Картину изменения гауссовой кривизны при закручивании дают

Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 642–643
УДК 514.75
ЛИСТ МЕБИУСА
c М. А. Чешкова
°
cheshkov@ab.ru
Алтайский государственный университет, Барнаул
В евклидовом пространстве E 3 рассмотрим линейчатую поверхность ([1, c. 40]) M :
r(u, v) = e(v) + ul(v),
где e(v) = (cos(v), sin(v), 0) — направляющая окружность, l(v) — орт образующей прямой.
Будем предполагать, что прямые ортогонально пересекают окружность. Обозначим через
ϕ(v) — угол между плоскостью окружности и прямой. Тогда
l(v) = cos(ϕ)e(v) + sin(ϕ)a,
где a = (0, 0, 1)) ,
r(u, v) = (1 + u cos(ϕ))e(v) + u sin(ϕ)a.
Если при этом ϕ = kv/2 , k 6= 0 — целое число, то прямые r(u, 0), r(u, 2π) “склеиваются”.
Имеем лист Мебиуса ([2, c. 167]), перекрученный k раз (рис. 1–3).
Гауссова кривизна поверхности равна
K(u, v, k) = −
k2
4((1 + u cos(kv/2)2 + (uk/2)2 )2
Откуда следует, что K(u, v, k) < 0 — все точки листа Мебиуса гиперболические.
В частности, рассмотрим гауссову кривизну K(0, v, k) вдоль средней окружности S : r =
r(0, v) и гауссову кривизну K(u, 0, k) вдоль образующей L , ортогональной плоскости средней
окружности.
2
2
Имеем K(0, v, k) = − k4 , K(u, 0, k) = − 4((1+u)2 k+(uk/2)2 )2 . Замечаем, что гауссова кривизна
постоянна вдоль средней окружности
Исследуем, как меняется гауссова кривизна при закручивании. Для этого рассмотрим график функции
f (u, v) = K(u, v, k + 1) − K(u, v, k) =
−
(k + 1)2
k2
+
.
4((1 + u cos((k + 1)v/2)2 + (uk/2)2 )2 4((1 + u cos(kv/2)2 + (uk/2)2 )2
Картину изменения гауссовой кривизны при закручивании дают рис. 4–6.
642
Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", 2007, с. 642–643
z
0.4
6
0.2
4
2
0
f
–0.2
0
–0.4
–2
–4
0
–1
–1
–1
–0.5
–0.5
0
y
1
x
0.5
0.5
–0.5
2
0
v
3
0
4
1
1
6
Рис. 1. Лист Мебиуса, k = 1 .
u
0.5
5
1.5
1
Рис. 4. f = K(u, v, 2) − K(u, v, 1) .
–0.4
–0.5
–0.6
0.4
0.2
z
–0.7
f
0
–0.8
–0.2
–0.4
–0.9
–1
–1
–0.5
–1
–0.5
0
0
y
0.5
x
0.5
–1.1
1
1
1.5
0
1.5
1
2
3
4
5
6
v
Рис. 5. f = K(0, v, 2) − K(0, v, 1) .
Рис. 2. Лист Мебиуса, k = 1/2 .
4
3
2
0.4
0.2
z
f
1
0
–0.2
0
–0.4
–1.5
–1
–1
–1
–0.5
–0.5
y
0
0
0.5
0.5
–2
x
–4
1
1
1.5
–2
0
2
4
u
Рис. 6. f = K(u, 0, 2) − K(u, 0, 1) .
Рис. 3. Лист Мебиуса, k = 2 .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. M., 1969. 167 c.
2. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М., 1962. 360 с.
643