С.М. Алексеев, магистр 2 курса института физико-математического образования,

С.М. Алексеев,
магистр 2 курса института физико-математического образования,
научный руководитель – д-р физ.-мат.наук, проф. Ю.Н.Мальцев
ГОУВПО «Алтайская Государственная Педагогическая Академия»
(г.Барнаул, Россия)
О некоторых условиях коммутативности
ассоциативных колец
В статье [1] был получен следующий результат:
Теорема 1. Пусть R – ненулевое ассоциативное кольцо с единицей и
существуют фиксированные положительные целые числа ai , bi , ci , di
такие, что для любых x и y из кольца R выполняется тождество вида
x a1 y b1    x ar y br  xc1 y d1    xcs y ds .
Предположим,
что

 r  r   s  s
  ai   bi     c j   d j 




 i1  i1   j 1  j 1 
r
s
i 1
j 1
и
целое
число
u   ai (bi  bi 1  ...  br )   c j (d j  d j 1  ...  d s )  0. Тогда существует
целое N , зависящее только от ai , bi , ci , di такое, что если R без
N  кручения, то R  коммутативное кольцо.
Цель данной работы – обобщить основной результат работы [1].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть R – ненулевое ассоциативное кольцо с единицей и
существуют
фиксированные
положительные
целые
числа
ai , bi , ci , d i , mi , ni такие, что для любых x и y из кольца R выполняется
тождество вида
x a y b    x a y b  Ax c y d    x c y d  ( A  1) x m y n    x y
1
1
r
r
1
1
s
s
1
1
mp
np
 0,
(1)
  p
 p 
 r  r   s  s
где   ai   bi     c j   d j     mk   nk  и А ─ некоторое
 i1  i1   j 1  j 1   k 1  k 1 
фиксированное целое число.
Предположим, что
 s  s

 p
 p 
 r  r 



  ai   bi   ( A  1)  mk   nk   A  c j   d j  и целое число
 i1  i1 
 k 1  k 1 
 j 1  j 1 
r
s
u   ai (bi  bi 1  ...  br )  A c j (d j  d j 1  ...  d s ) 
i 1
j 1
p
( A  1) mk (nk  nk 1  ...  n p )  0. Тогда существует целое число N ,
k 1
зависящее только от ai , bi , ci , d i , mi , ni такое, что если
N  кручения, то R  коммутативное кольцо.
Доказательство. Сделаем замену x на 1  tx в тождестве (1), где t
положительное целое число. Получим
(1  tx) a1 y b1    (1  tx) ar y br  A(1  tx) c1 y d1    (1  tx) cs y d s 
 ( A  1)(1  tx) m y n    (1  tx)
1
1
mp
y
np
R без
 0 для любых x, y из R.
(1  a1tx  ...)y b1 (1  a2tx  ...)y b2    (1  ar tx  ...)y br  A(1  c1tx  ...)y d1
(1  c2tx  ...)y d2    (1  cstx  ...)y ds  ( A  1)(1  m1tx  ...)y n1 (1  m2tx  ...)
y n2    (1  m p tx  ...) y
np
 0.
Это тождество можно переписать в виде

M
 i t i  0 , где 

i 0
i
из кольца R ,

не зависящее от t и M  Max  ai ,  ci ,  mi . Запишем получившееся
тождество для t  1,2,..., M  1. Получим матричное уравнение
1
1
1

2
22
1




1 M  1 ( M  1) 2

...
1
...
2M


... ( M  1) M
  0

 1
 

 
 M
 0
  
 0
  .
  
 0
  
Обозначим через матрицу
1
1
...
1
1



2
M
2
2
...
2
1

F 
,а







1 M  1 ( M  1) 2 ... ( M  1) M 


A21
A31
... AM 1 1 
 A11


A
A
A
... AM 1 2 
 12
22
32
*
через
F 
  присоединённая







 A 1 M 1 A2 M 1 A3 M 1 ... AM 1 M 1 


матрица, составленная из алгебраических дополнений к матрице F .
 d 0 0 ... 0 


 0 d 0 ... 0 
*
F F 
, где d  определитель Вандермонда, который
    


 0 0 0 ... d 


равен M !(M  1)!2!1! .
Умножим матричное уравнение на F * слева и получим, что
d i  0. Следовательно, M !(M  1)! 2!1!i  0. Предположим, что в
кольце R нет M !  кручения, то (M  1)! 2!1!i  0. При домножении
равенства на M , получим (M  2)! 2!1!i  0. Продолжая этот процесс,
мы получим, что  i  0 .
Итак,  i  0 для всех i  0,..., M . В частности, если  1  0 , то
a1 xyb1b2 ...br  a2 y b1 xyb2 b3 ...br  ... ar y b1b2 ...br 1 xybr  A(c1 xy d1d2 ...ds 
c2 y d xy d d ...d  ...  cs y d d ...d xy d )  ( A  1)( m1 xy
1
2
n1
n2  n3 ... n p
m2 y xy
3
s
1
 ...  m p y
Сделаем замену
a1 x(1  ty)
b1 b2 ...br
y
s 1
2
n1  n2 ... n p 1
s
xy
np
 a2 (1  ty) x(1  ty)

