяет положительную сторону
поверхности и – соответственно
- положительное направление обхода.
r r
В данной задаче n = k ,
r
i
r
∂
rot a =
∂x
y
C=
r
j
∂
∂y
− x
r
k
r
r
r
r
∂
= 0 ⋅ i − 0 ⋅ j − 2 ⋅ k = −2k ,
∂z
b
∫∫ (−2)dxdy = −2 ⋅ ∫∫ dxdy = −2π.
D: x 2 + y 2 ≤1
D: x 2 + y 2 ≤1
Примечание. В последнем примере формула Стокса по существу
свелась к своему частному случаю – формуле Грина.
3.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
r
r
r
r
Дано векторное поле a = yz cos( xy ) ⋅ i + zx cos( yz ) ⋅ j + sin( xy ) ⋅ k .
r
r
Найти diva, rota , установить тип данного векторного поля.
r
r
r
r
Дано векторное поле a = (x 2 − xy) ⋅ i + (zx − y 2 ) ⋅ j + (zx − yz) ⋅ k .
r
r
Найти d iv a , rot a в точке M(1;-2;1)
r
r
r
r
Дано векторное поле a = y ⋅ i + x ⋅ j + e z ⋅ k . Доказать, что данное
поле потенциальное и найти его потенциал.
25
3.3.4.
3.3.5.
3.3.6.
3.3.7.
3.3.8.
3.3.9.
r
r
r
r
r
r
Дано векторное поле a = yz ⋅ i + zx ⋅ j + xy ⋅ k . Найти div a , rot a ,
установить тип данного
векторного поля.
r
r r r r
r
r
r
Найти div( r ⋅ (i + j + k ) × r ), где r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k .
r
r
r
r
Дано векторное поле a = zx ⋅ i + y ⋅ j + ψ ( z ) ⋅ k . Определить ψ(z)
v
так, чтобы div a =r0 .
r
r
r
r
r r
r
r
Найти rot (( r ⋅ a ) b ), где r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k . Векторы a и b постоянные.
Даны два скалярных поля u(x, y, z), v(x, y, z). Доказать, что
векторное поле gradu × gradv - соленоидальное.
Даны два скалярных поля u(x, y, z), v(x, y, z). Доказать, что
grad v ⋅ rot (ugrad v ) = 0.
3.3.10. Является ли потенциальным поле
r
r
r
r
a = yz (2 x + y + z ) ⋅ i + zx ( x + 2 y + z ) ⋅ j + xy ( x + y + 2 z ) ⋅ k ?
3.3.11. Найти div grad(x2+y2+z2) .
3.3.12. Будет ли потенциальным и соленоидальным
векторное поле
r
r
r
r
a = ( 2 x + 5 yz ) ⋅ i + (2 y + 5 zx ) ⋅ j + ( 2 z + 5 xy ) ⋅ k ?
3.3.13. Найти div grad(arctg(y/(x-z))) .
3.3.14. Найти дивергенцию векторного поля
r
r
r
r x⋅i + y ⋅ j + z ⋅k
a=
.
3
(x 2 + y 2 + z 2 ) 2
3.3.15. Определить тип векторного поля
r
r
r
r
a = ( 2 x + 3 yz ) ⋅ i + ( 2 y + 3 zx) ⋅ j + ( 2 z + 2 xy ) ⋅ k .
r
r
r
r
r
r
r
r
3.3.16. Даны два векторных поля a = i + j + k , r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k .
r r
r r
Найти div ( a × r ), rot ( a × r ).
r
r
r
r
3.3.17. Найти векторные линии поля a = ( y + z ) ⋅ i − x ⋅ j − x ⋅ k . Какая
из этих линий проходит через точку M(1;2;-3)?
r
r
r
r
3.3.18. Найти векторные линии поля a = (z − y) ⋅ i + (x − z) ⋅ j + ( y − x) ⋅ k .
