5. Классификация функции Имеет место следующая

27
5. Классификация функции
Имеет место следующая классификация функций
1. Функция вида Pn ( x ) = a0 x n + a1x n−1 + a2 x n − 2 +...+ an ,
где n ∈ N ∪ { 0} , a 0 , a1 ,..., a n ∈ R , называется целой рациональной функцией или
многочленом степени n.
2. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных
функций
Pm ( x ) a0 x m + a1 x m−1 + a2 x m− 2 +...+ am
=
Qn ( x ) b0 x n + b1 x n −1 + b2 x n − 2 +...+ an
называется дробно иррациональной.
Совокупность дробно иррациональных и целых рациональных называется
рациональными функциями.
3. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех
арифметических действий над степенными функциями как с целыми так и с
дробными показателями и не являющиеся рациональными называются
иррациональными.
y = x , f (x) =
x +2
(пример таких функций)
x2 +1
3
Рациональные и иррациональные функции образуют класс алгебраических
функций.
4. Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется
трансцендентной.
Элементарные функции
Алгебраические ф-ии
Трансцендентные ф-ии
Рациональные ф-ии
Иррациональные ф-ии
Целые функции
Дробные рац. ф-ии
6. Функции, заданные параметрически и в полярных координатах
Параметрическое задание функции. Пусть x = ϕ ( t ), y = φ ( t ) - две функции одной
независимой переменной t ∈T . Если x = ϕ ( t ) монотонна на Т, то существует обратная
к ней функция t = ϕ −1 ( x ) . Поэтому функцию y = φ ( t ) , t = ϕ −1 ( x ) можно рассматривать
как сложную функцию, переводящую элемент х в элемент y посредством
промежуточной переменной t :
⎧x = ϕ ( t ) ⇒ t = ϕ −1 ( x )
, t ∈ T ⇔ y = φ (ϕ ( t )) = F ( x )
⎨
⎩ y = φ(t )
Переменную t называют параметром. В этом случае говорят, что сложная функция
задана параметрически.
Замечание : всякую функцию можно задать параметрически.
28
Параметрическое задание некоторых линий на плоскости.
⎧x = t
,t ∈R
⎩ y = at + b
1. Прямая y = ax + b ⇔ ⎨
2. Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а :
⎧x = a cos t ,
x 2 + y 2 = a2 ⇔ ⎨
0 ≤ t < 2π .
⎩ y = a sin t ,
3. Эллипс
⎧x = a cos t ,
x2 y2
+
=
1
⇔
0 ≤ t < 2π .
⎨
a 2 b2
⎩ y = b sin t ,
4. Парабола
⎧⎪ x = t ,
y 2 = 2 px ⇔ ⎨
t ∈ [0, ∞ ) .
⎪⎩ y = 2 pt ,
В частности
⎧x = t ,
y = x2 ⇔ ⎨
t ∈R .
2
⎩y = t ,
5. Гипербола
⎧x = acht ,
x2 y2
t ∈R .
2 −
2 = 1⇔ ⎨
a
b
⎩ y = bsht ,
(Справедливость задания следует из равенства : ch 2 t − sh 2 t = 1 ).
6. Декартов лист
3at
⎧
⎪⎪x = 1 + t 3 ,
y
=
tx
,
⎧
x 3 + y 3 − 3axy = 0 ⇔ ⎨ 3 3 3
⇔⎨
t = tg( OM , Ox ) .
2
2
⎩x + t x − 3atx = 0, ⎪ y = 3at ,
⎪⎩
1+ t3
Декартов лист
Астроида
29
7. Астроида - замкнутая линия, являющаяся траекторией точки, лежащей на
окружности радиуса r, которая катится по внутренней стороне неподвижного круга
радиуса а (ф=4r). Её уравнение
x
2
3
+y
2
3
=a
2
3
⎧⎪x = a cos 3 t ,
⇔⎨
0 ≤ t < 2π .
⎪⎩ y = a sin 3 t ,
8. Циклоида - это кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без
скольжения по прямой линии.
x = a ( t − sin t ),
y = a(1 − cos t ),
t ∈R .
Циклоида
Полярная система координат. Полярная система координат задается : точкой
О, называемой полюсом, лучом Ох, называемым полярной осью, и выбранной на оси
единицей масштаба.
Полярными координатами точки М ∈R 2 , (не совпадающей с полюсом),
называется полярный радиус r ( M ) = OM точки М и полярный угол ϕ(М)
Обобщенными O
полярными координатами точки М, называются ее полярные
координаты r , ϕ, такие, что − ∞ < r < ∞ , − ∞ < ϕ < ∞ (если r<0 то точка откладывается
на продолжении луча).
Из геометрических соображений
30
x = r cosϕ , x = r sin ϕ .
Это формулы перехода от полярных к декартовым координатам. Обратные формулы:
r = x 2 + y 2 , tgϕ =
y
y
⇒ ϕ = arctg
x
x
Уравнение некоторых линий в полярной системе координат.
1.Прямая линия, проходящая через полюс
y = kx ⇔ tgϕ = k
Прямая линия, не проходящая через полюс:
Ax + By + C = 0 ⇔ r =
p
cos(ϕ − α )
,
где p - расстояние от прямой до полюса, α - угол наклона нормального вектора
n(A,B).
2. Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а
x 2 + y 2 = a2 ⇔ r = a
Окружность радиуса а с центром, смещенным на а единиц вправо по оси ОХ:
( x − a) 2 + y 2 = a 2 ⇔ r = 2a cosϕ .
Окружность радиуса а с центром, смещенным на а единиц вверх по оси ОY:
2
x 2 + ( y − a) = a 2 ⇔ r = 2a sin ϕ .
3. Линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола):
r=
p
,
1 − ε cos ϕ
где р - параметр, ε - эксцентриситет.
При ε < 1 уравнение определяет эллипс (полюс совпадает с левым фокусом
эллипса), при ε > 1 гиперболу (полюс совпадает с правым фокусом гиперболы), ε = 1
Парабола.
4. Розы. Розами называют семейство кривых, уравнения которых в полярной системе
координат записываются в виде :
r = a sin kϕ , r = a cos kϕ ,
где a, k - параметры. При любых a, k ,ϕ r ≤ ϕ , поэтому можно сделать вывод, что все
кривые этого класса располагаются внутри круга радиуса a
31
5. Спирали Спираль Архимеда, определяется как траектория точки,
участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых
совершается вдоль прямой, а второе - по окружности.
32
Гиперболическая спираль r =
Логарифмическая спираль
Логарифмическая спираль
a
.
ϕ
r = aϕ .
Кардиоида
Синусоидальные спирали
r m = a m sin mϕ или r m = a m cos mϕ
В зависимости от m определяют кривые различных форм.
При m = 1 уравнение r = a cosϕ или r = a sin ϕ определяет окружность
При m =
1
ϕ a
уравнение r = a cos 2 = (1 + cosϕ ) определяет кардиоиду.
2
2 2
При m = 2 уравнение r 2 = a 2 cos 2ϕ или r 2 = a 2 sin 2ϕ определяет кривую,
называемую лемнискатой Бернулли.
33
лемниската Бернулли r2=a2cos2ϕ