Задачи ко второй главе книги Демайи, по курсу "Алгебраическая

Çàäà÷è êî âòîðîé ãëàâå êíèãè Äåìàéè,
ïî êóðñó Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íàä C
(Ì. Âåðáèöêèé, Ä. Êàëåäèí).
Îñåííèé ñåìåñòð 2001.
Äëÿ ñäà÷è ýêçàìåíà íàäî ðåøèòü âñå çàäà÷è, íå îòìå÷åííûå çâåçäî÷êîé,
ëèáî âñå çàäà÷è, îòìå÷åííûå çâåçäî÷êîé, êðîìå äâóõ (ïî âûáîðó). Ðåøåíèå
îñòàëüíûõ çàäà÷ ïðèâåòñòâóåòñÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ.
1. Çàäà÷è íà òåîðèþ ïó÷êîâ.
1.1
Ïóñòü
ñòðàíñòâå
ǑX òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî ïó÷êà OX
X . Äîêàçàòü, ÷òî ǑX õàóñäîðôîâî.
íà êîìïëåêñíîì ïðî-
Óêàçàíèå: ñì. çàäà÷ó 11.1 ê ãëàâå 2 êíèãè Äåìàéè.
1.2 Ïóñòü A ïó÷îê êîëåö, F, G ïó÷êè A-ìîäóëåé. Îïðåäåëèì
HomA (F, G) òàêèì îáðàçîì, ÷òî
HomA (F, G)U = HomA| (F U , GU ),
ïðåäïó÷îê
U
(ñ ïðàâîé ñòîðîíû ðàâåíñòâà ñòîèò ïðîñòðàíñòâî ãîìîìîðôèçìîâ ïó÷êîâ
AU -ìîäóëåé). Äîêàçàòü, ÷òî HomA (F, G) ïó÷îê. Ïîñòðîèòü åñòåñòâåííûé
ãîìîìîðôèçì ðîñòêîâ
ϕx
HomA (F, G)x → HomAx (Fx , Gx )
(ñïðàâà ñòîèò ïðîñòðàíñòâî ãîìîìîðôèçìîâ
Ax -ìîäóëåé; Ax , Fx , Gx
x).
- ýòî
ïðîñòðàíñòâà ðîñòêîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïó÷êîâ â òî÷êå
1.3
òî
 óñëîâèÿõ çàäà÷è 1.2, äîêàçàòü ñëåäóþùåå: åñëè
ϕx
èíúåêòèâåí. Åñëè
F
F
êîíå÷íî ïîðîæäåí,
êîíå÷íî ïîðîæäåí è êîíå÷íî ïðåäñòàâèì, òî
ϕx
èçîìîðôèçì.
1.4 Ïóñòü A êîãåðåíòåí, F
1.5*
è
G òîæå. Äîêàçàòü, ÷òî HomA (F, G) êîãåðåíòåí.
Äîêàçàòü, ÷òî ïó÷îê ïîëèíîìîâ íà
Cn
êîãåðåíòåí êàê ïó÷îê êîëåö
(â àíàëèòè÷åñêîé òîïîëîãèè; êîãåðåíòíîñòü â òîïîëîãèè Çàðèñêîãî áûëà
äîêàçàíà íà ëåêöèÿõ). Äîêàçàòü, ÷òî ïó÷îê ãëàäêèõ ôóíêöèé íà
Rn
íå êî-
ãåðåíòåí.
1.6*
Ïóñòü
X
RX ïó÷îê
X . Ïàðà (X, RX ) ýòî îêîëü-
êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à
íåïðåðûâíûõ, ëîêàëüíî ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé íà
öîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.
√
Äîêàæèòå òåîðåìó Ãèëüáåðòà î íóëÿõ íèëüðàäèêàë
J ⊂ RX
f ∈ J.
àëà
1.7*
J
ëþáîãî èäå-
ðàâåí èäåàëó âñåõ ôóíêöèé, çàíóëÿþùèõñÿ íà îáùèõ íóëÿõ
Êàêèå ìíîæåñòâà ìîãóò áûòü îáùèìè íóëÿìè èäåàëîâ èç
1
RX ?
1.8* X
íàçûâàåòñÿ êâàçèêîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîãî áåñêîíå÷íîãî ïîêðû-
òèÿ îòêðûòîãî ìíîæåñòâà îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
X
êâàçèêîìïàêòåí, òî
RX
íåòåðîâî.
Âåðíî ëè îáðàòíîå?
