О ФУНКЦИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ИСТОЧНИКА УПРУГИХ волн

У Д К 550.834 : 044
Б. Р. ЗАВАЛИШИН
О ФУНКЦИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ИСТОЧНИКА
УПРУГИХ в о л н
Среди многих факторов, участвующих в формировании сейсмической волны, существенную роль играет форма импульса
давления, приложенного в источнике и передаваемого среде.
Рассмотрим, каким условиям на фронте волны должен удовлетворять упругий импульс давления с точки зрения известных
соотношений математической теории упругости. В качестве математической модели взрывного источника выберем точечный излучатель типа центра расширения, помещенный в идеально упругой
среде. Так как мы предполагаем чисто упругий процесс, действующее в волне давление р (£, г) можно описывать с помощью создаваемых им радиальных напряжений g (t, г) среды. В рамках
выбранной модели эти функции совпадают с точностью до знака
р (t, г) = —cr (t, г).
Рассмотрим скалярную функцию
где г — расстояние до источника в сферических координатах;
Vp — скорость распространения продольных волн, и используем
ее для описания потенциала смещения в продольной упругой
волне со сферической симметрией. Известно [4], что как f (t —
— г/up), так и rep (I — r/vp) удовлетворяют однородным волновым уравнениям
д 2
dt* ~~ р дг2 '
(гя>)
ЬП
р
д 2 (пр)
дг2
•
W
Заметим, что функция f (t — r/vp) может представлять реальный волновой процесс только в случае, когда на фронте (при
t — r/vp = 0) выполняется условие
f(0)-=df(0)/dt
= 0.
(3)
В физической интерпретации формула (3) является условием
того, что фронт волны распространяется со скоростью v P [5].
34
Для функции f (t — г/vР)
нение
кроме, условия (2) справедливо урав-
df/dt^-widf/dr).
(4)
Смещения частиц, выраженные через ф и / , имеют вид
Давление, действующее в упругой волне, с точностью да
одного знака может быть описано с помощью создаваемых им
напряжений
-p(t,
г) = a(t,
+
(6>
где К и (х — упругие постоянные Ламе.
Выполнив дифференцирование с учетом равенства (5) и соотношений
(К+ 2 |x)/p = i;J;
V>/P = vh
где us — скорость распространения поперечных волн; р — плотность, имеем
52/
df . 4i;§
р4
(6а>
o(t,
г):
f
гу2
дг
р
Р
J
Уравнение (6а) означает, что давление, действующее в упругой:
сферической волне, может быть полностью определено, если известно поведение функции / (£ — r/vp) и ее производных.
Рассмотрим условия, которым должна удовлетворять функция^
/ (t — r/vp) — f (0) на фронте волны в момент t = г /vP достижения волной произвольной точки г.
Из условия непрерывности упругих смещений |4] следует, что*
на фронте упругой волны смещения, определяемые уравнением (5),
должны равняться нулю. Для его выполнения необходимо,
чтобы / и df/dr на фронте волны были равны нулю. Из совместного»
рассмотрения формул (3) и (4) следует, что это действительно так..
Остается выяснить, как ведет себя на фронте волны функция!
d2fldr2.
Запишем волновое уравнение продольной сферической
волны в смещениях [4, 8]:
„ Г д*и
, 2
ди
2
И
д*и
Правая часть уравнения (7) представляет ускорение смещений
частиц среды. Чтобы ускорение не обращалось в бесконечность,
что невозможно из физических соображений, к функции du/dt
3*
35
^следует предъявить требование непрерывности [2]. Тогда на
-фронте упругой волны du{0)/dt = 0 и в силу кинематического
условия [4]
ди (0)
дг
ди (0)
1
ди (0)
л
где п — внешняя нормаль к фронту волны.
Соотношение (8) 'теоретически подтверждает известный экспериментальный вывод [3] о безразрывном характере функции
скорости смещения частиц в упругой волне. После дифференцирования (5) по координате
ди
дг
дг2
г2
дг
"
JLi
гЗ Т
(9)
и подстановки (9) в (8) с учетом / (0) = 0 и df (0)/дг = 0 получаем
-d2f{0)/dr2 = 0. Запишем окончательно условия, которым должны
удовлетворять на фронте волны функции, входящие в (6а):
/ (0) = df {0)1 дг = d2f {0)1 дг2 = 0.
(10)
Как следует из соотношения (6а) и условия (10), главный вывод исследования заключается в том, что упругий импульс давления не может терпеть разрыва на своем фронте. Форма импульса
давления,переносимого упру6(t,r)
гой волной, определяется тремя членами правой части в
(6а), роль каждого из которых различна по мере удаления фронта волны от источника. В непосредственной
близости от точки взрыва
(г ->• 0) справедливо неравенство 1 /г 2 > 1/г > 1 и форма
импульса давления [см. (6а)]
определяется членом с 1/г 2 ,
т. е. функцией f (t — rlvр).
