Таблица подбора частного решения неоднородного

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
В каком виде искать частное решение
линейного неоднородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами y  py  qy  f (x) ?
После долгих раздумий я принял решение создать отдельную справочную таблицу для
подбора частного решения неоднородного ДУ. В методический материал сведены
практически все типовые ситуации, которые могут встретиться на практике, кроме того,
приведены случаи подбора частного решения для уравнений повышенной сложности.
Как всегда объяснения ведутся на конкретных примерах с минимумом формул и
параметров. Обязательно прочитайте выводы на последней странице!!!
I. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня,
отличных от нуля.
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y  y  2 y  f ( x)
Для соответствующего однородного уравнения y  y  2 y  0 составим характеристическое
уравнение 2    2  0 и найдём его корни: 1  2, 2  1
Итак, получены различные действительные корни, среди которых нет нуля.
Правая часть f (x)
1. f ( x)  4 (или другая
ненулевая константа)
2. f ( x)  3 x  1
3. f ( x)  x 2  x
В каком виде нужно искать частное решение ~y
неоднородного уравнения?
~
yA
~
y  Ax  B
~
y  Ax 2  Bx  C
~
y  Ax 3  Bx 2  Cx  D
4. f ( x)  4 x 3  3 x 2  1
Примечание: Обратите внимание, что когда в правой части f (x) находится неполный
многочлен, то частное решение подбирается без пропусков степеней, пример: f ( x)  5 x
Это многочлен первой степени, и в нём отсутствует константа. Однако при подборе частного
решения константу пропускать нельзя, то есть частное решение необходимо искать в виде
~
y  Ax  B
5. f ( x)  2e3 x
6. f ( x)  (2 x  3)e  x
7. f ( x) 
x 2x
e
2
Коэффициент в показателе экспоненты:
не совпадает с
корнем характеристического уравнения 1  2 или 2  1
Подбор выполняем очевидным образом: ~
y  Ae3 x
Коэффициент в показателе экспоненты:
не совпадает с
корнем характеристического уравнения 1  2 или 2  1
Подбор выполняем очевидным образом: ~
y  ( Ax  B)e  x
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем
характеристического уравнения 1  2 . В подобной ситуации
«штатный» подбор ~
y  ( Ax  B )e 2 x нужно домножить на «икс»:
~
y  x( Ax  B)e 2 x , то есть, искать частное решение в виде:
~
y  ( Ax 2  Bx)e 2 x
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
8. f ( x)  e x
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем
характеристического уравнения 2  1 . Аналогично: «штатный»
подбор ~
y  Ae x домножаем на «икс»: ~
y  x  Ae x , то есть ищем
частное решение в виде:
~
y  Axe x
Примечание: Обратите внимание, что опять же в случае неполных многочленов степени не
теряются, например, если f ( x)  7 x 2e5 x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени и
константа), то частное решение следует искать в виде ~
y  ( Ax 2  Bx  C )e5 x .
Если f ( x)  (1  x 2 )e 2 x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени), то частное решение
ищем в виде ~
y  x( Ax 2  Bx  C )e 2 x  ( Ax 3  Bx 2  Cx)e 2 x
~
y  A cos x  B sin x
9. f ( x)  sin x
~
y  A cos 2 x  B sin 2 x
10. f ( x)  3 cos 2 x
~
y  A cos 3 x  B sin 3 x
11. f ( x)  2 cos 3 x  4 sin 3 x
Примечание: В подборе частного решения всегда должен присутствовать и синус и косинус
(даже если в правую часть f (x) входит только синус или только косинус).
Редко, но встречаются следующие похожие случаи:
~
y  ( Ax  B) cos 5 x  (Cx  D ) sin 5 x
12. f ( x)   x sin 5 x
x
x
x
~
13. f ( x)  ( x  1) cos
y  ( Ax  B) cos  (Cx  D ) sin
2
2
2
~
y  ( Ax  B) cos x  (Cx  D ) sin x
14. f ( x)  x cos x  2 sin x
И заключительные примеры, здесь тоже всё прозрачно:
~
15. f ( x)  2e x sin 2 x
y  e x ( A cos 2 x  В sin 2 x)
1
~
16. f ( x)  e  3 x sin x
y  e 3 x ( A cos x  В sin x)
3
~
17. f ( x)  e 2 x (5 sin 3 x  cos 3 x)
y  e 2 x ( A cos 3 x  В sin 3 x)
Примечание: в примерах 15-17 хоть и есть экспонента, но корни характеристического уравнения
1  2, 2  1 нас уже совершенно не волнуют – подбор частного решения идёт штатным образом
без всяких домножений на «икс».
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
II. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня,
один из которых равен нулю.
Как правило, в таком диффуре отсутствует функция «игрек».
