max

Лекция 9
§11 Условие прочности балки по нормальным напряжениям
Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие
растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном
сечении, то есть в сечении, где М имеет наибольшее значение, не
превосходили соответствующих допускаемых напряжений.
zmax
max
z
Пусть M = Mmax, Z = Zmax ;
Итак, условие прочности при изгибе:
(11.1)
§12 Определение касательных напряжений в балках при изгибе.
Условие прочности балки по касательным напряжениям
В общем случае изгиба (при поперечном изгибе) в поперечных
сечениях балки возникают изгибающие моменты и поперечные силы.
Наличие изгибающего момента связано с возникновением в поперечных
сечениях балки нормальных напряжений, для определения которых можно
пользоваться формулой (28.6).
Наличие поперечной силы связано с возникновением касательных
напряжений в поперечных сечениях балки, а по закону парности касательных
напряжений – и в ее продольных сечениях.
Для определения касательных напряжений рассмотрим в начале балку
прямоугольного сечения. Высота прямоугольного сечения h больше ширины
сечения b.
Для таких балок при вычислении касательных напряжений Д. И.
Журавским была принята следующие гипотезы:
1)
касательные напряжения в поперечных сечениях действуют
параллельно поперечной силе Q;
2)
касательные напряжения постоянны по ширине балки.
M
I
II

M+dM
III
y
0
h
z
III
x
x
dx
l
z
b
z
Выделим из балки элемент длиной dx и шириной, равной ширине b
балки сечениями I, II и III.
' I
II ''
N1
N2
z
T
I
 II
dx
x
Пусть в сечении I-I действует изгибающий момент М, а в сечении
II
M+dM.
Q = const.
Приложим к этому параллепипеду действующие на него нормальные и
касательные напряжения. Пусть
N1 – равнодействующая нормальных напряжений σ';
N2 – равнодействующая нормальных напряжений σ'';
Т – равнодействующая касательных напряжений τ.
T = τ · bdx.
Составим уравнения статического равновесия:
ΣХ= N2 – N1 – T = 0;
статический момент отсеченной площади поперечного
сечения ω относительно нейтральной оси y;
ω – часть площади поперечного сечения, заключенная между краем
сечения и уровнем исследуемых точек.
, согласно диф. зависимости
– формула Журавского
(30.1)
Поясним значения величин, входящих в формулу (30.1):
b – ширина сечения на уровне исследуемых точек;
b

z
z1
, где z1 – координата у.т. площади ω.
y
z
Формула Журавского дает точный результат для балок прямоугольного
поперечного сечения и для балок, элементы, которых состоят из
прямоугольников и параллельны силе Q.
1)
h » b;
прямоугольное сечение:
h/2
max
h/2
z
y
b/2
b/2
z
Тогда
2)
поперечное сечение в форме двутавра:


t
F1
h
z
z2
z1
F2
d
max
b
b » d, поэтому
»
.
Следует подчеркнуть, что по формулам Журавского определяются
касательные напряжения, параллельные поперечной силе, то есть в данном
случае вертикальные.
Анализ точных решений теории упругости показывает, что в
большинстве
случаев
горизонтальные
составляющие
касательных
напряжений невелики.
Максимальное касательное напряжение имеет место в точках
нейтральной оси и определяется по формуле Журавского, при этом следует
брать статический момент заштрихованной площади (полусечения). В
таблицах сортамента приведены значения статического момента площади
полусечения для двутавров и швеллеров.
Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде:
ср
§13 Проверка прочности балки по главным напряжениям
Установлено, что в поперечных сечениях балки действуют нормальные
и касательные напряжения, а в продольных сечениях – только касательные
напряжения.
Рассмотрим часть балки в пределах которой расположены сечения в
которых действуют максимальный изгибающий момент и максимальная
поперечная сила.
Mmax
M Q
III

z
I
max
Qmax
I'
max
II

max
x
Выделим из балки 3 элемента, прочность которых необходимо проверить.
Для проверки прочности элементов I и I’ воспользуемся условием
прочности:
Нормальное напряжение для II элемента равно нулю. Поэтому можно
воспользоваться
условием
прочности
по
наибольшим
касательным
напряжениям:
Однако проверив прочность этих элементов нет никакой уверенности в
том, что балка в целом будет удовлетворять условию прочности. Поэтому
необходимо уметь проверять прочность балки в любой точке.
В любой точке балки нормальные и касательные напряжения можно
определить по формулам:
– нормальное напряжение;
– касательное напряжение.
По граням элемента III действует одновременно касательное и
нормальное напряжения.
Для проверки прочности такого элемента воспользуемся теориями
пластичности.
Определим главные напряжения по формуле (9.4):
В нашем случае σx = σ, σy = 0, τxy = τ
Тогда окончательно формула для определения напряжений примет вид:
По теории наибольших касательных напряжений:
σэкв = σ1 – σ3 ≤ [σ]
По энергетической теории:
В каких же точках балки следует проверять прочность по главным
напряжениям? Необходимо выбирать такие точки, в которых одновременно
и σ, и τ достигают больших значений. Это имеет место при удовлетворении
следующих 2-х условий:
1)
имеют место Mmax и Qmax в одном и том же сечении;
2)
ширина сечения резко меняется вблизи краев.