Высокочастотные гауссовы пучки в холодной плазме в

УДК 517.958
Высокочастотные гауссовы пучки в холодной плазме в
торической области.
А.И. Клевин1
1
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Аннотация
Рассматривается линейная система уравнений, описывающих холодную плазму в
торической области в трехмерном пространстве. Эта система, моделирующая прохождение лазерного пучка через камеру ТОКАМАКА, состоит из 9-ти дифференциальных уравнений в частных производных для электрического поля и скоростей
электронов и ионов в заданном магнитное поле. С помощью теории комплексного
ростка Маслова в достаточно эффективной форме построены асимптотические решения, описывающие гауссовы высокочастотные пучки. Решения локализованы в
окрестности луча, проходящего через торическую область (камеру). Уравнения для
луча учитывают плотность частиц в камере и не «чувствуют» наличия магнитного поля ввиду высокой частоты гауссова пучка; зависимость от магнитного поля
содержится в векторе амплитуды электрического поля. Перед камерой ТОКАМАКА вектор амплитуды гауссова пучка такой же, как в свободном пространстве, но
после камеры вектор амплитуды поворачивается под воздействием магнитного поля, причем формулы для угла поворота оказываются достаточно явными. На основе
асимптотических решений составлен аналитико-численный алгоритм, позволяющий
анализировать параметров магнитного поля в ТОКАМАКе. Эта работа выполнена
совместно с С.Ю. Доброхотовым, А.Кардинали (A.Cardinali) и Б.Тироцци (B.Tirozzi).
1
Основные уравнения
Линейная система уравнений, описывающая электрическое поле E в холодной электронейтральной плазме состоящей из движущихся в области D ⊂ R3 со скоростями
ve , vp
Nowak,Cairns
электронов и ионов c зарядами qe , qp и массами me , mp , имеет следущий вид (см.[1, 2])
dve
dt
dvp
dt
≡
≡
∂2E
+ c2 ∇ ∧ ∇ ∧ E + ∂J
∂t = 0,
∂t2
qe
∂ve
1
∂t + hve , ∇ive = me (E + c ve ∧ B),
∂vp
qp
1
∂t + hvp , ∇ivp = mp (E + c vp ∧ B),
(1.1)
J = nqe ve + nqp vp .
Здесь J-ток, n = n(x)-плотность электронов и ионов, B = B(x)- заданное магнитное
поле, ∧-векторное произведение, c-скорость света. Считая, что скорости электронов и
1
eq:wave
ионов не велики, линеаризуем эту систему и исключим из рассмотрения ток J. В результате получим следующую линейную систему из 9 уравнений для трехмерных векторов
E, ve , vp :
2
nqp2
∂2E
1
1
e
+ c2 ∇ ∧ ∇ ∧ E + nq
me (E + c ve ∧ B) + mp (E + c vp ∧ B) =
∂t2
∂vp
qp
qe
∂ve
1
1
∂t − me (E + c ve ∧ B) = 0,
∂t − mp (E + c vp ∧ B) = 0.
0,
(1.2)
Эту систему будем рассматривать в окрестности D тора (точнее полнотория) T, который
в торических координатах r, ϕ, θ:
x1 = (R0 + r cos θ) cos ϕ,
x2 = (R0 + r cos θ) sin ϕ,
x3 = r sin θ,
задан неравенствами
T = {0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π,
0 ≤ ϕ ≤ 2π}.
Здесь R0 , a -большой и малый радиусы тора. Под окрестностью D тора T будем понимать
куб |xj | ≤ 2(R0 + a), j = 1, 2, 3.
Считаем, что вне тора T магнитное поле B и плотность частиц n равны нулю, а
внутри тора T магнитное поле и плотность частиц заданы уравнениями
B = Bθ eθ + Bφ eφ = (−Bθ r sin θ cos φ − Bφ (R0 + r cos θ) sin φ)e1 +
(−Bθ r sin θ sin φ + Bφ (R0 + r cos θ) cos φ)e2 + Bθ r cos θe3 ,