1.9*
Äîêàçàòü, ÷òî
RX
êîãåðåíòåí, åñëè
X
êâàçèêîìïàêòíî.
2. Çàäà÷è íà òåîðèþ àíàëèòè÷åñêèõ ìíîæåñòâ.
Pn , îáîçíà÷èì çà CX0 ⊂ Cn+1 ìíîæåñòâî âñåõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ, êîòîðûå ïðîåêòèðóþòñÿ â X ïðè ñòàín+1
äàðòíîé ïðîåêöèè C
\0 → Pn . Ïóñòü CX ýòî îáúåäèíåíèå CX0 è {0}.
Äëÿ íåïóñòîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ
X
â
2.0 Âîñïîëüçóéòåñü òåîðåìîé Ðåììåðòà-Øòåéíà è äîêàæèòå, ÷òî CX
ëèòè÷åñêîå ïîäìíîæåñòâî â
àíà-
Cn+1 .
2.1
n
Ïóñòü X ⊂ CP
íåïðèâîäèìîå àëãåáðàè÷åñêîå ïîäìíîãîîáðàçèå, CX ⊂
n+1
C
åãî êîíóñ. Äîêàæèòå, ÷òî CX íåïðèâîäèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
X
íåïðèâîäèì.
2.2
Ïóñòü
P
íåïðèâîäèìûé ïîëèíîì â
C[z1 , ...zn ].
Äîêàçàòü, ÷òî
P −1 (0)
íåïðèâîäèìî êàê àíàëèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî. Ïîñòðîéòå ðåãóëÿðíóþ ñèñòå-
P.
P −1 (0) → Cn−1 ?
ìó êîîðäèíàò. Âû÷èñëèòå äèñêðèìèíàíò
ðàçâåòâëåííîãî íàêðûòèÿ
2.3
Ïóñòü
ñòè
p.
A
×åìó ðàâåí ïîðÿäîê âåòâëåíèÿ
íåïðèâîäèìîå àëãåáðàè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå â
Cn ,
ðàçìåðíî-
Äîêàæèòå, ÷òî åñòü ñèñòåìà êîîðäèíàò
(z1 , ..., zp , zp+1 , ..., zn )
| {z } | {z }
z0
z 00
òàêàÿ, ÷òî ñòàíäàðòíàÿ ïðîåêöèÿ
π 0 : A → Cp
(ïðîåêöèÿ
A
íà ïåðâûå
êîîðäèíàò) ñîáñòâåííîå è êîíå÷íîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî
æèòñÿ â êîíóñå
2.4*
|z 00 | 6 C(|z 0 | + 1)
(äëÿ êàêîé-òî êîíñòàíòû
p
ñîäåð-
C ).
n
A ⊂ C ÷èñòîé ðàçìåðíîñòè p,
|z 00 | 6 C(|z 0 | + 1). Äîêàæèòå, ÷òî A àëãåáðàè-
Íàîáîðîò, ïóñòü äàíî ïîäìíîãîîáðàçèå
êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ â êîíóñå
A
÷åñêîå.
3. Çàäà÷è íà ôàêòîð-îñîáåííîñòè.
Ïóñòü
G
êîíå÷íàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ íà
Cn
ëèíåéíûìè àâòîìîðôèç-
n
X := C /G íàçûâàþòñÿ ôàêòîð-îñîáåííîñòÿìè, èëè îñîn
áåííîñòÿìè îðáè-îáðàçèÿ. Åñëè f G-èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ íà C , òî f
ìîæíî ðàññìîòðåòü êàê ôóíêöèþ íà X . Ïðîñòðàíñòâî X îêîëüöîâàíî ïó÷nG
G-èíâàðèàíòíûõ ãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé.
êîì OC
n
Îêîëüöîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, ëîêàëüíî óñòðîåííîå êàê C /G, íàçûâàåòìàìè. Îñîáåííîñòè
ñÿ ìíîãîîáðàçèåì ñ ôàêòîð-îñîáåííîñòÿìè (ïðèìåðíî ýòî íàçûâàþò òàêæå
îðáèîáðàçèåì).
3.0
Ïóñòü
G
êîíå÷íàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ àâòîìîðôèçìàìè íà ãëàäêîì
ìíîãîîáðàçèè
M.
Äîêàæèòå, ÷òî ôàêòîð
ôàêòîð-îñîáåííîñòÿìè.