Какая из этих линий проходит через точку M(-1;2;4)? r
r
r
r
3.3.19. Найти векторные линии поля r = − wy ⋅ i + wx ⋅ j + h ⋅ k , где
w и h – постоянные. Какая из этих линий проходит через
точку M(3;1;-2)?
r
r
r
r
3.3.20. Дано векторное поле a = ( y 2 + z 2 ) ⋅ i + ( z 2 + x 2 ) ⋅ j + (x 2 + y 2 ) ⋅ k .
r
r
Найти div a , rot a в точке M(5;0;-4).
r
r
r
r
a = 3x( y + z) ⋅ i + y 2 ⋅ j + ( z 2 − 2x) ⋅ k .
3.3.21. Дано
векторное
поле
Проверить, является ли данное поле потенциальным и, если
является, найти его потенциал.
26
r
r
r
r
a = (3x − 2z) ⋅ i + sin y ⋅ j + ( z − 2x) ⋅ k .
3.3.22. Дано
векторное
поле
Проверить, является ли данное поле потенциальным и, если
является, то найти его потенциал.
3.3.23. Дано векторное поле
r
r 2 zx + y r 2 yz − x r
a= 2
⋅i + 2
⋅ j + ln( x 2 + y 2 ) ⋅ k .
2
2⋅
x +y
x +y
r
r
Найти div a , rot a в точке M(7;-1;0).
3.3.24. Дано векторное поле
r
r
r
r
a = e x + y ( z + x + 1) ⋅ i + (( z + x )e x + y + 2 ye z ) ⋅ j + (e x + y + y 2 e z ) ⋅ k .
3.3.25.
3.3.26.
3.3.27.
3.3.28.
3.3.29.
3.3.30.
3.3.31.
3.3.32.
Установить тип данного поля и, если оно потенциальное,
построить его потенциал.
r
Вычислить поток вектора ar = z ⋅ i через часть поверхности
параболоида z = x 2 + y 2 внутри цилиндра x 2 + y 2 = 1 для
x ≥ 0, z ≥ 0 в направлении нормали, образующей с осью OZ
острый угол.
r
r
Вычислить поток вектора a = z ⋅ j через поверхность из 3.3.25.
в то же направлении нормали. r
r
Вычислить поток вектора a = z ⋅ k через поверхность из 3.3.25.
в то же направлении нормали.
r
r
Вычислить поток вектора a = z ⋅ i через часть поверхности
гиперболического параболоида z = x ⋅ y внутри цилиндра
x 2 + y 2 = 2 для x ≥ 0, z ≥ 0 в направлении нормали,
образующей с осью OZ тупой угол.
r
r
Вычислить поток вектора a = x ⋅ j через поверхность из 3.3.28.
в то же направлении нормали.
r
r
Вычислить поток вектора a = xy ⋅ k через поверхность из
3.3.28. в то же направлении нормали.
r
r
Вычислить работу силового поля a = z ⋅ k при движении
материальной точки вдоль дуги окружности, образованной
пересечением сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 с плоскостью z = 1 / 2 , для
y ≥ 0, z ≥ 0 . Ось OX остается слева от наблюдателя,
сонаправленного с ней и движущегося вместе с точкой
приложения силы.
r
r
r
Вычислить поток вектора a = y ⋅ i + x ⋅ j через часть
поверхности гиперболического параболоида z = x ⋅ y внутри
цилиндра x 2 + y 2 = 9 для x ≥ 0, y ≥ 0 в направлении нормали,
образующей с осью OZ острый угол.
27
r
r
3.3.33. Вычислить поток вектора a = x ⋅ k через часть сферы
x 2 + y 2 + z 2 = 1 для x ≥ 0, z ≥ 0 в направлении нормали,
образующей с осью OZ острый угол.
r
r
3.3.34. Вычислить работу силового поля ar = x ⋅ i + y ⋅ k при движении
материальной точки вдоль дуги эллипса, образованного
пересечением цилиндра x 2 + y 2 = 1 с плоскостью x − z = 1,
для x ≥ 0, y ≤ 0 . Ось OZ остается справа от сонаправленного
с ней наблюдателя, который движется вместе с точкой
приложения силы.
r
r
r
через часть
3.3.35. Вычислить поток вектора a = z ⋅ j + x ⋅ k
2
2
y + z = 1 внутри конуса
цилиндрической поверхности
2 ⋅ x 2 + y 2 ≤ z 2 при x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 в направлении нормали,
образующей с осью OZ острый угол.
