Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Вычисление и приложения криволинейного интеграла
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.3(07)
В 949
Рецензент
доктор физико-математических наук, доцент
кафедры физики имени профессора В.М. Финкеля СибГИУ
Коваленко В.В.
В 949 Вычисление и приложения криволинейного интеграла:
метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. Е.В. Сараханова. –
Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 20 с.
Изложена краткая теория, рассмотрены примеры
вычисления криволинейных интегралов I и II рода и примеры
их приложения, приведены задания для самостоятельного
решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
Теоретические сведения
Обобщением определенного интеграла на случай, когда область
интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый
криволинейный интеграл.
1. Определение и свойства криволинейного интеграла I рода
Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L )
длины l . Рассмотрим непрерывную функцию f  x; y  , определенную
в точках дуги AB . Разобьем кривую AB точками M 0  A , M 1 ,
M 2 ,…, M n  B на n произвольных дуг M i 1M i с длинами li (см.
рисунок 1). Составим интегральную сумму для функции f  x; y  по
n
кривой AB  f  xˆi ; yˆi   li , где  xˆi ; yˆi  - произвольная точка на дуге
i 1
M i 1M i .
Рисунок 1 – Кривая интегрирования
Если
предел
интегральной
суммы
существует
при
неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая дуга
M i 1M i стягивается в точку (т.е. длина дуги li  0 ), то его
называют криволинейным интегралом от функции f  x; y  по длине
кривой AB (или I рода) и обозначают
 f x; y dl 
AB
n
lim
 f xˆi ; yˆi li .
n 
i 1
max li 0 
3
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного
интеграла от функции f x; y; z  по пространственной кривой L .
Свойства криволинейного интеграла I рода:
1.  f  x; y dl   f  x; y dl , т.е. криволинейный интеграл I рода
AB
BA
не зависит от направления пути интегрирования.
2.  c  f  x; y dl  c   f  x; y dl , c  const .
L
L
3.   f1  x; y   f 2  x; y dl   f1  x; y dl   f 2  x; y dl .
L
L
L
4.  f  x; y dl   f  x; y dl   f  x; y dl , если путь интегрирования
L
L1
L2
L разбить на части L1 и L2 такие, что L  L1  L2 и L1 и L2 имеют
единственную общую точку.
5. Если для точек кривой L выполняется неравенство
f x; y    x; y , то  f  x; y dl     x; y dl .
L
6.  dl 
AB
L
n
lim
 li  l , где l - длина кривой AB .
n 
i 1
max li 0 
7. Теорема о среднем значении: если функция f  x; y 
непрерывна на кривой AB , то на этой кривой найдется такая точка
xс ; yс  , что  f x; y dl  f xс ; yс   l , где f xс ; yс  - среднее значение
AB
функции на кривой AB .
2. Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть
сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем правила
вычисления в случаях, если кривая L задана параметрическим,
полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x  xt  ,
y  yt  , t   ;  , где xt  и yt  – непрерывно дифференцируемые
функции параметра t , причем координаты точек Ax ; y  и
Bx ; y  , то
4

2
2
 f x; y dl   f xt ; yt   xt    yt  dt .
(1)

AB
Аналогичная формула имеет место для криволинейного
интеграла от функции f x; y; z  по пространственной кривой AB ,
задаваемой уравнениями x  xt  , y  yt  , z  z t  ,   t   :

2
2
2
 f x; y; z dl   f xt ; yt ; z t   xt    yt   zt  dt . (2)

AB
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая AB задана уравнением y  yx  , x  a; b, где y  x 
– непрерывно дифференцируемая функция, то дифференциал дуги
кривой dl  1   yx 2 dx и
b
2
 f x; y dl   f x; yx   1   yx  dx .
AB
(3)
a
Пример. Вычислить  xy2 dl , где L - отрезок прямой между
точками O0;0 и A4;3 .
L
Решение: Уравнение прямой
OA
Согласно формуле (3), получим:
4
2
2
4
есть
y
3
x,
4
0  x  4.
4 4
 
 
2
3
 xy dl   x 4 x   1   4  dx  64  x dx  64  4  45 .

