Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП –НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ «ШАГ В
БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДМЕТ
«ФИЗИКА»
ВАРИАНТ № 7
З А Д А Ч А 1.
Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле тяжести . В начальный момент
частицы находились в одной точке и имели равные скорости v1 = v2= v0 = 4,0 м/с , направленные
горизонтально и в противоположные стороны. Найдите расстояние между частицами в момент, когда
угол между векторами их скоростей будет равен 600
З А Д А Ч А 2.
Абсолютные показатели преломления алмаза и стекла соответственно равны 2,42 и 1,5. Найдите
отношение толщин этих веществ, если время распространения света в них одинаково.
З А Д А Ч А 3.
S1
В вертикально расположенном сосуде с сечениями S1= 200 см2 и
S2 = 100 см2 находятся два невесомых поршня . Поршни соединены тонкой
проволокой длины L = 0,5 м. Пространство между поршнями заполнено водой.
Найдите силу натяжения проволоки T . Трением пренебречь. Концы сосуда
открыты в атмосферу. Принять ускорение свободного падения g =10 м / c2
L
S2
З А Д А Ч А 4.
R/ 2
В однородном цилиндре радиуса R и массы m , на расстоянии R/2 от
центра цилиндра, параллельно его оси просверлено сквозное отверстие радиуса
R/2 . Цилиндр находится на горизонтальной поверхности в положении, показанном
на рисунке.
Определите величину минимальной работы, необходимой для
перекатывания без скольжения цилиндра на расстояние L  3  R .
2
З А Д А Ч А 5.
Сосуд вместимостью V = 30 дм3
разделен на три равные части неподвижными
полупроницаемыми тонкими перегородками. В левую часть сосуда впускают азот массы mА = 84 г, в
среднюю- водород массы mВ = 6 г и в правую - кислород массы mК = 96 г. Молекулы водорода и
азота могут диффундировать через обе перегородки. Чему будет равно
давление в правой части сосуда после установления равновесия, если
N2
H2
О2
температура газа в сосуде поддерживается постоянной и равной Т = 300К ?
З А Д А Ч А 6.
Два моля неона и три моля гелия находятся в левой половине
цилиндра, показанного на рисунке. Справа от поршня вакуум . В отсутствие
Q
газов поршень расположен вплотную к левому торцу цилиндра и пружина в
этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень
адиабатные (нетеплопроводные). Газ нагревают через левый торец цилиндра. Пренебрегая трением,
найдите теплоёмкость газовой смеси.
З А Д А Ч А 7.
Циклическая частота свободных малых колебаний материальной точки равна  . Найдите
наименьшее время, через которое её импульс уменьшится вдвое по сравнению с максимальным
значением.
З А Д А Ч А 8.
Фотокатод с работой выхода А освещается монохроматическим светом с частотой  .
Вылетевшие из катода электроны попадают в однородное магнитное поле и движутся по
окружностям, наибольший радиус которых равен R. Определите индукцию В магнитного поля.
З А Д А Ч А 9.
Определите заряд на конденсаторе С. Параметры элементов схемы,
указанные на рисунке, считать известными. Внутренними сопротивлениями
источников тока пренебречь.
З А Д А Ч А 10.
R
C
2R
2Е
3Е
Е
Небольшой шарик, имеющий массу m и заряд q, находится на высоте
h над землей. На одной вертикали с ним на высоте 2h находится второй шарик массы 2m и
заряда q. Шарики одновременно бросили в одну сторону в горизонтальном направлении с
одинаковыми скоростями v. Нижний шарик коснулся земли на расстоянии L от вертикали
бросания. На какой высоте H в этот момент будет находиться второй шарик? Cопротивлением
воздуха и влиянием индуцированных на земле зарядов пренебречь.
7-1
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СОРЕВНОВАНИЯ ОЛИМПИАДЫ
«ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО КОМПЛЕКСУ ПРЕДМЕТОВ «ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ» ФИЗИКА
РЕШЕНИЕ
ВАРИАНТА № 7
З А Д А Ч А 1. (4 балла)
2
2v 0 3
vo1
vo1
vo2
vo2
C
C
 5, 6 м .
g
o

60
v
Падая, обе частицы, находятся в одной горизонтальной
плоскости, на одной высоте, определяемой составляющей

vo1
vo2
v
A
v y  gt . Расстояние между частицами L определяется
B vy=gt
горизонтальными
составляющими
скоростей,
т.е.


начальными скоростями vo1 и vo2, и временем падения частиц t до момента, когда скорости v 1 и v 2 .
Ответ: L 
1
2
образуют угол 60о. Время падения частиц находим из треугольников скоростей , где v y  gt Треугольник ACB - прямоугольный
v o1
v 01
  gt , отсюда t 
L  ( v 0 1  v 0 2 ) t  2 v o t , (2) т.к. v 0 1  v 0 2  v 0
(1)
o
tg 30
g  tg 30 o
Подставив (1) в (2), получим
2
v0
2v0 3 2  42 3
L  2v 0 t  2v 0


 5,6 м .
g
9 ,8
g  tg 30 o
З А Д А Ч А 2. (4 балла)
Ответ:
2
1

n1
n2

 1, 61 .

n1  2,42 , n2  1,5
Абсолютные показатели преломления алмаза n1  2,42 и стекла n2  1,5
связаны со скоростями 1 и  2 распространения света в этих веществах
соотношением
n1  2

n 2 1


(1)
Так как свет распространяется в однородной среде с постоянной скоростью, то 1 
где  1 -толщина алмаза,  2 -толщина стекла., а

Разделив почленно выражения (2), получим 2
1
2
Из сравнения уравнений (1) и (2) найдём
1
Ответ:
T  gL
S1  S 2
, а 2 
2
t
t
t время прохождения света сквозь вещество .