2
M/G
ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì ñ
3.1 Äîêàæèòå, ÷òî ìíîãîîáðàçèå ñ ôàêòîð-îñîáåííîñòÿìè ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîàíàëèòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
n = dim X ôàêòîðCn ðàñòÿæåíèÿìè, êîììóòèðóåò ñ G, òî îíà äåéñòâóåò òàêæå è íà X . Èìååì X = CY :
X ýòî êîíóñ íàä åãî ïðîåêòèâèçàöèåé Y . Y èìååò ôàêòîð-îñîáåííîñòè, çíàÓêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü èíäóêöèåé ïî ðàçìåðíîñòè
n
∗
îñîáåííîñòè
X = C /G.
Ïîñêîëüêó ãðóïïà
C
, äåéñòâóþùàÿ íà
÷èò, êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åí (ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè). Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ðåììåðòà-Øòåéíà, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû ×æîó,
âûâåäèòå, ÷òî
X
3.2*
êîëüöî
R
Ïóñòü
R
òîæå êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åí.
G-èíâàðèàíòíûõ
ïîëèíîìîâ íà
Cn .
Äîêàæèòå, ÷òî
êîíå÷íî ïîðîæäåíî.
3.3
Ïóñòü
G1
êîíå÷íàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ íà
Cn
è íà
G
àâòîìîðôèç-
ìàìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî äåéñòâèå ñîãëàñîâàíî ñ äåéñòâèåì
Ïîñòðîéòå âëîæåíèå
q
X ,→ C
m
3.4*
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
ñòâåííîå îòîáðàæåíèå
ãðóïïó
3.5*
π1 (X\Xsing ).
Ïóñòü
G
G1 äåéñòâóåò
q G1 -ýêâèâàðèàíòíî.
òàêîå, ÷òî
àâòîìîðôèçìàìè, è îòîáðàæåíèå
íà
C
m
G
íà
Cn .
ëèíåéíûìè
Xsing ìíîæåñòâî îñîáûõ òî÷åê X . Ïîñòðîéòå åñòåϕ : G → π1 (X\Xsing ) èç G â ôóíäàìåíòàëüíóþ
Äîêàæèòå, ÷òî îíî íàëîæåíèå.
äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà
Cn \0, n > 1.
Äîêàæèòå, ÷òî
X
íå
ãëàäêoe.
Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü çàäà÷åé 3.4.
3.6*
Êîìïëåêñíîå îòðàæåíèå ýòî ëèíåéíûé àâòîìîðôèçì
g ∈ Aut(Cn )
êîíå÷íîãî ïîðÿäêà, ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê êîòîðîãî èìååò êîðàçìåðíîñòü 1. Ïóñòü
Cn /G
ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå. Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà
G
ïîðîæäåíà êîìïëåêñíûìè îòðàæåíèÿìè.
Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü çàäà÷åé 3.5.
4. Çàäà÷è íà êîãåðåíòíûå ïó÷êè.
Ïóñòü
4.1
F
êîãåðåíòíûé ïó÷îê íà ãëàäêîì ñâÿçíîì ìíîãîîáðàçèè
M.
F x :=
F/mx F (ôàêòîð ïî ìàêñèìàëüíîìó èäåàëó). Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ x →
dim F x ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó. Îáîçíà÷èì çà Sing(F ) ìíîæåñòâî, ãäå dim F x
ïîäñêàêèâàåò. Äîêàæèòå, ÷òî Sing(F ) êîìïëåêñíî àíàëèòè÷íî. Ýòî ìíîæå
ñòâî íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì îñîáåííîñòåé F . Äîêàæèòå, ÷òî F M \Sing(F )
Äëÿ êàæäîé òî÷êè
x ∈ M,
ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
ðàññëîåíèå.
4.2
Ïóñòü
F
êîãåðåíòíûé ïó÷îê,
f ∈F
ñå÷åíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû:
à).
Äëÿ êàêîãî-òî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà
á). f M \Sing(F ) = 0.
U ⊂ M , f U = 0
Äîêàæèòå, ÷òî ñå÷åíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (à) è (á) îáðàçóþò
ïîäïó÷îê.
3
Ýòîò ïîäïó÷îê íàçûâàåòñÿ ïîäïó÷êîì êðó÷åíèÿ, îáîçíà÷àåòñÿ
4.3
F êîãåðåíòíûé ïó÷îê áåç êðó÷åíèÿ. Äîêàæèòå,
÷òî äëÿ êàæäîé
⊕p
x ∈ M åñòü îêðåñòíîñòü U 3 x òàêàÿ, ÷òî F U ìîæíî âëîæèòü â OU
.