 
L
0 
0
0
3
3
45
45 x
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская кривая L задана уравнением r  r   ,      в
полярных
координатах,
то
дифференциал
дуги
кривой
dl  r 2    r  2 d и

2
2
 f x; y dl   f r cos  ; r sin    r    r   d .
L
(4)

Пример. Вычислить   x  y dl , где L - лепесток лемнискаты
L
r  sin 2 , расположенной в I координатном углу (см. рисунок 2).
5
Рисунок 2 – Лепесток лемнискаты
Решение: Воспользуемся формулой (4). Так как
2
 2 cos 2 
sin 2 2  cos 2 2
d
d
 d 
,
dl  sin 2  
d 

sin
2

r
2
sin
2

sin
2



то, заметив, что 0   


2
, получим:

d 2
 x  y dl   r cos   r sin   r   cos   sin  d  2 .
L
0
0
2
3. Приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода
приложения в математике и механике.
имеет
разнообразные
Длина кривой
Длина l кривой AB плоской или пространственной линии
вычисляется по формуле l   dl .
AB
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндрической поверхности служит
кривая AB , лежащая в плоскости Oxy , а образующая параллельна оси
Oz (см. рисунок 3), то площадь поверхности, задаваемой функцией
z  f ( x; y) , находится по формуле Q   f ( x; y )dl .
AB
Масса кривой
Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос, …)
определяется формулой m    ( M )dl , где    (M )   ( x; y) AB
плотность кривой в точке M.
6
Рисунок 3 – Цилиндрическая система координат
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей Ox и Oy и
координаты центра тяжести материальной кривой AB определяются
по формулам
S x   y   ( x; y )dl , S y   x   ( x; y )dl , xc 
AB
AB
Sy
m
, yc 
Sx
m
Моменты инерции
Для материальной кривой AB моменты I x , I y , I O инерции
относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:
I x   y 2   ( x; y )dl , I y   x 2   ( x; y )dl , I O   ( x 2  y 2 )   ( x; y)dl .
AB
AB
AB
Пример. Найти центр тяжести полуокружности x 2  y 2  R 2 ,
лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной
единице в каждой точке кривой (   1).
Решение: Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести
находится на оси Oy (см. рисунок 4). Поэтому xc  0 . Ординату
S
центра тяжести найдем по формуле yc  x , где m   dl  l  R m
AB
длина полуокружности. Для вычисления S x   y  dl   ydl
AB
воспользуемся
параметрическими
x  R cos t , y  R sin t , 0  t   . Имеем:

уравнениями

AB
окружности
2
 y  dl   R sin t  R sin t  R cos t  dt  R  sin t dt  2 R .
AB
2
2
2
0
2
2
0
7
Рисунок 4 – Полуокружность
2R 2 2R
2R
Следовательно, yc 
. Итак, xc  0 , yc 
.

R


Задания для самостоятельного решения
1) Вычислить   x  y dl , где L - отрезок прямой от O0;0 до A4;3 .
L
dl
, где L - отрезок прямой от A0;2 до B4;0 .
x

y
L
ydl
3) Вычислить 
, где AB - дуга полукубической параболы
x
AB
2) Вычислить 
 32 2 
4 3
 .
x от A 3;2 3 до B 8;
9
3


4) Вычислить  xydl , где L - контур прямоугольника с вершинами
y2 


L
A0;0 , B4;0 , С 4;2 , D0;2 .