Пример: Рассмотрим подопытное неоднородное уравнение y  3 y  f ( x) .
Для соответствующего однородного уравнения y  3 y  0 составим характеристическое
уравнение 2  3  0 и найдем его корни: 1  3, 2  0
Получены различные действительные корни, один из которых равен нулю.
В каком виде нужно искать частное решение ~y
неоднородного уравнения?
Правило: Если в правой части f (x) находится ненулевая константа или многочлен, и один из
корней характеристического уравнения равен нулю, то «очевидный» подбор частного решения
необходимо домножить на «икс»:
~
18. f ( x)  10
y  x  A , то есть частное решение ищем в виде ~
y  Ax
~
19. f ( x)  2 x
y  Ax 2  Bx
y  x  ( Ax  B ) , т.е. частное решение ищем в виде ~
~
20. f ( x)  x 2  3
y  x  ( Ax 2  Bx  C ) или ~
y  ( Ax 3  Bx 2  Cx)
Правая часть f (x)
~
21. f ( x)  x 3
y  x  ( Ax 3  Bx 2  Cx  D) или ~
y  ( Ax 4  Bx 3  Cx 2  Dx)
Если в правую часть входит экспонента или экспонента, умноженная на многочлен, то
подбор частного решения следует проводить по тем же принципам, по которым он проведён в
примерах №№5-8.
На всякий случай еще пара примеров:
22. f ( x)  ( x 2  2 x)e3 x
23. f ( x)  (1  x)e 3 x
Коэффициент в показателе экспоненты:
не совпадает с
корнем характеристического уравнения 1  3
~
y  ( Ax 2  Bx  C )e3 x
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем
характеристического уравнения 1  3 . Поэтому «обычный»
подбор ~
y  ( Ax  B)e 3 x нужно домножить на «икс»:
~
y  x( Ax  B)e 3 x , то есть, искать частное решение в виде:
~
y  ( Ax 2  Bx)e 3 x
Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется точно так же,
как уже разобрано – в штатном режиме (см. Раздел I).
Дополнительный пример:
Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка: y  y  f (x) . Для
соответствующего однородного уравнения y  y  0 составим характеристическое уравнение
3  2  0 и найдем его корни: 1, 2  0, 3  1 .
Если получено два кратных нулевых корня и в правой части f (x) находится многочлен
(аналогично примерам №№18-21), то «штатный» подбор нужно домножать уже на x 2 .
Например, если f ( x)  3 x , то частное решение следует искать в виде:
~
y  x 2  ( Ax  B)  ( Ax 3  Bx 2 )
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
III. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y  4 y  4 y  f ( x) .
Для соответствующего однородного уравнения y  4 y  4 y  0 составим характеристическое
уравнение 2  4  4  0 и найдем его корни: 1, 2  2
Получены кратные (совпавшие) действительные корни.
Правая часть f (x)
f (x) – ненулевая константа
или многочлен
24. f ( x)  5e x
25. f ( x)  2e 2 x
В каком виде нужно искать частное решение ~y
неоднородного уравнения?
Подбор частного решения следует осуществлять «штатным»
способом точно так же, как в примерах №№1-4
Коэффициент в показателе экспоненты:
не совпадает с
кратным корнем характеристического уравнения 1, 2  2
~
y  Ae x
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с кратным
корнем характеристического уравнения 1, 2  2 . Поэтому
очевидный подбор ~
y  Ae 2 x следует домножить на x 2 :
~
y  x 2  Ae 2 x и искать частное решение в виде:
~
y  Ax 2e 2 x
26. f ( x)  (5 x  1)e 2 x
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с кратным
корнем характеристического уравнения 1, 2  2 . Поэтому
«штатный» подбор ~
y  ( Ax  B)e 2 x следует домножить на x 2 :
~
y  x 2  ( Ax  B)e 2 x , то есть искать частное решение в виде:
~
y  ( Ax3  Bx 2 )e 2 x
Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется обычным
образом – см. раздел I.
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
IV. Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни: 1, 2     i ,
причём   0,   0
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y  6 y  10 y  f ( x) .
Для соответствующего однородного уравнения y  6 y  10 y  0 составим характеристическое
уравнение 2  6  10  0 и найдем его корни: 1, 2  3  i
Получены сопряженные комплексные корни с ненулевой действительной частью  .
В каком виде нужно искать частное решение ~y
Правая часть f (x)
неоднородного уравнения?