 
0
Br
B


ra2
 Bθ  =
 R0 (a2 +2r2 )  ,
r
1 + R0 cos θ
Bφ
1
r 2 2
n = N 1 − 0.2 × 10−2
.
a
При анализе конкретных волновых процессов имеем следующие числовые значения
параметров в системе СГСE:
qe = −qp = −4.80 × 10−10 ед. СГСЕ,
me = 9.107208 × 10−28 г,
c = 2.997 × 1010 см/с,
mp = 1.672622 × 10−24 г,
B = 3.4 × 104 Гс N = 5 × 1013 см−3
Нам также понадобятся следущие числа (параметры) и функции
Ωe = −
q B
= 6 × 1011
c me
(характерная циклотронная частота электронов),
Ωp =
q B
me
= −Ωe
,
c mp
mp
q2
n(r) = 34.8 × 108 см3 · n(r),
me
q2
ωp2 = 4π
n(r) = 1.895 × 106 см3 · n(r),
mp
1
1
2
ωpl
= ωe2 + ωp2 = 4πq 2 (
+
)n(r) = 34.8 × 108 см3 · n(r) (плазменная частота).
me mp
ωe2 = 4π
2
eq:wave1
eq:wave1
Цель нашей работы- построение некоторых специальных решений системы (1.2), локализованных в окрестности некоторых кривых (лучей) и описывающих высокочастотные
гауссовы пучки проходящие через тор D (камеру ТОКАМАКА). Если под этими пучками понимать лазерные лучи, то физический смысл построенных ниже решений состоит
в следущем: перед камерой ТОКАМАКА вектор электрического поля (пучка) такой же,
как в свободном пространстве, но при прохождении камеры луч, вообще говоря, искривлятся и вектор электрического поля поворачивается под воздействием магнитного поля,
и при выходе из камеры вектор электрического поля (пучка) становится не таким, как
если бы он распространялся в свободной пространстве. Ниже мы приведем соответветствующе формулы, описывающие такие изменения.
Рис. 1: Пример поворота вектора электрического поля (фиолетовый)
2
fig:pic1
Параметры и уравнения в безразмерных величинах
Пусть L ≈ 4(R0 + a) - характерный размер задачи, T = L/c - характерное время задачи,
ω = 2πc/λ, λ - характерная частота и длина волны пучка соответственно, E - характерная
напряженность электрического поля, B - характерная напряженность магнитного поля.
Если большой радиус ТОКАМАКА равен 90 см, то положим L = 500 см.
Введем безразмерные переменные x0 , t0 , E0 , B0 , u, положив
x = Lx0 ,
t = T t0 , E = EE0 , B = BB0 ,
Ωp c E
Ωe c E
ve =
U e , vp =
Up .
ω B
ω B
Введем параметр
h=
c
λ
1
=
=
Lω
2πL
Tω
3
(2.1)
(2.2)
ChVar
и предположим, что этот параметр мал. Мотивация введения параметра h заключается
в следующем. В стационарном случае мы представляем электрическое поле в виде
t0
ω
E = e−iωt Ẽ = e−i T T t Ẽ = e−i h Ẽ
(2.3)
sta
eq:wave1
Разделим первое уравнение
из (1.2) на ω 2 , второе и третье на ω и перейдем к новым
eq:wave1
переменным. Система (1.2) в новых переменных будет иметь вид (штрихи над новыми
переменными писать не будем):
ω2
2
2
Ωp ω 2
Ωe ωe
p
pl
2
h2 ∂∂tE
2 + h ∇ ∧ ∇ ∧ E + ω 2 E + ω 3 Ue ∧ B + ω 3 Up ∧ B = 0,
∂U
Ω
p
p
Ωe
e
h ∂U
h ∂t − (E + ω Up ∧ B) = 0,
∂t − (E + ω Ue ∧ B) = 0,
(2.4)
eq:wave1b
Система рассматривается в окрестности D тора Tв R3 . Мы будем изучать такие волΩc ω 2
новые процессы, что ω3pl ≤ const h. Это означает, что влияние магнитного поля содержится в амплитуде, но не в фазе векторного поля E.
2.1
Квазиклассическая форма системы уравнений и асимптотический
алгоритм построения гауссовых пучков
Существует много подходов для построения асимптотических решений, описывающих
гауссовы пучки в неоднородных средах. Для построения интересующих нас асимптотичеMaslovWKB,MasFed,BDT, BelDobr
ских решений мы будем используем формулы
и
утверждения
из
общей
теории
[3,
4, 5, 6].
eq:wave1b
Для этого этого представим систему
(2.4) в “стандартном виде”, формально сохранив
eq:wave1
первоначальную форму системы (1.2). Это позволит легко перейти к первоначальным
переменным, положив в конечных формулах h = 1. Введем обозначения
ω̃e2 =
ωe2
,
ω2
ω̃p2 =
ωp2
,
ω2
Ω̃e =
Ωe
Ωc
=
,
ω
ω
Ω̃p =
Ωp ωp2
Ωp
Ωe ωe2
, µe =
,
µ
=
p
ω
hω 3
hω 3
(2.5)
const
eq:wave1b
и введем новую переменную W = −ih ∂E
(2.4). Чтобы упростить запись опу∂t в системуeq:wave1b
стим знак “волны” над ωe2 , ωp2 , Ωe , Ωp и представим (2.4) в виде
ih ∂E
∂t = −W
2 E + hµ B ∧ U + hµ B ∧ U ,
ih ∂W
=
(−ih∇)
∧
(−ih∇)
∧
E
− ωpl
e
e
p
p
∂t
∂Up
∂Ue
ih ∂t = iΩe (E + Ue ∧ B), ih ∂t = iΩp (E + Up ∧ B).
(2.6)
eq:wave3
Введем неизвестную функцию вектор-столбец Ψ = (E, W, U1 , U2 )T с 12 компонентами,
вектор-столбец p с компонентами (p1 , p2 , p3 ), вектор-оператор p̂ = −ih∇ и представим последнее уравнение в форме ih ∂Ψ
∂t = H0 (x, p̂)Ψ+hH1 (x)Ψ, где матрицы H(x, p), H0 (x, p), H1 (x)
действуют следующим образом. Представляем вектор-столбец Ψ с 12 компонентами как
(ΨE , ΨW , ΨU1 , ΨU2 )T , где трехмерные вектор-столбцы ΨE , ΨW , ΨU1 , ΨU2 соответствует E, W, U1 , U2
соответственно. Тогда




