Основные способы преобразования графиков

Основные способы преобразования графиков.
1. Симметрия относительно осей координат.
А. На координатной плоскости точки ( x; y ) и ( x; y ) симметричны относительно оси Ox .
Рассмотрим функции y f ( x) и y
f ( x) . Они имеют одну и ту же область определения.
Графики состоят из всех точек с координатами ( x; f ( x)) и ( x; f ( x)) соответственно. Эти
точки симметричны относительно оси Ox . Значит, график функции y
f ( x) получается из
графика функции y f ( x) симметричным отображением относительно оси Ox .
Б. На координатной плоскости точки ( x; y ) и ( x; y ) симметричны относительно оси Oy .
Рассмотрим функции y f ( x) и y f ( x) . Они имеют области определения,
симметричные относительно начала координат. Графики состоят из всех точек с
координатами ( x; f ( x)) и ( x; f ( x)) соответственно. Эти точки симметричны относительно
оси Oy . Значит, график функции y f ( x) получается из графика функции y f ( x)
симметричным отображением относительно оси Oy .
2. Сдвиг вдоль осей координат.
А.Сдвиг вдоль оси абсцисс.
Функция y f ( x a) , где a 0 , определена для всех x таких, что ( x a) X , где X область определения функции y f ( x) . График функции y f ( x a) получается сдвигом
вдоль оси Ox на величину a графика функции y f ( x) вправо, если a 0 , и влево, если
a 0.
Действительно, пусть M 0 ( x0 ; y0 ) принадлежит графику функции y f ( x) , т.е. y0 f ( x0 ) .
Возьмем точку M 1 ( x0 a; y0 ) . Так как еѐ координаты удовлетворяют условию
y0 f (( x0 a ) a ) , то точка M 1 y f ( x a ) . Значит, каждая точка M 1 графика функции
y f ( x a) получается из соответствующей точки M 0 графика функции y f ( x) сдвигом
вдоль оси Ox на величину a .
Б. Сдвиг вдоль оси ординат.
Функция y f ( x) B, B 0 и y f ( x) имеют одну и ту же область определения. Точка
M 0 ( x0 ; y0 ) графика y f ( x) переходит в точку M 1 ( x0 ; y0 B ) графика функции
y f ( x) B . Значит, график y f ( x) B, B 0 получается из графика y f ( x) сдвигом
вдоль оси Oy на величину B вверх, если B
0 и вниз, если B
0.
3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат.
Функция y Bf ( x), B 0, B 1 и y f ( x) имеют одну и ту же область определения. Точка
M 0 ( x0 ; y0 ) графика y f ( x) переходит в точку M 1 ( x0 ; By0 ) графика функции y Bf ( x) .
А)Если B 1, то график y Bf ( x) получается из графика y f ( x) растяжением вдоль оси
Oy в B раз.
Б) Если 0 B 1, то график y Bf ( x) получается из графика y f ( x) сжатием вдоль оси
1
раз.
Oy в
B
Функция y f (kx) , где k 0, k 1 , определена для всех x таких, что kx X , где X область определения функции y f ( x) . График функции y f (kx) получается сжатием
вдоль оси Ox в k раз графика функции y f ( x) , если k 1 , и растяжением в k раз, если
0 k 1.
Действительно, пусть M 0 ( x0 ; y0 ) принадлежит графику функции y f ( x) , т.е. y0 f ( x0 ) .
x
Возьмем точку M 1 (kx0 ; y0 ) . Так как еѐ координаты удовлетворяют условию y0 f (k 0 ) , то
k
точка M 1 y f (kx) . Значит, каждая точка M 1 графика функции y f (kx) получается из
соответствующей точки M 0 графика функции y f ( x) сжатием или растяжением вдоль
оси Ox в k раз.
4.План построения графиков функций вида y Af (k ( x a)) B .
График функции y Af (k ( x a)) B строится по графику y f (k ( x a))
последовательным применением рассмотренных выше преобразований.
y f ( x)
y f (kx)
y Af (kx)
y Af (k ( x a))
y Af (k ( x a)) B
1
Пример 1. Построить график функции y
2x 6 .
2
1
Преобразуем функцию y
2( x 3) .
2
x
1) y
2) y
3) y
4) y
5) y
2x
1
2x
2
1
2( x 3)
2
1
2( x 3)
2
Пример 2. Построить график функции
y
3sin(2 x
3
) 1.
5. Преобразования графиков, связанные с модулем.
Пусть дан график y f ( x) . Построим график функции y f ( x) .
Если на некотором подмножестве M X , где X - область определения функции y
f ( x)
0 , то график функции y
f ( x) совпадает с графиком y
Если на некотором подмножестве P
x
P график y
X f ( x)
0 , то y
f ( x) получается отражением графика y
Следовательно, график y
f ( x) ,
f ( x) .
f ( x)
f ( x) , значит, для всех
f ( x) относительно оси Ox .
f ( x) не имеет точек ниже оси Ox .
Пусть дан график y
функции y
f ( x) ,где X - область определения функции. Построим график
f ( x ) . Если x X 1 , X 1 - область определения функции y f ( x ) , то x
так как x
x
Для всех x
x
X1 f ( x )
0 график функции y
Для всех x 0 x
x
относительно оси Oy .
f ( x)
f ( x)
y
X1 ,
f ( x ) -четная функция.
f ( x ) совпадает с графиком y
f ( x) .
f ( x) , то есть левая часть графика симметрична правой
Пример 3. Построить графики функции а) y
б) y
2
1
x 2
2
x
1
2
в) y
x 2
г) y
log 2 2 x
x 4
3
Упражнения.
Построить графики функций:
1) y
2
( x 2) 1
1
2) y
( x 1)3 2
2
3) y
1 x
4) y log 3 (2 x) 3
5) y
2 cos( x
4
) 1
6) y
7) y
1
( )1 x
2
1
9) y 1
1 2x
2
x 2
10) y
x 1
8) y
13) y
2x 1
x 2
x2 1
2x2
x 2
14) y
sin(2 x
15) y
cos 2 x
11) y
1
sin( x
) 2
2
3
12) y
log 2 (2 x 1)
16) y
2 log 2 x
17) y
x 1
18) y
3
4
x 1
x
x 1
) 19) y
x2
5x 6
20) y
x2
2x
1
x 2