r
r
2
a
=
x
y
⋅
k
при движении
3.3.36. Вычислить работу силового поля
материальной точки вдоль контура, образованного
y2 + z2 = 1
x2 + y2 = 1
пересечением
цилиндров
и
x ≥ 0 . Ось OX остается справа от наблюдателя,
для
сонаправленного с ней и движущегося вместе с точкой
приложения силы.
r
r
r
r
3.3.37. Найти поток вектора a = ( y − z ) ⋅ i + (2 x + y) ⋅ j + ( x + y + z) ⋅ k через
наклонную грань тетраэдра, ограниченного координатными
плоскостями и плоскостью 2x+y+z-2=0, в направлении
нормали, образующей с осью OZ острый угол.
r
r
r
r
3.3.38. Найти поток вектора a = 4 z ⋅ i + ( x + y − 2 z) ⋅ j + (3 y + 2 z ) ⋅ k через
наклонную грань тетраэдра, ограниченного координатными
плоскостями и плоскостью 2x-y-z+4=0, в направлении
нормали, образующей с осью OY тупой угол.
r
r
r
3.3.39. Вычислить циркуляцию вектора a = − z 3 ⋅ i + y 3 ⋅ k
по
замкнутому
контуру,
образованному
пересечением
2
2
2
2
цилиндров x + y = 2, y + z = 1 при x > 0. Ось OX
остается слева от сонаправленного с ней наблюдателя,
обходящего данный контур.
r
r
r
3.3.40. Вычислить поток вектора a = x ⋅ i + y 3 ⋅ j через сферу
x 2 + y 2 + z 2 = 2 в направлении внешней нормали.
r
r
r
r
3.3.41. Вычислить поток вектора a = x 3 ⋅ i + y 3 ⋅ j + z 3 ⋅ k через сферу
x 2 + y 2 + z 2 = 4 в направлении внутренней нормали.
r
r
3.3.42. Вычислить циркуляцию вектора a = − z 3 ⋅ i
по эллипсу,
образованному пересечением гиперболоида 2x 2 + 3 y 2 − 4z 2 =1
28
3.3.43.
3.3.44.
3.3.45.
3.3.46.
3.3.47.
с плоскостью y − 2 z = 0. Ось OZ остается слева от
сонаправленного с ней наблюдателя, обходящего данный
контур.
r
r
Вычислить поток вектора a = x 2 ( z + 1) ⋅ k через поверхность
полушара x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ∩ z ≥ 0 в направлении внешней
нормали. Найти поток данного вектора через полусферу
z = 2 − x 2 − y 2 в том же направлении.
r
r
r
a = 2 ( x + y). j + z ⋅ k
Вычислить поток вектора
через
2
2
2
поверхность полушара x + y + z ≤ 7 ∩ z ≤ 0 в направлении
внутренней нормали. Найти поток данного вектора через
полусферу z = − 2 − x 2 − y 2 в том же направлении.
r
r
r
r
Вычислить циркуляцию вектора a = ( y − z) ⋅ i + (z − x) ⋅ j + (x − y) ⋅ k по
окружности, которая является
пересечением
сферы
2
2
2
x + y + z = 0. Каждая из
x + y + z = 1 и плоскости
координатных осей остается слева от сонаправленного
с ней наблюдателя, обходящего данный контур.
r
r
r
r
Найти поток вектора a = xy2 ⋅ i + yz2 ⋅ j + zx2 ⋅ k через сферу
x 2 + y 2 + z 2 = 5 в направлении внешней нормали.
r
r
Вычислить поток вектора a = z 3 ⋅ k через эллипсоид
x2 y2 z2
+
+
=1
3
2
3
в направлении внутренней нормали.
r
r
r
r
3.3.48. Вычислить циркуляцию вектора a = y2 ⋅ i + z 2 ⋅ j + x2 ⋅ k по линии
2
2
пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = 4 и цилиндра x + y = 2 x
при z ≥ 0 . Направление обхода таково, что наблюдатель,
находящийся в начале координат, видит этот обход
происходящим против часовой стрелки.