 0.
на 1  ty , где t
b1
n1 n2 ... n p
положительное целое число.
b2 b3 ...br
 ... ar (1  ty)b1b2 ...br 1 x
(1  ty)br  A(c1 x(1  ty) d1d2 ...ds  c2 (1  ty)d1 x(1  ty)d2 d3 ...ds  ...
cs (1  ty) d d ...d x(1  ty) d )  ( A  1)( m1 x(1  ty)
1
2
s 1
m2 (1  ty) x(1  ty)
n1
s
n2  n3 ... n p
 ...  m p (1  ty)
n1 n2 ...n p
n1  n2 ... n p 1

x(1  ty)
np
 0.
Запишем получившееся тождество для t  1,2,...,Max( bi ,  di ,  ni )  1
и повторим рассуждения Вандермонда для аргумента y , получим, что
существует такое натуральное число l , что если кольцо R не имеет
l  кручения, то в нём справедливо следующее тождество:
a1 (b1  b2  ...  br ) xy  a2b1 yx  a2 (b2  b3  ...  br ) xy  ... 
ar (b1  b2  ...  br 1 ) yx  ar br xy  A(c1 (d1  d 2  ...  d s ) xy  c2 d1 yx 
c2 (d 2  d3  ...  d s ) xy  ...  cs (d1  d 2  ...  d s1 ) yx  cs d s xy)  ( A  1)
(m1 (n1  n2  ...  n p ) xy  m2 n1 yx  m2 (n2  n3  ...  n p ) xy  ... 
m p (n1  n2  ...  n p 1 ) yx  m p n p xy)  0,
xy(a1 (b1  b2  ...  br )  a2 (b2  b3  ...  br )  ...  ar br  A(c1 (d1  d 2  ...  d s ) 
c2 (d 2  d 3  ...  d s )  ...  cs d s )  ( A  1)( m1 (n1  n2  ...  n p ) 
m2 (n2  n3  ...  n p )  ...  m p n p ))  (a2b1  ...  ar (b1  b2  ...  br 1 ) 
A(c2 d1  ...  cs (d1  d 2  ...  d s1 ))  ( A  1)( m2 n1  ... 
m p (n1  n2  ...  n p 1 ))) yx  0,
xyu1  v1 yx  0. Далее, имеем, что
u1  v1  a1 (b1  b2  ...  br )  a2 (b2  ...  br )  ...  ar br  A(c1 (d1  ...  d s ) 
c2 (d 2  d 3  ...  d s )  ...  cs d s )  ( A  1)( m1 (n1  n2  ...  n p )  m2 (n2  ...  n p )
...  m p n p )  a2b1  ...  ar (b1  b2  ...  br 1 )  A(c2 d1  ...  cs (d1  ...  d s1 )) 
 s  s

 r  r 
( A  1)( m2 n1  ...  m p (n1  n2  ...  n p1 ))    ai   bi   A  c j   d j  
 i1  i1 
 j 1  j 1 
 p
 p 
( A  1)  mk   nk   0 . Положим u  u1  v1. Тогда u[ x, y]  0 и если в
 k 1  k 1 
кольце R нет u  кручения, то xy  yx.
Положим N  [M!, l, u]  наименьшее общее кратное чисел M !, l , u и
предположим, что R не имеет N  кручения, тогда R  коммутативное
кольцо.
В дальнейшем будем рассматривать ненулевое ассоциативное кольцо с
единицей.
Следствие 1 ([1]). Пусть n  1  натуральное число и R  кольцо без
n! кручения. Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n  x n y n для любых
x и y из кольца R , то R  коммутативное кольцо.
Следствие 2 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству x n y n  x n1 y n x , то
R  коммутативное кольцо, если оно без n! кручения.
Следствие 3 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n  yx n y n1 , то
R  коммутативное кольцо, если оно без n! кручения.
Следствие 4 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству ( xy) n  ( yx)(xy) n1 ,
то R  коммутативное кольцо, если оно без n! кручения.
Следствие 5 ([2]). Если R удовлетворяет тождеству [ x, ( xy) n ]  0 , то
R  коммутативное кольцо, если оно без n! кручения.
1.
2.
Литература
Nagaraj,D.S., Sury,B. On commutativity of rings / D.S. Nagaraj, B.
Sury. // Journal of the Ramanujah Mathematical Society. – Vol.8,
2003. – 175-180 с.
Алексеев, С.М. Некоторые тождества, которые влекут за собой
коммутативность ассоциативных колец / С.М. Алексеев. // Наука
и образование: проблемы и перспективы. – Бийск ГОУВПО
«АГАО», 2011. – 61-66 с.