Применение модели межотраслевого баланса для определения

Федеральное агентство по образованию РФ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Томский политехнический университет
УТВЕРЖДАЮ
Декан АВТФ
_____________С.А. Гайворонский
«___»_________________2010г.
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 6
«Применение модели межотраслевого баланса для определения трудовых ресурсов
и производственных фондов»
по дисциплине
«Экономико-математическое моделирование»
для студентов специальности 061800
«Математические методы в экономике»
Томск 2010
УДК 004.94:658.01
ББК 65.050.03
Экономико-математическое
моделирование.
Методические
указания
к
выполнению лабораторной работы № 6. «Применение модели межотраслевого
баланса для определения трудовых ресурсов и производственных фондов» по
дисциплине «Экономико-математическое моделирование» для студентов
специальности 061800 «Математические методы в экономике». – Томск: Изд. ТПУ,
2010. - 12с.
Составитель – доц. канд. техн. наук Ю. В. Бабушкин
А.Г. Новикова
Резензент – профессор, д.ф.м.н. Коваль Т.В.
Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изучению методическим
семинаром кафедры прикладной математики «___»_________2010г.
Зав. кафедрой
Проф. д-р физ. -мат. наук _________________Григорьев В.П.
Лабораторная работа № 6
Тема. Применение модели межотраслевого баланса для определения трудовых
ресурсов и производственных фондов
Цель работы. Применение модели межотраслевого баланса при
определении потребности трудовых ресурсов и производственных фондов для
достижения заданного объема выпускаемой продукции.
1. Общие теоретические положения
1.1. Использование модели отраслевого баланса при определении трудовых
ресурсов для производства продукции
К числу важнейших аналитических возможностей метода отраслевого
баланса относится определение прямых и полных затрат труда на единицу
продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей.
Исходной моделью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в
натуральном выражении. В этом балансе по строкам представлено распределение
каждого отдельного продукта на производство других продуктов и конечное
потребление (первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса).
Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда в производстве всех
видов продукции. Предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах
труда одинаковой степени сложности.
Пусть затраты живого труда в производстве j-го производства L j , а объем
производства этого продукта X j . Тогда прямые затраты труда на единицу j-го вида
продукции называются коэффициентами прямой трудоемкости t j и
определяются по формуле
tj 
Lj
Xj
,
j=1,n .
(1)
К полным затратам труда относят сумму прямых затрат живого труда и затрат
овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства
производства. Пусть величина полных затрат труда на единицу продукции j-го
вида Tj, тогда произведения вида aij Ti отражают затраты овеществленного труда,
перенесенного на единицу j-го продукта через i-е средство производства. При этом
предполагается, что коэффициенты прямых материальных затрат a ij
выражены в натуральных единицах. Тогда полные трудовые затраты на единицу jго вида продукции (коэффициент полной трудоемкости T j ) будут равны
n
T j   aij Ti  t j ,
j=1,n .
(2)
i 1
Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости
t = ( t1 , t 2 ,...,t n ) и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости
T  (T1 , T2 ,...,Tn ) .
Тогда с использованием матрицы коэффициентов прямых материальных
затрат А систему уравнений (2) можно переписать в матричном виде
(3)
T T * At
Отсюда
(4)
T  t *B,
-1
где В = (Е-А) – матрица коэффициентов полных материальных затрат.
Пусть L величина совокупных затрат живого труда по всем видам продукции,
которая с учетом формулы (1) будет равна
n
n
j 1
j 1
L   L j   t j X j  tX .
(5)
Используя соотношения (5), (4) и выражение X=B*Y, получим следующее
равенство
(6)
tX  TY ,
где t и T – вектор-строка коэффициентов прямой и полной трудоемкости, а X и Y –
вектор-столбцы валовой и конечной продукции соответственно.
Соотношение (6) представляет собой основное балансовое равенство в
теории межотраслевого баланса труда.
В данном случае его экономическое содержание заключается в том, что
стоимость конечной продукции, оцененной по полным затратам труда, равна
совокупным затратам живого труда.
На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть
разработаны межотраслевые и межпродуктовые балансы затрат труда и
использования трудовых ресурсов. Схематически эти балансы строятся по общему
типу матричных моделей, однако все показатели в них выражены в трудовых
измерителях.
1.2. Использование модели отраслевого баланса при определении
производственных фондов для производства продукции
Развитие основной модели межотраслевого баланса достигается путем
включения в нее показателей фондоемкости продукции.
В простейшем случае модель межотраслевого баланса дополняется
отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном выражении объемы
производственных фондов Ф j , занятые в каждой j-й отрасли. На основании этих
данных и объемов валовой продукции всех отраслей определяются коэффициенты
прямой фондоемкости продукции j-й отрасли
fj 
Фj
Xj
,
j= 1,n .
(7)
fi
Коэффициент прямой фондоемкости
показывает величину
производственных фондов, непосредственно занятых в производстве данной
отрасли, в расчете на единицу ее валовой продукции.
В отличие от этого показателя коэффициент полной фондоемкости Fj
отражает объем фондов, необходимых во всех отраслях для выпуска единицы
конечной продукции j-й отрасли.
Если a ij - коэффициент прямых материальных затрат, то для коэффициента
полной фондоемкости справедливо равенство
n
F j   aij Fi  f j ,
j=1,n .
(8)
i 1
Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой
фондоемкости f=(f1, f2,…, fn) и вектор-строку коэффициентов полной фондоемкости
F=(F1,F2,…,Fn), то систему уравнений (2) можно переписать в матричной форме
F=F*A+f
(9)
откуда с помощью определенных преобразований, можно получить матричное
соотношение
F=f*B,
(10)
где B=(E-A)-1 – матрица коэффициентов полных материальных затрат.
Для более глубокого анализа необходимо дифференцировать фонды на
основные и оборотные, а в пределах основных – на здания, сооружения,
производственное оборудование, транспортные средства и т.д.
Пусть в целом все производственные фонды разделены на m групп.
Тогда характеристика занятых в народном хозяйстве фондов задается матрицей
показателей Фkj, отражающих объем фондов k-ой группы, занятых в j-й отрасли
 Ф11 Ф12 ... Ф1n 
Ф

