½ рв я п × ¾ х жь ь срв

Liene Informatique 2e année
Informatique théorique 2
TD1 : Relations - Treillis
1
Ensembles
Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a.
d.
2
{a} ∈ {a,b,c}
∅ ∈ {a}
b.
e.
∅ 6⊆ {a}
∅⊆a
.
f.
a⊆a
| {a,b,{c,d},e} |= 4
Partitions
a. On onsidère l'ensemble A = {a,b,c}. Déterminer l'ensemble P(A) des parties
de A. Quel est son ardinal?
b. Généraliser e résultat en montrant que pour tout ensemble ni à n éléments,
l'ensemble de ses parties ontient 2n éléments.
.
3
Déterminer les ensembles P(∅) et P(P(∅)).
Paradoxe de Russel
Soit R une relation binaire sur un ensemble E. Existe t-il un élément a de E tel
que ∀b ∈ E,aRb ⇐⇒ ¬bRb? Et que penser du barbier qui délare : je rase
tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes ?
La formulation originale du paradoxe de Russel est : Existe t-il un ensemble
ontenant omme éléments tous les ensembles qui ne sont pas éléments d'euxmêmes?
4
Relations
Donner les propriétés des relations suivantes :
la relation d'identité sur les entiers
les relations de perpendiularité et de parallélisme sur l'ensemble des
droites du plan
la relation est arré de sur les entiers
1
5
Propriétés des relations
Soit R une relation binaire sur un ensemble E , symétrique et transitive. Que
penser du raisonnement suivant?
xRy ⇒ yRx ar R est symétrique,
or (xRy et yRx) ⇒ xRx ar R est transitive,
don R est réexive.
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Relations d'équivalene
Notons A = N × N et dénissons sur A la relation R par : ∀(a,b) ∈ A,∀(c,d) ∈
A,(a,b)R(c,d) ssi a + d = b + c.
Montrez que R est une relation d'équivalene. Nous noterons [(a,b)] la lasse
d'équivalene de (a,b).
a.
Parmi les paires suivantes, lesquelles appartiennent à la même lasse d'équivalene : (1,5), (5,1), (10,14), (3,7)?
b.
. Quels sont les éléments de A ontenus dans les lasses d'équivalene suivantes :
[(1,2)℄, [(0,0)℄, [(1,0)℄?
d.
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Déterminer A/R
Relations d'ordre
On onsidère l'ensemble A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} et la relation d'ordre
R sur A dénie par xRy ssi x divise y .
a.
Représenter R par un ensemble de paires ordonnées.
b.
Dessiner le diagramme de Hasse de R.
.
En déduire deux diérents ordres totaux de A qui étendent R.
8
Ordonnanement
On onsidère un ensemble de tâhes à eetuer haque matin : { se lever, donner
des roquettes au hat, partir, s'habiller, se réveiller, prendre son petit déjeuner,
se laver }.
a.
Dénir un ordre partiel sur et ensemble.
b.
Dessiner le diagramme de Hasse de et ordre.
Appliquer l'algorithme de linéarisation à et ordre an d'en trouver une extension linéaire.
.
2
9
Éléments remarquables d'un ensemble ordonné
On muni N 2 de la relation notée dénie par : (x,y) (x′ ,y ′ ) ⇐⇒ x ≤ x′ et
y ≤ y′.
a.
Montrer que est un ordre. Est-il total?
b. Soit A = {(1,4),(2,3),(3,2),(3,4),(4,4)} et B = {(1,n) | n ∈ N }. Etudier
l'existene de majorant, minorant, sup, inf, maximal, minimal.
.
N 2 muni de la relation est-il un treillis?
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Ordre sur les fontions
Soit X un ensemble et E = RX , 'est-à-dire l'ensemble des appliations de X
dans R (R étant l'ensemble des réels). On onsidère sur E la relation ≤ dénie
par f ≤ g ⇐⇒ ∀x ∈ X,f (x) ≤ g(x).
a.
Montrer que ≤ est un ordre. Est-il total?
b.
Comparer les énonés f est majorée et {f} est majoré.
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Diagramme de Hasse et éléments remarquables
On onsidère l'ensemble ordonnée A donné par le diagramme de Hasse suivant.
Pour haune des parties B i-dessous, donner les éléments maximaux, minimaux, le minimum, le maximum, les bornes inférieure et supérieures de B, s'ils
existent.
1- B = {2,4,5,3,6}
2- B = {6,7}
3- B = {2,4,6,9}
4- B = {4,5,7}
5- B = {1,2,5}
6- B = A
3
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Ordre bien fondé
Montrer qu'un ensemble (E, ≤) est muni d'un ordre bien fondé si et seulement
si toute suite stritement déroissante d'éléments de E est nie.
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Ordre bien fondé et réurrene
Soit (E, ≤) un ensemble doté d'un ordre bien fondé et soit P une propriété
dépendant d'un élément de E . Montrer que si P vérie ∀x ∈ E,(∀y ∈ E tel que
y ≤ x ⇒ P (y)) ⇒ P (x), alors ∀x ∈ E,P (x).
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Treillis
Parmi les ensembles ordonnés suivants, lesquels sont des treillis?
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