−ΨW
0
2 ΨE 
U1
U2 
 p ∧ p ∧ ΨE − ωpl

 , H1 (x)Ψ = µe B ∧ Ψ + µp B ∧ Ψ  . (2.7) Hdef1
H0 (x, p)Ψ = 
E
U
iΩe (Ψ − hB ∧ Ψ 1 )


0
U
2
0
iΩp (E + hB ∧ Ψ )
4
Соответственно

−W
2E
 p̂ ∧ p̂ ∧ E − ωpl

H0 (x, p̂)Ψ = 
iΩe (E − B ∧ Ue ), ,
iΩp (E − B ∧ Up )


0
µe B ∧ Ue + µp B ∧ Up 
.
H1 (x)Ψ = 


0
0

(2.8)
plasma1
Теперь для построения интересующих нас асимптотических
решений мы можем испольMaslovWKB,MasFed,BelDobr,BDT
зовать стандартные рассуждения и формулы из [3, 4, 6, 5]. Алгоритм их построения
состоит из следующих шагов.
1) Сначала нужно построить собственные значения матрицы H0 (x, p) и сопряженной
матрицы H0∗ (x, p) и соответствующие им собственные векторы. Проведенные вычисления
показывают, что собственных значений у матрицы H0 (x, p) девять
q штук, три из них дву-
2 , которое отвечакратно вырождены. Нас интересует собственное значение H = p2 + ωpl
ет за пучки, имеющие ненулевую компоненту электрического поля в свободном пространстве. Это значение двукратно вырождено, ему соответствуют два линейно-независимых
собственных вектора χ1,2 (x, p) матрицы H0 (x, p), и два линейно-независимых собственных вектора χ∗1,2 (x, p) матрицы H0∗ (x, p). Выбор этих векторов не однозначен, их следует
выбрать по крайней мере так, чтобы скалярные произведения (χ∗j (x, p), χk (x, p) = δj,k .
Эти вектора определяются довольно громоздкими выражениями, нам понадобятся только E− компоненты векторов χ1,2 (x, p). Они определяются как единичные векторы p⊥
1 и
⊥
p2 образующие вместе с вектором p/|p| правоориетированный ортонормированный базис
⊥
p⊥
1 , p2 , p/|p|.
2)Теперь нужно построить кривую Γ в фазовом пространстве R6p,x - траекторию гаq
2 , выпущенную c единичным иммильтоновой системы с гамильтонианом H = p2 + ωpl
пульсом k из некоторой точки x0 , лежащей вне тора T3 − камеры ТОКАМАКА. Проекция
этой кривой γ в конфигурационное пространство R3 даст кривую (луч), в окрестности
которого будет сосредоточен гауссов пучок.
3)Далее нужно построить 3×3 матричные комплексные решения B, C решения системы в вариациях (линейной гамильтоновой системы), которые определяют комплексную
фазу гауссова пучка, его затухание и т.д.
4)Наконец нужно найти подходящие решения заданного на траектории Γ векторного
уравнения переноса (системы обыкновенных дифференциальных уравнений) для векторной амплитуды A c компонентами (A1 , A2 )
dA 1 ∂2H + iL − tr
E A = 0,
dt
2 ∂x∂p
где E - 2 × 2 единичная матрица, 2 × 2 матрица L равна