 21 Ф22 ... Ф2 n 
(Фkj )  
(11)

.
.
.
.


Фm1 Фm 2 ... Фmn 
Коэффициенты прямой фондоемкости также образуют матрицу размерности
m*n, элементы которой определяют величину производственных фондов k-ой
группы, непосредственно используемых при производстве единицы продукции j-и
отрасли
Fkj 
Фkj
Xj
(12)
.
Для каждой j-й отрасли могут быть вычислены коэффициенты полной
фондоемкости Fkj , отражающие полную потребность в фондах k-й группы для
выпуска единицы конечной продукции этой отрасли
n
Fkj   aij Fkj  f kj ;
k  1, m ;
j  1, n .
(13)
j 1
Решение систем данных уравнений позволяет представить коэффициенты
полной фондоемкости по каждой из m групп фондов как функцию коэффициентов
прямой фондоемкости
n
Fkj   bij f kj ;
k  1, m ;
j  1, n .
(14)
i 1
В этих формулах величины aij и bij прямых и полных материальных затрат.
уже известные коэффициенты
Коэффициенты фондоемкости в межотраслевом балансе позволяют
увязать планируемый выпуск продукции с имеющимися производственными
мощностями.
Так, потребность в функционирующих фондах k-й группы для достижения
заданного объема материального производства X j по всем отраслям задается
формулой
n
Фk   f kj X j ;
k  1, m .
(15)
j 1
3. Контрольный пример
Пусть даны коэффициенты прямых материальных затрат aij , конечный
планируемый продукт Y j , трудовые ресурсы L j и стоимости производственных
фондов Ф j для двух отраслей (см табл. 1).
Коэффициенты прямых материальных затрат
Производящие
Потребляющие отрасли
Конечный
отрасли
продукт Y j
1
2
1
2
Трудовые
ресурсы L j
a11  0.2
a21  0.3
L1  150
a12  0.4
a22  0.5
L2  170
Фонды Ф j
Ф1  50
Ф2  70
Таблица 1
Трудовые
Фонды
ресурсы L j
Фj
Y1  15
Y2  35
150
170
50
70
Требуется определить потребности в трудовых ресурсах и фондах для
достижения планируемого выпуска продукции. Результаты представить в виде
межотраслевых балансов материальных затрат, затрат труда и производственных
фондов.
Решение задачи состоит из следующих этапов.
1. Определяем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В=(E-A)-1
1 0  0.2 0.4   0.8 0.4 
( E  A)  
   0.3 0.5    0.3 0.5 
0
1