n
5) Вычислить  x 2  y 2 dl , где L - окружность x  a cos t , y  a sin t .
L
6) Вычислить  2 y dl , где L - первая арка циклоиды x  at  sin t  ,
y  a1 cos t  .
L
7) Вычислить  x 2  y 2 dl , где L - окружность x 2  y 2  ax .
L
8) Вычислить 
dl
, где L - первый виток винтовой линии
2
2
2
x

y

z
L
окружность x  a cos t , y  a sin t , z  bt .
8
y
dl , где L - спираль Архимеда r  2 ,
x
L
заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат.
10) Вычислить массу дуги окружности x  cos t , y  sin t ( 0  t   ),
если линейная плотность ее в точке  x; y  равна у .
11) Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой
x  et cos t , y  et sin t , z  et (    t  0 ).
12) Найти координаты центра тяжести однородной дуги кривой
y  ch x ( 0  x  ln 2 ).
9) Вычислить  arctg
t3
13) Вычислить длину дуги x   t , y  t 2  2 ( 0  t  3 ),
3
14) Вычислить длину всей кривой r  a sin 3
площадь
части
.
3
цилиндрической
поверхности
x2
2
2
2
x  y  R между плоскостью Oxy и поверхностью z  R  .
R
15)
Вычислить

4. Определение и свойства криволинейного интеграла II рода
Решение задачи о вычислении работы переменной силы при
перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой приводит
к понятию криволинейного интеграла II рода.
Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая AB (или L )
и непрерывная функция P x; y , определенная в каждой точке кривой.
Разобьем кривую AB точками M 0  A , M 1 , M 2 ,…, M n  B в
направлении от точки A к точке B на n дуг M i 1M i с длинами li .
На каждой дуге M i 1M i возьмем произвольную точку  xˆi ; yˆi  .
Составим интегральную сумму для функции P x; y  по переменной x :
n
 P xˆi ; yˆi   xi , где xi  xi  xi 1 - проекция дуги M i 1M i на ось Ox
i 1
(см. рисунок 5).
9
Рисунок 5 – Кривая интегрирования
Если существует конечный предел интегральной суммы при
неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая дуга
M i 1M i стягивается в точку (т.е. длина дуги li  0 ), то его
называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода)
от функции P x; y  по кривой AB и обозначают
 Px; y dx 
AB
n
 Pxˆi ; yˆi   xi .
lim
n 
i 1
max li 0 
Аналогично вводится криволинейный интеграл
Q x; y  по координате y :
 Qx; y dy 
AB
от функции
n
 Qxˆi ; yˆi   yi ,
lim
n 
i 1
max li 0 
где yi  yi  yi 1 - проекция дуги M i 1M i на ось Oy .
Криволинейный интеграл II рода общего вида имеет вид
 Px; y dx  Qx; y dy   Px; y dx   Qx; y dy .
AB
AB
AB
Криволинейный интеграл  P x; y; z dx  Q x; y; z dy  R x; y; z dz
AB
по пространственной кривой L определяется аналогично.
Свойства криволинейного интеграла II рода:
1. При изменении направления пути
криволинейный интеграл II рода изменяет
противоположный, т.е.     .
AB
интегрирования
свой знак на
BA
2. Если кривая AB точкой C разбита на части AC и BC , то
интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.
10
     .
AB
AC
CB
3. Если кривая AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси
Ox , то
 Px; y dx  0 (все xi  0 );
AB
аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси
Oy :
 Qx; y dy  0 (все yi  0 ).
AB
4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой  не зависит
от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода
кривой), т.е.           
(см. рисунок 6).
AmCnA
AmC
CnA
CnA
AmC
CnAmC
Рисунок 6 – Замкнутая кривая
5. Вычисление криволинейного интеграла II рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода,
может быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями
x  xt  , y  yt  , где функции xt  , yt  и их производные xt  , yt 
– непрерывны на отрезке  ;  , причем координаты точек
Ax ; y  и Bx ; y  . И пусть функции P x; y  и Q x; y 
непрерывна на кривой AB . Тогда


 Px; y dx   Pxt ; yt   xt dt и  Qx; y dx   Qxt ; yt   yt dt ,
AB

AB

складываем почленно равенства и получаем:

 Px; y dx  Qx; y dy   Pxt ; yt   xt   Qxt ; yt   yt dt .
AB
(5)

Если AB - гладкая пространственная кривая, которая
описывается непрерывными функциями x  xt  , y  yt  , z  z t  при
  t   , то криволинейный интеграл
11
 P x; y; z dx  Qx; y; z dy  R x; y; z dz 
AB