n X
dχ
∂H0 ∂H ∂χ 
L = (χ∗ , H1 χ) − i χ∗ ,
− i χ∗ ,
−
,
dt
∂pj
∂pj ∂xj
(2.9)
j=1
где нужно положить H =
q
L1
2 , χ = (χ , χ ), χ∗ = (χ∗ , χ∗ ). Формула (2.9) дает
p2 + ωpl
1
2
1
2
⊥
2 × 2 матрицу L± . Напомним, что векторы p⊥
1 , p2 , p образуют право-ориентированный
5
L1
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
ортогональный базис: hp⊥
1 , p2 i = hp1 , pi = hp2 , pi = 0, p1 ∧ p2 =
1
κ=
2h
ν=
Ωp ωp2
Ωe ωe2
+
2 − Ω2 B2
2 − Ω2 B2
p2 + ωpl
p2 + ωpl
e
p
1
q
2
2h p2 + ωpl
где, напомним, Ωe,p =
дают
qe,p
ωme,p ,
2 =
ωe,p
p
|p| .
Введем обозначения
!
,
Ω2p ωp2
Ω2e ωe2
+
2 − Ω2 B2
2 − Ω2 B2
p2 + ωpl
p2 + ωpl
e
p
2
ne,p qe,p
cω 2 me,p
!
,
2 = ω 2 + ω 2 . Соответствующие вычисления
и ωpl
e
p
1 ∂ 2 H±
E=
iL − tr
2 ∂x∂p
!
!
⊥
p
2 − B2
⊥ ihB, p⊥ i
⊥ , dp1 i
−iν hB, p⊥
i
κh
,
Bi
−
iνhB,
p
0
hp
1
1
|p|
2
dt
2
+
=
p
⊥i
⊥ i2 − B2
dp⊥
⊥
1
, Bi − iνhB, p⊥
ihB,
p
−ihν
hB,
p
−κh |p|
1
2
2
−hp2 , dt i
0
p
⊥ 0 1
⊥ dp1
i
+ O(h).
(2.10) Lpm
κh , Bi + hp2 ,
−1 0
|p|
dt
Считая
сать
qe,p
ωme,p
малыми выражениями и учитывая неравенство me mp , мы можем напи2
Ωc ωpl
2
Ωc ωpl
≈
,
κ≈
2 − Ω2
2
2|B| p2 + ωpl
2|B| p2 + ωpl
c
Ωc = −
q|B|
,
me
пренебречь слагаемыми содержащими ν и записать уравнение для векторной амплитуды
A± в виде:
⊥ dA p
0 −1
⊥ dp1
A.
(2.11)
= κh , Bi + hp2 ,
i
1 0
dt
|p|
dt
treq2
5) В силу принципа Мапертюи-Якоби траектории гамильтоновой системы и матричные решения уравнения в вариациях можно выразить с помощью линейной замены времени через траектории гамильтоновой системы и уравнения в вариациях отвечающие
2 , что позволяет несколько упростить вычисления.
гамильтониану H = p2 + ωpl
Реализация шагов 1)-5) и переход к исходным размерным переменным приводит к
приводимым ниже формулам для гауссовых пучков.
3
Гауссовы волновые пучки
Под гаусовыми пучками мы понимаем стационарные решения Ψ = e−iωt Ψ0 (x) исходной
сиcтемы, локализованные в окрестности некоторой кривой (луча) γ(k, x0 ) в R3 . Зафиксируем точку x0 вне тора T3 и импульс k, такой, что ω = c|k|. Обозначим Γ(k, x0 ) = {p =
P (τ ), x = X(τ )} траектории гамильтоной системы в 6-и мерном фазовом пространстве
2
R6p,x , заданной (в размерных переменных) гамильтонианом H = c2 p2 + ωpl
2
∂ωpl
dp
=−
,
dτ
∂x
dx
= 2c2 p,
dτ
6
p|τ =0 ,
x|τ =0 = x0 .
(3.1)
MH
Проекция γ(k, x0 ) = {x = X(τ )} траектории Γ(k, x0 ) в конфигурационное пространство
и есть кривая (луч), в окрестности которого локализован гауссов пучок.
Пусть b – комплексный параметр с положительной мнимой частью, m1 , m2 – 3-мерные