 
 

( E  A) 
( E  A)''
EA
E  A  0.8*0.5  0.3*0.4  0.28
 0.8 0.3 0.5 0.4 
 '   0.3 0.8

0.4
0.5

 

 E  A ''    E  A  '  
t
1.786 1.429 
B

1.071 2.857 
2. Находим валовую продукцию отраслей по формуле X = B*Y
1.786 1.429  15   76.805 
X  B *Y  
   

 1.071 2.857  35   116.06 
3. Находим коэффициенты прямой трудоемкости и фондоемкости продукции
отраслей по формулам (1, 7)
t1 
L1
150

 1.953,
X 1 76.805
L2
170

 1.465,
X 2 116.06
Ф
50
f1  1 
 0.651,
X 1 76.805
t2 
Ф2
70

 0.603.
X 2 116.06
4. Находим коэффициенты полной трудоемкости и фондоемкости по формулам (4,
10)
f2 
1.786 1.429 
T  T1 * T2  1.953 1.465  
   5.057 6.976  ,
1.071
2.857


1.786 1.429 
F  F1 * F2   0.651 0.603 
  1.809 2.653 .
 1.071 2.857 
Таким образом, коэффициент трудоемкости первой отрасли равен T1  5.057 , а
второй – T2  6.976 , а коэффициент фондоемкости первой отрасли равен F1  1.809 ,
а второй – F2  2.653 .
5. Находим потребность в трудовых ресурсах и функционирующих фондах для
достижения заданного объема материального производства по формулам (5, 15)
T  t1 X 1  t2 X 2  1.953* 76.805  1.465 *116.06   320.03,
Ф  f1 X 1  f 2 X 2   0.651* 76.805  0.603*116.06   119.98.
Неточность определения трудоемкости и стоимости необходимых фондов
связана с ошибками округления при проведении расчетов.
6. Для восстановления схемы межотраслевого материального баланса
воспользуемся формулой xij  aij X ij
 0.2 0.4  76.805   15.361 46.424 
xij  



 0.3 0.5  116.06   23.042 58.030 
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
Таблица 2
Потребляющие отрасли
Конечный
Валовый
Фонды
Производящие
продукт Y j продукт X j
Фj
отрасли
1
2
1
15.361
46.424
15
76.805
50
2
23.042
58.030
35
116.06
70
Условно
чистая
38.405
11.61
50
продукция
Валовая
76.805
116.06
192.865
продукция
Фонды
50
70
7. Умножая первую и вторую строки первого и второго квадрантов
межотраслевого материального баланса на соответствующие коэффициенты
прямой трудоемкости, получим схему межотраслевого баланса затрат труда.
 15.361 46.424 15 76.805  1.953   30.000 90.666 29.295 150.000 
 23.042 58.030 35 116.06 1.465    33.756 85.014 51.275 170.028 


 