  P xt ; y t ; z t xt   Q xt ; y t ; z t  yt   R xt ; y t ; z t zt dt.
(6)

Явное представление кривой интегрирования
Если кривая AB задана уравнением y  yx  , x  a; b, где
функция y  x  и ее производная y x  – непрерывны на отрезке a; b,
то из формулы (5), приняв x за параметр, имеем параметрическое
уравнение кривой AB : x  x , y  yx  , x  a; b, откуда получим:
b
 Px; y dx  Qx; y dy   Px; yx   Qx; yx   yx dt .
AB
(7)
a
Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны
соотношением  Pdx  Qdy   P cos   Q cos  dl , где  и  - углы,
AB
AB
образованные касательной к кривой AB в точке M  x; y  осями Ox и
Oy соответственно.
Пример. Вычислить I    x  y 2 dx   x  y 2 dy , где L - ломаная
L
OAB , где O0;0, A2;0 , B4;2 .
Решение: Так как L  OAB  OA  AB (см. рисунок 7), то
I       . Уравнение отрезка OA : y  0 , 0  x  2 ; уравнение
OAB
OA
AB
отрезка AB : y  x  2 , 2  x  4 . Согласно формуле (7), получим:




2
3
x3
4 1 2 x  2 
2
2
2
I    x  0  0 dx   2  2 x  2 1 dx 
 4x 2  
3
2
3
0
2
2
4
0
8
1
136
  16  8  216  8 
.
3
6
3
Рисунок 7 – Ломаная OAB
12
4

2

 

Пример. Вычислить I   y 2 dx  x 2  z dy  x  y  z 2 dz , где L L
отрезок прямой в пространстве от точки A1;0;2 до точки B3;1;4 .
Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки
x 1 y z  2
или в параметрической форме: x  2t  1,
 
A и B:
2
1
2
y  t , z  2t  2 . При перемещении от точки A к точке B параметр
меняется от 0 до 1. По формуле (6) находим, что
1


 

I   t 2  2  2t  12  2t  2 1  2t  1  t  2t  22 1 dt
0

1

 14t 3

95
2
  14t  28t  13 dt  
 14t 2  13t   .
0
 3
0 3
1
Формула Остроградского-Грина
Если функции P x; y  и Q x; y  непрерывны вместе со своими
Q
P
частными производными
и
в области D , ограниченной
y
x
замкнутой кривой L , то имеет место формула
 Q P 
(8)
 Px; y dx  Qx; y dy    x  y dxdy ,

L
D
где интегрирование вдоль кривой L производится в положительном
направлении (при движении вдоль кривой, область D остается
слева).
Формула Остроградского-Грина (8) устанавливает связь между
криволинейным интегралом по замкнутой кривой и двойным
интегралом по области, ограниченной этой кривой.
Пример. С помощью формулы Остроградского-Грина вычислить



I   x 2  y 2 dx  y xy  ln x  x 2  y 2 dy , где L - контур прямоL
угольника с вершинами A3;2 , B6;2 , С 6;4, D3;4 (см. рисунок 8).
 y x 2  y 2  1  P
Q
y
;
 y
Решение: Так как
, по

2
2
2
2


x

y
x y
x y


формуле (8) получим:
13
  y x2  y2  1
y

I    y
 
x 2  y 2 
x2  y2
D 

6 4
dxdy  y 2 dxdy  dx y 2 dy  56 .

 

D
3 2

Рисунок 8 – Прямоугольник ABCD
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от
пути интегрирования
Пусть Ax1; y1 , Bx2 ; y2  - две произвольные точки односвязной
области D плоскости Oxy (область без «дыр»). Точки A и B можно
соединить различными линиями L1 , L2 и L3 (см. рисунок 9). По
каждой из этих кривых интеграл I   P x; y dx  Q x; y dy имеет в
AB
общем случае различные значения.
Рисунок 9 – Пути интегрирования
Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы,
то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В
этом случае достаточно указать начальную и конечную точки пути:
 x2 ; y 2 
I   P x; y dx  Q x; y dy .
(9)
 x1 ; y1 
Теорема. Для того чтобы криволинейный интеграл
I   Pdx  Qdy не зависел от пути интегрирования в односвязной
AB
области D , в которой функции P x; y  и Q x; y  непрерывны вместе
14
со своими частными производными, необходимо и достаточно
P Q
выполнение условия
в каждой точке этой области, т.е.