Подбор частного решения осуществляется очевидным образом (см. примеры №№1-6, №№9-14)
за исключением следующих видов правой части:
Проще всего объяснить так, берём правую часть и составляем
сопряженные комплексные числа:
27. f ( x)  2e 3 x sin 2 x
Полученные сопряженные комплексные числа  3  2i не
совпадают с корнями характеристического уравнения
1, 2  3  i , поэтому частное решение следует искать в обычном
виде: ~
y  e 3 x ( A cos 2 x  В sin 2 x)
Составляем сопряженные комплексные числа:
28. f ( x)  2e 3 x cos x
Составленные сопряженные комплексные числа  3  i совпали
с корнями характеристического уравнения 1, 2  3  i , поэтому
«обычный» подбор частного решения следует домножить на
«икс»: ~
y  x  e 3 x ( A cos x  B sin x) или:
~
y  e 3 x ( Ax cos x  Вx sin x)
29. f ( x)  e x (5 cos x  3 sin x)
Составленные сопряженные комплексные числа 1  i не
совпадают с корнями характеристического уравнения
1, 2  3  i , поэтому частное решение ищем в виде:
~
y  e x ( A cos x  В sin x)
30. f ( x)  e 3 x ( cos x  2 sin x)
Составленные сопряженные комплексные числа  3  i совпали
с корнями 1, 2  3  i , поэтому:
~
y  x  e 3 x ( A cos x  B sin x)  e 3 x ( Ax cos x  Вx sin x)
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
V. Характеристическое уравнение имеет сопряженные,
чисто мнимые комплексные корни: 1, 2    i
В таком диффуре отсутствует первая производная.
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y  4 y  f ( x) .
Для соответствующего однородного уравнения y  4 y  0 составим характеристическое
уравнение 2  4  0 и найдем его корни: 1, 2  2i
Получены чисто мнимые сопряженные комплексные корни:
В каком виде нужно искать частное решение ~y
неоднородного уравнения?
Подбор частного решения осуществляется очевидным «штатным» образом, за исключением
следующих видов правой части:
Правая часть f (x)
Коэффициент
31. f ( x)  sin x
характеристических сопряженных комплексных корнях
поэтому частное решение ищем в обычном виде:
~
y  A cos x  B sin x
Коэффициент
32. f ( x)  3 sin 2 x
33. f ( x)  2 cos 3 x  2 sin 3 x
не совпадает с коэффициентом при
совпал с коэффициентом при
характеристических сопряженных комплексных корнях
,
поэтому при подборе «штатное» частное решение необходимо
домножить на «икс»: ~
y  x  ( A cos 2 x  B sin 2 x) , то есть искать
частное решение в виде:
~
y  Ax cos 2 x  Bx sin 2 x
Коэффициенты
не совпадают с
коэффициентом при характеристических сопряженных
комплексных корнях
обычном виде:
~
y  A cos 3 x  B sin 3 x
, поэтому частное решение ищем в
Коэффициенты
совпали с
коэффициентом при характеристических сопряженных
34. f ( x)  2 x cos 2 x  sin 2 x
35. f ( x)  3 x cos 4 x
,
комплексных корнях
, поэтому при подборе очевидное
частное решение опять же домножаем на «икс»:
~
y  x  (( Ax  B) cos 2 x  (Cx  D ) sin 2 x) , или:
~
y  ( Ax 2  Bx) cos 2 x  (Cx 2  Dx) sin 2 x
Коэффициент
не совпадает с коэффициентом
при характеристических сопряженных комплексных корнях
, поэтому частное решение ищем в «штатном» виде:
~
y  ( Ax  B ) cos 4 x  (Cx  D ) sin 4 x
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
Автор: Емелин А.
Краткие итоги по 5-ти разделам:
Тип корней характеристического
уравнения
I. Характеристическое уравнение
имеет два различных
действительных корня,
отличных от нуля
II. Характеристическое уравнение
имеет два различных
действительных корня,
один из которых равен нулю
III. Характеристическое уравнение
имеет два кратных действительных
корня
IV. Характеристическое уравнение
имеет сопряженные комплексные
корни: 1, 2     i ,
причём   0,   0
V. Характеристическое уравнение
имеет сопряженные,
чисто мнимые комплексные корни:
1, 2   i
Когда следует проявить ПОВЫШЕННОЕ ВНИМАНИЕ
при подборе частного решения
Если в правой части f (x) находится экспонента или
экспонента, умноженная на многочлен (примеры 5-8)
Если в правой части f (x) находится константа, многочлен,
экспонента или экспонента, умноженная на многочлен
(примеры 18-23)
Если в правой части f (x) находится экспонента или
экспонента, умноженная на многочлен (примеры 24-26)
Если в уравнении есть правые части, разобранные в
примерах 27-30: f ( x)  2e 3 x sin 2 x , f ( x)  2e 3 x cos x ,
f ( x)  e x (5 cos x  3 sin x) и т.п.
Когда в правой части находится синус, косинус или синус и
косинус одновременно; либо данные функции, умноженные
на многочлены (многочлен) (примеры 31-35)
© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта