В.В.БЕРЕСНЕВИЧ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК

Доклады Национальной Академии Наук Беларуси. 45 (2001), N2, 21–23.
Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, 45 (2001), no. 2, 21-23
В.В.БЕРЕСНЕВИЧ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ВБЛИЗИ ПАРАБОЛЫ
(Представлено академиком Н. А. Изобовым)
Интерес к распределению рациональных точек вблизи различных кривых восходит еще к
Гауссу, который при изучении количества представлений данного натурального числа суммами
квадратов двух натуральных чисел рассматривал проблему подсчета числа целых точек вблизи
окружности. Эффективные теоремы о числе и распределении рациональных точек вблизи
кривых играют важную роль в получении оценок размерности Хаусдорфа множеств,
определяемых диофантовыми неравенствами при совместных приближениях [1, 2]. К
настоящему времени получены точные оценки сверху числа рациональных точек вблизи
плоских кривых из достаточно общего класса [3, с. 80]. Однако, известные нижние оценки для
кривых из этого же класса значительно отличаются от верхних [4]. В настоящей работе мы
впервые даем точные нижние оценки числа рациональных точек, рассматривая параболу.
Пусть кривая Γ  {( x, f ( x)) : x  ( a, b)} заданна дважды непрерывно дифференцируемой
функцией f : (a, b)  R такой, что c 1  f ( x)  c для всех x  (a, b) , где (a, b) — интервал,
c  0 — постоянная. Пусть v  0 , Q  N и N Γ (Q) обозначает число рациональных точек
p / q  Q 2 , где p1 , p 2 , q  Z , 0  q  Q , таких, что p1 / q  (a, b) и выполнено неравенство
| f ( p1 / q)  p2 / q | Q v1 .
(1)
Число N Γ (Q) является нижней оценкой (а будучи домноженным на некоторую постоянную
и верхней оценкой) числа рациональных точек с ограниченными знаменателями,
находящимися на расстоянии не больше Q v1 от Γ . Центральной рассматриваемой проблемой
является оценка величины N Γ (Q) при постоянных Γ , v и растущем Q .
Довольно интересным является тот факт, что в рассматриваемой проблеме величина N Γ (Q)
может зависеть от арифметических свойств кривой Γ и величины показателя v . При
сравнительно малых v  0 подсчет величины N Γ (Q) производится через вычисления площадей
соответствующих окрестностей кривой. Однако при больших v такие аргументы неприменимы
в силу малости этих площадей. В приложениях к совместным диофантовым приближениям
представляет интерес, в частности, случай, когда v  1 / 2 [2]. Выбор кривой оказывает влияние
на распределение точек вблизи кривых как правило при сравнительно больших v . В некоторых
частных случаях распределение рациональных точек в малых окрестностях кривых опирается
на весьма глубокие факты такие, как большая теорема Ферма [2, с. 94].
М. Хаксли [3, с. 80] доказал, что, если 0  v  1 , то при любом ε  0 для всех достаточно
больших Q верно неравенство
N Γ (Q )  Q 2v ε .
(2)
Используя эффективные оценки для меры множества точек на Γ , линейно
аппроксимируемых с заданной погрешностью и принцип переноса Хинчина, В. Берник [4]
показал, что при всех достаточно больших Q верно неравенство
 Q 2v , 0  v  1 / 3,

N Γ (Q )  C1  Q 3 / 2 , 1 / 3  v  1 / 2,
Q 33v , 1 / 2  v  1,

1
(3)
где C1  0 — постоянная. Эта оценка является наилучшей возможной по показателю только
при 0  v  1 / 3 , но справедлива для всех кривых Γ .
Теорема. Пусть 0  v  1 и (a, b) — интервал. Пусть Pa ,b  {( x, x 2 ) : a  x  b} — отрезок
параболы. Тогда существует постоянная C 2  0 такая, что N Pa ,b (Q )  C 2 Q 2v для всех
достаточно больших Q .
Заметим, что показатель 2  v в оценке в теореме 1 является наилучшим возможным.
Совместно с (2) теорема 1 дает
Следствие. Пусть 0  v  1 , (a, b) — интервал. Тогда для любого ε  0 при всех
достаточно больших Q верна двусторонняя оценка C 2  N Pa ,b (Q ) / Q 2v  Q ε .
Заметим, что при v  1 все рациональные точки с условием (1) лежат непосредственно на
параболе, что позволяет дать следующую оценку: C3Q  N Γ (Q)  C 4 Q , где C 3, C 4 —
положительные постоянные.
При доказательстве теоремы 1 используется вытекающая из теоремы 1.4 в [5] оценка меры
| B (v, δ, Q ) | C5 δ1/ 9 ,
(4)
справедливая для всех 0  v  1 , δ  δ1 и Q  1 , где δ1 , C 5 — положительные постоянные,
B (v, δ, Q ) обозначает множество чисел x  (a, b) таких, что существуют целые числа r1 , r2 , s ,
удовлетворяющие неравенствам
| sx 2  2r1 x  r2 | δQ v / 4 ,
| 2 sx  2r1 | 8Q 1v / δ ,
0  s  δQ ,
В частности, из (4) вытекает, что найдется δ 0  0 такое, что при всех Q  1 верна следующая
оценка меры: | B (v, δ 0 , Q ) | (b  a ) / 2 .
Пусть x  (a, b) \ B(v, δ 0 , Q ) . Тогда, по теореме Минковского о линейных формах система
неравенств
| qx 2  2 p1 x  p 2 | δ 0 Q  v / 4 ,
| 2qx  2 p1 | 8Q 1v / δ 0 , 0  q  Q ,
(5)
имеет решение в целых числах p1 , p 2 , q , зависящее от x . Поскольку x  B (v, δ 0 , Q ) , то
q  δ 0Q .
(6)
Далее показывается, что выполнено неравенство (1). Это очевидно, если p12  qp 2  0 ,
поскольку в этом случае точка ( p1 / q, p 2 / q) лежит на параболе. Поэтому в дальнейшем
предполагается, что p12  qp 2  0 . В этом случае многочлен P ( x)  qx 2  2 p1 x  p 2 имеет два
различных корня α   ( p1  u | p12  qp 2 | ) / q , где u  1 если p12  qp 2  0 и u  i если
p12  qp 2  0 . Из второго неравенства (5) вытекает, что | x  p1 / q | 1 /(2q) при достаточно
больших Q . Тогда
| x  α  || x  p1 / q  u | p12  qp2 | / q || u | p12  qp 2 | / q |  | x  p1 / q |
 | p12  qp 2 | / q  1 /( 2q)  | p12  qp 2 | /( 2q) .
Используя первое неравенство (5), получаем
2
2
δ 0 Q v / 4 | P ( x) | q | x  α  |  | x  α  | q | p12  qp 2 | /( 2q)  | p12  qp 2 | /( 4q) .