Из выражения (10)
слеПримеры экспериментальных записей
дует, что ею может быть
импульсов a {t, г) [7] (а) и форма чисто
только гладкая функция с нуупругого импульса давления (11) при
а = 500 (б)
левыми производными
на
фронте до второго порядка
включительно. При невыполнении условия (10) волновой процесс
не может быть чисто упругим, он должен сопровождаться необратимыми изменениями среды. Образование очага взрыва и его роль
в формировании упругой волны, с этой точки зрения, могут быть следующими. Даже очень малый разрывной импульс давления, создаваемый продуктами взрыва, не может быть воспринят средой как чисто упругий. Создаваемые им разрушения и уплотнения среды оказывают на импульс фильтрующее действие, выполаживая его фронт.
36'
Этот нелинейный процесс, сопровождаемый потерями части энергии, протекает в расширяющемся пространстве до тех пор, пока
не удовлетворено условие (10), после чего волна становится чисто
упругой, если амплитуда импульса достаточно мала. На рисунке
tг показаны результаты [7] экспериментального изучения формы
импульса давления в очаговой области, подтверждающие сказанное. Практический вывод заключается в том, что если источник
возбуждать импульсом, на фронте которого /, dfldt и d2f/dt2 равны
нулю, это снизит непроизводительные потери энергии на образование очага. Естественно стремиться к возбуждению в источнике
такого импульса давления, который бы совпадал по форме с наблюдаемым в эксперименте за пределами очага (см. рис. а, г = 201 см).
Одним из возможных аналитических описаний такого Импульса
может служить функция (см. рис. б)
~ p ( t , r)=<T(f,
/
г \3
е
-alt-r/vp)
V
;при г->0,
(11)
удовлетворяющая (10) и хорошо аппроксимирующая (при а =
= 500) экспериментальные данные (см. рис. а).
В теоретическом плане выведенное условие (10) уточняет известную теорию сферического излучателя [1, 10], которая предполагает, что внешняя поверхность излучающей сферы находится
в области чисто упругих деформаций. Из этого предположения
неизбежно должен следовать критерий выбора формы исходной
функции давления на поверхности сферы, так как далеко не каждый импульс может быть воспринят окружающей средой как
чисто упругий. В рамках существующей теории сферического
излучателя критерием выбора формы исходного импульса давления служит условие неразрывности первой производной / (0) =
= df (0)/дг = 0. Однако, как показывает выполненный анализ.
этого условия для выбора исходного импульса недостаточно.
Поэтому условие (10) дополняет теорию сферического излучателя
в части выбора формы исходного импульса давления.
Встречающиеся расхождения между экспериментальными данными и расчетами, выполненными в соответствии с теорией сферического излучателя, наряду с другими причинами [6] могут
•объясняться недостаточно обоснованным выбором формы исходного импульса, задаваемого при расчетах. Качественным подтверждением этого предположения, так же как и справедливости
(10), служит тот факт, что использование при расчетах плавно
вступающей функции давления дает лучшую сходимость с экспериментом [9]. Даже единственный детонатор создает очаг внушительных размеров [7], что, по всей вероятности, и объясняется
разрывным характером его импульса. Для повышения сейсмического
эффекта взрыва следует искать новый способ его инициирования,
который обеспечивает выполнение условий (10). Плавно вступающий
импульс давления, по-видимому, может быть реализован, когда
процесс взрыва начинается с горения, переходящего в детонацию.
37
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
4. Г у р в и ч И . И . К теории сферического излучателя сейсмических:
волн. — «Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли», 1965, № 10, с. 45—56 с ил.
2. Д ж е ф ф р и с Г., С в и р л с Б. Методы математической физики.
Т. 3. М., «Мир», 1970. 344 с. с ил.
3. Д и н а м и ч е с к и е характеристики сейсмических волн в реальных,
средах. М м Изд-во АН СССР, 1962. 512 с. сил. Авт.: И. С. Берзон, А. М. Епинатьева, Г. Н. Парийская, С. П. Старо дубровская.
4. JI я в А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935. 474 с .
с ил.
5. М а н д е л ь ш т а м JI. И. Лекции по оптике, теории относительности
и квантовой механики. М., «Наука», 1972. 438 с. с ил.
6. М о л о т о в а Л. В., Ф л и т м а н Л. М. О смещениях в упругой
волне, вызванных пластической волной. —- «Изв. АН СССР. Сер. Физика
Земли», 1965, № 10, с. 57—62 с ил.
7. О б и з у ч е н и и структуры очага взрыва в мягком грунте. — «Изв.
АН СССР. Сер. Физика Земли», 1972, № 12, с. 40—50 с ил. Авг.: Б. И. Васильев, Ю. В. Бондаренко, Л . А. Иванова и др.
8. С а б о д а ш П . Ф . О распространении сферических волн в упругопластической среде. — «Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли», 1966, № 4,
с. 25—35 с ил.
9. D u w a l l W . J . Strain-wave shape in rock near explosion. — «Geophysics», 1953, vd. X V I I I , N 2, p. 310—323 with il.
10. S h a r p e J . The prodaction of elastic waves by explosion pressure. —
«Geophysics», 1942, vol. VII, № 2, p. 144—154 with il.