y x
чтобы подынтегральное выражение представляло собой полный
дифференциал некоторой функции Px; y dx  Qx; y dy  dU x; y  .
Следствие 1. Если Px; y dx  Qx; y dy  dU x; y  , то
 x2 ; y 2 
 x2 ; y 2 
x ; y 
 Pdx  Qdy   dU x; y   U x; y   x12; y12  U x2 ; y2   U x1; y1  . (10)
 x1 ; y1 
 x1 ; y1 
Это обобщенная формула Ньютона-Лейбница для криволинейного
интеграла от полного дифференциала.
Следствие 2. Если Px; y dx  Qx; y dy  dU x; y  и путь
интегрирования L - замкнутая кривая, то  P x; y dx  Q x; y dy  0 .
L
Замечание. Если Px; y dx  Qx; y dy  dU x; y  , можно найти
функцию U  x; y  , используя формулу
y
x
U  x; y    P x; y0 dx   Q x; y dy  C ,
x0
(11)
y0
где в качестве начальной точки  x0 ; y0  обычно берут 0;0 .
1;1
Пример. Вычислить I   ydx  xdy .
0;0 
P Q

 1 . Согласно
y x
вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути
интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять
отрезок прямой y  x , дугу параболы y  x 2 и т.д. или
воспользоваться формулой (10). Так как ydx  xdy  d xy , то
1;1
1;1
I   d  xy  xy 0;0   1  0  0 .
0;0 
Решение:
Здесь
P y
и
Q  x,
Пример. Найти функцию U  x; y  , если


dU   y  ln x  1dx  x  1  e y dy .
15
P Q

 1.
y x
Воспользуемся формулой (11), в качестве начальной точки  x0 ; y0 
возьмем 0;0 . Тогда
Решение: Здесь P  y  ln x  1 и Q  x  1  e y ,
x
y
0
0


U  x; y    ln  x  1dx   x  1  e y dy  C   x ln  x  1  x  ln  x  1 0 

 xy  y  e y
x
0y  C  x  1ln x  1  x  xy  y  e y  1  C.
6. Приложения криволинейного интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и
ограниченной замкнутой линией L , можно найти по формуле
1
(12)
S   xdy  ydx ,
2L
при этом кривая L обходится против часовой стрелки.
Работа переменной силы
Переменная сила F ( P( x; y); Q( x; y)) на криволинейном участке
AB производит работу, которая находится по формуле
(13)
A   Pdx  Qdy .
AB
Замечание. В случае пространственной кривой AB имеем:
A   P( x; y; z )dx  Q( x; y; z )dy  R( x; y; z )dz
AB
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой
x  a  cos3 t , y  a  sin 3 t .
Решение: При обхождении астроиды в положительном
направлении параметр t изменяется от 0 до 2 (см. рисунок 10).
Применяя формулы (12) и (5), получим:
16
S
1
2
2
3
2
3
2
 (a cos t  3a sin t cos t  a sin t  3a cos t sin t )dt 
0
2
1
sin 2 2t
3a 2 2 1  cos 4t
3a 2
2
  3a 
dt 
dt 
.

2
4
8
2
8
0
0
Рисунок 10 – Астроида
Пример. Найти работу силы F  4 x 6i  xyj вдоль кривой y  x3
от точки O(0;0) до точки B(1;1) .
Решение: По формуле (13) находим:
1
1
A   4 x dx  xy dy   (4 x  x  x  3x )dx   7 x 6 dx  1 .
6
L
6
3
2
0
0
Задания для самостоятельного решения
1) Вычислить  x 2 ydy  y 2 xdx , если x  cos t , y  sin t , 0  t 