k
единичные ортогональные векторы, такие, что m1 ∧ m2 = |k|
и M – матрица, состоящая
1
2
из вектор столбцов m1 ,m2 : M = (m , m ) (выбор M не однозначен). Построим 3 × 3
матрицы B(τ ) и C(τ ) – компоненты матричнoго решение задачи Коши для системы в
вариациях
2
∂ 2 ωpl
dB
=−
C,
dτ
∂x2
dC
= 2c2 B,
dτ
B|τ =0 = bM M T ,
C|τ =0 = E,
где E – 3 × 3 единичная матрица. Матрицы B(τ ), C(τ ) зависят также от k, x0 , b, для упрощения обозначений эту зависимость мы опускаем. Сделаем упрощающее предположение:
dX
0
на Γ(k.x0 ) отсутствуют фоdτ 6= 0 на траектории Γ(k.x ) (иначе, мы предполагаем, что
BelDobr
кальные точки;
от этого предположения можно отказаться [6]). Из этого предположения
MaslovWKB
следует (см.[3], §7 - §8, гл.II, §2, гл.IV ), что для каждого τ
det C 6= 0 и определена
−1
комплексная симметричная марица BC (τ ) с вырожденной неотрицательной мнимой
частью. В p
силу неравенства det C 6= 0 мы можем определить p
непрерывную комплексную
функцию det C(τ ), зафиксировав ее аргумент равенством det C(0) = 1.
Выберем некоторую малую трубчатую окрестность луча γ(k, x0 ). В силу условия
Ẋ(τ ) 6= 0 в этой окрестности мы можем определить решение τ (x) уравнения:
hẊ(τ ), x − X(τ )i = 0,
(3.2)
taux
которое означает, что X(τ (x)) – такая точка на луче γ(k, x0 ), что вектор x − X(τ (x))
ортогонален γ(k, x0 ) в X(τ (x)). Теперь построим комплексную фазу S(x) гауссова пучка
– функцию, зависящую от переменных x = (x1 , x2 , x3 ) и параметров k, x0 , b, которые мы
опускаем для упрощения обозначений
S(x) = s(τ (x)) + hP (τ (x)), x − X(τ (x))i+
1
hx − X(τ (x)), B(τ (x))C −1 (τ (x))(x − X(τ (x)))i,
2
Z
τ
hP, dXi
s(τ ) =
(3.3)
Gph2
0
Пусть p⊥
j (τ )-единичные векторы, образующие с P (τ )/|P (τ )| правый ортонормированный
базис. Построим также “фазу поляризации” (фазу Берри) Φ(τ ) и векторную амплитуду
с компонентами A1 (τ ), A2 (τ )
Z τ
2 (X(η))
Ωc (X(η))ωpl
P (η) B(X(η))
dp⊥
1
h
,
i + hp⊥
(η),
(η)i
dη,
2
|k|
|P (η)| |B|(X(η))
dτ
0
A1 (τ ) = A01 cos Φ(τ ) − A02 sin Φ(τ ), A2 (t) = A02 cos Φ(τ ) + A01 sin Φ(τ ),
Φ(τ ) =
0
где A01 , A02 -константы. Пусть p⊥
j (τ ) Определим в некоторой окрестности луча γ(k, x )
функцию
1
⊥
E(x, t) = e−ωt p
exp iS(x) A1 (τ (x))p⊥
(τ
(x))
+
A
(τ
(x))p
(τ
(x))
2
1
2
C(τ (x))
и продолжим ее гладким образом вне эту окрестность нулем.
7
(3.4)
GausBeam
Утверждение. Построенная указанным образом вектор-функция является компонентой электрического поля главного члена асимптотического решения системы уравне- 2
