5.8. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи

147
Ïîëàãàÿ k = − γ ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå
α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 ) + γ (A3 x + B3 y + C3 ) = 0 ,
(5.85)
ãäå
α2 + β2 + γ 2 ≠ 0 .
(5.86)
Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå, ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå
óðàâíåíèå â âèäå
(αA1 + βA2 + γA3 )x + (αB1 + βB2 + γB3 )y + (αC1 + βC2 + γC3 ) = 0 .
Ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâàì
αA1 + βA2 + γA3 = 0 ,
αB1 + βB2 + γB3 = 0 ,
(5.87)
αC1 + β C2 + γC3 = 0 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.2 (Êðîíåêåðà-Êàïåëëè) ñèñòåìà (5.87) áóäåò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå, åñëè
A1
A2
A3
B1
B2
B3 = 0
C1 C 2 C3
,
(5.88)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õ
äàííûõ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå.
5.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå.
Îñíîâíûå çàäà÷è
Çàäà÷à 14. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè
Íàì òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 ) íå
ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.
1. Ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.4)
10*
148
r r
r
r
r = r0 + t1 p + t2 q ,
M3
M1
r
r
r1
r3 r M 2
r2
(5.4)
ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.17 è
M ðèñ. 5.2 íàäî ïîëîæèòü:
r r
r0 = r1 ;
r
r
r
r r
p = M1M2 = r2 − r1 ;
r
r r
q = M1M3 = r3 − r1 .
z
O
y
x
Âûïîëíèâ óêàçàííóþ ïîäñòàíîâêó ïîëó÷èì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ðèñ. 5.17.
r r
r r
r r
r = r1 + t1 (r2 − r1 ) + t2 (r3 − r1 ) .
(5.89)
2. Ãîðàçäî ïðîùå ðåøèòü ýòó çàäà÷ó èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ M1M , M1M2 è M1M3 (ñì.
ï. 4.7.3). Òàê êàê âñå ýòè âåêòîðû ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, èõ
ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å.
(M M,M M ,M M )= 0 .
1
âèäå
1
2
1
3
Èñïîëüçóÿ (4.58) çàïèøåì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â
x − x1
y − y1
z − z1
x2 − x1
y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
.
(5.90)
Óðàâíåíèþ (5.90) ìîæíî ïðèäàòü áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä
(ñì. çàäà÷ó 10):
x
y
z
x1
y1
z1 1
x2
y2
z2 1
x3
y3
z3 1
1
=0
.
(5.91)
149
Çàäà÷à 15. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ
Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.18)
(5.18)
Ax + By + Cz + D = 0 .
Ïîëàãàÿ D ≠ 0 ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 4 âûïîëíèì î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ:
Ax + By + Cz = −D ,
Ax =
x
y
z
By =
Cz =
1 ,
1 ,
1 ,
A
B
C
−D
x
y
z
x
y
z
+
+
=
=1
+ +
= −D
−
D
−
D
−
D
1
1
1
−D
èëè
.
A
B
C
A B C
Ïîëàãàÿ
−
D
D
D
=a, − =b, − =c
A
B
C
ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå
x y z
+ + = 1.
a b c
(5.92)
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â
îòðåçêàõ.
Çàäà÷à 16.
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè
1. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì (5.1)
r r r
(5.1)
r = r0 + a t ,
à ïëîñêîñòü π çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.13)
(5.13)
(rr − rr0 , nr ) = 0 èëè (rr − rr0 , pr, qr ) = 0 .
 ýòîì ñëó÷àå íàì èçâåñòåí íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé
r
r
r r r
a (l , m, n ) è íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè n (A, B, C ) , n = [p, q ].
Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè åñëè å¸ íàïðàâëÿþùèé âåê-
150
òîð ar ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ò.å.,
åñëè
(ar, nr ) = 0
èëè
Al + Bm + Cn = 0 .
r
Åñëè ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð ïðÿìîé r0
(5.93)
áóäó÷è ïîäñòàâëåííûì â óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ïðåâðàùàåò åãî â òîæäåñòâî, òîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â äàííîé ïëîñêîñòè
è ïðÿìàÿ òîæå ëåæèò â ïëîñêîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè π åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ
(5.94)
Al + Bm + Cn = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .
ßñíî, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (5.93), ò.å.
(5.95)
Al + Bm + Cn ≠ 0 ,
åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.
Ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè π åñëè íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé ar ïàðàëëåëåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè
(5.96)
[ar, nr ] = θ ,
èëè
r
i
r
j
r
k
l
m
n =θ
A B C
.
(5.97)
2. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà â âèäå
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ,
à ïëîñêîñòü π çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì
Ax + By + Cz + D = 0 ,
òîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.33) èìååò êîîðäèíàòû
151
r B
a  1
 B2
C1 C1
,
C2 C 2
A1 A1
,
A2 A2
r
B1 

B2  ,
íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè åñòü n (A, B, C ) , è óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè åñòü
(ar, nr ) = 0
èëè
A
B1
C1
B2
C2
+B
C1
A1
C2
A2
+C
A1
B1
A2
B2
=0.
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå êàê
A
B
C
A1
B1
C1 = 0
A2
B2
C2
.
(5.98)
Åñëè
A
B
C
I = A1
B1
C1 ≠ 0
A2
B2
C2
,
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà
óðàâíåíèé
Ax + By + Cz + D = 0 ,
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 3 è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ òîæå 3 ( RgI = 3 , n = 3 ) è òðè
ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Çàäà÷à 17. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòåí íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñr
r
êîñòè n (A, B, C ) è íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé a (l, m, n ) , òîãäà,
152
r
n ψ
r
a
êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.18, óãîë ìåæäó
r
íîðìàëüíûì âåêòîðîì n (A, B,C ) è íà-
l
r
ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a (l, m, n ) ìîæåò
áûòü ïîëó÷åí èç ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äàííûõ âåêòîðîâ:
ϕ
π
Ðèñ. 5.18.
cos ψ =
Al + Bm + Cn
A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2
.
Òàê êàê
ψ=
π
−ϕ,
2
òîãäà, ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî
sin ϕ = cos ψ
áóäåò
sin ϕ =
Al + Bm + Cn
.
A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2
(5.99)
Çàäà÷à 18. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè â ïðîñòðàíñòâå
r
Åñëè èçâåñòíû íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ a1 (l1, m1, n1 ) è
r
a2 (l 2 , m2 , n2 ) , òî óãîë ϕ ìåæäó ïðÿìûìè åñòü óãîë ìåæäó èõ íà-
ïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè è ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî
cos ϕ =
l1l2 + m1m2 + n1n2
l12
+ m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22
.
(5.100)
Çàäà÷à 19. Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà
Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà àíàëîãè÷íî ðàçáèåíèþ ïëîñêîñòè (çàäà÷à 5) íà äâå ïîëóïëîñêîñòè.
Ïóñòü íàì äàíà ïëîñêîñòü π ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr .
Ïîëóïðîñòðàíñòâîì, îïðåäåëÿåìûì ïëîñêîñòüþ π è å¸ íîðìàëü-
153
íûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçûr
âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19)
n
r
r
r
M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé (r − r0 , n ) > 0
òî÷êè M0 ∈ π âåêòîð M0M ñîϕ
ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì nr óãîë, íå
ïðåâûøàþùèé
π
.
2
Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷-
r
êè M , à r0 - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
M0
(rr − rr0 , nr ) < 0r
−n
M
r
q
r
p
π
r )=
r ,n
0
r
r −
r
0
(
Ðèñ. 5.19.
M0 ∈ π , òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
(rr − rr0 , nr ) ≥ 0
(5.101)
èëè
Ax + By + Cz + D ≥ 0 .
(5.102)
Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ “ïîëîæèòåëüíîãî” ïîëóïðîñòðàíñòâà.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð − nr çàäàþò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì
(5.103)
(rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + Cz + D ≤ 0 .
Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü “îòðèöàòåëüíûì”
ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ.
Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî “ïîëîæèòåëüíîå” ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè nr íàïðàâëåí ⠓ïîëîæèòåëüíîå” ïîëóïðîñòðàír
r
ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè p è q
ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.
Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåêr
òîðà n (A, B,C ) ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M (x, y, z ) , äëÿ êîòîðûõ
154
(M M, nr )= 0 ,
(5.104)
0
ãäå M0 (x0 , y0 , z0 ) - íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è òàê
A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 .
(5.105)
r
Î âåêòîðå n (A, B,C ) áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îí îðòîãîíàëåí äàííîé ïëîñêîñòè.
r
Åñëè âåêòîð n (A, B,C ) íîðìèðîâàí, òîãäà
A2 + B 2 + C 2 = 1
è åñëè ïðè ýòîì D ≤ 0 , òî óðàâíåíèå (5.104) åñòü íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè.
r
Åñëè n = 1 , òî
r
r
r
r
(5.106)
n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k ,
ãäå α, β, γ - óãëû, îáðàçîâàííûå âåêòîðîì nr ñ îñÿìè êîîðäèíàò.
Ïîäñòàâëÿÿ (5.106) â (5.105) ïîëó÷èì
x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 ,
(5.107)
ãäå − p = D .
 âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò
âèä
(5.108)
(nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p .
Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì
(5.109)
Ax + By + cz + D = 0 ,
òî äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê âèäó (5.107) íàäî íîðìèðîâàòü âåêòîð nr ,
ò.å. íàäî óðàâíåíèå (5.109) óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü
µ=±
1
A + B2 + C 2
2
.
(5.110)
Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì âûáèðàòü çíàê (+) åñëè D < 0 è
çíàê (-) åñëè D < 0 .
Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 6 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî p â óðàâíå-
155
íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïëîñêîñòè.
Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè
N
h
p
K
r
n
z
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3.
M
Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíà
r
R
íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì
(5.108).
Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òî
ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåêr
O
y
x
òîðà R òî÷êè M (X ,Y , Z ) íà
íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé
âåêòîð nr åñòü
Ðèñ. 5.20.
r r
R, n r
r
Ïðnr R = r 2 ⋅ n = X cos α + Y cos β + Z cos γ = p + h ,
n
( )
îòêóäà
r r
h = X cos α + Y cos β + z cos γ − p èëè h = n, R − p
( )
(5.111)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y , Z ) äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
(5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå.
Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà
h=
AX + BY + CZ + D
A2 + B 2 + C 2
.
(5.112)
Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè
Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå
èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå l1 è l2 . Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî,
156
r
a2
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò
äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 , òàêèå,
÷òî:
l1 ∈ π1 , l 2 ∈ π 2 è π1 ïàðàë-
M2
l2
h
r
r2
r
r1
M1
ëåëüíà π 2 .
r
a1
Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1
l1
è l2 åñòü:
r r r
r r r
r − r1 = a1t è r − r2 = a2t ,
z
y
O
òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè π1 ïîëîæèì
Ðèñ. 5.21.
r
(ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó r1 è
x
r
r
íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 ,
r
à äëÿ ïëîñêîñòè π 2 â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì r2 è íàr
r
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 .
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè π1 è π 2 .
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåír r r
r
íîãî íà âåêòîðàõ r2 − r1 , a1 è a2 åñòü
r r r r
V = (r2 − r1, a1, a2 ) ,
à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü
r r
S = [a1, a2 ] .
Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü
h=
V
S
=
(rr2 − rr1, ar1, ar2 )
[ar1, ar2 ]
.
(5.113)
Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè
è h = 0 , òîãäà
(rr2 − rr1, ar1, ar2 ) = 0
r r
è [a1, a2 ] ≠ 0 .
157
Çàäà÷à 23. Ïó÷îê è ñâÿçêà ïëîñêîñòåé
Ïó÷êîì ïëîñêîñòåé áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé,
ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ îñüþ
ïó÷êà.
Óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé èìååò âèä
α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0 ,
(5.114)
ãäå α 2 + β 2 ≠ 0 .
Ñâÿçêîé ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó, íàçûâàåìóþ öåíòðîì ñâÿçêè.
Óðàâíåíèå ñâÿçêè ïëîñêîñòåé èìååò âèä
α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) +
+ γ (A3 x + B3 y + C3z + D3 ) = 0
ãäå α 2 + β 2 + γ 2 ≠ 0 .
,
(5.115)