Задания для подготовки к экзамену 1 курс 1 семестр

advertisement
Задания для подготовки к экзамену
По математике для 1 курса
Тема: Вычисление производной функции.
Задание 1.
Применяя формулы вычисления производной вычислить производные следующих
функций:
1
́ − 3);
1.1 у = (2
1.2  = (3 + 2);
1.3  = (−2 + 3);

1.5 у = 15 ;
1.6  =  −4
1
1.8 y=2 4 ;
1.9 y=2 −3;
1.4  = (3 + 4)
1.7  = 7  7 ;
1
3
5
1.10 y= ;
1.11 y= 6 ;
1.12 y= 3 ;



Задание 2: Найдите производные функций, применяя первое правило
дифференцирования: ( ± )′ = ′ ± ′
1) () =  − 0,5  8 +  3
1
2) f(x) =2 −  2 +3  3 ;
1
3) () = 5  5 − 3√ + 3;
4) () =  + ;
5) () =  − 3 + 0,1;
Задание 3: Найдите производные функций, применяя второе правило
дифференцирования: ( ∙ )′ = ′ ∙  +  ∙ ′
1) () =  3  .
2) () =   ∙ ;
3) () =  ∙ ( − 2);
4) () =   ∙ ( 5 − 5);
5) () = (3 − 2) ∙ 6.
Задание 4: Найдите производные функций, применяя третье правило

дифференцирования: () ′ =
1) () =
2) () =
 2 +2
−1
2−1
2

′ ∙−∙′

;
;
3) () = 2+1 ;

4) () = 3+1 ;
2+1
5) () =
;

Задание 5: Найдите производные сложных функций.
1) () = √5 + 2;
2) () = (2 − 3)6 ;
3) () =  (4 + );
4) () = (6 − 1) ∙ 6.
3 
5) () = x2 .
Задания для самоконтроля: Найдите производные функций
1) () = 2 4 −  + 4;
2) () = 2 ∙   ;
1
3+2
3) () =  3 ;
4) () = (3 + 2)5 ;
5) () = (5 − 2) ∙ 5.
Найти значения обратных тригонометрических функций:
1
√3
; arccos ( ) ;
2
2
√3
arc + arctg√3;
2
√2
1. arcsin
2.
3. arcsin
− arcctg(−√3);
2
√2
);
2
√3
4. arccos(−
arcsin (−
√3
);
2
5. arccos ( ) ;
2
6.  (−
1. cosx =
2.  −
√3
;
2
1
√3
1
);
√3
Решить уравнения:
= 0;
3. 2 = √2;

4. 2 (2 + ) − 1 = 0;
3
5. 2  +  = 0
√3
;
2
6. sinx =
7.  = −
1
√3
;
8. 32 − 3 = 0;

9. tg ( − ) = 1;
4
2
10.с  − 2с = 0
11.cosx =
12. −
√3
;
2
1
√3
= 0;
13.2 = √2;

14.2 (2 + ) − 1 = 0;
3
15.sinx =
16. =
√2
;
2
1
;
√3
17.22 − 2 = 0;

1
18.cos ( − ) = ;
3
√3
− ;
3
2
19.ctgx =
20.2 − 1 = 0
2
21.4 = 0;

22.4 ( + ) − 2√3 = 0
3

23. −
2
√3
2
= 0;
Решить неравенство методом интервалов:
 (2х − 1)(х + 3)(2х + 4) > 0

(2x−4)(x+2)
3x−1
≤0
 (х − 1)(х + 2)(х − 4) < 0
 x 2 + 4x − 5 ≥ 0
Применение производной функции.
Задание 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции () =
1
(3 − 1)5 в точке с абсциссой х 0 = 1 .
5
Задание 2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=
1 4
 − 2 2 +3 в точке с абсциссой х 0 = 3 .
4
Задание 3. Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x)=  3 +3 2 - 2 в точке с абсциссой х 0 = - 2 .
Задание 4. Тело движется по закону () = 2 2 − 3 − 3. Найдите скорость и
ускорение в момент времени t, в какой момент времени тело остановится. Чему
равно ускорение в момент времени 2 с.?
Задание 5. Тело движется по закону () = sin 3. Найдите скорость тела в момент

времени t= 3 .
Задание 6. 1) Дана функция: () =
1
 2 +1

4
. Найдите ее критические точки.
2) Дана функция: () = 4  −  2 + 3. Найдите ее критические точки.
Задание 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1. () = 0,5 4 −  2 .
2. () = √3 − 2.
3.
Задание 8. Найдите точки экстремума функции:
1. () =  2 − 4;
2. () = 4 −  2 − ;
3.  = 3 −  3 + 3.
3
Задания для самоконтроля.
1. Найти угловой коэффициент касательной проведенной к кривой  = √ − 2+3 3 в
точке касания М(1;1).
2. Составить уравнение касательной проведенной к кривой  =  3 − 2 + 3 в точке с
абсциссой 0 = 2.
3
3. Найти тангенс угла наклона касательной проведенной к кривой  = 3 в точке с
абсциссой 0 = 0.1
4. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2 3 +  2 − 5. Найти скорость в
момент времени  = 2. В какой момент времени тело остановится.
5. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= 3 4 + 4 3 − 1. Найти ускорение в
момент времени  = 1.
6. Найдите точки экстремума функции  = 3 −  3 + 3.
Задание. Исследовать функцию и построить график
1.  =  3 − ;
2.
 =  2 − 5 − 6;
3.
 =  2 − 2 + 1;
4.  =  +  3 ;
5.  =  2 − 2;
6.
 =  2 + 3 − 2;
7.  = 3 − 2 2 ;
8.  =  3 − 8;
9.  = 4 2 + 2 − 2;
10.  =  3 + 2 2 ;
4
Скачать