C
eq:wave1
ний (1.2). Она быстро осциллирует вдоль луча γ(k, x0 ) и быстро убывает (как e− λ2 (x−X τ (x)) )
по нормали к γ(k, x0 ).
Замечание 1. Скалярный множитель в последней формуле, определяемый гауссовым пучком зависит от параметров k, x0 и параметра b, характеризующего его структуру, и не зависит от магнитного поля. Векторная амплитуда не зависит от характеристики b гауссова пучка и зависит только от характеристик k, x0 луча γ(k, x0 ) (и
начальных значений A01 , A02 ): GausBeam
для разных b она одинаковая.
Замечание 2. Формула (3.4) выведена в предположении, что плотность электронов и ионов n(r) и магнитное поле B задаются гладкими функциями во всей области
D. На самом деле эти функции имеют скачки на поверхности тора T, что приводит к
отражению и захвату гауссова пучка камерой. В этой работе мы пренебрегаем этими
эффектами и “сглаживаем” n(r), B в окрестности T, продолжая их во внешность тора
T нулем.
Формула для изменения амплитуды была реализована на программе Mathematica.
Ниже мы приводим несколько рисунков, описывающих поворот вектора амплитуды электрического поля в гауссовом пучке под действием магнитного поля. Выберем λ = 500 мкм.
L
13
Получим: λ = 500 мкм = 5 × 10−2 см; ω = 2πc
λ = 3.8 × 10 ; L = 500 см; T = c =
1.7 × 10−8 с; h =
2 Ω
ωpl
e
ω3
c
Lω
=
λ
2πL
=
1
Tω
= 1.6 × 10−6 ;
2
ωpl
ω2
= 1.2 × 10−4 ;
Ωe
ω
= 1.6 × 10−2 ;
= 1.9 × 10−6 .
На следующих картинках зеленая точка – точка начала луча. В красной точке дается
значение вектора электромагнитного поля (фиолетовый). Розовый и желтый вектора
⊥
обозначают p⊥
1 и p2 соответственно.
Рис. 2:
8
fig:pic2
Рис. 3:
Список литературы
Nowak
[1] Nowak S., Orefice A. Three-dimensional propagation and absorption of high frequency
Gaussian beams in magnetoactive plasmas // Phys. Plasmas. – 1994. – V. 1, N 5. – P.
1242-1250.
Cairns
[2] Cairns R.A., Fuchs V. Calculation of a wave field from ray tracing // Nucl. Fusion. –
2010. – V. 50, N 9.
MaslovWKB
[3] Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. – М.: Наука, 1977.
– 384 с.
MasFed
[4] Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. – М.: Наука, 1976. – 296 с.
BDT
[5] Belov V.V., Dobrokhotov S.Yu., Tudorovskiy T.Ya. Operator separation of variables for
adiabatic problems in quantum and wave mechanics // J. Eng. Math. – 2006. – V. 55, N
1-4. – P. 183-237.
BelDobr
[6] Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теор. матем. физика. – 1992. – Т. 92, № 2. – С.
215–254.
9
fig:pic3