Задачник КВАНТА. http://fizportal.ru Ф20. Параллельно оси цилиндра радиуса R на расстоянии R/2 от его центра просверлено круглое отверстие. Радиус отверстия равен R/2. Цилиндр лежит на дощечке, которую медленно поднимают за один конец (рисунок). Найти предельный угол наклона дощечки, при котором цилиндр еще будет находиться в равновесии. Коэффициент трения цилиндра о дощечку равен 0,2. Решение. Найдем сначала положение центра тяжести цилиндра с отверстием. Ясно, что он должен лежать на прямой, проходящей через центры цилиндра и отверстия. Центр тяжести целого цилиндра лежит на его оси, а центр тяжести цилиндра, заполняющего отверстие, – на оси отверстия. Рассматривая целый цилиндр как два тела – цилиндр с отверстием и «вставка», заполняющая отверстие, и обозначив через x расстояние от оси цилиндра с отверстием (рис.), мы можем записать, что R R ( )2 R ( )2 x Mg Mg 2 2 Mg 2 2 , R 2 R R ( )2 3 1 (M – масса цилиндра, M 2 2 – масса «вставки»). Отсюда x R , R 4 8 то есть центр тяжести цилиндра с отверстием находится на расстоянии x 1 R от его 6 оси. Если дощечку медленно поднимать за один из концов, цилиндр будет поворачиваться, занимая устойчивое положение, при котором его центр тяжести будет находиться на вертикали, проходящей через точку касания цилиндра с дощечкой. При этом положения, которые может занимать центр тяжести цилиндра, лежат на окружности радиуса 1 R с центром на оси цилиндра. Очевидно, что устойчивое по6 ложение невозможно, и цилиндр начнет скатываться без проскальзывания, если вертикаль, проходящая через точку касания цилиндра с дощечкой, не пересекается с этой окружностью (рис.). В этом случае момент силы тяжести относительно точки касания цилиндра с дощечкой не может быть равен нулю ни при каком положении цилиндра. Таким образом, угол, при котором цилиндр начнет скатываться, равен 1 R 1 1 arcsin 6 arcsin . R 6 Но нам еще нужно проверить, не начнется ли скольжение цилиндра по дощечке при меньшем угле. Скольжение наступит, когда составляющая силы тяжести вдоль дощечки станет равной максимальному значению силы трения: M 1 g sin 1 kM 1 g cos 2 (M1 – масса цилиндра с отверстием), откуда 1 2 arctgk arctg arctg 5 1 5 1 1 ( )2 5 arcsin 1 . 26 Так как 1 2 , то качение цилиндра начнется раньше скольжения и цилиндр потеряет устойчивость при угле наклона дощечки 1 6 1 arcsin .