L


2
.
2) Вычислить  x 2  y 2 dx , где L - дуга параболы y  x 2 от точки
L
0;0 до точки B2;4.
1;1
3) Вычислить  xydx   y  x dy
0;0 
вдоль линии а) y  x , б) y  x 2 ,
в) y 2  x , г) y  x3 .
4) Вычислить  ydx  xdy , где L - четверть окружности x  R cos t ,
L
y  R sin t , 0  t 

.
2
5) Вычислить  ydx  xdy , где L - эллипс x  a cos t , y  b sin t ,
L
пробегаемый в положительном направлении.
17
6) Вычислить  xdx  ydy   x  y  1dz , где L - отрезок прямой от
L
точки 1;1;1 до точки 2;3;4 .
7) Вычислить  2 xdy  3 ydx , где L - контур треугольника ABC ,
L
пробегаемый против хода часовой стрелки, A1;2 , B3;1 , C 2;5 .
8) Вычислить  xydx  yzdy  zxdz , где L - четверть окружности
L
x  cos t , y  sin t , z  1, пробегаемая в направлении возрастания
параметра t .
2;1
9) Вычислить  2 xydx  x 2 dy (показать, что интегрируется полный
0;0 
дифференциал).
5;12  xdx  ydy
10) Вычислить 
(показать, что интегрируется полный
2
2
x

y
3;4 
дифференциал).
11)
Применяя
формулу
Остроградского-Грина,
вычислить



2
2
2
2
 x  y dx  y xy  ln x  x  y dy , где L - контур прямоL
угольника 1  x  4 , 0  y  2 .
12) Вычислить площадь, ограниченную параболами y  x 2 , y 2  x .
13) Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x  a cos t ,
y  b sin t .
14) Вычислить площадь фигуры, ограниченной контуром OABCO ,
если O(0;0) , A1;3 , B0;4 , C  1;2, OA , BC , CO - отрезки прямых, а
AB - дуга параболы y  4  x 2 .
15) Вычислить работу силы F  xy; x  y  вдоль кривой y  x 2 при
перемещении из точки (0;0) в точку (1;1) .
16) Найти функцию U  x; y  по ее полному дифференциалу

 

dU  2 x  3xy2  2 y dx  2 x  3x 2 y  2 y dy .
17) Найти функцию U  x; y  по ее полному дифференциалу

 

dU  e x  y  cosx  y  dx  e x  y  cosx  y   2 dy .
18
Ответы
2152
5
; 2) 5 ln 2 ; 3)
; 4) 24; 5) 2a 2n 1 ;6) 4a a ; 7) 2a 2 ;
45
2
32
1 2
a 2  b2
2b
2 1 1
R

4
 8  ; 10) 2; 11)  ; ;  ;
8)
; 9)
arctg

12 
ab
a

5 5 2
3a
 3 ln 2  1 16 ln 2  15 
12) 
; 15) 3R 2
;
 ; 13) 12; 14)
2
3
24


56
1

1
1
17
2. 1) ;2)  ; 3) а) , б) , в) , г) ; 4) 0; 5)  2ab ; 6) 13;
15
20
4
3
12
30
13
1
1
25
17
7) 17,5 ; 8) ; 9) 4; 10) ln ; 11) 8; 12) ; 13) ab ; 14)
; 15)
;
5
6
3
6
12
3
16) U  x; y   x 2  y 2  x 2 y 2  2 xy  C ;
2
x y
17) U x; y   e
 sin x  y   2 y  C .
1. 1)


Библиографический список
1. Письменный Л. Т. Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс / Л. Т. Письменный. – Москва : Айрис Пресс, 2006. –
608 с.
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с.
3. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Т.2. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва :
Высшая школа, 2003. – 416 с.
4. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике
учебное пособие для вузов. Изд. 15-е / В. П. Минорский. – Москва :
Издательство Физико-математической литературы, 2006. – 336 с.
19
Учебное издание
Составитель
Сараханова Елена Владимировна
Вычисление и приложения криволинейного интеграла
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 28.03.2014г.
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 1,16л. Уч.-изд. 1,30 л. Тираж 50 экз. Заказ
.
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ
20