Ïóñòü
òî÷êè
4.4
T (F ).
Îáîçíà÷èì
HomOX (F, OX )
ãîìîìîðôèçì. Äîêàæèòå, ÷òî
F ∗ . Ïóñòü µ : F → F ∗∗ åñòåñòâåííûé
ker µ = T (F ); äðóãèìè ñëîâàìè, ÿäðî µ çà
ïîäïó÷îê êðó÷åíèÿ.
4.5*
Äîêàæèòå, ÷òî ïó÷îê áåç êðó÷åíèÿ íåîñîá â êîðàçìåðíîñòè 2 (ò.å.
codim Sing(F ) > 2).
Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèì âëîæåíèå
⊕i
OU
(ïåðâûå
i
OU .
Ïóñòü
êîîðäèíàò). Äîêàæèòå, ÷òî ôàêòîð
ïîçâîíÿåò ïðåäñòàâèòü
â
ϕ
⊕p
F → OU
.
F
Fi - îáðàç ϕ(F ) ïðè ïðîåêöèè íà
Fi /Fi−1 âêëàäûâàåòñÿ â OU . Ýòî
â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñøèðåíèé ïó÷êîâ, âëîæåííûõ
Äîêàæèòå, ÷òî ïîäïó÷îê
OU
íåîñîá â êîðàçìåðíîñòè 1, âîñïîëüçîâàâøèñü
òåîðåìîé Ãèëüáåðòà î íóëÿõ.
4.6
F íàçûâàåòñÿ
µ : F → F ∗∗ èçîìîðôèçì.
Îïðåäåëåíèå. Ïó÷îê
îòîáðàæåíèå
åñëè äëÿ êàæäîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà
ãî ïîäìíîæåñòâà
A ⊂ U , codim A > 2,
ðåôëåêñèâíûì, åñëè åñòåñòâåííîå
F íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì,
U ⊂ M , êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åñêî-
Ïó÷îê
èìååì
F U = F U \A .
Äîêàæèòå, ÷òî ðåôëåêñèâíûé ïó÷îê íîðìàëåí.
4.7*
Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëüíûé ïó÷îê áåç êðó÷åíèÿ ðåôëåêñèâåí.
4.8*
Äîêàæèòå, ÷òî ðåôëåêñèâíûé ïó÷îê ðàíãà 1 åñòü ðàññëîåíèå.
4.9*
Äîêàæèòå, ÷òî ðåôëåêñèâíûé ïó÷îê íåîñîá â êîðàçìåðíîñòè 3.
5. Çàäà÷è íà êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åñêèå ñõåìû.
i ∗
Ïóñòü F ðåôëåêñèâíûé ïó÷îê íàä M . Ðàññìîòðèì êîëüöî ⊕i S F ,
i
ãäå S ýòî ñèììåòðè÷åñêàÿ ñòåïåíü. Îáîçíà÷èì P roj ýòîãî ãðàäóèðîâàííîãî
p
êîëüöà çà PF → M . Òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî F ýòî êîíóñ ñîîòâåòñòâóþùå-
5.1*
ãî ïðîåêòèâíîãî ìîðôèçìà, ò.å. ïîïîëíåííûé àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè
⊕i S i F ∗ . Îíî îáîçíà÷àåòñÿ T ot(F ) è ñíàáæåíî åñòåñòâåííîé
ïðîåêöèåé T ot(F ) → M .
Äîêàæèòå, ÷òî T ot(F ) íåîñîáî â òåõ è òîëüêî òåõ òî÷êàõ M , ãäå íåîñîá
F . Ïðèäóìàéòå îïðåäåëåíèå ãðóïïîâîé êîìïëåêñíî àíàëèòè÷åñêîé ñõåìû
è äîêàæèòå, ÷òî T ot(F ) - ãðóïïîâàÿ ñõåìà íàä M . Äîêàæèòå, ÷òî T ot(F )
∗
íîðìàëüíî è C äåéñòâóåò íà íåì àâòîìîðôèçìàìè.
ñïåêòð àëãåáðû
5.2*
V íîðìàëüíàÿ ãðóïïîâàÿ ñõåìà íàä M ñ äåéñòâèåì C∗ . Äî÷òî V ýòî òîòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî ðåôëåêñèâíîãî êîãåðåíòíîãî
Ïóñòü
êàæèòå,
ïó÷êà.
4