Решения. 10 класс

10 класс
10.1 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0. Когда
оно достигло высшей точки траектории, из той же начальной точки с той же
начальной скоростью брошено вверх другое тело. На какой высоте h они
встретятся?
Решение
Используя известную формулу равноускоренного движения
V 2  V02
S
2a
и учитывая, что в верхней точке v = 0, получаем
V2
hmax  0 .
2g
Если отсчитывать время от момента бросания второго тела, то
уравнения движения тел следует записать в виде:
gt 2
gt 2
h1  hmax 
; h2  V0t 
.
2
2
Приравнивая h1  h2  h (в момент встречи), получаем
hmax V0
3 V02
.
t

; h
8 g
V0
2g
3 V02
Ответ: h 
.
8 g
10.2 На тележке установлен штатив, на котором подвешен шарик на
нити. Тележка движется горизонтально с ускорением а. Найдите угол α
отклонения нити от вертикали и силу Т натяжения нити.
Решение
На шарик действуют две силы: сила тяжести mg и натяжение Т нити
(см. рисунок).
Их равнодействующая F сообщает шарику такое же ускорение, какое
имеет тележка, т.е.
F  ma.
Следовательно,
a
tg  .
g
Величину силы Т находим из теоремы Пифагора:
T  m g 2  a2 .
Ответ: tg 
a
, T  m g 2  a2 .
g
10.3 Санки массой m = 20 кг поднимают по гладкому склону на высоту
h = 2,5 м, прикладывая силу F = 300 Н, направленную вдоль склона. Санки
движутся с ускорением а = 3 м/с2. Какая работа А совершается при подъеме?
Чему равно изменение потенциальной энергии ΔWp санок? Чему равна
кинетическая энергия Wk санок на вершине?
Решение
Изменение потенциальной энергии санок будет равно
W p  mgh  490 Дж.
По второму закону Ньютона получим:
ma  F  mg sin  .
Отсюда
F  ma
.
mg
По формулам равноускоренного движения:
at 2
l
; V  at .
2
Отсюда
V 2  2al .
Из рисунка видно, что
h
l
.
sin 
Подставляя, получим
2ahmg
V2 
.
F  ma
Тогда кинетическая энергия санок на вершине
mV 2 m2 gha
Wk 

 122,5 Дж .
2
F  ma
По закону сохранения энергии
A  Wk  W p  122,5  490  612,5 Дж.
sin  
Ответ: W p  490 Дж, Wk  122,5 Дж, A  612,5 Дж.
10.4 Озеро со средней глубиной h = 5 м и площадью S = 4 км2
«посолили», бросив кристаллик поваренной соли NaCl массой m = 10 мг.
Спустя длительное время из озера зачерпнули стакан воды объемом V = 200
см3. Сколько ионов натрия оказалось в этом стакане?
Решение
Общее количество ионов натрия в кристаллике соли
m
N0  N A ,

где  – молярная масса NaCl.
За длительное время ионы натрия равномерно распределяются по
всему объему озера, равному hS. Значит концентрация ионов в стакане и в
озере одинакова:
N N
n  0 ,
V
hS
где N – искомое количество ионов в стакане.
Отсюда
N  N0
mVN A
V

 10 9 .
hS
hS
Ответ: N  109.
10.5 В цилиндре под поршнем площадью S = 100 см2 и массой m1 = 50
кг находится воздух при температуре t1 = 7 ºС. Поршень находится на высоте
h1 = 60 см от дна цилиндра. Воздух в цилиндре нагревают до t2 = 47 ºС, а на
поршень ставят гирю массой m2 = 50 кг. На сколько опустится или
поднимется поршень? Атмосферное давление р0 = 100 кПа, трением поршня
о стенки цилиндра можно пренебречь.
Решение
Запишем условие равновесия поршня в начальном и конечном
положениях:
m1g  p0 S  p1S ,
m1g  m2 g  p0 S  p2 S .
Здесь р1 и р2 – начальное и конечное давления воздуха в цилиндре. Эти
величины связаны между собой уравнением Клапейрона:
P1V1 P2V21

.
T1
T2
Здесь
V1  Sh1 и V2  S h1  x  – соответственно начальный и конечный объем
воздуха в цилиндре,
х – перемещение поршня.
Отсюда


m1 g  p0 S
T
  19см .
x  h1   1  2 
T
m
g

m
g

p
s
1
1
2
0 

Таким образом, поршень опустится на 19 см.
Ответ: Поршень опустится на 19 см.