Отрасль
Межотраслевой баланс затрат труда
Таблица 3
Потребляющие отрасли
Затраты
Затраты
Фонды
труда на Y j труда на X j
Фj
1
2
1
30.000
90.666
29.295
150.000
50
2
33.756
85.014
51.275
170.028
70
8. Умножая первую и вторую строки первого и второго квадрантов
межотраслевого материального баланса, на соответствующие коэффициенты
прямой фондоемкости, получим схему межотраслевого баланса фондов.
{15.361 46.424
{23.042 58.030
15
35
76.805} {0.651} = (10.000 30.222 9.765 50.000)
116.060} {0.603} = (13.894 34.992 21.105 69.984)
Межотраслевой баланс производственных фондов
Таблица 4
Отрасль
Потребляющие отрасли
Фонды на Фонды на
Фонды
Yj
Xj
Фj
1
2
1
2
10.000
13.894
30.222
34.992
9.765
21.105
50.000
69.984
50
70
Неточность полученных результатов в табл. 2-4 связана с округлением
промежуточных расчетов.
4. Исходные данные
Исходные данные представлены в таблицах 5-7.
Номер
варианта
i
j
1
2
3
4
5
6
Таблица 5
7
8
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
9
3
3
Таблица 6
Отрасль
1
2
3
Коэффициенты
прямых затрат
1
2
3
0.2
0.3
0.4
0.3
0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
Продукция
Фонды
X1 j
X2 j
X3 j
X4 j
X5 j
Ф1 j Ф2 j Ф3 j Ф4 j Ф5 j Ф6 j
20
30
40
50
40
20
40
50
30
20
50
30
60
20
30
80
90
70
20
15
25
90
70
80
15
10
20
70
90
80
10
20
15
Таблица 7
Отрасль
1
2
3
Коэффициенты
прямых затрат
1
2
3
0.2
0.3
0.4
0.3
0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
Продукция
Трудовые ресурсы
T1 j
T1j T1j T1j T1j T1j
X1 j
X2 j
X3 j
X4 j
X5 j
20
30
40
50
40
20
40
50
30
20
50
30
60 280 320 190 315 370 410
20 390 415 270 210 290 320
30 270 325 380 120 480 215
В таблицах приняты следующие обозначения:
X lj – l – номер варианта лабораторной работы; j – номер отрасли;
Фrj – r – номер фонда (например r=1,3,5 - основные фонды отраслей, r=2,4,6 –
оборотные фонды отраслей); j – номер отрасли;
Trj – r – номер трудовых ресурсов j-ой отрасли.
5. Задание на лабораторную работу
4.1. Восстановить схему межотраслевого материального баланса.
4.2. Найти потребность в трудовых ресурсах для достижения заданного объема
материального производства.
4.3. Найти потребность в функционирующих основных и оборотных фондах
отраслей для достижения заданного объема материального производства.
4.4. Провести исследование влияния коэффициента прямых затрат aij на
потребность в трудовых ресурсах и функционирующих фондах.
6. Порядок выполнения лабораторной работы
5.1. Составить алгоритм определения потребности в трудовых ресурсах и
функционирующих фондах для достижения заданного объема материального
производства.
5.2. По составленному алгоритму восстановить схему межотраслевого
материального баланса.
5.3. Определить потребность в трудовых ресурсах и функционирующих фондах
для достижения заданного объема материального производства.
5.4. Составить межотраслевой баланс затрат труда и использования фондов для
производства заданного объема продукции.
5.5. Реализовать алгоритм решения задачи на ПЭВМ в виде программы.
5.6. Провести тестирование программы и сравнить результаты с ручным счетом.
5.7. Провести исследование влияния заданного коэффициента прямых затрат на
потребность в затратах труда и в функционирующих фондах.
5.8. Построить зависимости потребности в затратах труда и функционирующих
фондов от коэффициента прямых затрат.
5.9. Сделать анализ полученных результатов.
7. Контрольные вопросы
7.1. Раскройте экономический смысл коэффициентов прямой и полной
трудоемкости
и дайте описание экономико-математической модели
межотраслевого баланса затрат труда.
7.2. В чем заключается экономическое содержание коэффициентов прямой и
полной
фондоемкости?
7.3. Пояснить порядок расчета коэффициентов прямой и полной фондоемкости на
основе экономико-математической модели межотраслевого баланса.
7.4. Каким образом определяется потребность в функционирующих фондах для
производства заданного объема продукции?
7.5. Каким образом можно восстановить схему межотраслевого материального
баланса?
8. Требования к отчету
Отчет должен содержать цель работы, постановку задачи, алгоритм решения
задачи, исходные данные, контрольный расчет, программу, результаты
исследований и ответы на контрольные вопросы.
Литература
1. Федосеев В.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные
модели. М. 1999.
2. Бабушкин Ю.В., Новикова А.Г. Разработка программно-алгоритмического
обеспечения рабочего места математика-экономиста. Молодежь и современные
информационные технологии. Труды конференции. Томск, изд. ТПУ, 2004 г. С.
139.
Применение модели межотраслевого баланса для определения трудовых ресурсов
и производственных фондов
Методические указания
по выполнению лабораторной работы
Составители: Бабушкин Юрий Владимирович
Новикова Анастасия Геннадьевна
Подписано к печати
Формат 60  84/16. Бумага офсетная.
Плоская печать. Усл. печ. л.
. Уч.-изд.л.
.
Тираж 150 экз. Заказ
. Цена свободная.
ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ № 1 от 18.07.94.
Типография ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.