 2 (3) .
1
n
2,42
 1 
 1,61 .
n2
1,5
З А Д А Ч А 3. (5 баллов)
S1 S 2
1
T
S1
 100 H .
P
L
Обозначим атмосферное давление через Po, давление P+gL
воды на верхний поршень- через P. Давление воды на нижний
поршень равно P  gL , где  - плотность воды. Запишем
условия равновесия поршней: Принять ускорение свободного
падения g =10 м / c2
1) PoS1  T  PS1
2) P   gL S 2  Po S 2  T
Из этих соотношений находим силу натяжения проволоки
S2
T
, (2)
7-2
4
T  gL
S1 S 2
2,0  1,0  10
 10 310  0.5
 100 H
S1  S 2
(2,0  1,0)  10 2
З А Д А Ч А 4. (5 баллов)
Ответ: A 
mgR
.
4
3
m . (Массы
4
пропорциональны соответствующим площадям сечения цилиндра).
Масса цилиндра с отверстием равна m1 
Для перекатывания цилиндра на расстояние L 
A
3 R
, необходимо совершить минимальную работу
2
3
mg  y C , где  y C - перемещение центра масс цилиндра вдоль вертикальной оси y .
4
Представляя цилиндр с отверстием как сумму двух симметричных тел с
m
m
массами m 2 
и m3 
и, взяв начало координат в центре цилиндра (
2
4
R
2
в точке О ) , получим: y C 
;
m 2  m3
m3 
Следовательно,  y C  2 y C 
R
3
и
m R

4 2 R
 .
т.е. y C 
3
6
m
4
3
R mgR
работа A  mg  
.
4
3
4
m2
yC
О
m3
y
З А Д А Ч А 5. (5 баллов)
Ответ: P 
RT
( B  3 K   A )  1,25  10 6 Па
V
N2
H2
О2
RT
3RT
RT RT
 K
 A

( B  3 K   A )
V
V
V
V
P  8,31  10 4 (3  3  3  3)  1,25  10 6 Па
P  PB  PK  PA   B
З А Д А Ч А 6. (5 баллов)
Ответ: C  2R  10R .
1). Подводимая к газу теплота Q идет на изменение внутренней энергии газа и изменение
потенциальной энергии сжатой пружины :
3
k
2
2
 Q   R  T  ( x 2  x 1 ) (1), где x величина деформации пружины;   число молей
2
2
газовой смеси; k коэффициент жёсткости пружины.
2) Состояние идеального газа описывается уравнением: pV   RT
(2)
F kx
Из условия равновесия поршня следует, что
p 
(3),
где F  сила упругости,
S
S
S  площадь поршня. Кроме того V  xS (4) . Подставив (3) и (4) в левую часть уравнения (2),
kx
2
получим:
xS   RT .
То есть kx   RT (5).
S
И для двух положений поршня имеем :
Подставляя (6) в (1), получим
2
2
kx 2  kx 1   R  T
(6).
7-3
3
1
Q
 Q   R  T   R  T  2 R  T . И теплоёмкость системы С 
 2 R .
2
2
T
По условию задачи в левой половине цилиндра находятся два моля неона и три моля гелия , то
есть 
 5 . Тогда С  2  5  R  10 R .

З А Д А Ч А 7. (5 баллов)
Ответ: t 

.
3
Импульс материальной точки , совершающей малые колебания p  m , где
p (t   )

1
1


   m cos(  t ) . (1) По условию задачи
и, следовательно,    m .
p m (t  0)  m 2
2
Подставляя
это
1
  t  arccos ;
2
выражение
 t 

;
3
в
t
(1) , получим
m
  m cos(  t )
2
,
откуда cos(  t ) 
1
;
2

.
3
З А Д А Ч А 8. (5 баллов)
Ответ: B 
1)
h  A 
1
2mh  A .
qR
2
2
m
h  A
, откуда  
2
m
m 2
 qB ,
2)
R
откуда
B
(1)
m m 2
h  A  1 2mh  A .

qR qR m
qR
З А Д А Ч А 9. (6 баллов)
I
14
Ответ: q  CE .
3
1). Ток в контуре ( направление тока  по часовой стрелке )
E
I
(1)
3R
2). Для контура АBDA ( Направление обхода контура показано
на рисунке стрелочкой )
U  I  2 R  3E  E (2),
Где U  напряжение на конденсаторе.
E
14
R  E.
Из (2) следует U  4 E  2  IR  4 E  2
3R
3
14
q  CU  CE .
3). Заряд конденсатора
3
A
R
C
2R
D
2Е
Е
3Е
B
З А Д А Ч А 10. (6 баллов)
5
3 L
Ответ: Н 2  h  g  
2
4  
2
Начальное положение центра масс находится на высоте h c 
скорость v направлена горизонтально.
mh  2 m  2 h
5
 h
m  2m
3
и его начальная
7-4
В дальнейшем центр масс будет двигаться по параболе, характеризуемой уравнением h  h c 
g 2
t .
2
L
.

Положение центра масс в момент падения нижнего шарика на землю определяется соотношением
Нижний шарик упадет на землю в момент времени t 
2
g 2 5
gL
Hс  hc  t  h -   .
2
3
2  
Найдем высоту, на которой будет находиться второй шарик в момент падения нижнего шарика на
землю.
m  0  2mH
Нс 
3m
2
2
 H2,
3
откуда
H2 
3
5
3 L
Hc  h  g 
2
2
4  
2