( ) ( )

Лекция 6. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
1. Производная по направлению.
2. Градиент.
1. Производная по направлению.
Рассмотрим функцию z = f ( x, y ) , определенную и дифференцируемую в окрестности точки P0 (x0 ; y0 ) . и пусть
r
l = (cos α ; cos β ) – произвольный вектор плоскости, отличный от
r
нулевого, где cos α и cos β направляющие косинусы вектора l .
Проведем через точку P0 ( x0 ; y0 ) прямую Γ так, чтобы одно из
r
ее направлений совпадало с направлением вектора l .
Рис.1
Возьмем на направленной прямой точку P1 (x0 + ∆x; y0 + ∆y ) .
Тогда P0 P1 = ∆l = ± ∆x 2 + ∆y 2 есть приращение вдоль прямой Γ .
Функция
z = f ( x, y )
получит при этом приращение
∆z = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) .
О п р е д е л е н и е 1. Производной по направлению вдоль
r
вектора l функции z = f (x, y ) в точке P0 (x0 ; y0 ) называется
∆z
предел отношения
при ∆l → 0 .
∆l
52
∂z
∆z
.
= lim
∂l ∆l →0 ∆l
Теорема 1. Если функция z = f ( x, y ) дифференцируема в
точке P0 (x0 ; y0 ) , то производная по направлению в этой точке
вычисляется по формуле:
∂z ∂z
∂z
= cos α + cos β .
∂l ∂x
∂y
► Так как функция дифференцируема в точке P0 ( x0 ; y0 ) , то
ее приращение в этой точке вдоль прямой Γ можно записать в
виде:
∂z
∂z
∆z = ∆x + ∆y + α1∆x + α 2 ∆y ,
∂x
∂y
где α1 → 0 и α 2 → 0 при ∆l → 0 .
Разделим обе части этого равенства на ∆l , получим
∆z ∂z ∆x ∂z ∆y
∆x
∆y
=
+
+ α1
+ α2
.
∆l ∂x ∆l ∂y ∆l
∆l
∆l
∆x
∆y
= cos α ,
= cos β .
Учитывая, что (рис.1), имеем
∆l
∆l
Поэтому
∆z ∂z
∂z
= cos α + cos β + α1 cos α + α 2 cos β .
∆l ∂x
∂y
Переходя к пределу при ∆l → 0 , имеем:
∂z ∂z
∂z
= cos α + cos β .◄
∂l ∂x
∂y
π
π
∂z ∂z
=
, а при α =
В частности, при α = 0 и β = имеем
2
∂l ∂x
2
∂z ∂z
=
.
и β = 0 имеем
∂l ∂y
Отсюда следует, что частные производные по переменным x
и y являются частными случаями производной по направлению.
Пример. Вычислить производную по направлению функции
z = x 2 + xy 2
Обозначается:
53
в точке P0 (1;2) в направлении вектора P0 P1 , где P1 (3;0 ) .
Р е ш е н и е . Координаты вектора P0 P1 равны
P0 P1 = (3 − 1;0 − 2 ) = (2;−2 ) .
Тогда длина вектора есть
P0 P1 = 2 2 + (− 2 ) = 2 2 .
Координаты нормированного вектора есть
r ⎛ 2
2 ⎞ ⎛⎜ 2
2 ⎞⎟
l = ⎜⎜
;−
⎟⎟ =
;−
.
⎜
2 ⎟⎠
⎝2 2 2 2⎠ ⎝ 2
2
2
3π
Отсюда cos α =
и cos β = −
. Поэтому α =
.
2
2
4
Значения частных производных в точке P0 (1;2) есть
2
(
)
∂z
= 2x + y 2
= 6,
(1; 2 )
∂x (1; 2 )
∂z
= 2 xy (1; 2 ) = 4 .
∂y (1; 2 )
Тогда производная по направлению равна
∂z
= 2.
∂l
2. Градиент.
О п р е д е л е н и е 2. Градиентом функции z = f ( x, y ) в точке P0 (x0 ; y0 ) называется вектор, координаты которого равны со∂z
∂z
ответствующим частным производным
, взятым в точке
и
∂x
∂y
P0 (x0 ; y0 ) .
⎛ ∂z ∂z ⎞
⎛ ∂z ∂z ⎞
Обозначается: grad f = ⎜⎜ ; ⎟⎟ или ∇f = ⎜⎜ ; ⎟⎟ .
⎝ ∂x ∂y ⎠
⎝ ∂x ∂y ⎠
Градиент ∇f функции z = f ( x, y ) можно записать с помо-
54
r
r
∂f r ∂f r
j.
щью координатных векторов i и j в виде ∇f = i +
∂x
∂y
Используя скалярное произведение векторов в координатной
форме, можно записать
v
∂z
∂z
cos α + cos β = l0 ⋅ ∇f ,
∂x
∂y
r
r l r
где l0 = r , l0 = 1 .
l
С другой стороны, скалярное произведение векторов равно
v
v
l0 ⋅ ∇f = l0 ⋅ ∇f ⋅ cos ϕ ,
r
где ϕ – угол между векторами l0 и ∇f . Сравнивая, получим
∂z
∂z
= ∇f ⋅ cos ϕ . Отсюда следует, что
имеет наибольшую
∂l
∂l
r
длину при cos ϕ = 1 , т.е. когда направление вектора l совпадает
с направлением вектора ∇f .
Градиент ∇f функции z = f (x, y ) в точке P0 ( x0 ; y0 ) характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.
Замечания. 1. Производная по направлению для функции
трех переменных u = f (x, y, z ) имеет вид:
∂u ∂u
∂u
∂u
=
cos α + cos β + cos γ ,
∂l ∂x
∂y
∂z
r
где cos α , cos β , cos γ направляющие косинусы вектора l .
2. Пусть функция u = f (x ) , x = (x1 , x2 ,..., xn ) , n ≥ 2 , определе-
(
)
на и дифференцируема в точке x0 = x10 ; x20 ;...; xn0 . И пусть задан
r
n -мерный
вектор
l ≠ 0,
единичный
вектор
r
r l
l0 = r = (cos α1 ; cos α 2 ;...; cos α n ) , где cos α1 , cos α 2 , ... , cos α n
l
направляющие косинусы в пространстве R n . Тогда существует
производная по любому направлению и
55
∂f (x0 ) ∂f (x0 )
∂f (x0 )
∂f (x0 )
=
cos α1 +
cos α 2 + ... +
cos α n .
∂x1
∂l
∂x2
∂xn
grad f (x ) = ∇f ( x )
u = f (x ) ,
2.
Градиент
функции
x = (x1 , x2 ,..., xn ) , n ≥ 2 , определяется по формуле:
⎛ ∂f (x0 ) ∂f (x0 )
∂f (x0 ) ⎞
⎟⎟ .
grad f (x ) = ⎜⎜
;
;...;
x
x
x
∂
∂
∂
1
2
n ⎠
⎝
2
Пример. Найти градиент функции u = x + y 2 + z 2 в точке
P(1;1;1) .
Р е ш е н и е . Находим частные производные
∂f
∂f
∂f
= 2x ,
= 2y ,
= 2z .
∂x
∂z
∂y
Тогда
∂f
∂f
∂f
= 2,
= 2.
= 2,
∂y (1;1;1)
∂x (1;1;1)
∂z (1;1;1)
Следовательно, градиент функции равен
grad f (x ) = (2;2;2 ) .
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение производной по направле∂z ∂z
∂z
= cos α + cos β .
нию. Докажите формулу
∂l ∂x
∂y
2. Дайте определение градиента функции в пространствах
2
R , R3 , R n .
56