Отсюда
вытекает
неравенство
| ( p1 / q) 2  p 2 / q | δ 0 Q v q 1  δ 0 Q v (δ 0 Q ) 1  Q 1v ,
означающее (1). Кроме того, из второго неравенства (5) следует, что оценка
| x  p1 / q | 4Q 1v (δ 0 q ) 1  4Q 1v (δ 02 Q ) 1  4δ 02 Q 2v .
(7)
Выберем максимальный набор точек ( p1,1 , p 2,1 ) / q1 ,…, ( p1,t , p 2,t ) / qt , удовлетворяющих
неравенствам (1), (7) и q  Q и таких, что | p1,i / qi  p1, j / q j | 4δ 02 Q 2v при 1  i  j  t . По
построению,
(a, b) \ B(v, δ 0 , Q)   ti 1{x  R :| x  p1,i / qi | 8δ 02Q 2v } .
Переходя
к
соответствующим неравенствам для мер, находим (b  a ) / 2 | (a, b) \ B (v, δ 0 , Q ) | 16δ 02 Q 2v t ,
откуда получаем t  Q 2v (b  a)δ 02 / 32 . Отбросив при необходимости крайние точки из
выбранного набора, которые возможно не принадлежат (a, b) , получим ту же, что и для t ,
оценку числа N Pa ,b (Q ) с незначительно меньшей постоянной, что завершает доказательство
теоремы.
Заметим, что при доказательстве теоремы мы получили не только нижнюю оценку для числа
рациональных точек вблизи параболы, но и показали, что эти точки распределены равномерно,
как этого требует определение регулярной системы [6]. В нашем случае в качестве точек
регулярной системы можно взять рациональные числа p1 / q , удовлетворяющие (1) при
некотором p 2  Z , и нормировочную функцию определить как N ( p1 / q )  q 2v . Полезным
следствием данного результата является то, что, используя лемму Бейкера—Шмидта [6], можно
получить точную нижнюю оценку размерности Хаусдорфа совместно аппроксимируемых
точек параболы. Кроме того, применяя оценку Хаксли (3), несложно найти и точную верхнюю
оценку для размерности Хаусдорфа этого множества. В результате можно получить, что
размерность Хаусдорфа множества S v (P ) равна (2  v) /(1  v) , где множество S v (P ) состоит
из точек параболы ( x, x 2 ) , для которых неравенство max{| qx  p1 |, | qx 2  p 2 |}  q  v имеет
бесконечное число целочисленных решений p1 , p 2 , q .
Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси в рамках Государственной
программы фундаментальных исследований «Математические структуры».
Let Pa ,b
Summary
 {( x, x ) : a  x  b} be an arc of the parabola, 0  v  1 and N Pa ,b (Q ) denotes the num2
ber of rational points p / q , where p  Z 2 , q  Z , 0  q  Q , such that dist( Pa,b , p / q )  Q v 1 . The
best possible lower bound for N Pa ,b (Q ) is obtained, i.e. there is a constant C  0 such that
N Pa ,b (Q )  CQ 2v for all sufficiently large Q .
Литература
Сприндж ук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М., 1977.
Berni k V. I., Dodson M. M. Metric Diophantine approximation on manifolds. CUP, 1999.
Huxley M. Area, lattice points and exponential sums. Oxford, 1996.
Berni k V. // The conference on Diophantine approximation. Oberwolfach. 2000. Abstracts. P. 3.
Berni k V., Kleinbock D., Margulis G. // Khintchine-Type Theorems on Manifolds: Convergence Case for Standard and Multiplicative Versions. Preprint 99—092. Universitat Bielefeld.
6. Baker A., Schmidt W.M.// Proc. Lond. Math. Soc. 1970. Vol. 21. P. 1—11.
1.
2.
3.
4.
5.
3