29
4. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
Основатель векторного анализа Вильям Роуэн Гамильтон (2)
в частности ввел в математику символический вектор ∇ , назвав его
alted (слово delta, прочитанное справа налево), который, вслед за
Оливером Хэвисайдом, стали называть набла (так именовался
древнеассирийский музыкальный инструмент).
Этот вектор имеет следующий вид:
∇=
∂ r ∂ r ∂ r
i +
j + k,
∂z
∂x
∂y
(4.1)
его «декартовы координаты»:
∇x =
∂
,
∂x
∇y =
∂
,
∂y
∇z =
∂
.
∂z
(4.2)
Вектор ∇ приобретает важный смысл в комбинации со скалярными
или векторными функциями, позволяя сократить и упростить запись
многих формул теории поля.
Например, градиент скалярного поля может быть записан так:
∂u r ∂u r ∂u r
grad u =
i +
j+
k = ∇u ,
∂x
∂y
∂z
(4.3)
т.е. дописывание скалярной функции справа от каждой символической
координаты формально трактуется как умножение на эту функцию.
Аналогичная формализация скалярного и векторного умножений
позволяет дать кратчайшую запись определений дивергенции
и ротора:
r ∂a ∂a y ∂az
r
diva = x +
+
= ∇⋅a ,
∂x
∂y
∂z
(4.4)
30
r
rot a = ∂
r
i
∂x
ax
r
k
r
j
∂
∂y
ay
∂
∂z
az
r
= ∇ × a.
Соответственно
становятся
предельно
и доказательства, например, таких теорем:
1) Поле ротора соленоидально:
(4.5)
краткими
r
r
r
div ( rota ) = ∇ ⋅ (∇ × a ) = a ⋅ (∇ × ∇) = 0.
выводы
(4.6)
2) Поле градиента безвихревое:
rot (gradu ) = ∇ × (∇u ) = (∇ × ∇ )u = 0 .
(4.7)
Следует учитывать, что набла является дифференциальным
оператором, поэтому в записи недопустимо отрывать его от той
функции, на которую он воздействует. Например:
r r
r
r r
r r r
r r
r r
div(a × b ) = ∇ ⋅ (a × b ) = b ⋅ (∇ × a ) − a ⋅ (∇ × b ) = b ⋅ rota − a ⋅ rotb .
(4.8)
В последнемr примере дифференцируются произведения координат
r
векторов a и b , так что имеем сумму двух слагаемых. Первое из них
r
получено в предположении постоянства b , второе - в предположении
r
постоянства a . С учетом ранее сказанного, эти векторы следует
поменять местами при переходе от первого слагаемого ко второму, а это
приводит к умножению их векторного произведения на -1.
Следует остерегаться формального непродуманного применения
оператора Гамильтона.
31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического
анализа для вузов. М: Наука.1971.735 с.
2. Гольдфайн И. А. Векторный анализ и теория поля. Физматгиз.1962. 132 с.
3. Романовский П. И.
Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические
и специальные функции. Преобразование Лапласа. М: Государственное
издательство физико-математической литературы. 1959. 303 с.
4.
Методические
указания
к
выполнению
типового
расчета
по теме «Теория поля». Составители: Шапошникова Т. О., Карпухин Г. В.
Л: ЛТиХП, 1982. 14 с.
5. Методические указания к решению задач по некоторым вопросам
теории поля.
Составители: Богородская Т. В.,
Сыровцева Н. Н.
Л: ЛТИХП,1979. 25 с.
6. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. М: Высшая школа. 1986.
32
Содержание
1. Введение …………...………………………………………………….3
2. Скалярное поле…………………....………..........................................5
2.1. Основные теоретические сведения.. ………………………...............5
2.2. Примеры вычисления характеристик скалярного поля…………….7
2.3. Задачи для самостоятельной работы.………………………………..9
2. Векторное поле…………………....………........................................10
2.1. Основные теоретические сведения.. ………………………..............10
2.2. Примеры вычисления характеристик векторного поля……………16
2.3. Задачи для самостоятельной работы.……………………………….23
4. Оператор Гамильтона………………………………………………...28
5. Список литературы…………………………………………………...30
33