МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
14-Я СТОЛИЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА МФТИ
1 декабря 2012 года
МАТЕМАТИКА
7-8 класс
М1. У Пети и Коли в стаканах налито равное количество молока. Вначале Петя
перелил половину молока из своего стакана в стакан Коли, затем Коля перелил
третью часть молока из своего стакана (c учетом молока, добавленного Петей) в
Петин. Затем Петя перелил четверть молока из своего стакана в Колин, затем Коля
перелил пятую часть и т.д. Сколько молока будет в стаканах у ребят после 101-го
переливания?
М2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и суммы
цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (но не
обязательно записанных по порядку).
М3. В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите угол ABC, если
AC = 2AB.
М4. Сумма трех ненулевых чисел x, y, z равна нулю. Какие значения может
x2 y 2 z 2
  ?
принимать выражение
yz zx xy
М5. Перед уроком математики ученики договорились с учителем, что некоторые
из них на любой его вопрос будут отвечать только правду, а некоторые – только
неправду. Когда учитель вышел из класса, все 26 ребят встали в круг. Затем, когда
они сели на свои места, учитель вернулся и попросил написать на листочках
ответы на два вопроса: «Кто стоял слева от тебя» и «Кто стоял справа от тебя». Все
ответили одинаково: «Мальчик». Докажите, что по кругу ребята чередовались:
мальчик – девочка – мальчик – девочка …